Andragradsekvationer med komplexa rötter - Matematikvideo

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 2 C

Andragradsekvationer med komplexa rötter

Video

I den här genomgången lär du dig hur man löser andragradsekvationer med komplexa rötter. Vi tittar på innebörden av imaginära tal och komplexa tal och tar ett antal exempel på ekvationer med komplexa rötter.

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM


  • 500+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
  • 3500+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
PROVA FÖR 9 KR
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.

Vad tycker du om videon?

16 votes, average: 3,56 out of 516 votes, average: 3,56 out of 516 votes, average: 3,56 out of 516 votes, average: 3,56 out of 516 votes, average: 3,56 out of 5
16
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

8
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
MEDELPOÄNG
ALLA
4

Text

Exempel i videon

  • Förstå innebörden av $ i^2 = -1 $
  • Förstå de komplexa talen $ z=2 + 3i $ och $z= -2-i$ i det komplexa talplanet.
  • Lös ekvationen $ 2x^2 = -18 $
  • Lös ekvationen $ x^2 + 4 = 0 $
  • Lös ekvationen $ x^2 – 2x + 10 = 0 $
  • Lös ekvationen $ 4x^2 + 24x = -232 $

Imaginära tal och komplexa tal

För att förstå behovet av imaginära tal eller kombinationen av reella och imaginära tal som kallas för komplexa tal kan man utgå ifrån ekvationen $ x^2 = -1 $. Tidigare har vi lärt oss att denna ekvation inte går att lösa då man inte kan ta roten ur ett negativt tal. Det finns inga tal på den reella talaxeln som gånger sig själva blir ett negativt tal. Men om vi istället inför en ny typ av tal som gånger sig själva blir ett negativt tal så kan vi faktiskt lösa denna ekvation. Dessa tal kallas för imaginära tal.

Man börjar att definiera ett imaginärt tal som ett tal som gånger sig självt blir negativt. Därför gäller att $ i^2 = i \cdot i = -1 $ eller att $ 2i \cdot 2i = 4i^2 = 4 \cdot (-1) = -4 $. Därmed kan vi lösa ekvationer av typen $ x^2 = -1 $.

Grunddefinition av talet i är alltså att

$ i^2 = -1$

Om vi kombinerar reella tal med imaginära tal, t.ex. $6+3i$6+3i så får vi det som kallas för komplexa tal som alltså är en kombination av det reella talet $6$6 och det imaginära talet $3i$3i. Ett komplext tal består alltså av en reell del ( $6$6 i vårt exempel), en imaginär del ( $3$3 i vårt exempel) samt $i$i som är den imaginära enheten, och som har egenskapen $i^2=-1$i2=1. Det imaginära talet $3i$3i har alltså den imaginära delen $3$3 med enheten $i$i.

Exempel på andragradsekvationer med komplexa rötter

Vi kan med denna kännedom om imaginära tal lösa fler andragradsekvationer än de som endast har reella rötter.

Ett exempel på detta kan vara:

$ 3x^3 = -27 $
$ x^3 = -9 $
$ x = ±3i $

Ännu ett exempel


$\displaystyle{\begin{alignat}{0}\text{Ekvation: } x^2+8x+32 = 0 \\ \underline{ \text{Lösning} }: \\ \\ x^2+8x+32 = 0 \Leftrightarrow \text{(pq-formel)} \\ x = -\frac{8}{2} \pm \sqrt{ ( \frac{8}{2})^2 -32 } \\ x = -4 \pm \sqrt{ ( 4)^2 -32 } \\ x = -4 \pm \sqrt{ 16 -32 } \\ x = -4 \pm \sqrt{ -16 } \\ x = -4 \pm 4i \\ \end{alignat}}$
$ \begin{cases} x_1 = -4 + 4i \\ x_1 = -4 – 4i \end{cases} $

Kommentarer

  1. har fått hjärnsläpp !! =(

    z upphöjt till 2-2z+2=0

    Mia_A
    1. $ z^2 – 2z + 2 = 0 $ (pq formeln)
      $ z = 1 \pm \sqrt{1 – 2} $
      $ z = 1 \pm \sqrt{-1} $
      $ z = 1 \pm i $

      Simon Rybrand
  2. Vad händet om q är ett komplext tal i en andragradsekvation? Tex z^2+4z-8i

    Ida
    1. Hej, det går att lösa även denna med t.ex. pq formeln:
      $ z^2+4z-8i = 0 $
      $ z = -2 \pm \sqrt{4+8i} $
      Är det något annat du funderar kring just denna eller förstår jag din fråga rätt?

      Simon Rybrand
  3. Jag försöker lösa uppgiften:
    Vilket tal ska vara A för att x^2+1=A ska sakna lösning?

    Hur gör man?

    abfvuxgot
    1. Här gäller att om A < 1 så kommer ekvationen inte ha någon lösning. Testa exempelvis med att rita ut $y=x^2+1$ så ser du att y inte antar några värden mindre än 1.

      Simon Rybrand
  4. På ”testa dig själv” fråga nr 4.
    16×2+512=−128x

    16×2+512=−8x⇔ Hur får vi -8x här??
    16×2+128x+512=0⇔ Dividera med 16
    x2+8x+32=0⇔ pq-formeln
    x=−4±16−32‾‾‾‾‾‾‾√⇔
    x=−4±−16‾‾‾‾√⇔
    x=−4±4i

    nti_ma2
    1. Hej, det är felskrivet på den raden, det skall förstås vara -128x och inte -8x. Det är korrigerat i uppgiften.

      Simon Rybrand
  5. Hej!

    Jag kanske är helt ute och cyklar nu, men i texten under ”Imaginära tal och komplexa tal” står det:

    ”Därför gäller att i2=i⋅i=−1 eller att 2i⋅2i=2i2=4⋅(−1)=−4.”

    Ska inte 2i⋅2i bli 4i2 (4 i upphöjt i 2)?

    yunr56bue5
    1. Hej, tack för att du uppmärksammade felet i texten, det är åtgärdat

      Simon Rybrand
  6. Hejsan, jag fattar inte riktigt att 2i×2i=4i=4×(-1), borde inte då 2(-1)×2(-1)=(-2)×(-2)=4?

    Kalle Petersson
    1. Hej
      Enligt definition gäller att $i^2=-1$ så därför blir
      $ 2i⋅2i=4i^2=4⋅(-1)=-4 $

      Simon Rybrand
  7. hej jag undrar vart man hittar grafer och koordinatsystem kan inte finna det någonstans?

    Sofia Näsström
  8. Hej
    Tack för ett sådant grymt hemsida med så mycket godis.
    Jag förstår inte logiken i att i upphöjt i 2=-1
    om jag lägger (i upphöjt 2 gånger 4 ) under roten så blir svaret -4
    då i upphöjt i 2 = -1
    detta är enligit plus minus regeln -1×4 = är -4 ellerhur?
    dessutom vet vi att en jämn potens ger alltid ett positiv tal hur kan då i upphöjt 2= bli -1
    Jag har väldigit svårt att fatta logiken i det hela.

    Hamed Kashefi
    1. Hej
      För att förstå idén att $i^2=(-1)$ så måste man först acceptera att man från början har definierat att imaginära tal skall fungera så att $i^2=(-1)$. Dvs det finns ingen härledning bakom idén att det är så utan det har man bestämt för att kunna lösa ekvationer där man skall ta roten ur ett negativt tal. Imaginära tal är helt enkelt ett helt annat typ av tal än reella tal!

      Simon Rybrand
  9. I uppgift 8 – ”Vad ska a ha för värde för att ekvationen x2+2x+a=0 ska ha komplexa rötter?” är den rätta svaren a>1 men går det att kolla om det stämmer genom att sätt in en värde på a som är >1, t.ex 10?

    Jakub Medynski
    1. Hej
      Det blir förstås svårt att kolla samtliga fall (det finns oändligt många) men visst kan du sätta in $a=10$ och se att du får komplexa rötter. Önskvärt är förstås att du löser det algebraiskt.

      Simon Rybrand
      1. Okej. I så fall skulle du kunna förklara då, hur uträkningen ska se ut?

        Jakub Medynski
        1. $\displaystyle{\begin{alignat}{0}\text{Ekvation: } x^2+2x+10 = 0 \\ \underline{ \text{Lösning} }: \\ \\ x^2+2x+10 = 0 \Leftrightarrow \text{(pq-formel)} \\ x = -\frac{2}{2} \pm \sqrt{ ( \frac{2}{2})^2 -10 } \\ x = -1 \pm \sqrt{ ( 1)^2 -10 } \\ x = -1 \pm \sqrt{ 1 -10 } \\ x = -1 \pm \sqrt{ -9 } \\ x = -1 \pm 3i \\ \end{alignat}}$

          Om du vill testa fler exempel så kan du kika på vår pq-formel kalkylator.
          Där kan du se hela lösningen på alla andragradsekvationer

          Simon Rybrand
  10. Hej.
    tack för fint arbete. ville bara påpeka att du på uppgift 6 har dragit roten ur 1 istället för -1, du borde kika på det….

    jufaani1@hotmail.com
    1. Tack för att du sade till om detta, det är korrigerat!

      Simon Rybrand

Kommentarer är inaktiverade. Logga in för att felrapportera.

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: