C och A uppgifter - Rationella uttryck (Ma 3) - Matematikvideo

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 3 BC

C och A uppgifter på rationella uttryck

Video

Video, text & övningsfrågor av: Simon Rybrand

I den här genomgången går vi igenom några svårare uppgifter om rationella uttryck.

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM


  • 600+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
PROVA FÖR 9 kr
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.
24 votes, average: 3,79 out of 524 votes, average: 3,79 out of 524 votes, average: 3,79 out of 524 votes, average: 3,79 out of 524 votes, average: 3,79 out of 5
24
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

10
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 10
MEDELPOÄNG
ALLA
3

Text

Viktigt att tänka på när du jobbar med rationella uttryck

De uppgifter som vi går igenom i denna video kräver att du har sett och förstått regler och tankesätt som vi gått igenom i tidigare videos kring rationella uttryck. Så om du är osäker på addition eller subtraktion eller multiplikation och division av rationella uttryck, så kolla gärna igenom de videolektionerna först.

Videon förutsätter även att du känner till algebraiska regler som konjugatregeln, kvadreringsreglerna, nollproduktmetoden och pq – formeln. Repetera gärna dessa om du är osäker på dem.

Formler och begrepp som används

Rationellt uttryck

Ett rationellt uttryck $r\left(x\right)$r(x) är en kvot av två polynom $p(x)$p(x) och $q(x)$q(x).

 $r\left(x\right)=$r(x)= $\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}$p(x)q(x)      där  $q(x)\ne0$q(x)0 .

Definierade värden

Ett rationellt uttryck är inte alltid definierat för alla  $x$x och  $y$y -värden. Eftersom att det inte är tillåtet att dividera med noll, så gäller att variabeln inte får anta värden så att nämnaren blir lika med noll. Uttrycket är inte definierade för dessa  $x$x  -värden och eventuellt inte heller till de tillhörande $y$y -värdena.

Regel för bråkräkning vid multiplikation

  $\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}$ab ·cd =a·cb·d  

Regel för bråkräkning vid division

 $\frac{a}{b}$ab  $\big/$$\frac{c}{d}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}$cd =a·db·c  

Konjugatregeln

 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$(a+b)(ab)=a2b2 

Kvadreringsregler

 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$(a+b)2=a2+2ab+b2 

 $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$(ab)2=a22ab+b2 

Tips när identiska faktorer saknas

När vi förenklar svårare rationella uttryck händer det ibland, att faktorerna i täljaren och nämnaren inte är helt identiska med ändå väldigt lika. Man kan då frestas att förkorta dessa. Men här måste man vara noga!

För att skapa likhet mellan faktorer i täljaren och nämnaren kan man bryta ut ett lämpligt värde för att skapa likhet. Till exempel är minus ett ett tal som är en bra faktor att bryta ut om man vill ”byta tecken” på sin faktor.

 $a=\left(-1\right)\left(a\right)$a=(1)(a)  vilket även ger att   $\left(a-b\right)=\left(-1\right)\left(b-a\right)$(ab)=(1)(ba) 

Detta gäller eftersom att  $\left(a-b\right)=\left(-1\right)\left(-a\right)-\left(-1\right)\left(-b\right)$(ab)=(1)(a)(1)(b). Bryter vi nu ut minus ett får vi att  $\left(-1\right)\left(\left(-a\right)-\left(-b\right)\right)=\left(-1\right)\left(-a+b\right)=\left(-1\right)\left(b-a\right)$(1)((a)(b))=(1)(a+b)=(1)(ba).  För vi får byta plats på termer utan att förändra värdet på summan. Detta är väldigt användbart vid förenkling av rationella uttryck. 

Exempel 1

Förenkla  $\frac{x-4}{4-x}$x44x  

Lösning:

Täljare och nämnare är lika, men inte identiska. Vi bryter ut minus ett för att få ombytta tecken i täljaren.

 $\frac{x-4}{4-x}=\frac{\left(-1\right)\left(4-x\right)}{4-x}$x44x =(1)(4x)4x  

Nu kan vi förkorta i täljare och nämnare med  $\left(4-x\right)$(4x).

 $\frac{\left(-1\right)\left(4-x\right)}{4-x}=-1$(1)(4x)4x =1 

Här följer nu ett exempel av förenkling av ett rationellt uttryck på en svårare nivå.

Exempel 2

Förenkla uttrycket så långt som möjligt.

 $\frac{4-4a+a^2}{a-2}$44a+a2a2  

Lösning:

Vi börjar med att studera täljaren och nämnaren för att se om vi kan hitta något sätt att skriva om dem i faktorform för att kunna förkorta uttrycket. Vi ser att det finns en möjlighet att faktorisera täljaren med hjälp av kvadreringsreglerna.

 $\frac{4-4a+a^2}{a-2}=$44a+a2a2 =  $\frac{2^2-2·a+a^2}{a-2}=$22a+a2a2 =  $\frac{(2-a)^2}{(a-2)}$(2a)2(a2)  

Vi jämför täljare och nämnare och ser en viss likhet med behöver ombytta tecken på termerna för att de ska bli identiska. Det kan vi ordna genom att bryta ut $(-1)$(1) antigeni täljare eller nämnaren. Tänk på att om du gör det i täljaren är det bara en av faktorerna som får ombytt tecken. Inte båda. 

 $\frac{(2-a)^2)}{(a-2)}=$(2a)2)(a2) =   $\frac{(2-a)(2-a)}{(a-2)}=$(2a)(2a)(a2) =   $\frac{(-1)(-2+a)(2-a)}{(a-2)}=$(1)(2+a)(2a)(a2) =   $\frac{(-1)(a-2)(2-a)}{(a-2)}$(1)(a2)(2a)(a2)  

Vi har nu en identisk faktor i täljaren och nämnaren och kan förkorta bort dem.

 $\frac{(-1)(a-2)(2-a)}{(a-2)}=$(1)(a2)(2a)(a2) =  $(-1)(2-a)=-2+a=a-2$(1)(2a)=2+a=a2 

Kom i håg att det bara är faktorer du kan förkorta bort. Aldrig termer!

Exempel i videon

  • Förenkla  $\frac{(8-2x)^3}{(4-x)^4}$(82x)3(4x)4  
  • Bestäm konstanten $a$a så att  $Q(-10)=5$Q(10)=5   då  $Q(x)=$Q(x)=$\frac{ax}{3}-\frac{2ax}{4}$ax3 2ax4  
  • Förenkla  $\frac{x^2+8x-16}{2x^2-32}$x2+8x162x232   så långt som möjligt.

Kommentarer

  1. Hej! Hur funkar det egentligen när man bryter ut? Om man bryter ut tex 2 ur 2x och har 18-2x ska man då dividera 18 med 2 då? Alltså dividerar man alltid med det man bryter ut?

    Mpers
    1. Hej och tack för en bra kommentar. Det du gör när du faktoriserar ett algebraiskt uttryck är att bryter ut en så kallad faktor.

      Så om du har tex 18-2x och och bryter ut 2 så får du: 2(9-x). Precis som du säger så gäller ju också att 18/2=9 och 2x/2=x.

      Simon Rybrand
  2. Hej,
    i testfråga nr 3.

    Hur kan -1 i täljaren plötsligt vara upphöjt med 2 utan andra ändringar i täljaren ?

    Tack på förhand,

    ksmiles
    1. Hejsan!
      Jo det fungerar så att vi skriver om 1 så att det blir tydligare att vi skall använda konjugatregeln här. Vi kan göra detta för att
      $ 1 = 1 \cdot 1 = 1^2 $
      Vi skriver alltså om endast 1 och ingenting annat, det är framförallt för att tydligare se att konjugatregeln kan användas.

      Så här skriver vi om $ x^2 – 1 $ som
      $ x^2 – 1 = x^2 – 1^2 = (x + 1)(x – 1) $

      Fråga gärna vidare om jag är otydligt på något vis eller om du behöver mer förklaring på detta!

      Simon Rybrand
  3. Hej! 6 minuter in, där går det att bryta ut (x^2-8x-9) till (x-9)(x+1) och använda nollfaktorlagen igen. Det blir då x(x-9)(x+1), alltså x1=0, x2=9 & x3=-1.

    viktorrydberg
  4. Tack för fantastiskt bra lektioner.

    nti_ma3
  5. tack så mycket ! kan man inte ta 8/4-x och förkorta med 4 i täljare o nämnare så det blir 4/ -x ?

    BotenAnnie
    1. Hej, nej det går inte då du då måste förkorta alla termer med detta. Du skulle då få
      $ \frac{8}{4-x}= \frac{2}{1-\frac{x}{4}}$
      vilket kanske inte gör uttrycket mer förenklat än tidigare.

      Simon Rybrand
  6. hej,
    hur räknar man ut en tredjegradsfunktion med en konstant som inte innehåller x ?

    Karl-Johan Persson
    1. Hej
      Lite osäker på vad du menar här, kan du posta en mer konkret uppgift i vårt forum så tar vi det därifrån.

      Simon Rybrand
  7. Hej,

    Ett skrivfel har skett på förklaringen till uppgift 5. Det står 21b=63⇔ (/17)

    Det ska vara (/21)

    RedEagle
    1. Tack för att du sade till, vi har korrigerat detta skrivfel!

      Simon Rybrand
  8. Hejsan.

    Hur gör man med en uppgift som i exponent 3c uppgift 1113a
    x^2-6x+5 / 2-2x förenkla så mycket som möjligt.
    Jag hittar inget ställe som förklara hur man gör dessa..

    Sen har jag I uppgift 3015b fått fram g'(x)=6x^2-30x+24 det enda jag ser tydligt att bryta ut är 6 men vet inte hur jag ska gå vidare sen för att få fram Nollställen och som den andra uppgiften vet jag inte hur jag ska bära mig åt.

    Ann Kristin Frost
    1. Nu vet jag inte exakt frågorna ställs i dessa uppgifter då jag inte har boken framför mig. Dock skulle jag tro att du kan göra följande vis:
      I den första uppgiften så får du faktorisera genom att lösa ekvationen
      $x^2-6x+5=0$. Här kan du använda dig av PQ-formeln och du får då lösningarna $x_1=1$ och $x_2=5$ vilket gör att du kan faktorisera täljaren som $(x-1)(x-5)$. I nämnaren kan du bryta (-2) så då kan du skriva det rationella uttrycket som
      $ \frac{(x-1)(x-5)}{-2(x-1)} $
      I den andra uppgiften så kan du lösa ekvationen med PQ-formeln.

      Simon Rybrand
  9. I det rationella uttrycket nedan är A och B konstanter.
    (+)/(−2)
    Bestäm konstanterna A och B så att uttrycket är lika med 5 då x = 4 och uttrycket inte är definierat då x = 3 eller x = -3.

    Hur ska man tänka här?

    Mattefreak
    1. Saknar A och B i det uttryck som du har skrivit upp. Kan du skriva i dessa också?

      Simon Rybrand
  10. Hejsan. Har skrivit rätt svar men visar att jag får fel på uppgift 4 och 5. Har fått samma som ert svar.

    Emil Joelsson
  11. Vill att ni kollar på 5) det blev fel ändå, fast man redan svar rätt som facit.
    och 9).
    Stämmer det riktigt på svaret NR 9)

    Komvux Sundsvall Elev
  12. Hej, lösningen för fråga 9 är felprogrammerad och ser inte rätt ut.

    Lukas Fräki
    1. Jag har kollat igenom den och ser inget fel på den. Kan du precisera felet? Anser du att det är felräknat eller är det typsnittet/texten som ser konstig ut? Vilken webbläsare är du i? VI rekommenderar alltid Chrome.

      David Admin
  13. hej, vore enklare att hänga med på era genomgångar om pause knappen inte va i vägen för era genomgångar när man pausar.

    Felix GA
    1. Hej
      En uppdatering på det kommer snart!

      Simon Rybrand

Kommentarer är inaktiverade. Logga in för att felrapportera.

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: