...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Faktorisering

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

När man faktoriserar ett algebraiskt uttryck så delar man upp en produkt i faktorer. När två tal eller algebraiska termer multipliceras med varandra så kallas de för faktorer. Resultatet på multiplikationen kallas för en produkt.

Vad innebär faktorisering?

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Faktorisering av algebraiska uttryck blir väldigt användbart när du skall lösa ekvationer med hjälp av nollproduktmetoden. Men först behöver man förstå vad faktorisering innebär. Och det är det vi ska öva på i denna kursen.

Faktorisera - bryta ut

Två tal som multipliceras med varandra kallas faktorer. Resultatet kallas för produkt.

Så multiplicerar du $ 3 \cdot 4 $ så är $ 3 $ och $ 4 $ faktorer och svaret $ 12 $ kallas för produkt.

Att dela upp en produkt i faktorer kallas det helt enkelt för faktorisering.

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Bryta ut faktorer

Man brukar säga att man ”bryter ut” en faktor ur ett uttryck när man faktoriserar. Det man bryter ut den ur är en parentes som man tillsätter vid faktoriseringen. Gör man en korrekt faktorisering, kommer produkten av faktorn man brutit ut och termerna kvar i parentesen resultera i det ursprungliga uttrycket. Man kan säga att faktorisera är att göra det man gör när man multiplicera in en faktor i en parentes, fast ”baklänges”. På detta sätt kan man alltid kontrollera att man gjort rätt.

Distributiva lagen

Den lag vi använder när vi multiplicerar in faktorer i parenteser kallas för den distributiva lagen. Lagen säger följande.

$a(b+c)=ab+ac$

Vi kan motivera lagen genom att visa att en rektangels area kan beskrivas på två olika sätt. De två sätten kommer motsvara vänster och högerledet i den distributiva lagen.

Distributiva lagen

Då den stora rektangeln har sidorna $a$a och $b+c$b+c, kan vi uttrycka rektangelns area genom att multiplicera sidornas längder med varandra,  $a\left(b+c\right)$a(b+c).

De två små rektanglarna har sidorna $a$a och $b$b samt  $a$a och $c$c. De mindre rektanglarnas areor får vi genom att multiplicera deras respektive längder med varandra. Vi får att de två rektanglarna  $a\cdot b=ab$a·b=ab och  $a\cdot c=ac$a·c=ac.

Exempel på faktorisering

Här följer några exempel där vi faktoriserar algebraiska uttryck med hjälp av att använda den distributiva lagen ”baklänges”.

Exempel 1

Bryt ut största möjliga faktor ur $ 2x^2 + 2x $

Lösning

Vi skriver om uttrycket som faktorer för att lättare se vilka som är gemensamma och där med kan brytas ut.

$ 2x^2 + 2x =2\cdot x\cdot x + 2\cdot 1\cdot x  $

Vi se nu att termerna har två gemensamma faktorer,  $2$2 och $x$x, vilket ger att vi kan bryta ur dem utan för parentesen.

$2\cdot x\cdot x + 2\cdot x = 2x(x + 1) $

Tänk på att det måste finnas kvar en etta när du bryter ut  $2x$2x  ur andra termen. Annars får du inte tillbaks likheten om du multiplicerar in dem igen.

Exempel 2

Bryt ut största möjliga faktor ur $ 16x – 4x^2 $

Lösning

Vi skriver om uttrycket som faktorer för att lättare se vilka som är gemensamma och där med kan brytas ut. Dessutom undersöker vi om det finns någon lämplig faktor att skriva om koefficienterna till. I detta fall är  $16=4\cdot4$16=4·4 lämpligt att utnyttja.

$ 16x – 4x^2 =4\cdot 4 \cdot x – 4 \cdot x \cdot x  $

Vi se nu att termerna har två gemensamma faktorer, $4$4 och $x$x, vilket ger att vi kan bryta ur dem utan för parentesen.

$ 4\cdot 4 \cdot x – 4 \cdot x \cdot x = 4x(4 – x) $

Exempel 3

Bryt ut största möjliga faktor ur $ 6x + 3x^2 – 12x^3 $

Lösning

Vi skriver om uttrycket som faktorer för att lättare se vilka som är gemensamma och där med kan brytas ut. Dessutom undersöker vi om det finns någon lämplig faktor att skriva om koefficienterna till. I detta fall är  $12=2\cdot6=2\cdot2\cdot3$12=2·6=2·2·3 lämpligt att utnyttja.

$ 6x + 3x^2 – 12x^3 = 2\cdot 3\cdot x +3 \cdot x \cdot x – 3 \cdot 4\cdot x\cdot x \cdot x  $

Vi se nu att termerna har två gemensamma faktorer,  $3$3 och $x$x, vilket ger att vi kan bryta ur dem utan för parentesen.

$ 2\cdot 3\cdot x +3 \cdot x \cdot x – 3 \cdot 4\cdot x\cdot x \cdot x  =3x(2 + x – 4x^2) $

Exempel 4

Faktorisera och förenkla uttrycket  $\frac{5a^2-25a}{10ab}$5a225a10ab   så långt som möjligt.

Lösning

Vi börjar med att faktorisera täljaren.

$\frac{5a^2-25a}{10ab}=\frac{5a\left(a-5\right)}{10ab}$5a225a10ab =5a(a5)10ab 

Vi kan nu förkorta kvoten då vi nu har faktorer i stället för termer.

$\frac{5a\left(a-5\right)}{10ab}=\frac{5\cdot a\left(a-5\right)}{5\cdot2\cdot a\cdot b}=\frac{\left(a-5\right)}{2}$5a(a5)10ab =5·a(a5)5·2·a·b =(a5)2 

Och till sist följer här nu ett lite svårare exempel.

Exempel 5

Faktorisera uttrycket  $a\left(b+5\right)+c\left(2b+10\right)$a(b+5)+c(2b+10)

Lösning

I det här uttrycket har vi två termer, nämligen  $a\left(b+5\right)$a(b+5)  och $c\left(2b+10\right)$c(2b+10).

Vi börjar med att bryta ut två ur sen sista termen för att se om v kan få några lika faktorer i uttrycket att bryta ut.

$a\left(b+5\right)+c\left(2b+10\right)=a\left(b+5\right)+2c\left(b+5\right)$a(b+5)+c(2b+10)=a(b+5)+2c(b+5)

Vi har nu faktorn $\left(b+5\right)$(b+5) i bägge termerna och kan då bryta ur det ut bägge termerna.

Vi får då  $a\left(b+5\right)+2c\left(b+5\right)=\left(b+5\right)\left(a+2c\right)$a(b+5)+2c(b+5)=(b+5)(a+2c).

Exempel i videon

  • Faktorisera talet $12$.
  • Faktorisera $x^2+x$.
  • Bryt ut största möjliga faktor ur $x^3-3x^2$.
  • Faktorisera $3x-3x^2+6$.

Kommentarer

Anders Andersson

Hej,
Kan du beskriva lite mer utförligt hur du får fram svaret på fråga 13?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, absolut.
    Jag fyllde i en längre förklaringen till den uppgiften, säg till om det fortfarande är svårt att förstå så hjälper jag dig vidare.

Jocke Lind

Hallå!

I övning 3 så blir svaret 2y(2y-1) men jag förstår inte vart 1an kommer ifrån! Jag har missat något men vet inte vad! Help

    David Admin (Moderator)

    När vi faktoriserar termerna i mindre beståndsdelar, dvs. koefficienterna i faktorer som är gemensamma och variablerna, är det viktigt att komma ihåg att det alltid blir en etta kvar i parentesen då du bryter ut hela ursprungstermen.

    Vi testar med ett annat exempel.

    $15=10+5=5\cdot2+5\cdot1$

    När vi faktoriserar detta får vi att

    $5(2+1)=5\cdot3=15$

    Hade vi inte haft kvar en etta i parentesen utan bara ”flyttat ut” den, hade vi fått följande, vilket inte ger summan samma värde, så här.

    $15=10+5=5\cdot2+5≠5(2+0)=10$

    Så tänk på att man aldrig kan ”flytta ut”, utan bara bryta ut, vilket innebär att det alltid blir kvar minst en etta i parentesen. Så här.

    $2\cdot2\cdot y\cdot y-1\cdot2\cdot y=2y(2y-1)$

    Kanske är det lättare att hålla med om, då du kontrollerar att du faktoriserat rätt, genom att multiplicera in det du brutit ut igen.

    I detta fall får vi  $2y(2y-1)=2y\cdot2y-2y\cdot1=4y^2-2y$ vilket var vårt ursprungliga uttryck, vilket därför är en korrekt faktorisering.

    Hade vi inte haft kvar etta i parentesen hade vi fått $2y(2y)=4y^2$  vilket inte var vårt ursprungliga uttryck.

    Blev det tydligare?

Katarzyna Michnik

oj i uppgiften ovan ska det stå 6x-9y i nämnaren.
( alltså inte som jag skrev: 6x-9x)

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Kika på faktorisering med kvadreringsreglerna så tror jag att du kommer vidare!

Katarzyna Michnik

Hej.
Jag sitter med en faktoriseringsuppgift som jag har en lösning till men förstår inte HUR jag kommer fram till den lösningen. Hjälp mig please. 🙂 Här är uppgiften:
förenkla 12x^2-36xy+27y^2
————————– =2x-3y
6x-9x

Hugo Elfner

Hej, hur ska man göra ifall man har ett tal som ser så här :
(3x^2 + 6x) / x + 2

Altså
3x^2 + 6x
————-
x + 2 ?

Kan ni visa en förklaring därför jag har ingen anning haha, tack så mycket 🙂

    Hugo Elfner

    förresten, kom på lösningen:

    ifall man faktoriserar 3x så lösar allt sig, blev förvirrad av divisionen.

Jon Abrahamsson

Hej
I uppgift 3 i videon så skriver ni ut x-x-3 och i uppgift 4 skriver ni 3-xikvadrat, varför skriva ut det olika och hur vet jag när jag skall skriva vad?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    I videon vill vi framförallt belysa vad de olika termerna har gemensamt så att det blir tydligt, dvs att det finns $x·x$ i bägge termerna. Du kan egentligen likaväl tänka att det finns ett $x^2$ där.

      hanna eriksson

      Jag har en tilläggsfråga i exempel 4. Om nu man kan skriva x*x likaväl som x^2, då borde man ju kunna bryta ut både 3 och x i detta fall. Är det rätt vad man än väljer då eller har jag fått något om bakfoten?

      Mvh Hanna

        Simon Rybrand (Moderator)

        Hej
        Du kan inte bryta ut ett $x$ ur alla termer då den sista inte innehåller ett sådant $x$

Arsema Kifle

Hej, pa de sista problemet i videon undrar jag om de gar att subtrahera kofficienterna 8 och 6 enbart for att att dem bade multipliceras med en variabel med samma exponent. Med andra ord ar det tack vare de lika exponenterna som kofficienterna kan subtraheras.
Tack pa forhand!

Ps. Riktigt grym sida, har lart mig mycket pa kort tid tack vare er!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Det sista exemplet i videon är ju uttrycket $3x-3x^2+6$, dvs det finns ingen åtta i det, däremot en 6:a.
    Försöker svara ändå, nej det beror inte på exponenterna i det uttrycket utan det man gör är att man letar efter både variabler och koefficienter som finns i varje term och därmed kan brytas ut. I det här fallet kan vi bara bryta ut något ur varje koefficient då den sista termen inte innehåller en variabel.

Karl

Det följer inte någon förklaring efter fråga 2.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Tack för att du sade till! Det fixar vi!

Daniel U

Hej!
Förstår inte logiken i fråga 7.
Hur löser man den steg för steg?
För mig ser första, andra och tredje svaret lika rätt ut?
Eller vad är skillnaden på xy * -5 , 5xy * -1 och 5x * -y ??

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej,
    Det vi skall göra där är att bryta ut så mycket som möjligt ur varje term. Jag har förtydligat det i övningsuppgiften. Steg för steg kan detta se ut på följande vis:
    I bägge termerna finns faktorn $5xy$, därmed kan vi bryta ut detta på följande vis:

    $25x^2y – 5xy = $ $ 5⋅5⋅x⋅x⋅y – 5xy $ $ = 5xy(5x-1)$

    Här ovan skriver vi även ut alla faktorer i varje term så att du ser att vi kan bryta ut just $ 5xy $

    Säg gärna till om det fortfarande är otydligt.

      Daniel U

      Vart kommer -1 ifrån ? Trodde bara man fick använda sig av faktorerna(5*5*x*x*y – 5*x*y) ?
      Finns det bara ett rätt sätt/svar att lösa dessa uppgifter på?
      5x(5xy – y) är ju oxå det samma som 25x^2y – 5xy ?

        Pedro Veenekamp

        När vi bryter ut då dividerar vi termerna med just det vi bryter ut: -5xy/5xy=-1. Om du multiplicerar 5xy med -1 får du tillbaka termen -5xy. Samma hände med 25x^2y: 25*x*x*y/5*x*y = 5xy

        Det kan finnas flera sätt att faktorisera men det är mer lönsam att bryta ut den största faktor som möjligt. Gör man inte det då betyder det inte att likheten inte gäller utan det blir jobbigare om du skall använda faktorisering för att fortsätta räkna. Jag tror att sånt svar på ett prov ger inte full poäng.

        Simon Rybrand (Moderator)

        Hej
        -1 kommer ifrån att det står -5xy i den andra termen och du kan även skriva det som (-1)*5*x*y.
        Du kan bryta ut på flera olika vis och faktorisera uttrycket på olika sätt. Däremot kan du bara bryta ut så mycket som möjligt på ett sätt.

Isabella Holmberg

Hej! Varför blir svaret x^2 på exempel 3 i denna video?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Där skulle vi bryta ut så mycket som möjligt ur det algebraiska uttrycket och det mesta vi kan bryta ut är just $x^2$. Visserligen skulle vi även kunna faktorisera uttrycket som
    $ x(x^2-3x) $
    men då har vi inte brutit ut största möjliga faktor.

David Stephan

Faktorisera uttrycket 4×2−12x+16.
4x(x−3)+8
4x(x−3)
4(x2−3x+2)
4(x2−12x+2)

FÖRKLARING
Den största gemensamma faktorn här är 4:
4×2−12x+16=4(x2−3x+4)

Notera att det rätta svaret inte går att finns bland svarsalternativen.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Det är korrigerat, nu finns det med.

PeterAlexander

Idag funkar det. vet inte vad som hände igår, det måste ha att göra med att första gången jag startade videon så var jag inte inloggad och då stannar den ju vid 1 minut. Sedan ändrades inte det även efter inloggning och omstart.

Inga problem nu längre iaf. Tack för svar, ha en bra dag!

PeterAlexander

Den här videon ska vara 4:35 lång men varje gång jag startar den så blir den bara 1 minut. Jag är inloggad och betald. Har provat att logga ut och in igen men det hjälper inte.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej,
    Gör så att du kontaktar oss på support@matematikvideo.se så hjälper vi dig vidare med detta.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (15)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Multiplicera in  $4\left(x+3\right)$4(x+3) 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Multiplicera in  $2a\left(3a-7b\right)$2a(3a7b) 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bryt ut största möjliga faktor ur uttrycket

    $3x-3$3x3 

    Ange endast faktorn du brutit ut.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bryt ut största möjliga faktor ur uttrycket

     $5x+15$5x+15

    Ange endast faktorn du brutit ut.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bryt ut största möjliga faktor ur uttrycket

     $2x^2+4x$2x2+4x 

    Ange endast faktorn du brutit ut.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Välj det uttryck som motsvarar att man brutit ut faktorn $4$4 ur uttrycket.

     $4x^2-12x+16$4x212x+16

    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bryt ut största möjliga faktor ur  $4y^2-2y$4y22y .

    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilket av följande alternativ är en korrekt faktorisering av  $8x^2-4x$8x24x ?

    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilken lag är det som utnyttjas baklänges vid faktorisering?

    Rättar...
  • 10. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Faktorisera uttrycket $3x^2+18x$3x2+18x med största möjliga faktor.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 11. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Faktorisera uttrycket $16a+4ab$16a+4ab med största möjliga faktor.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 12. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilken är den största faktor vi kan bryta ut ur uttrycket?

     $6x^3y+2x^2y$6x3y+2x2y 

    Rättar...
  • 13. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Välj det uttryck som motsvarar att man brutit ut största möjliga faktorn ur uttrycket.

     $48x^3+36x^2-12x$48x3+36x212x

    Rättar...
  • 14. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Förenkla uttrycket så långt som möjligt.

     $\frac{2x+4}{x+2}$2x+4x+2      

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 15. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Välj det uttryck som motsvarar att man brutit ut största möjliga faktorn ur uttrycket.

    $25x^2y-5xy$25x2y5xy 

    Rättar...

c-uppgifter (4)

  • 16. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Förenkla uttrycket så långt som möjligt.

     $4\left(4x-y\right)-2\left(x-2y\right)$4(4xy)2(x2y) 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 17. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Förenkla uttrycket så långt som möjligt.

     $7y^2+7y\left(x-y\right)-6\left(3+xy\right)$7y2+7y(xy)6(3+xy)   

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 18. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Förenkla uttrycket så långt som möjligt.

     $\frac{20x^2-4x}{5x-1}$20x24x5x1    

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 19. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilken är den största möjliga faktorn att bryta ut ur uttrycket?

     $8ab^2+4a^3b^2+16ab^3+4a^7b^4$8ab2+4a3b2+16ab3+4a7b4 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...

a-uppgifter (2)

  • 20. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/1)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Förenkla uttrycket så långt som möjligt.

     $\frac{16a^2+4ab}{8a+2b}$16a2+4ab8a+2b    

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 21. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/1)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Faktorisera $p(p+1)-2(p+1)$p(p+1)2(p+1) 

    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar