Video, text & övningsfrågor av: 
Simon Rybrand
Simon RybrandI den här videon går vi igenom hur du löser andragradsekvationer med pq-formeln. Vi går dels igenom hur vi löser en ekvation utan att behöver skriva om ekvationen först, dels en ekvation där vi först måste dela med koefficienten framför $x^2$x2 termen.
Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM
- 600+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
- 4000+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
- Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
- Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.
Loading...
Hej! Jag har en fråga, kollat på din video tusen gånger nu men när jag gör i min bok så funkar det ej?
Jag har en uppgift som ser ut såhär:
v^2 + 3v – 4 = 0
Jag byter tecken och delar med och gör roten ur, ändå får jag som svar
v1=-3,75
v2=-1,75
Fast svaren skall vara
v1=1
v2=-4
Kan du hjälpa mig med vad jag gör för fel? Tack
Vi löser ekvationen med PQ-fomeln. Gör två kontroller. Ena ledet lika med noll och en osynlig etta framför $x^2$.
Då $v^2 + 3v – 4 = 0$ är $p=3$ och $q=-4$.
Vi får att
$v_{1,2}=-\frac32\pm\sqrt{(\frac32)^2-(-4)}$
$v_{1,2}=-1,5\pm\sqrt{2,25+4}$
$v_{1,2}=-1,5\pm\sqrt{6,25}$
$v_{1,2}=-1,5\pm2,5$
$\begin{cases} v_{1}=-1,5+2,5 \\ v_{2}=-1,5-2,5 \end{cases}$
$\begin{cases} v_{1}=1 \\ v_{2}=-4 \end{cases}$
Hoppas detta hjälpte!
Förstår inte sista uppgiften, var kommer 41 ifrån?
Hej
Vi har förtydligat den frågan. Kolla förklaringen igen så tror jag att det blir enklare att förstå.
Tack för snabbt svar! Så 40/10 är = 10? Går det att förtydliga varför man gör så? Förstår inte riktigt.
Nej inte riktigt så utan att $\frac{40}{4}=10$ så det jag gör där är att skriva om det under rotenur tecknet så att det har samma nämnare. Vi kan då sätta det på samma bråkstreck och förenkla.
i uppgift 1. Varför blir P 3 ist för 6 och Q inte 3.5?
Där är $p=6$ men vi sätter ju ner halva p och byter tecken där. dvs $-3$
I uppgift fem, varför tar man höjer man (5/2)^2 med två innan man delar det? Samt, varför delar man 16 med 4 efteråt?
I uppgift åtta, varför byter man inte tecken på -4/2 i början och -8 i slutet?
Hej, Ibland blir det enklare på slutet att slippa jobba med decimaler utan istället stanna kvar på bråkform. Testa gärna och jämför med när du går över till decimalform.
Det är så att vi skriver om $4=\frac{16}{4}$ för att få samma nämnare i bråken under rotenur tecknet.
hej, pa uppgift 4 har ni rakat skriva tvartom ang. p-vardet. 🙂
Hej
Nej det det skall vara så men vi har förtydligat detta i uppgiften, kika i förklaringen där så tror jag att det klarnar.
Hej Jag förstår inte fråga 5.
−5/2 ± 3/2
Jag får det till -8 resp -2. Dessa talen är dubbelt så små som svaret ska bli, så det är något jag måste dividera med 2 antar jag, men vet inte hur?
Förstår nu, Löste det! 🙂
Hej i det andra exemplet i videon borde det inte vara x = + 8/2 +- √(-8/2)^2-7, då p = -8 och inte bara 8, svaret blir ändå rätt då +-4^2 = 16 men vill ni berätta hur ni har tänkt?
Hej
I det första steget där så byter vi tecken på p och delar det med två. Dvs får
$ -\frac{-8}{2}=4 $
innan roten ur tecknet.
I roten ur tecknet så behöver vi inte tänka på vilket tecken vi skall ha där då, precis som du skriver, det alltid blir positivt när vi upphöjer något med 2. Hoppas detta hjälper dig vidare!
Hej igen!
Jag kom på en till fråga till övning 7 i kapitlet PQ-formeln. Vilket värde ska q ha för att ekvationen x2+2x+q=0 endast skall ha en lösning? Du skriver ju att om ekvationen endast skall ha en lösning behöver rot-delen i PQ-formeln vara noll, dvs att sista biten: roten ur √(p/2)^2−q=0.
Men hur ska man veta att det är rot-delen man ska fokusera på här eftersom jag utgår från att jag ska räkna ut hela talet. Man luras ju lite då eftersom hela ekvationen är x=-1±√(2/2)^2 och då räknar man ju med -1 också. Svaret borde isf bli x=-1±1-1
x1=-1
x2=-3
Vänliga hälsningar Boel
Om jag förstår dina funderingar rätt här så behöver du fokusera på att får ”roten ur delen” till 0 då vi har $\pm$ framför denna. Dvs om denna del inte är 0 så kommer du ju att ha två olika lösningar. Fråga gärna vidare om jag missförstår din fråga.
Hej igen! Jag förstår precis hur du menar här, du har inte missförstått min fråga! Tack igen för din fina hjälp! /Boel
Hej Simon!
Jag övar på PQ-formeln och övning nr 5. Ekvationen är: x2+5x+4=0 (x2= x upphöjt i 2)
I förklaringen till frågan så omvandlar du roten ur 5/2 upphöjt i 2 minus 4 till 25/4-16/4. Jag förstår hur du får fram 25/4 men hur får du fram 16/4?
Hoppas du förstår hur jag menar.
Vänliga hälsningar Boel
Hej
Jag förstår precis hur du menar.
Det jag gör där är att skriva om $ 4 = \frac{4}{1} = \frac{4⋅4}{1⋅4} = \frac{16}{4}$ så att vi har samma nämnare i de bägge talen (bråktalen) under roten ur tecknet. På det viset kan vi subtrahera dessa och få dem till ett enda bråk. Detta gör det lättare att ta roten ur talet då
$ \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}=\frac{3}{2} $
Aha, då är jag med på hur du menar! Tusen tack för hjälpen och din pedagogiska förklaring! Ursäkta mitt sena svar förresten, jag glömde bort att svara pga allt intensivt arbete inför Högskoleprovet på lördag! Vänligen, Boel
Hej!
I förklaringen till fråga 5 så står det att rätt svar är x1=-1 och x2=-4 men när jag rättade så fick jag fel och det står då att x1=-5/2 och x2=4…
Detta undrar jag med!
Jag skrev X1= -1 och X2= -4 och fick fel?
Varför är det bättre att skriva i bråkform när det går att skriva exakt ändå?
Jonna
Hej
Det var fel svar som markerat som rätt hos oss där, det är korrigerat och vi ber om ursäkt för detta.
Tack för att du sade till om detta!
Hej, hur kan man beräkna ut den vändpunkt om det funktion står Y=4-x^2 genom tillämpa pq formeln?
Hej
Du kan lösa ekvationen
$4-x²=0$
$x² = 4$
$ x=±2 $
Då vet du att nollställena finns i x=-2 och x=2. Då hittar du max/min punkten (det du kallar vändpunkten) mitt emellan dessa nollställen, dvs i $ x=0 $
Sätter du nu in x=0 i funktionen så får du att y=4 och du har maxpunkten i (0,4).
Jag behöver verkligen hjälp med en fråga som jag suttit med så länge nu.. Jag skriver den här och hoppas att jag kan få lite hjälp med hur jag ska göra!
”Ett företags kostnader K(n) kr och intäkter I(n) kr per månad beror på antalet tillverkade enheter n. Funktionerna anges av K(n)=15000+79n+0,02n^2
I(n)=199n
En månad fick de en vinst på 40 000kr. De sålde då lika många enehter som de tillverkade- Hur många enheter tillverkades och såldes den månaden?”
Hej
Vinsten beräknar du genom Intäkter – kostnader. Med funktionerna beskriver du detta som
$ I(n) – K(n) = $ $ (199n)-(15000+79n+0,02n^2) = $ $ 199n-15000-79n-0,02n^2 = 120n-15000-0,02n^2 $
Nu vill du ta reda på n när vinsten är 40 000 kr. Det gör du genom ekvationen
$ 120n-15000-0,02n^2 = 40000 ⇔ $
$ 120n-55000-0,02n^2 = 0 ⇔ $ (Dela alla termer med -0,02)
$ n^2-6000n+2750000 = 0 $
Nu använder du pq formeln för att lösa ekvationen
Hoppas att detta hjälper dig på vägen!
Om jag vill lösa x^2 + 2x – 2 = 0 då? Enligt mina beräkningar kommer jag att hamna med roten ur 3 och det finns ju ingenting som är roten ur 3? Jag använde dock miniräknaren och den säger 1.73, men det är väl inte tänkt att man löser talen på detta sätt? Mvh Camilla
Hej,
Om du vill ange lösningarna exakt så kan du skriva dessa som
$ x_1 = -1 + \sqrt{ 3 } $
$ x_2 = -1 – \sqrt{ 3 } $
Annars kan det i många fall gå att ange svaren med en avrundning.
Roten ur 3 är ett så kallat irrationellt tal, dvs ett tal med oändlig decimalutveckling om man skulle försöka skriva det på decimalform.
Frågan lyder nämligen, har ekvationen 2 – x^2 = 2x en icke-reell lösning? Jag har gjort så att jag har ”gjort om” ekvationen så att den ser ut på följande sätt: x^2 + 2x – 2 =0 sedan tänkte jag lösa denna ekvationen med pq-formeln men åkte fast vid roten ur 3…
Mvh Camilla
Lösningarna till ekvationen är reella då irrationella tal ingår i talmängden reella tal som kan sägas vara alla tal på tallinjen.
Om du exempelvis skulle behöva ta roten ur ett negativt tal så kommer du dock inte att få reella lösningar utan komplexa.
Hej borde inte svaret på fråga 1 vara x1=2 och x2=(-2) för att det är en andragrads ekvation och har två röter?
Hejsan, i den frågan är det inte rötterna till ekvationen som söks utan det är en fråga som vill testa att man har förstått själva pq formeln. Det är alltså q i pq formeln som söks.
i uppgift 3 är x1=-17 inte 17 eftersom -9-8=-17
och x2 är -9+8=-1 eller?
annars kan jag tänka mig att det inte är -9 utan 9…
Hej, nej du har rätt och det skall vara + där. Vi åtgärdar detta,
Hej, skulle du vilja hjälpa mig med denna, med hjälp av pq-formeln?
”I en rektangel är höjden 7 cm kortare än basen. Bestäm rektangelns omkrets om dess area är 40cm^2.
Jag vet inte inte riktigt hur jag ska få in detta i formeln.=/
Jag vill ha det till x^2-7x-40=0? Tänker jag helt fel?
Hej
Du kan göra så att du först sätter basen till x. Då gäller att höjden är x – 7 och du kan ställa upp ett samband för arean:
$ x(x – 7) = 40 $
$ x^2 -7x = 40 $
$ x^2 -7x -40 = 0 $
Så det får du fram helt rätt. Sedan behöver du helt enkelt tillämpa pq formeln på ekvationen så att du får fram en lösning för basen x. Sedan får du förstås även räkna ut höjden och omkretsen.
Hej Simon!
Jag undrar varför -8x inte ändrar tecken i exemplet (2x^2-16x-18=0) på pq-formeln ovan? Svaret är ju rätt men lösningen måste vara fel? I lösningen måste -4 egentligen vara +4?!
Helt rätt, tryckfelsnisse 😉 har varit framme, vi har fixat det.
Hej Simon, jag undrar varför -12x inte byter tecken i pq formeln till +12x i uppgift 2? Tack på förhand, Anita
Hej Anita, det beror helt enkelt på att vi har haft ett fel i vårt testsystem men det är nu ordnat, tack för att du kommentera detta!
I sista uppgiften skriver du om 51=54x−3x^2 som
3x^2-54x+51=0
hur får du det till +51?
I min värld får jag 51 att bli 0 genom att dra bort 51.
om man ska göra samma sak på bägge sidorna om =
så borde det väl bli 3x^2-54x-51=0
Eller har jag fått detta om bakfoten?
Hej, nej det är korrekt i uppgiften. Om du drar bort 51 så får du problemet att det blir -51 i högerledet i ekvationen.
Det jag gör i förklaringen i uppgiften är att jag gör följande (skriver förklaringar i parantesen):
$ 51 = 54x -3x^2 \Leftrightarrow $ (+3x^2)
$ 3x^2 + 51 = 54x\Leftrightarrow $ (-54x)
$ 3x^2 -54x + 51 = 0 \Leftrightarrow $ (/3)
$ x^2 – 18x + 17 = 0 $
Det är alltså viktigt att tänka på att detta är en ekvation och att du gör samma sak både i vänsterledet och i högerledet.
tack, då förstår jag hur jag ska tänka:)
Men varför tar man inte bara -51?
Går inte det lika bra?
Det är för mig den lättaste vägen och vid första anblick det logiska för att få allt på samma led och en 0 på ena sidan, eller spelar det roll vilken sida 0an är på?
Förstår att uträkningen inte går ihop då men innan man räknat på det, hur ska man veta?
Hej
Det går egentligen lika bra att börja så. Det du behöver tänka på i så fall är att du måste dela med $-3$ sedan så att du får ett positivt tecken framför $x^2$
Mycket bra film. Har tittat i boken men inte förståt, nu när man har sett filmen så e allt glas klart. Ni är mycket duktiga.
I ditt andra exempel skriver du följande;
(4)^2 – 7 är lika med x= +4 +- Roten ur 9
Hur kom du fram till nio där?
är det 16-7 som blir 9?
Hej Miguel, precis, så är det.
Tack!
Men om svaret inte är lika med noll då, fungerar det då också?
Hej Jokals, om svaret inte är lika med noll behöver man först skriva om ekvationen så att det blir tydligt hur du kan tillämpa PQ formeln. Ett exempel kan vara:
$ x^2 + 4x = 5 $
Här får vi först dra ifrån 5 från bägge sidor av likhetstecknet så att vi får ekvationen
$ x^2 + 4x – 5 = 0 $
Nu kan vi använda PQ formeln och får då:
$ x = -2 ± \sqrt{4 + 5} $
$ x = -2 ± \sqrt{9} $
$ x = -2 ± 3 $
Hoppas att detta var det svar du sökte efter.