Faktorisera med konjugatregeln och kvadreringsreglerna - Algebra (Ma 2) - Matematikvideo

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 2 ABC

Faktorisera med konjugatregeln och kvadreringsreglerna

Video

Video, text & övningsfrågor av: Simon Rybrand

I den här videon går vi igenom hur man kan faktorisera algebraiska uttryck med hjälp av konjugatregeln och kvadreringsreglerna.

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM


  • 600+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
PROVA FÖR 9 kr
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.
29 votes, average: 4,59 out of 529 votes, average: 4,59 out of 529 votes, average: 4,59 out of 529 votes, average: 4,59 out of 529 votes, average: 4,59 out of 5
29
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

15
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 10
  • 11
  • 12
  • 13
  • 14
  • 15
MEDELPOÄNG
ALLA
6

Text

När algebraiska uttryck ska faktoriseras används ofta distributiva lagen, konjugatregeln eller kvadreringsreglerna ”baklänges” för att kunna faktorisera uttrycket. Att använda en regel ”baklänges” innebär egentligen att man går från högerledet till vänsterledet i regeln.

Faktorisera med konjugatregeln

När man faktoriserar med hjälp av konjugatregeln behöver man först identifiera de olika delarna i det uttryck som ska faktoriseras som motsvarar de olika delarna i konjugatregeln. Denna regel säger följande:

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

För att faktorisera ett uttryck så skriver man om uttrycket genom att identifiera delar i uttrycket som kan motsvaras av högerledet i konjugatregeln och sedan skriva dessa i formen av konjugatregelns vänsterled. Exempel på detta är följande faktoriseringar.

Exempel 1

Faktorisera uttrycket $x^2-49$ med hjälp av konjugatregeln.

Lösning:

Konjugatregeln säger att  $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$(a+b)(ab)=a2b2 . Vi jämför uttrycket med konjugatregeln och ser att om vi skriver om $x^2-49=x^2-7^2$ får vi en stor likhet med vänsterledet i konjugatregeln. Vi får att $a:$a:et i konjugatregeln motsvarar $x$x i vårt uttryck och $b:$b:et motsvarar $7$7.

Genom att tänka oss regeln baklänges får vi att då

$x^2-49=x^2-7^2=(x+7)(x-7)$

Exempel 2

Faktorisera uttrycket $9x^2-25$ med hjälp av konjugatregeln.

Lösning:

Konjugatregeln säger att  $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$(a+b)(ab)=a2b2 

Genom att tänka oss regeln baklänges, får vi att  $a:$a:et  i konjugatregeln motsvarar $3x$3x i vårt uttryck, eftersom att $\left(3x\right)^2=3^2x^2=9x^2$(3x)2=32x2=9x2. Vidare får vi att $b:$b:et motsvarar $5$5. Vi faktoriserar nu uttrycket

$9x^2-25=(3x)^2-5^2=(3x+5)(3x-5)$

Faktorisera med kvadreringsreglerna

När uttryck skall faktoriseras med hjälp av någon av de två kvadreringsreglerna, så gör man även det, genom att använda dessa regler ”baklänges”.
De två kvadreringsreglerna är följande.

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

Även här gäller det att först identifiera vilka delar i uttrycket som kan kopplas ihop med, eller motsvarar, kvadreringsreglernas högerled. Tänk på att det finns två olika kvadreringsregler. Skillnaderna mellan de båda reglerna är ett minustecken framför andra termen.

Exempel 3

Faktorisera uttrycket $x^2+2x+1$ med hjälp av kvadreringsregeln.

Lösning:

Eftersom att vi har tre positiva termer till att börja med använder vi kvadreringsregeln  $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$(a+b)2=a2+2ab+b2 .

Vi undersöker sedan om den första och sista termen är lämpliga att dra roten ur. Det är de.

 $\sqrt{x^2}=x$x2=x  och  $\sqrt{1}=1$1=1 

Nästa steg är att undersöka om termen i mitten stämmer med det dubbla värdet av faktorn av resultaten ovan.

Vi får att  $2\cdot x\cdot1=2x$2·x·1=2x vilket stämmer.

Så genom att tänka oss regeln baklänges får vi att

 $x^2+2x+1=x^2+2\cdot x\cdot1+1^2=(x+1)^2$x2+2x+1=x2+2·x·1+12=(x+1)2 

Om uttrycket du ska faktorisera består att två positiva och en negativ term, men inte i ordningnen positiv-negativ-positiv, börjar du med att skriva om dem i önskad ordning. Detta är möjligt eftersom att summan inte påverkas av att du flyttar runt termer i uttrycket.

Till exempel är  $4+5=5+4=9$4+5=5+4=9. Detta fungerar även om termerna är negativa. Genom att tänka, eller skriva om, differenser till summor kan även uttryck som innehåller minustecken byta position på termerna utan problem. Till exempel är $5-3=5+\left(-3\right)=-3+5=-2$53=5+(3)=3+5=2. Observera dock att minustecknet vid dessa omskrivningar ska ses som en negation och inte som en subtraktion. Till exempel gäller att  $5-3\ne3-5$5335, utan måste skriva om som ovan.

Exempel 4

Faktorisera uttrycket $x^2+36-12x$ med hjälp av kvadreringsregeln.

Lösning:

Eftersom att vi har två positiva termer och en negativ till att börja med använder vi kvadreringsregeln  $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$(ab)2=a22ab+b2. Men då det är sista, och inte andra som står i mitten, skriver vi först om uttrycket föra tt få det i större likhet med regeln.

$x^2+36-12x=x^2-12x+36$

Genom att sedan tänka oss regeln baklänges får vi att

$x^2-12x+36=x^2-2⋅x⋅6+6^2=(x-6)^2$

Exempel 5

Faktorisera uttrycket $9x^2+24x+16$ med hjälp av kvadreringsregeln.

Lösning:

Eftersom att vi har tre positiva termer till att börja med använder vi kvadreringsregeln  $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$(a+b)2=a2+2ab+b2 

Genom att tänka oss regeln baklänges får vi att då

$9x^2+24x+16=(3x)^2+2⋅3x⋅4+4^2=(3x+4)^2$

Exempel i videon

  • Faktorisera $x^2-3^2$.
  • Faktorisera $x^2 – 6x + 9$.
  • Faktorisera $16x^2 + 32x + 16$.
  • Faktorisera $36x² – 81$.

Kommentarer

  1. Jag har aldrig i hela mitt liv tyckt att matte är roligt, men något har förändrats. Faktorisering är nog bland det roligaste jag gjort i matte, så mycket genvägar! Och, sista exemplet andra raden: Tror det skall vara minus mellan x^2 och 2 och inte plus?

    Krister Ristvedt
  2. Hej, tack för ett jättebra hjälpmedel till matten!
    Jag tror att det är något fel på poängräkningen, De uppgifter jag gjort den senaste typ veckan syns inte från översikten. om jag går in på varje föreläsning så kan jag se att jag gjort upp gifterna men när jag kollar i översikten så ser det ut som att jag inte gjort dom.

    Moa Degerfält
    1. Hej Moa!
      Vi kikar på detta!

      Simon Rybrand
  3. Faktorisering känns som jeopardy. Men har problem med att ”se” hur stort jag kan göra det. Har du några tips på vad man göra mer än träna? Tex som när det börjar se ut såhär 4x^3 – 9xy^2 börjar jag få problem.

    jonasfredriksson89@gmail.com
    1. Hej, ett litet tips kanske kan vara att skriva ut alla koefficienter och variabler så noggrant som möjligt, tex kan du skriva
      $4x^3 – 9xy^2=$
      $4⋅x⋅x⋅x-9x⋅y⋅y=$
      $2⋅2⋅x⋅x⋅x-3⋅3⋅x⋅y⋅y$
      Här kan man fundera på vad de två termerna har gemensamt? I detta fall är det endast ett x sin de bägge termerna har gemensamt, så detta är det enda som vi kan bryta ut (faktorisera ut), dvs
      $4x^3 – 9xy^2=x(4x^2 – 9y^2)$
      Det här sättet är förstås ganska omständligt och lämpar sig kanske mer att använda när man håller på att lära sig detta.

      Simon Rybrand
  4. vilken regel ska man använda för uppgift 6 ?

    Hassoback
    1. Där är det konjugatregeln som du kan använda för att faktorisera uttrycket.

      Simon Rybrand
  5. Hej,

    Jag vet inte om jag missförstår men i videon, sista uppg. nr 4 så är (6x)^2 = a^2 , kan man säga att a^2 ersätter (6x)^2 som tal? Förstår inte riktigt.

    Kicki P
    1. Hej
      Det kanske kan vara missvisande att säga att $a^2$ ersätter $(6x)^2$ utan det är mera ett sätt att jämföra uttrycket med konjugatregeln. Så att vi lättare kan se hur det kan faktoriseras.

      Simon Rybrand
  6. Hej!!!

    De två sista övningar har två korrekta svar, trots att man får fel med ett av svaren.

    7. (1-x)^2 = 1 -2x +x^2 men (x-1)^2 = x^2 -2x +1

    Samma sker i övningen 8:

    8. (x-2)^2 = (2-x)^2 = 4 -4x +x^2

    Eller har jag missat något?

    Pedro Veenekamp
    1. Hej
      Nej du har inte missat något där, det stämmer att man även kan få korrekt svar med ett av de andra svaren. Vi ändrar detta.
      Tack för att du sade till!

      Simon Rybrand
  7. Hej!

    Jag har ett litet problem med en uppgift. (x+h)^3=(x^2+2xh+h^2)(x+h)=
    (x^3+2hx^2+xh^2+hx^2+2xh^2+h^3)= Här blir det stop för mig hur går man vidare?

    Adi
    1. Hej, du behöver lägga ihop de termer som är av samma sort. En möjlig uträkning är denna:
      $ (x+h)^3 = (x+h)^2(x+h) = $
      $ (x^2+2xh+h^2)(x+h) = $
      $ x^3+2x^2h + h^2x+x^2h+2h^2x+h^3 = $
      $ x^3+3x^2h +3xh^2+h^3 $

      Simon Rybrand
  8. På uppgift 5 står det att ”27” är ingen kvadrat, vad menas med det och varför?

    PK12
    1. Hej, vi har förtydligat förklaringen i uppgiften.
      Det som menas är att det inte finns något heltal $a$ så att $a^2=27$.

      Simon Rybrand

Endast premiumkunder kan kommentera. Prova Premium!

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: