...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Prova för 9 kr Prova för 9 kr
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Multiplicera och utveckla parenteser

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Förenkla uttryck med parenteser

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Är du ny här? Så här funkar Premium
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Att utveckla uttryck innebär att skriva om uttrycken från faktorer till termer.  Det gör vi genom att multiplicera in variabler och konstanter i parenteser, multiplicera parenteser med varandra och utveckla parenteser som är upphöjda till något. 

Utveckla algebraiska uttryck

Den lag som används när man multiplicerar in termer i parantares kallas för den distributiva lagen.

Distributiva lagen

Denna lag hanterar hur vi utvecklar uttryck genom att multiplicera in variabler eller konstanter i parenteser. Lagen säger följande.

$a(b+c)=ab+ac$

Vi motiverar denna lag geometriskt genom att visa att samma rektangels area kan beskrivas på två olika sätt, där de båda sätten motsvarar vänsterledet och högerledet i den distributiva lagen.

Distributiva lagen

Den stora rektangeln har sidorna $a$a och $b+c$b+c. Den stora rektangelns area får vi genom att multiplicera dessa längder med varandra,  $a\left(b+c\right)$a(b+c).

De två små rektanglarna har sidorna $a$a och $b$b samt  $a$a och $c$c. De mindre rektanglarnas areor får vi genom att multiplicera deras respektive längder med varandra. Vi får att de två rektanglarna  $a\cdot b=ab$a·b=ab och  $a\cdot c=ac$a·c=ac.

Nu går visar vi några exempel på hur denna lag kan tillämpas i algebran.

Exempel 1

Utveckla uttrycket $3(x+10)$

Lösning

Vi utvecklar uttrycket genom att multiplicera trean med alla termer i parentesen. 

$3(x+10)=3x+30$

Grafiskt kan vi beskriva utvecklingen ovan med följande bild.

Distributiva lagen som rektangelns area

Exempel 2

Utveckla uttrycket  $x^2(x^2-3x+5)$x2(x23x+5) 

Lösning

Vi utvecklar uttrycket genom att multiplicera $x^2$x2 med alla termer i parentesen. 

 $x^2(x^2-3x+5)=x^4-3x^3+5x^2$x2(x23x+5)=x43x3+5x2 

Exempel 3

Utveckla uttrycket $-3x^2(y^2-x+3)$

Lösning

Vi utvecklar uttrycket genom att multiplicera  $-3x^2$3x2 med alla termer i parentesen. 

 $-3x^2(y^2-x+3)=-3x^2y^2+3x^3-9x^2$3x2(y2x+3)=3x2y2+3x39x2 

Utvidgade distributiva lagen

När två parenteser $(a+b)$ och $(c+d)$ multipliceras med varandra kan den utvidgade distributiva lagen användas. Den säger följande.

$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$

Även denna lag går att motiveras geometriskt genom att en area beskrivs av vänsterledet respektive högerledet i lagen.

Utvidgade distributiva lagen

Nu följer några exempel på hur denna lag kan tillämpas.

Exempel 4

Förenkla uttrycket $(x+2)(x-3)$

Lösning

Vi multiplicerar enligt den utvidgade distributiva lagen.

$(x+2)(x-3)=x^2-3x+2x-6=x^2-x-6$

Exempel 5

Förenkla uttrycket $(-x^2-3)(-x+2)$

Lösning

Vi multiplicerar enligt den utvidgade distributiva lagen.

$(-x^2-3)(-x+2)=x^3-2x^2+3x-6$

Ofta så behöver man förenkla uttrycket efter att det har utvecklats. Detta görs genom att termer som är av samma sort läggs samman.

Exempel 6

Förenkla  $2\left(x-2\right)^2-2x\left(x-3\right)$2(x2)22x(x3)

Lösning

Vi utveckla först kvadraten, ”upphöjt till två” med kvadreringsregeln innan vi multiplicerar inte tvåan och får

$2\left(x-2\right)^2-2x\left(x-3\right)=2\left(x^2-4x+4\right)-2x\left(x-3\right)$2(x2)22x(x3)=2(x24x+4)2x(x3) 

Nu multiplicerar vi in i parenteserna

 $2\left(x^2-4x+4\right)-2x\left(x-3\right)=2x^2-8x+8-2x^2+6x$2(x24x+4)2x(x3)=2x28x+82x2+6x 

Slutligen förenklar vi uttrycket genom att addera och subtrahera termer av samma sort.

 $2x^2-8x+8-2x^2+6x=8-2x$2x28x+82x2+6x=82x 

I kommande lektioner kommer vi använda oss av kunskapen kring att utveckla uttryck genom att göra samma procedur, fast ”baklänges”, det vi kallar för fakorisering.

Exempel i videon

  • Utveckla $ 3(x + 2) $.
  • Utveckla och förenkla $ (3 – x)(x + 2) $.
  • Utveckla $ -x(2 – x²) $.
  • Utveckla och förenkla $ (x – 3)(x + 6) $.
  • Utveckla och förenkla  $2(2x² – x)(-4x + 6)$.

Kommentarer

Krister Ristvedt

Den utvidgade distributiva lagen, exempel 3. I utvecklandet av den första parentesen får ni fram x som den första siffran, men är det inte x^2, och därav den mest förenklade versionen av hela exempel ekvationen blir -2x+8…… eller är jag helt ute och cyklar? Har stirrat mig blind på den ekvationen en stund nu.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Nej du är inte ute och cyklar, får be om ursäkt där för ”tryckfelsnisse” har varit framme, uträkningen skall innehålla $x^2$ där. Tack för att du kommenterade!

Petter Östergren

Hejsan, jag försöker förenkla ett utryck men tyck tänka galet enligt boken borde det bli förenklat till 8 – 2a

Uttrycket är 2(a – 2)^2 – 2a(a – 3)

Så då tänkte jag först räkna ut 2(a – 2)^2 = (2*a – 2*2)^2 = (2a-4)^2 = 4a – 16
sedan = 2a(a – 3) = 2a^2 – 5a

Och sedan lägga ihop dom.

4a – 16 – 2a^2 – 5a = -2a^2 – a – 16

Vid N(4) skall slut resulatet == 0

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Petter
    Kika i texten på den här sidan längst ned så har vi ett likvärdigt exempel som du kan utgå ifrån 🙂

Isabella Lindell

2b (3-2b) – (5b-5) (b+6)
hur ska man tänka när det är 3 paranteser?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Multiplicera ihop dem först, sedan förenkla.

Erica Bolin

Hej!
Jag har två liknande tal som jag inte riktigt får rätsida på, det är (x – 1/2)^2 och (3 – 5y)^2 som ligger i Kapitlen om algebra i exponent 2b. Hur går jag tillväga för att förenkla dessa tal?
Jag ser ju svaren i Facit men att komma fram till samma sak är en annan femma.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Kan visa en, använd här kvadreringsreglerna:
    $(x – 1/2)^2=x^2+2·x·(1/2)+(1/2)^2=x^2+x+1/4$
    Tänk här på att:
    $ (\frac12)^2=\frac{1^2}{2^2}=\frac{1}{4} $

Mårten Björk

5:45: Finns det någon anledning eller generell regel som säger att man ska multiplicera parenteserna först? T.ex. “faktorer av samma sort först” eller liknande.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Kika på prioriteringsreglerna

Dennis M

3(x+10)=3x+103(x+10)=3x+10 <– varför inte =3x+30?
x2(x−x2)=x3−x4x2(x−x2)=x3−x4
−x2(4+x−x2)=−4×2−x3+x4

    Simon Rybrand (Moderator)

    Lite osäker på vad det är som du behöver hjälp med här? Om du funderar på $ 3(x+10)=3x+30 $ i texten så hittade jag det felet, tack för att du uppmärksammade oss på detta!

Sara Svensson

Behöver hjälp med detta tal: (2x-4) (3+5x). Har kört fast och får inte samma lösning som facit.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Här skulle jag räkna ut det på följande vis:
    $ (2x-4)(3+5x)=(2x)·3+(2x)·(5x)-4·3-4·(5x)= $
    $ 6x+10x^2-12-20x=10x^2-14x-12 $

Vcarlsson

Hej Är inte med på uppgift 8, reglerna för parenteserna när det är flera på rad, vilka multipliceras med vilka?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Uppdaterade förklaringen till den uppgiften så att det förhoppningsvis skall vara tydligare, så kika igen på det svaret!

Judith Sandström

Uppgift 1: 3(x-2)
Uppgift 2 3x(x^2-3x)
Där är det minustecken inom parentesen, gäller inte teckenbyte vid distributiva lagen?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Jag tro du kanske tänker på när det står ett minustecken framför parentesen. Då byter man tecken framför alla termer i parentesen när denna tas bort.
    Här multiplicerar vi det innan parentesen med det i denna. Då får man ett positivt resultat om det är samma tecken och negativt om det är olika tecken.

Karl

Jag förstår inte hur jag ska räkna ut fråga 8: (x+1)(x−1)(x+2)

Hur ska jag multiplicera parenteserna med varandra?

Alexandra Wismar

Hej!
Förstår inte riktigt hur det fungerar när man byter tecken och hittar ingenstans i min bok där det förklaras, det står bara att lika tecken blir positivt och olika tecken blir negativt.
Hur ska man tänka om man gör denna uppgiften?
x(x-2)-x(x+3)

    Simon Rybrand (Moderator)

    Där behöver du ta hänsyn till att det står ett minus framför x:et framför den andra parentesen. Det gör att tecknen ändras när du multiplicerar in det x:et i parentesen. Du får då:
    $ x(x-2)-x(x+3)=x^2-2x-x^2-3x=-5x $
    I den andra parentesen kan du alltså tänka att du multiplicerar ett negativt x med ett positivt x (negativt svar) och sedan ett negativt x med en positiv 3:a (negativt svar).
    Det kan krävas lite träning innan detta sitter så fortsätt att träna på liknande uppgifter så kommer du snart att öva upp en känsla för hur det fungerar.

mdnaziri@hotmail.com

Hej!
På den utvigade distributiva lagen fick du svaret till: -x^2+x+6 men borde svaret inte bli x+6-2. Eller spelar det ingen roll vilket håll man placerar siffrorna?
Tack!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Spelar inte jättestor roll i vilken ordning termerna kommer även om man ofta väljer att skriva dem i fallande ordning beroende på vilken grad variabeln har och konstanterna sist.

jonasfredriksson89@gmail.com

Om du får en stund över så får du gärna skriva varför det inte stämmer för mig
Tar ut den del i uttrycket som blir knepigt. Det är sista delen.
-x(x-4)
-(x^2+4)
-x^2-4
Men ska jag få rätt på uppgiften så
-x(x-4)
-(x^2-4)
-x^2+4
När jag multiplicerar x med parantesen har jag ju -x*-4. Lika tecken ger plus i nästa steg. Sen tar jag bort parantesen helt och är på minus fyra igen…Men det går inte så..

    jonasfredriksson89@gmail.com

    Löste sig. Förstår att när jag multiplicerar med -x tar jag bort och byter tecken i parantesen direkt?

      Simon Rybrand (Moderator)

      Hej, bra att det löste sig. Ett sätt att skriva ut det är att göra teckenomvandlingarna direkt då vi multiplicerar in $(-x)$, dvs
      $(-x)(x-4)=-x^2+4x$

nadja.pavlova.rashid92@gmail.com

Multiplicera in och förenkla
2+2(5-x).
Hur löser jag denna uppgift ?
mvh/ Nadja

    Simon Rybrand (Moderator)

    Här multiplicerar du först in 2:an i parentesen och sedan lägger du ihop de termer som är av samma sort.
    $ 2+2(5-x)=2+10-2x=12-2x $

Dalvin Bangura

Hej hur löser man 6(2x – 1) =10x

    Simon Rybrand (Moderator)

    Börja där med att multiplicera in 6 i parentesen så att du får:
    $ 12x-6=10x $
    (Addera med 6)
    $ 12x=10x+6 $
    (Subtrahera med 10x)
    $ 2x=6 $
    (dela med 2)
    $ x=3 $

George+

Hej Simon,

Om man har utvecklat ett uttryck som denna -x(2-x^2) (som exemplet på videon) och har fått fram följande svar: -2x+x^3 , vad händer om man skulle skriva det på följande sätt: x^3-2x , att man vänder på termerna. Kan man göra det eller skulle jag få fel på denna fråga om den ingick i ett matteprov som jag skulle göra?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Du kan byta ordningen på termerna men behöver förstås vara lite försiktig med när du byter ordningen så att du inte glömmer att få rätt tecken.
    Du skulle inte få fel på ett matteprov om det inte uttryckligen anges att det skall skrivas på ett visst sätt.
    Vanligt är ändå att man skriver termer med högsta grad först och sedan i fallande ordning.

George+

Hej, på fråga 2 utveckla uttrycket
3x(x^2-3x), när jag multiplicerar 3x med -3x då blir det 9x^2, men enligt potensregeln då man multiplicerar så ska basen vara densamma dvs. jag räknade det som 3x•(-3x)=3x^2, när vet man att man även multiplicerar koefficienterna också. En annan fråga på nästa test som jag gjorde så skulle man förenkla uttrycket 4^8•5^9 och jag svarade 20^17, men svaret var att det ej går att förenkla? Hjälp…

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Där är ju basen x på bägge så då adderas exponenterna. När man multiplicerar två algebraiska termer så skall du alltid multiplicera koefficienterna med varandra. Man kanske kan förtydliga det på följande vis:
    $ 3x⋅(-3x) = 3⋅(-3)⋅x⋅x = -9x^{1+1}=-9x^2 $
    På den andra uppgiften är problemet att du har olika bas vilket gör att du inte kan addera exponenterna med varandra. Du har heller inga koefficienter att multiplicera med varandra, därför är det svårt att (utan räknare) förenkla det uttrycket.

ceratien

vad menas med ⇔ ? i ditt svar? För övrigt så är videon jätte bra!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Det är ett så kallat ekvivalenstecken, man kan uttala det som ”samma sak som” vilket innebär att tex ett led i en ekvation är ”samma sak som” nästa led.

Nada Yacoub

Hej hur löser man den här ekvationen
4(x+4)=(4-4x)+16

    Simon Rybrand (Moderator)

    $4\left(x+4\right)=(4-4x)+16⇔$
    ${{4} \, {x}}+{16}=4-4x+16⇔$
    ${{4} \, {x}}+{16}=-4x+20⇔ (+4x)$
    ${{8} \, {x}}+{16}=20⇔ (-16)$
    ${8} \, {x}=4⇔$
    $x=\frac{1}{2}$


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (6)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Utveckla uttrycket $3(x-2)$3(x2) .

    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Utveckla uttrycket $3x(x^2-3x)$3x(x23x) 

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Utveckla uttrycket $-3x(x-4)$3x(x4).

    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Premium
    • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
    • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Utveckla uttrycket $(x-2)(x+3)$(x2)(x+3).

    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M
    R1
    K

    Kan du se vilket uttryck det är som blivit multiplicerat till $4x^2-8x$4x28x?

    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Förenkla uttrycket $(3x-2)3$(3x2)3.

    Rättar...

c-uppgifter (2)

  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Förenkla uttrycket  $2x(x-4)(2-x)$2x(x4)(2x) 

    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Förenkla  $(x+1)(x-1)(x+2)$(x+1)(x1)(x+2) 

    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Premium
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.