Vad är algebra? - (Högstadiet, Matte 1) - Matematikvideo

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 2 ABC

Vad är Algebra?

Video

Video, text & övningsfrågor av: Simon Rybrand

I den här lektionen går vi igenom en grunderna i algebra – att räkna med bokstäver. Vi visar nyttan med att kunna räkna med bokstäver och går även igenom de grundläggande begreppen som är bra att känna till.

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM


  • 600+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
PROVA FÖR 9 kr
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.
117 votes, average: 4,46 out of 5117 votes, average: 4,46 out of 5117 votes, average: 4,46 out of 5117 votes, average: 4,46 out of 5117 votes, average: 4,46 out of 5
117
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

26
FRÅGOR

Testa dina kunskaper

Gör gärna ett försök innan du sett videon och jämför med hur det gått efteråt.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 10
  • 11
  • 12
  • 13
  • 14
  • 15
  • 16
  • 17
  • 18
  • 19
  • 20
  • 21
  • 22
  • 23
  • 24
  • 25
  • 26
MEDELPOÄNG
ALLA
6

Text

Vad är Algebra – En kort bakgrund

Ordet Algebra kommer från det arabiska ordet Al´djabr och betyder återförening eller koppling. Till vardags kan man höra folk kalla algebra för bostadsräkning. Även om det inte är en helt korrekt översättning beskriver det till viss del vad algebra handlar om.

Algebra - algebraiskt uttryck
Tanken bakom algebra är att kunna beskriva storheter som längd, tid, hastighet och vikt med hjälp av bokstäver, så att vi kan teckna förhållanden mellan olika storheter, utan att känna till de exakta värdena på dem. Men hjälp av algebran kan man bestämma värden till det tidigare okända.

Viktiga grundläggande begrepp

I den här lektionen lär du dig grunderna om algebra och det är då viktigt att känna till några begrepp, ord i matematiken, som ofta används. Dessa begrepp kommer att återanvändas om och om igen inom algebrans alla områden. Så det är lika bra att sätta igång och plugga in dem utantill. Det kommer underlätta för dig framöver.

Begrepp inom algebra
Algebraiskt uttryck

Ett algebraiskt uttryck är en summa av termer där åtminstone en av termerna innehåller variabler. Några exempel på algebraiska uttryck är $3x+2$3x+2 ,  $x$x och  $2x^2-3x+10$2x23x+10

Variabel

Bokstaven $x$x i det algebraiska uttrycket ovan kallas för en variabel. Som man hör på namnet kan variablerna variera. Uttryckets värde är alltså beroende av variabelns värde som kan vara flera olika i samma uttryck. En variabel betecknas ofta med just en bokstav, men vilken det är kan variera. Tex är $a$a , $x$x och  $y$y vanliga beteckningar för variabeln.

Ett uttryck kan innehålla flera variabler, men i denna kurs använde vi endast en variabel per uttryck. Står flera bokstäver i samma uttryck motsvarar alla utom en av dem konstanter.

Koefficient

Siffran som står framför en variabel kallas för en koefficient. Den utgör den konstanta faktorn i en variabelterm. T.ex. är $ 3 $ koefficient i uttrycket $ 3x $ och $ 6 $ är koefficient i uttrycket $ 6x^5 $. Mellan koefficienten och variabeln  finns ett ”dolt” multiplikationstecken som inte skrivs ut. Skrivsättet $3x$3x är alltså detsamma som $3\cdot x$3·x.

Ekvation

En ekvation är en likhet mellan två uttryck där minst ett av dem innehåller en variabel.

Variabelterm

Vid addition och subtraktion kallas de olika talen för termer. Samma gäller för algebraiska uttryck med skillnaden att termerna även kan innehålla variabler, alltså bokstäver. En algebraisk term kan alltså vara en kombination av siffror och bokstäver, men även innehålla termer som endast innehåller siffror. Några exempel på variabeltermer är $4x-2$4x2 ,  $3x$3x,  $-17$17  eller $\frac{4x^2}{3}$4x23 .

Termerna skiljs åt, precis som vid vanlig addition och subtraktion, av plus- eller minustecken. Det algebraiska uttrycket $ 5x³ + 10 – 2x⁹ $ har tre stycken termer.

Konstant

En term som bara innehåller siffror kallas för en konstantterm. Man kallar även termen endast för en konstant. Namnet ger egenskapen, nämligen att värdet på termen inte varierar utan är just konstant. Uttrycket $3x+4$3x+4 konstanten fyra och uttrycket $5x^2+4x-12$5x2+4x12 konstanten minus tolv. Fyran och minustolvan är också uttrycken konstanttermer.

Vi tar nu några exempel på frågor kring begreppen.

Exempel 1

Hur många termer har det algebraiska uttrycket $6-x^4+2x+x^3$6x4+2x+x3 ?

Lösning

I uttrycket så separeras termerna med $+$+ eller $-$. Så det har sammanlagt fyra termer.

Exempel 2

Vilka är koefficienterna i uttrycket $3x^3+x$3x3+x ?

Lösning

I uttrycket har vi koefficienterna $3$3 och $1$1 då det är de talen som står framför variabeln $x$x.

Observerar alltså att alla variabler utan koefficient faktiskt har en koefficient. Bara att den är ”osynlig”. Koefficienten är en etta. Så här  $x=1\cdot x$x=1·x.

Vi kan multiplicera alla termer med talet ett utan att ändra värdet på termen. Om variabeln multipliceras med talet ett, ger produkten samma värde som variabelns värde. Vikten av att skriva ut ettan är därför obefintlig, förutom när man ska ange koefficienten eller faktorisera uttryck som vi ska göra framöver.

Som vanligt väljer därför matematiken det skrivsätt som innehåller minst tecken utan att lämna tolkningsutrymme för missuppfattningar, och hoppar därmed över att skriva ut ettan som koefficient. Men glöm aldrig att den finns där, hur osynlig den är!

Exempel 3

Vilken är konstanten i uttrycket $3x^3-x-15$3x3x15 ?

Lösning

I uttrycket har vi bara en konstant, nämligen konstanten $-15$15 då den termen inte innehåller någon variabel.

Observera att det sista minustecknet i stället kan ses som addition med minus femton, så här  $3x^3-x+\left(-15\right)$3x3x+(15). Omskrivet på detta sett ser man tydligare att konstanttermen är just minus femton.

Det algebraiska uttryckets grad

Gradtal

Det är viktigt att kunna se vilken grad som ett algebraiskt uttryck eller term har. Detta hjälper dig att senare kunna förenkla och utveckla algebraiska uttryck, avgöra antalet möjliga lösningar till en ekvation samt skissa grafers utseenden.

Det som anger det algebraiska uttryckets grad är den största exponenten någon variabel i uttrycket har. Med exponenten menas den siffra som man upphöjer en variabel med. Ett uttryck kan bara ha en grad även om det finns flera exponenter, det är alltså den största exponenten som anger graden.

Nedan följer ett antal exempel där vi förklarar vad uttryckets grad är.

Exempel 3

Vilken grad har uttrycket $ 2x^3 + x $ ?

Lösning

Uttrycket $ 2x^3 + 5 $ har graden tre, eftersom att de är den största (och enda) exponenten i en variabelterm.

Observerar alltså att alla variabler, och tal, utan exponent faktiskt har en etta som exponent. Bara att den är ”osynlig”. Så  $x=x^1$x=x1.

Basen multipliceras alltså med sig självt en gång, vilket ger samma värde som basen själv. Vikten av att skriva ut ettan i exponenten är därför obefintlig, förutom när man ska ange eller addera/subtrahera exponenter mm. Som vanligt väljer därför matematiken det skrivsätt som innehåller minst tecken utan att lämna tolkningsutrymme för missuppfattningar, och hoppar därmed över att skriva ut ettan i exponenten. Men glöm för allt i värden ändå inte bort att den finns där, hur osynlig den än må vara.

Exempel 4

Vilken grad har uttrycket $ x + 9000 $?

Lösning

Uttrycket $ x + 9000 $ har graden ett då den största exponenten som tillhör en variabelterm är ett.  Den återfinns i termen $x$  eftersom att $x= x^1 $.

Exempel 5

Vilken grad har uttrycket $ a^{4} +  a^{2}+3^{7}$?

Lösning

Då den största exponenten som tillhör en variabelterm är fyra, så då blir graden fyra. Observera att även om det finn en exponent som med värdet sju, så anger inte det graden då den inte tillhör en variabelterm.

Följande områden är viktiga inom algebra men behandlas inte denna lektion utan i kommande lektioner hos oss. Men vi har här en sammanfattning av dessa områden med länkar till fördjupningar.

Så beräknar du ett algebraiskt uttrycks värde

När du skall beräkna ett algebraiskt uttrycks värde så byter du ut en eller flera bokstäver mot tal. Då kan du få ut endast ett tal av det och det kallas för ett algebraiskt uttrycks värde.

Exempel 6

Beräkna värdet av uttrycket $3x^2+x$3x2+x om  $x=2$x=2.

Lösning

Vi byter ut $x$x mot $2$2 i uttrycket och får då

$3\cdot2^2+2=3\cdot4+2=12+2=14$3·22+2=3·4+2=12+2=14.

Det algebraiska uttryckets värde är alltså $14$14.

Exempel 7

Beräkna värdet av uttrycket $a-3b$a3b om  $a=100$a=100 och $b=-30$b=30.

Lösning

Vi byter ut $a$a  och  $b$b  i uttrycket och får då

$100-3\cdot\left(-30\right)=100+90=190$1003·(30)=100+90=190.

Det algebraiska uttryckets värde är alltså $190$190 .

Förenkla algebraiska uttryck

När man förenklar algebraiska uttryck så lägger du samman de termer i uttrycket som är av samma sort. Termer är av samma sort om de är av samma grad. Fördjupa dig om förenkling av algebraiska uttryck.

Utveckla algebraiska uttryck

När man utvecklar algebraiska uttryck så multiplicerar man ihop parenteser och utvecklar exponenter, t.ex. om en parentes är upphöjd med 2. Fördjupa dig om att multiplicera och dividera algebraiska uttryck.

Faktorisering

När ett algebraiskt uttryck faktoriseras så delar man upp uttrycket i så kallade faktorer. Två tal som multipliceras med varandra kallas för faktorer. Om man då delar upp en produkt i dess faktorer så kallas det för en faktorisering eller att man bryter ut något ur ett uttryck.

Exempel 8

Faktorisera talet $12$12  till två faktorer.

Lösning

Talet $12$12 kan faktoriseras på följande vis.

$12=3\cdot4$12=3·4, då är talen $3$3 och $4$4 faktorer.

Vi skulle lika gärna kunna faktorisera det till  $12=2\cdot6$12=2·6. Där är talen $2$2 och $6$6 faktorerna.

Exempel 9

Faktorisera uttrycket  $3x^2+2x$3x2+2x till två faktorer.

Lösning

I uttrycket  $3x^2+2x$3x2+2x kan vi bryta ut $x$x så att vi kan skriva det med faktorerna $x\left(3x+2\right)$x(3x+2) , då är talen $x$x och $\left(3x+2\right)$(3x+2) faktorer.

Algebra och ekvationslösning

Ett mycket stort och viktigt område inom algebra är ekvationer och ekvationslösning. Här söker du något okänt i en likhet mellan ett vänsterled och ett högerled så att dessa är lika med varandra. Det finns många olika typer av ekvationer där den första typen som du lär dig kallas för linjära ekvationer.

Exempel 10

Lös ekvationen $3x+3=6$3x+3=6

Lösning

Vi börjar med att subtrahera med $3$3 på båda sidor om likhetstecknet.

$3x+3-3=6-3$3x+33=63

$3x=3$3x=3

Nu dividerar vi båda leden med med $3$3

$\frac{3x}{3}=\frac{3}{3}$3x3 =33 

$x=1$x=1

Exempel i videon

  • Rutger och hans morsa har gjort fruktsallad. Rutger köpte tre bananer och en mango i affären och för det betalade han $24$24 kronor av morsans pengar. Rutger kommer ihåg att bananerna kostade $5$5 kronor styck men han minns inte vad mangon kostade. Beskriv och ta reda på detta med hjälp av algebra.
  • Beskrivning av $x,2x,3x^3$x,2x,3x3 och $-2x^3$2x3.
  • Ange koefficient, variabel, exponent och grad för $3x^3+2x-2$3x3+2x2.
  • Vilka är koefficienterna i uttrycket $4x⁴+3x⁵$4x+3x ?
  • Vilken grad har uttrycken a) $2000a+1000$2000a+1000 b) $5x^3+10-2x⁹$5x3+102x

Kommentarer

  1. Fråga sex borde väl egentligen formuleras som a resp b kr/st. Nu framgår det ju av svarsalternativen vad som menas men för tydlighetens skull hade kr/st varit bättre särskilt som frukt ofta köps som kr/kilo

    Lundenskolan
    1. Tack för kommentaren och håller med om detta, vi ändrar i frågeställningen.

      Simon Rybrand
  2. Hej! Förstår inte riktigt hur jag ska räkna ut fråga 8:

    ”Här är ett exempel på priset för ett telefonabonnemang.

    Samtalskostnad: 0,50 kr

    Minutkonstnad: 0,10 kr / min

    Vilket uttryck ger dig den totala snittkostnaden per minut?”

    Finns det någon video som förklarar detta mer? Då jag tycker att svars altenativ (0,50+0,10x) stämmer?

    Det korrekta svaret (0,50 + 0,10x / x) :

    När jag testar X med olika siffror (0,50 + 0,10x / x) får jag:

    X: 1 = 0,6 (vilket verkar stämma)
    X: 2 = 0,35. (Men borde inte detta bli 0,7?)
    X: 3 = 0,26. (borde bli 0,8?)

    Karl
    1. Hej
      Tänker du på att det inte är den totala kostnaden som söks utan medelpriset per minut?
      Om vi söker den totala kostnaden så denna $0,50+0,10x$ men om vi skall ha medelpriset så måste vi även dela med det totala antalet ringda minuter.

      Simon Rybrand
      1. Hej
        Ok, jag ser att jag även måste ha räknat fel när jag testade de olika värdena då snittpriset alltid kommer vara 0.6kr?
        Kan man tänka att så fort frågan efter medelkostnaden frågas om, kommer alltid svaret på uttrycket vara en uppställning av ”delat med”?

        Karl
        1. Ja du tänker åt rätt håll. Ibland kan man förstås förenkla det hela så att det inte blir någon division kvar men från början så behöver man ställa upp en division.

          Simon Rybrand
  3. skumt å få fel på fråga 1 och 2 när jag svarat rätt…

    michaela padellaro
    1. Hej
      Hur skrev du svaret?
      Det kan vara lite känsligt när det är textsvar som skall kollas.

      Simon Rybrand
  4. Hej!
    På fråga 5 hävdar jag att erat svarsalternativ är fel då konstanttermen 2 kan sägas ha exponenten 0 (för variabeln x och det är ju den ni syftar på) och då är alternativet 2, 1, 0 det korrekta.

    Joakim Dalfors
    1. Hej,
      Kan till viss del hålla med om detta att det skulle kunna sättas ut en variabelterm 2x^0 = 2.
      Vi gör ändå så att vi formulerar om denna fråga en del för att detta sätt att tolka uppgiften inte skall bli fel, tack för att du kommenterade detta.

      Simon Rybrand
  5. Er fråga ”Ett företag har köpt in 220 laptops för 5980 kr och 44 surplattor och totalt betalat 1 443 200 kr för inköpet. Vilken ekvation kan beskriva kostnaden för en surfplatta?” är lite luddig. Det borde stå att 5980 kr är styckpriset per laptop. Och vad 44 ”surplattor” är det jag inte 😉

    Cherrytreelane
    1. Hej, det håller vi verkligen med om. Vi har förtydligat formuleringen där! Tack för din kommentar.

      Simon Rybrand
    2. Tycker även att frågan ger möjlighet för två svar … där ett är mer fullständigt än det andra. Uttrycket 220*y+44*x=1443200 är också korrekt … trotts att det blir mer komplett med priset 220*y=1315600 för varje laptop så klart.

      Pedro Veenekamp

Endast premiumkunder kan kommentera. Prova Premium!

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: