Faktorisering - Algebra (Ma 2) - Matematikvideo

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 2 ABC

Faktorisering

Video

Video, text & övningsfrågor av: Simon Rybrand

I den här videon går vi igenom grunderna till faktorisering och hur du kan använda den distributiva lagen baklänges för att faktorisera ett algebraiskt uttryck.

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM


  • 600+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
PROVA FÖR 9 kr
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.
61 votes, average: 3,44 out of 561 votes, average: 3,44 out of 561 votes, average: 3,44 out of 561 votes, average: 3,44 out of 561 votes, average: 3,44 out of 5
61
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

13
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 10
  • 11
  • 12
  • 13
MEDELPOÄNG
ALLA
6

Text

Vad innebär faktorisering?

Bryta ut eller faktorisera
Faktorisering av algebraiska uttryck används blir väldigt användbar i Matematik 2, framförallt när du skall lösa ekvationer med hjälp av nollproduktmetoden. Men först behöver man förstå vad faktorisering innebär. Och de är det vi ska öva på i denna kursen. Två tal som multipliceras med varandra kallas de faktorer. Resultatet kallas för produkt.

Så multiplicerar du $ 3 \cdot 4 $ så är $ 3 $ och $ 4 $ faktorer och svaret $ 12 $ kallas för produkt.

Att dela upp en produkt i faktorer kallas det helt enkelt för faktorisering.

Bryta ut faktorer

Man brukar säga att man ”bryter ut” en faktor ur ett uttryck när man faktoriserar. Det man bryter ut den ur är en parentes som man tillsätter vid faktoriseringen. Gör man en korrekt faktorisering, kommer produkten av faktorn man brutit ut och termerna kvar i parentesen resultera i det ursprungliga uttrycket. Man kan säga att faktorisera är att göra det man gör när man multiplicera in en faktor i en parentes, fast ”baklänges”. På detta sätt kan man alltid kontrollera att man gjort rätt.

Den lag vi använder när vi multiplicerar in faktorer i parenteser kallas för den distributiva lagen. Lagen säger följande.

$a(b+c)=ab+ac$

Vi kan motivera lagen genom att visa att en rektangels area kan beskrivas på två olika sätt. De två sätten kommer motsvara vänster och högerledet i den distributiva lagen.

Distributiva lagen

Då den stora rektangeln har sidorna $a$a och $b+c$b+c, kan vi uttrycka rektangelns area genom att multiplicera sidornas längder med varandra,  $a\left(b+c\right)$a(b+c).

De två små rektanglarna har sidorna $a$a och $b$b samt  $a$a och $c$c. De mindre rektanglarnas areor får vi genom att multiplicera deras respektive längder med varandra. Vi får att de två rektanglarna  $a\cdot b=ab$a·b=ab och  $a\cdot c=ac$a·c=ac.

Här följer några exempel där vi faktoriserar algebraiska uttryck med hjälp av att använda den distributiva lagen ”baklänges”.

Exempel 1

Bryt ut största möjliga faktor ur $ 2x^2 + 2x $

Lösning

Vi skriver om uttrycket som faktorer för att lättare se vilka som är gemensamma och där med kan brytas ut.

$ 2x^2 + 2x =2\cdot x\cdot x + 2\cdot 1\cdot x  $

Vi se nu att termerna har två gemensamma faktorer,  $2$2 och $x$x, vilket ger att vi kan bryta ur dem utan för parentesen.

$2\cdot x\cdot x + 2\cdot x = 2x(x + 1) $

Tänk på att det måste finnas kvar en etta när du bryter ut  $2x$2x  ur andra termen. Annars får du inte tillbaks likheten om du multiplicerar in dem igen.

Exempel 2

Bryt ut största möjliga faktor ur $ 16x – 4x^2 $

Lösning

Vi skriver om uttrycket som faktorer för att lättare se vilka som är gemensamma och där med kan brytas ut. Dessutom undersöker vi om det finns någon lämplig faktor att skriva om koefficienterna till. I detta fall är  $16=4\cdot4$16=4·4 lämpligt att utnyttja.

$ 16x – 4x^2 =4\cdot 4 \cdot x – 4 \cdot x \cdot x  $

Vi se nu att termerna har två gemensamma faktorer, $4$4 och $x$x, vilket ger att vi kan bryta ur dem utan för parentesen.

$ 4\cdot 4 \cdot x – 4 \cdot x \cdot x = 4x(4 – x) $

Exempel 3

Bryt ut största möjliga faktor ur $ 6x + 3x^2 – 12x^3 $

Lösning

Vi skriver om uttrycket som faktorer för att lättare se vilka som är gemensamma och där med kan brytas ut. Dessutom undersöker vi om det finns någon lämplig faktor att skriva om koefficienterna till. I detta fall är  $12=2\cdot6=2\cdot2\cdot3$12=2·6=2·2·3 lämpligt att utnyttja.

$ 6x + 3x^2 – 12x^3 = 2\cdot 3\cdot x +3 \cdot x \cdot x – 3 \cdot 4\cdot x\cdot x \cdot x  $

Vi se nu att termerna har två gemensamma faktorer,  $3$3 och $x$x, vilket ger att vi kan bryta ur dem utan för parentesen.

$ 2\cdot 3\cdot x +3 \cdot x \cdot x – 3 \cdot 4\cdot x\cdot x \cdot x  =3x(2 + x – 4x^2) $

Exempel 4

Faktorisera och förenkla uttrycket  $\frac{5a^2-25a}{10ab}$5a225a10ab   så långt som möjligt.

Lösning

Vi börjar med att faktorisera täljaren.

 $\frac{5a^2-25a}{10ab}=\frac{5a\left(a-5\right)}{10ab}$5a225a10ab =5a(a5)10ab  

Vi kan nu förkorta kvoten då vi nu har faktorer i stället för termer.

 $\frac{5a\left(a-5\right)}{10ab}=\frac{5\cdot a\left(a-5\right)}{5\cdot2\cdot a\cdot b}=\frac{\left(a-5\right)}{2}$5a(a5)10ab =5·a(a5)5·2·a·b =(a5)2 

Och till sist följer här nu ett lite svårare exempel.

Exempel 5

Faktorisera uttrycket  $a\left(b+5\right)+c\left(2b+10\right)$a(b+5)+c(2b+10) 

Lösning

I det här uttrycket har vi två termer, nämligen  $a\left(b+5\right)$a(b+5)  och $c\left(2b+10\right)$c(2b+10).

Vi börjar med att bryta ut två ur sen sista termen för att se om v kan få några lika faktorer i uttrycket att bryta ut.

 $a\left(b+5\right)+c\left(2b+10\right)=a\left(b+5\right)+2c\left(b+5\right)$a(b+5)+c(2b+10)=a(b+5)+2c(b+5) 

Vi har nu faktorn $\left(b+5\right)$(b+5) i bägge termerna och kan då bryta ur det ut bägge termerna.

Vi får då  $a\left(b+5\right)+2c\left(b+5\right)=\left(b+5\right)\left(a+2c\right)$a(b+5)+2c(b+5)=(b+5)(a+2c).

Exempel i videon

  • Faktorisera talet $12$.
  • Faktorisera $x^2+x$.
  • Bryt ut största möjliga faktor ur $x^3-3x^2$.
  • Faktorisera $3x-3x^2+6$.

Kommentarer

  1. Hej,
    Kan du beskriva lite mer utförligt hur du får fram svaret på fråga 13?

    Anders Andersson
    1. Hej, absolut.
      Jag fyllde i en längre förklaringen till den uppgiften, säg till om det fortfarande är svårt att förstå så hjälper jag dig vidare.

      Simon Rybrand
  2. Hallå!

    I övning 3 så blir svaret 2y(2y-1) men jag förstår inte vart 1an kommer ifrån! Jag har missat något men vet inte vad! Help

    Jocke Lind
    1. När vi faktoriserar termerna i mindre beståndsdelar, dvs. koefficienterna i faktorer som är gemensamma och variablerna, är det viktigt att komma ihåg att det alltid blir en etta kvar i parentesen då du bryter ut hela ursprungstermen.

      Vi testar med ett annat exempel.

      $15=10+5=5\cdot2+5\cdot1$

      När vi faktoriserar detta får vi att

      $5(2+1)=5\cdot3=15$

      Hade vi inte haft kvar en etta i parentesen utan bara ”flyttat ut” den, hade vi fått följande, vilket inte ger summan samma värde, så här.

      $15=10+5=5\cdot2+5≠5(2+0)=10$

      Så tänk på att man aldrig kan ”flytta ut”, utan bara bryta ut, vilket innebär att det alltid blir kvar minst en etta i parentesen. Så här.

      $2\cdot2\cdot y\cdot y-1\cdot2\cdot y=2y(2y-1)$

      Kanske är det lättare att hålla med om, då du kontrollerar att du faktoriserat rätt, genom att multiplicera in det du brutit ut igen.

      I detta fall får vi  $2y(2y-1)=2y\cdot2y-2y\cdot1=4y^2-2y$ vilket var vårt ursprungliga uttryck, vilket därför är en korrekt faktorisering.

      Hade vi inte haft kvar etta i parentesen hade vi fått $2y(2y)=4y^2$  vilket inte var vårt ursprungliga uttryck.

      Blev det tydligare?

      David Admin
  3. oj i uppgiften ovan ska det stå 6x-9y i nämnaren.
    ( alltså inte som jag skrev: 6x-9x)

    Katarzyna Michnik
  4. Hej.
    Jag sitter med en faktoriseringsuppgift som jag har en lösning till men förstår inte HUR jag kommer fram till den lösningen. Hjälp mig please. 🙂 Här är uppgiften:
    förenkla 12x^2-36xy+27y^2
    ————————– =2x-3y
    6x-9x

    Katarzyna Michnik
  5. Hej, hur ska man göra ifall man har ett tal som ser så här :
    (3x^2 + 6x) / x + 2

    Altså
    3x^2 + 6x
    ————-
    x + 2 ?

    Kan ni visa en förklaring därför jag har ingen anning haha, tack så mycket 🙂

    Hugo Elfner
    1. förresten, kom på lösningen:

      ifall man faktoriserar 3x så lösar allt sig, blev förvirrad av divisionen.

      Hugo Elfner
  6. Hej
    I uppgift 3 i videon så skriver ni ut x-x-3 och i uppgift 4 skriver ni 3-xikvadrat, varför skriva ut det olika och hur vet jag när jag skall skriva vad?

    Jon Abrahamsson
    1. Hej
      I videon vill vi framförallt belysa vad de olika termerna har gemensamt så att det blir tydligt, dvs att det finns $x·x$ i bägge termerna. Du kan egentligen likaväl tänka att det finns ett $x^2$ där.

      Simon Rybrand
      1. Jag har en tilläggsfråga i exempel 4. Om nu man kan skriva x*x likaväl som x^2, då borde man ju kunna bryta ut både 3 och x i detta fall. Är det rätt vad man än väljer då eller har jag fått något om bakfoten?

        Mvh Hanna

        hanna eriksson
        1. Hej
          Du kan inte bryta ut ett $x$ ur alla termer då den sista inte innehåller ett sådant $x$

          Simon Rybrand
  7. Hej, pa de sista problemet i videon undrar jag om de gar att subtrahera kofficienterna 8 och 6 enbart for att att dem bade multipliceras med en variabel med samma exponent. Med andra ord ar det tack vare de lika exponenterna som kofficienterna kan subtraheras.
    Tack pa forhand!

    Ps. Riktigt grym sida, har lart mig mycket pa kort tid tack vare er!

    Arsema Kifle
    1. Det sista exemplet i videon är ju uttrycket $3x-3x^2+6$, dvs det finns ingen åtta i det, däremot en 6:a.
      Försöker svara ändå, nej det beror inte på exponenterna i det uttrycket utan det man gör är att man letar efter både variabler och koefficienter som finns i varje term och därmed kan brytas ut. I det här fallet kan vi bara bryta ut något ur varje koefficient då den sista termen inte innehåller en variabel.

      Simon Rybrand
  8. Det följer inte någon förklaring efter fråga 2.

    Karl
    1. Tack för att du sade till! Det fixar vi!

      Simon Rybrand
  9. Hej!
    Förstår inte logiken i fråga 7.
    Hur löser man den steg för steg?
    För mig ser första, andra och tredje svaret lika rätt ut?
    Eller vad är skillnaden på xy * -5 , 5xy * -1 och 5x * -y ??

    Daniel U
    1. Hej,
      Det vi skall göra där är att bryta ut så mycket som möjligt ur varje term. Jag har förtydligat det i övningsuppgiften. Steg för steg kan detta se ut på följande vis:
      I bägge termerna finns faktorn $5xy$, därmed kan vi bryta ut detta på följande vis:

      $25x^2y – 5xy = $ $ 5⋅5⋅x⋅x⋅y – 5xy $ $ = 5xy(5x-1)$

      Här ovan skriver vi även ut alla faktorer i varje term så att du ser att vi kan bryta ut just $ 5xy $

      Säg gärna till om det fortfarande är otydligt.

      Simon Rybrand
      1. Vart kommer -1 ifrån ? Trodde bara man fick använda sig av faktorerna(5*5*x*x*y – 5*x*y) ?
        Finns det bara ett rätt sätt/svar att lösa dessa uppgifter på?
        5x(5xy – y) är ju oxå det samma som 25x^2y – 5xy ?

        Daniel U
        1. När vi bryter ut då dividerar vi termerna med just det vi bryter ut: -5xy/5xy=-1. Om du multiplicerar 5xy med -1 får du tillbaka termen -5xy. Samma hände med 25x^2y: 25*x*x*y/5*x*y = 5xy

          Det kan finnas flera sätt att faktorisera men det är mer lönsam att bryta ut den största faktor som möjligt. Gör man inte det då betyder det inte att likheten inte gäller utan det blir jobbigare om du skall använda faktorisering för att fortsätta räkna. Jag tror att sånt svar på ett prov ger inte full poäng.

          Pedro Veenekamp
        2. Hej
          -1 kommer ifrån att det står -5xy i den andra termen och du kan även skriva det som (-1)*5*x*y.
          Du kan bryta ut på flera olika vis och faktorisera uttrycket på olika sätt. Däremot kan du bara bryta ut så mycket som möjligt på ett sätt.

          Simon Rybrand
  10. Hej! Varför blir svaret x^2 på exempel 3 i denna video?

    Isabella Holmberg
    1. Hej
      Där skulle vi bryta ut så mycket som möjligt ur det algebraiska uttrycket och det mesta vi kan bryta ut är just $x^2$. Visserligen skulle vi även kunna faktorisera uttrycket som
      $ x(x^2-3x) $
      men då har vi inte brutit ut största möjliga faktor.

      Simon Rybrand
  11. Faktorisera uttrycket 4×2−12x+16.
    4x(x−3)+8
    4x(x−3)
    4(x2−3x+2)
    4(x2−12x+2)

    FÖRKLARING
    Den största gemensamma faktorn här är 4:
    4×2−12x+16=4(x2−3x+4)

    Notera att det rätta svaret inte går att finns bland svarsalternativen.

    David Stephan
    1. Det är korrigerat, nu finns det med.

      Simon Rybrand
  12. Idag funkar det. vet inte vad som hände igår, det måste ha att göra med att första gången jag startade videon så var jag inte inloggad och då stannar den ju vid 1 minut. Sedan ändrades inte det även efter inloggning och omstart.

    Inga problem nu längre iaf. Tack för svar, ha en bra dag!

    PeterAlexander
  13. Den här videon ska vara 4:35 lång men varje gång jag startar den så blir den bara 1 minut. Jag är inloggad och betald. Har provat att logga ut och in igen men det hjälper inte.

    PeterAlexander
    1. Hej,
      Gör så att du kontaktar oss på support@matematikvideo.se så hjälper vi dig vidare med detta.

      Simon Rybrand

Endast premiumkunder kan kommentera. Prova Premium!

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: