...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Faktorisera med konjugatregeln och kvadreringsreglerna

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

I den här lektionen går vi igenom hur man kan faktorisera algebraiska uttryck med hjälp av konjugatregeln och kvadreringsreglerna.

När algebraiska uttryck ska faktoriseras används ofta distributiva lagen, konjugatregeln eller kvadreringsreglerna ”baklänges” för att kunna faktorisera uttrycket. Att använda en regel ”baklänges” innebär egentligen att man går från högerledet till vänsterledet i regeln.

Faktorisera med konjugatregeln

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

När man faktoriserar med hjälp av konjugatregeln behöver man först identifiera de olika delarna i det uttryck som ska faktoriseras som motsvarar de olika delarna i konjugatregeln. Denna regel säger följande:

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

För att faktorisera ett uttryck så skriver man om uttrycket genom att identifiera delar i uttrycket som kan motsvaras av högerledet i konjugatregeln och sedan skriva dessa i formen av konjugatregelns vänsterled. Exempel på detta är följande faktoriseringar.

Exempel 1

Faktorisera uttrycket $x^2-49$ med hjälp av konjugatregeln.

Lösning:

Konjugatregeln säger att  $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$(a+b)(ab)=a2b2 . Vi jämför uttrycket med konjugatregeln och ser att om vi skriver om $x^2-49=x^2-7^2$ får vi en stor likhet med vänsterledet i konjugatregeln. Vi får att $a:$a:et i konjugatregeln motsvarar $x$x i vårt uttryck och $b:$b:et motsvarar $7$7.

Genom att tänka oss regeln baklänges får vi att då

$x^2-49=x^2-7^2=(x+7)(x-7)$

Exempel 2

Faktorisera uttrycket $9x^2-25$ med hjälp av konjugatregeln.

Lösning:

Konjugatregeln säger att  $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$(a+b)(ab)=a2b2 

Genom att tänka oss regeln baklänges, får vi att  $a:$a:et  i konjugatregeln motsvarar $3x$3x i vårt uttryck, eftersom att $\left(3x\right)^2=3^2x^2=9x^2$(3x)2=32x2=9x2. Vidare får vi att $b:$b:et motsvarar $5$5. Vi faktoriserar nu uttrycket

$9x^2-25=(3x)^2-5^2=(3x+5)(3x-5)$

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Faktorisera med kvadreringsreglerna

När uttryck skall faktoriseras med hjälp av någon av de två kvadreringsreglerna, så gör man även det, genom att använda dessa regler ”baklänges”.
De två kvadreringsreglerna är följande.

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

Även här gäller det att först identifiera vilka delar i uttrycket som kan kopplas ihop med, eller motsvarar, kvadreringsreglernas högerled. Tänk på att det finns två olika kvadreringsregler. Skillnaderna mellan de båda reglerna är ett minustecken framför andra termen.

Exempel 3

Faktorisera uttrycket $x^2+2x+1$ med hjälp av kvadreringsregeln.

Lösning:

Eftersom att vi har tre positiva termer till att börja med använder vi kvadreringsregeln  $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$(a+b)2=a2+2ab+b2 .

Vi undersöker sedan om den första och sista termen är lämpliga att dra roten ur. Det är de.

 $\sqrt{x^2}=x$x2=x  och  $\sqrt{1}=1$1=1 

Nästa steg är att undersöka om termen i mitten stämmer med det dubbla värdet av faktorn av resultaten ovan.

Vi får att  $2\cdot x\cdot1=2x$2·x·1=2x vilket stämmer.

Så genom att tänka oss regeln baklänges får vi att

 $x^2+2x+1=x^2+2\cdot x\cdot1+1^2=(x+1)^2$x2+2x+1=x2+2·x·1+12=(x+1)2 

Om uttrycket du ska faktorisera består att två positiva och en negativ term, men inte i ordningnen positiv-negativ-positiv, börjar du med att skriva om dem i önskad ordning. Detta är möjligt eftersom att summan inte påverkas av att du flyttar runt termer i uttrycket.

Till exempel är  $4+5=5+4=9$4+5=5+4=9. Detta fungerar även om termerna är negativa. Genom att tänka, eller skriva om, differenser till summor kan även uttryck som innehåller minustecken byta position på termerna utan problem. Till exempel är $5-3=5+\left(-3\right)=-3+5=-2$53=5+(3)=3+5=2. Observera dock att minustecknet vid dessa omskrivningar ska ses som en negation och inte som en subtraktion. Till exempel gäller att  $5-3\ne3-5$5335, utan måste skriva om som ovan.

Exempel 4

Faktorisera uttrycket $x^2+36-12x$ med hjälp av kvadreringsregeln.

Lösning:

Eftersom att vi har två positiva termer och en negativ till att börja med använder vi kvadreringsregeln  $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$(ab)2=a22ab+b2. Men då det är sista, och inte andra som står i mitten, skriver vi först om uttrycket föra tt få det i större likhet med regeln.

$x^2+36-12x=x^2-12x+36$

Genom att sedan tänka oss regeln baklänges får vi att

$x^2-12x+36=x^2-2⋅x⋅6+6^2=(x-6)^2$

Exempel 5

Faktorisera uttrycket $9x^2+24x+16$ med hjälp av kvadreringsregeln.

Lösning:

Eftersom att vi har tre positiva termer till att börja med använder vi kvadreringsregeln  $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$(a+b)2=a2+2ab+b2 

Genom att tänka oss regeln baklänges får vi att då

$9x^2+24x+16=(3x)^2+2⋅3x⋅4+4^2=(3x+4)^2$

Exempel i videon

  • Faktorisera $x^2-3^2$.
  • Faktorisera $x^2 – 6x + 9$.
  • Faktorisera $16x^2 + 32x + 16$.
  • Faktorisera $36x² – 81$.

Kommentarer

björn cullin

Kan ni inte sätta in att punkt också blir rätt svar. Matte ska ju ändå vara ett språk att vi i mattesvenskan använder , är ju b.

    David Admin (Moderator)

    Hej Björn,

    vi har diskuterat detta flera gånger på redaktionen och i dialog med lärare som använder tjänsten och landat i att vi så länge vi är en svensk sida håller vi oss till det svenska skrivsättet. Det är inte svårt rent programmeringsmässigt att lägga till det, utan ett aktivt beslut från oss.

    Men tack för din kommentar och vi får anledning att diskutera det en gång till!

    Hoppas det inte stället till det allt för mycket för dig!

Krister Ristvedt

Jag har aldrig i hela mitt liv tyckt att matte är roligt, men något har förändrats. Faktorisering är nog bland det roligaste jag gjort i matte, så mycket genvägar! Och, sista exemplet andra raden: Tror det skall vara minus mellan x^2 och 2 och inte plus?

Moa Degerfält

Hej, tack för ett jättebra hjälpmedel till matten!
Jag tror att det är något fel på poängräkningen, De uppgifter jag gjort den senaste typ veckan syns inte från översikten. om jag går in på varje föreläsning så kan jag se att jag gjort upp gifterna men när jag kollar i översikten så ser det ut som att jag inte gjort dom.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Moa!
    Vi kikar på detta!

jonasfredriksson89@gmail.com

Faktorisering känns som jeopardy. Men har problem med att ”se” hur stort jag kan göra det. Har du några tips på vad man göra mer än träna? Tex som när det börjar se ut såhär 4x^3 – 9xy^2 börjar jag få problem.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, ett litet tips kanske kan vara att skriva ut alla koefficienter och variabler så noggrant som möjligt, tex kan du skriva
    $4x^3 – 9xy^2=$
    $4⋅x⋅x⋅x-9x⋅y⋅y=$
    $2⋅2⋅x⋅x⋅x-3⋅3⋅x⋅y⋅y$
    Här kan man fundera på vad de två termerna har gemensamt? I detta fall är det endast ett x sin de bägge termerna har gemensamt, så detta är det enda som vi kan bryta ut (faktorisera ut), dvs
    $4x^3 – 9xy^2=x(4x^2 – 9y^2)$
    Det här sättet är förstås ganska omständligt och lämpar sig kanske mer att använda när man håller på att lära sig detta.

Hassoback

vilken regel ska man använda för uppgift 6 ?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Där är det konjugatregeln som du kan använda för att faktorisera uttrycket.

Kicki P

Hej,

Jag vet inte om jag missförstår men i videon, sista uppg. nr 4 så är (6x)^2 = a^2 , kan man säga att a^2 ersätter (6x)^2 som tal? Förstår inte riktigt.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Det kanske kan vara missvisande att säga att $a^2$ ersätter $(6x)^2$ utan det är mera ett sätt att jämföra uttrycket med konjugatregeln. Så att vi lättare kan se hur det kan faktoriseras.

Pedro Veenekamp

Hej!!!

De två sista övningar har två korrekta svar, trots att man får fel med ett av svaren.

7. (1-x)^2 = 1 -2x +x^2 men (x-1)^2 = x^2 -2x +1

Samma sker i övningen 8:

8. (x-2)^2 = (2-x)^2 = 4 -4x +x^2

Eller har jag missat något?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Nej du har inte missat något där, det stämmer att man även kan få korrekt svar med ett av de andra svaren. Vi ändrar detta.
    Tack för att du sade till!

Adi

Hej!

Jag har ett litet problem med en uppgift. (x+h)^3=(x^2+2xh+h^2)(x+h)=
(x^3+2hx^2+xh^2+hx^2+2xh^2+h^3)= Här blir det stop för mig hur går man vidare?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, du behöver lägga ihop de termer som är av samma sort. En möjlig uträkning är denna:
    $ (x+h)^3 = (x+h)^2(x+h) = $
    $ (x^2+2xh+h^2)(x+h) = $
    $ x^3+2x^2h + h^2x+x^2h+2h^2x+h^3 = $
    $ x^3+3x^2h +3xh^2+h^3 $

PK12

På uppgift 5 står det att ”27” är ingen kvadrat, vad menas med det och varför?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, vi har förtydligat förklaringen i uppgiften.
    Det som menas är att det inte finns något heltal $a$ så att $a^2=27$.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (10)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Faktorisera  $x^2-16$x216

    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Faktorisera $x^2-36$x236 

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Faktorisera följande uttryck $9-x^2$9x2 

    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Faktorisera $x^2+14x+49$x2+14x+49 

    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Faktorisera uttrycket  $x^2-18x+81$x218x+81

    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Faktorisera $64x^2-25$64x225 

    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Faktorisera $9x^2-18x+9$9x218x+9 

    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Faktorisera $27x^2+36x+12$27x2+36x+12 

    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Faktorisera  $\frac{x^2}{4}$x24  $-4$4 

    Rättar...
  • 10. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Faktorisera $4-4x+x^2$44x+x2 

    Rättar...

c-uppgifter (5)

  • 11. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Faktorisera $1+x^2-2x$1+x22x.

    Rättar...
  • 12. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Utveckla och förenkla  $\left(4-\frac{x}{3}\right)\left(4+\frac{x}{3}\right)$(4x3 )(4+x3 ) 

    Rättar...
  • 13. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Utveckla och förenkla följande uttryck så långt som möjligt

     $2(x-2)+(4+x)^2-10$2(x2)+(4+x)210 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 14. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P
    PL1
    M
    R
    K

    Bestäm värdet för $a$a så att likheten nedan stämmer.
    $\left(x-a\right)\left(5-x\right)=25-x^2$(xa)(5x)=25x2

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 15. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P
    PL1
    M
    R
    K

    Vilken term ska du addera till $x^2+8x$x2+8x så att du kan faktorisera hela uttrycket till $\left(x+4\right)^2$(x+4)2 ?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 16. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/2)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Faktorisera uttrycket  $\frac{x^2}{4}$x24  $+x+1$+x+1  

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar