...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Konjugatregeln och kvadreringsreglerna

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Förenkla uttryck

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

När man arbetar med att förenkla uttryck händer det att man stöter på uttryck där en parentes som innehåller två termer är kvadrerad. För att underlätta arbetet med sådana uttryck har man kvadreringsreglerna eller konjugatregeln. Dessa regler är framtagna utifrån den utvidgade distributiva lagen.

Dessa regler finns framförallt för att effektivisera och snabba upp hanteringen av algebraiska uttryck. Det är därför bra att träna så att du känner dig säker på hur dessa regler fungerar.

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Kvadreringsreglerna

Kvadreringsreglerna

Det finns två stycken kvadreringsregler. Dessa är följande.

Kvadreringsreglerna

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

Skillnaden mellan dessa bägge regler är alltså att den andra regeln hanterar då vi har ett minustecken istället för ett plustecken i parentesen. Dessa bägge regler kan även användas för att faktorisera, d.v.s. att man bryter ut en term ur ett uttryck för att förenkla det. Vi kan visa att den första regeln stämmer genom att använda den utvidgade distributiva lagen.

Den utvidgade distributiva lagen

$ (a+b)^2 $ $ = (a+b)(a+b) $ $ = a^2+ab+ba+b^2=$

$ a^2+ab+ab+b^2 $ $ =  a^2+2ab+b^2 $

Nu följer några exempel där vi använder reglerna för att utveckla uttryck.

Exempel 1

Utveckla uttrycket $(x+9)^2$  med hjälp av kvadreringsreglerna.

Lösning:

 $(x+9)^2=x^2+2\cdot x\cdot9+9^2=x^2+18x+81$(x+9)2=x2+2·x·9+92=x2+18x+81 

Ett vanligt fel många gör när de börjar utveckla uttryck med kvadreringsreglerna är att glömma bort att hela termerna ska kvadreras. Om en term består av flera faktorer gäller potensreglen $\left(a\cdot b\right)^2=a^2b^2$(a·b)2=a2b2 .

Exempel 2

Utveckla uttrycket $(6x-4)^2$  med hjälp av kvadreringsreglerna.

Lösning:

$(6x-4)^2=(6x)^2-2\cdot 6x\cdot 4+4^2=36x^2-48x+16$

Vi observerar att hela termen $6x$6x, alltså både sexan och  $x$x:et, ska kvadreras vid utvecklingen av uttrycket. Det ger att första termen i utvecklingen blir  $\left(6x\right)^2=6^2\cdot x^2=36x^2$(6x)2=62·x2=36x2 .

Konjugatregeln

Konjugatregeln

Inom matematiket är ett biom ett uttryck med två termer. När man jobbar med algebra är konjugatet till ett binom, det biom som är exakt likadant, med undantaget att tecknet mellan de två termerna är motsatt.

Tillexempel är konjugatet till  $x+4$x+4 biomet $x-4$x4 och konjugatet till  $7-3a$73a lika med biomet $7+3a$7+3a.

Om ett uttryck på formen $(a+b)$ multipliceras med dess konjugat $(a-b)$ ges resultatet $ a^2-b^2 $. Detta sammanfattas i konjugatregeln.

Konjugatregeln

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

Även denna regel kan visas att den stämmer genom att utveckla följande med hjälp av den utvidgade distributiva lagen.

Den utvidgade distributiva lagen

$ (a+b)(a-b) $ $= a^2 -ab + ab – b^2 $ $= a^2-b^2 $

Nu följer några exempel där vi använder reglerna för att utveckla uttryck.

Exempel 3

Utveckla uttrycket$(x+8)(x-8) $ med hjälp av konjugatregeln.

Lösning

$(x+8)(x-8) =x^2-8^2=x^2-64$

Förenkla uttryck med hjälp av konjugat och kvadreringsregeln

Tänk på att alltid svarar med ett förenklat uttryck. Detta görs genom att termer som är av samma sort läggs samman efter att man utvecklat uttrycket.

Exempel 4

Förenkla  $2\left(x-2\right)^2-2x\left(x-3\right)$2(x2)22x(x3)

Lösning

Vi utveckla först kvadraten, ”upphöjt till två” med kvadreringsregeln innan vi multiplicerar inte tvåan och får

$2\left(x-2\right)^2-2x\left(x-3\right)=2\left(x^2-4x+4\right)-2x\left(x-3\right)$2(x2)22x(x3)=2(x24x+4)2x(x3) 

Nu multiplicerar vi in i parenteserna

 $2\left(x^2-4x+4\right)-2x\left(x-3\right)=2x^2-8x+8-2x^2+6x$2(x24x+4)2x(x3)=2x28x+82x2+6x 

Slutligen förenklar vi uttrycket genom att addera och subtrahera termer av samma sort.

 $2x^2-8x+8-2x^2+6x=8-2x$2x28x+82x2+6x=82x 

I kommande lektioner kommer vi träna på att använda konjugat och kvadreringsreglerna ”baklänges” för att göra det vi kallar för att fakorisera.

Exempel i videon

  • Utveckla  $(x+6)^2$(x+6)2 
  • Utveckla  $(x-3)^2$(x3)2 
  • Utveckla  $(3x-x^2)^2$(3xx2)2 
  • Utveckla  $(x+3)\cdot(x-3)$(x+3)·(x3) 
  • Utveckla  $(x^2+x)\cdot(x^2-x)$(x2+x)·(x2x) 

Kommentarer

Christian Vittaniemi

Fråga 13 har ett fel i din förklaring.

15^2=15^2-5^2+5^5. Det ska nog stå 5^2=15^2-5^2+5^2.
Alltså inte fem upphöjt till 5, utan 5 upphöjt till två i sista termen.

Med vänlig hälsning Christian

    Christian Vittaniemi

    Fråga 11 menar jag, sista frågan.

Krister Ristvedt

Kvadreringsreglerna, exempel 1. Tror det saknas ett = tecken mellan 4^2 och x^2. Tror även att 4^2 kommer ifrån nästa exempel, och att ni menar 9^2 egentligen. Var lite förvirrad där en stund då jag undrade var 4^2 hade smugit in någonstans!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Japp, det saknades där, det är fixat!

Krisztina Tofalvi

Jag förstår inte förklaringen till övn. upg 7.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, var är det som du fastnar?

      Hanna Josefsson

      Jag skulle hemskt gärna också ha en närmre förklaring på uträkningen i upg. 7. Kan du förtydliga själva uträkningen det det endast står ”nu multiplicerar vi ihop parenteserna som vanligt”. Där låser det sig i mitt huvud, tack på förhand 🙂

        Simon Rybrand (Moderator)

        Hej Hanna
        Jag har lagt till 2 steg på förklaringen, hoppas att det hjälper dig vidare!

Jon Abrahamsson

Hur vet jag vad jag skall använd? När jag började med etta kapitel så påminde detta mig om distribution lagen och utvidgade distribution lagen. Jag hade antagligen suttit och försökt med det…. jag ser inte på ett utryck vad jag skall göra/använda

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Det kan krävas lite träning och att man ofta går tillbaka till formlerna för att kolla hur de ser ut innan man känner sig trygg med dem.
    Tänk särskilt på att undersöka hur de olika formlerna är konstruerade.

      Jon Abrahamsson

      I uppgift 3 & 6 blir det en parantes, varför? Jag missar då att räkna ut den, får då ut just 2xikvadrat och 3xikvadrat. Vad missar jag? Och även vad är skillnaden mellan utveckla och förenkla? Har svårt att veta var jag skall stanna

        Simon Rybrand (Moderator)

        Det är för att en term är ”hela” 3x och för att visa att vi skall upphöja hela 3x med två. Dvs (3x)^2=(3x)·(3x)=3^2x^2=9x^2
        Utveckla – Multiplicera ihop parenteser och beräkna kvadrater
        Förenkla – Lägga samman / summera termer av samma sort.

carlsson_elias@hotmail.com

Hej! Jag har fått för mig att:

(a+b)^2 förenklas a^2+b^2

Men detta är bara något jag fått för mig eller stämmer detta i något sammanhang? Jag förstår inte riktigt skillnaden på förenkla, utveckla och faktorisera..

    Jesper Westin

    (a+b)^2=a^2+2ab+b^2

    Om det är ett ”-” i parantesen så blir det a^2-2ab+b^2.

Noor Noor

Gör han inte fel i exempel 3 i videon ? hur får han 3X^2 till 9x^2 ??

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, tänk på att det står $(3x)^2$ dvs med en parentes runt 3x. Det här är samma sak som
    $ (3x)⋅(3x) = 3⋅3⋅x⋅x=9x^2 $

      Philosofen

      Sitter och klurar på det här exemplet just nu. Borde inte 3x^2 = 9x? (Varför 9x^2)?

        Simon Rybrand (Moderator)

        Hej, det är viktigt att förstå att $ 3x^2 $ inte är lika med $ (3x)^2 $ där både 3 och x skall upphöjas med 2 och inte bara x.
        Så om du har $ (3x)^2 = 3^2x^2 = 9x^2 $.
        Hoppas att detta hjälper dig vidare!

Jpersson

Hej, jag tampas med en uppgift som vill att jag genom att använda konjugatregeln skall hitta ett bra sätt att beräkna värdet av:

41 x 39

Hur gör man detta?

Jag skall använda (80+3)(80-3) för att hitta en bra lösning men finner inga sätt.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Kan du tänka att du skriver det som
    $ 41⋅39 = (40+1)(40-1) $
    Nu använder vi konjugatregeln och skriver det som
    $ 40^2-1^2 = 1600-1 = 1599 $

Ditte Jardmark

I sista frågan (fråga 8) varför är svar 3 felaktigt?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Där har du $(x-2)^2$ vilket kan utvecklas till
    $(x-2)^2 = x^2-4x+4 $
    Detta går inte att förenkla till $x^2-4$ då vi har $-4x$ i detta.

Mikael144600

Hej!

Angående fråga 6, varför blir -1^2=-1. Borde inte svaret bli +1 (dvs 9x^2+1)?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Nej det blir det inte, det bästa sättet att se detta är nog att inte använda konjugatregeln utan att multiplicera ihop parenteserna (utvidgade distributiva lagen). Då blir det tydligt:
    $(3x+1)(3x-1) = 9x^2 -3x + 3x – (1^2) $
    $ = 9x^2-1 $
    Tänk också på att det blir $-(1^2) = -1 $.

Caroline

Angående konjugatregeln i början på videon; ni säger att det ska (a+b)(a-b) = a^2 + 2ab – 2ab – b^2. Jag förstår inte var just 2ab kommer in? Ska det inte se ut såhär a^2 + ab – ab – b^2? Var kommer 2:orna till ab ifrån?
(a+b)(a-b) = a * a, a * -b, b * a, b * -b = a^2 – ab + ab – b^2 tänker jag? Även kring att minus ab ska komma före plus ab om ni kollar min sista uträkning här.
Tack!!! 🙂

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, tack för att du kommenterade detta. Det är självklart ett skrivfel där i videon som vi skall åtgärda under dagen.

    (uppdatering: det är korrigerat)

      Caroline

      Toppen!
      Undrar också på samma ställe, det står ju att svaret blir a^2 + ab – ab – b^2 men ska inte det första plus-tecknet byta plats med minus-tecknet i mitten? Eftersom att det är a*-b = -ab??
      Eller radar man upp alla positiva och sedan negativa? Det spelar kanske ingen roll i vilken ordning de ligger?
      /Carro

        Simon Rybrand (Moderator)

        Hej
        Jo det skall vara i den ordningen du nämner, felrättningen gick för snabbt där.. 😉 Vi ser till att ordna detta.

BotenAnnie

hej ! X^4 – X^2 (sista ex i videon) kan man inte utv det mer ? blir det inte X^4 – X^2 = X^2?

Robin Saetre

När det fryser kan man trycka på hd knappen så laddar den om utan att man behöver ladda om hela sidan 🙂

Petter Östergren

Funkade efter jag rensade catchen på datorn… Skumt,

Men men

Ska man använda den reglen på en sån här ?

(1+x-x^2)xy

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej,
    Det beror lite på vad du skall göra med uttrycket. Skall du utveckla det (multiplicera in i parentesen) eller faktorisera det?
    Om du utvecklar det så får du
    $(1+x-x^2)xy=xy+x^2y-x^3y$

      maggie liew

      Hej kan ni visar mig hur man lösa denna frågan?

      6+y/y – Y/2 = 3

        Simon Rybrand (Moderator)

        Hej
        Om det inte skall vara en parentes någonstans i vänsterledet så löser du ekvationen enligt följande:
        $6+y/y –y/2 = 3 ⇔ $
        $6+1–\frac{y}{2} = 3 ⇔ $
        $\frac{y}{2}=4 ⇔$
        $y=8$

Petter Östergren

Krånglar tyvärr ännu.

Nathalie Larsson

Märker att det fryser och stannar till mitt under videogenomgångarna för mig med, men ja försöker återkolla klippen så jag dör ju ej:P men skjulel vara bra om det åtgärdades^^

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej,
    Vi håller på och jobbar med att en del upplever problem med detta. Förhoppningsvis kommer det att blir bättre redan under dagen.
    Om du fortfarande har problem sedan så hör av dig till support@matematikvideo.se.

dinmamma777

Hej

Videoklippen fryser lite då och då efter uppdateringen.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, kontakta oss gärna om du har problem så kan vi hjälpa dig vidare!


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (10)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Mimmi har utvecklat uttrycket $\left(3a+3\right)\left(3a-3\right)$(3a+3)(3a3) och fått svaret $9a^2-9$9a29.
    Har hon gjort rätt?

    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Utveckla uttrycket  $(x+2)^2$(x+2)2 

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Utveckla uttrycket  $(7-y)^2$(7y)2.

    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Jens har utvecklat uttrycket $\left(2x-3\right)^2$(2x3)2 och har fått det till $4x^2-12x-9$4x212x9.
    Har han gjort rätt?

    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Förenkla uttrycket $(2x-4)^2$(2x4)2.

    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilket av uttrycken  $(x+2)(x-5)$(x+2)(x5) ,  $(x+4)^2$(x+4)2  eller  $(x+3)(x-3)$(x+3)(x3) är ett konjugat?

    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Utveckla uttrycket  $(z-5)(z+5)$(z5)(z+5).

    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Utveckla uttrycket $(3x-1)(3x+1)$(3x1)(3x+1) 

    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Uttrycket $x^2-4$x24 har blivit förenklat, från vad?

    Rättar...
  • 10. Premium

    Rapportera fel
    (1/1/0)
    ECA
    B
    P11
    PL
    M
    R
    K

    Utveckla uttrycket $(x+2)^2(x-2)$(x+2)2(x2)

    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 11. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/2)
    ECA
    B
    P
    PL
    M1
    R1
    K

    När du ska beräkna produkter av större tal kan du ibland använda konjugatregeln för att underlätta beräkningen.

    Till exempel kan man beräkna $19\cdot21$19·21 genom att i stället beräkna  $20^2-1$2021.

    Välj vilket av följande alternativ som möjliggör beräkningen av $15^2$152 och träna på att ta fram en generell förklaring av hur och när man alltid kan använda denna metod.

    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar