...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Interaktivt material Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /      ██████████████████████████

Kvadratkomplettering

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

I den här lektionen går vi igenom kvadratkomplettering som är en metod att lösa andragradsekvationer och den metod som ligger bakom pq-formeln.

Så fungerar kvadratkomplettering

Kvadratkomplettering är ett sätt att lösa andragradsekvationer och den metod som ligger bakom lösningsmetoden pq-formeln. Idén här är att lägga till en kvadrat (något upphöjt med 2) på bägge sidor om likhetstecknet för att därefter kunna faktorisera ena ledet med kvadreringsreglerna.

Kvadreringsreglerna

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

Ett sätt att veta vad vi skall kvadratkomplettera med är att skriva om ekvationen så att vi endast har konstanten i högerledet och variabeltermerna i vänsterledet. Sedan kompletterar vi med halva koefficienten framför x i kvadrat. Då kan du alltid faktorisera den i nästa steg.

Så om vi har ekvationen  $x^2+8x-9=0$x2+8x9=0 så skriver vi den som

$x^2+8x=9$x2+8x=9

Sedan kompletterar vi med halva koefficienten framför x i kvadrat, $\left(\frac{8}{2}\right)^2=4^2$(82 )2=42

$x^2+8x+4^2=9+4^2$x2+8x+42=9+42

Nu kan vänsterledet faktoriseras och högerledet förenklas

$\left(x+4\right)^2=25$(x+4)2=25

Nu tar vi roten ur

$x+4=\pm\sqrt{25}$x+4=±25

$x=-4\pm5$x=4±5

Lösningarna är alltså

$\begin{cases} x_1=1 \\ x_2=-9  \end{cases}$

 

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Exempel på kvadratkomplettering

Lös ekvationen $x^2+4x-5=0$ med kvadratkomplettering.

Lösning:

$x^2+4x-5=0$

Addera med 5

$x^2+4x=5$

Lägg till (kvadratkomplettera med) $(\frac{4}{2})^2=2^2$

$x^2+4x+2^2=5+2^2$

$x^2+4x+2^2=9$

Här kan vi nu faktorisera vänsterledet med den första kvadreringsregeln vilket ger oss

$(x+2)^2=9$

Nu tar vi roten ur

$x+2=\pm \sqrt{9}$

Subtrahera med $2$

$x=-2\pm \sqrt{9}$

$x=-2\pm 3$

Vi har alltså lösningarna

$\begin{cases} x_1=1 \\ x_2=-5  \end{cases}$

Exempel i videon

  • Lös $x^2-4x+3=0$ med kvadratkomplettering.
  • Härled pq-formeln med kvadratkomplettering utifrån ekvationen $x^2+px+q=0$

Kommentarer

Anders Glans

I fråga 5. Hon har ju lagt till kvadraterna i bägge leden(kvadratkompletterat). Nästa steg borde vara en faktorisering.
I förklaringen skriver ni att nästa steg är faktorisering av VL( då säkert så som kvadreringsreglerna påvisar).
Rätt svar är ändå kvadratkompletering(ngt hon redan gjort) Förklara er bums!! 😛

    Simon Rybrand (Moderator)

    Nu har vi förklarat oss 🙂
    Tack för att du påpekade felet!


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (2)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Faktorisera uttrycket $x^2+4x+4$x2+4x+4.

    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Faktorisera uttrycket $3x^2+18x+27$3x2+18x+27.

    Rättar...

c-uppgifter (3)

  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $x^2-12x+11=0$x212x+11=0 med hjälp av kvadratkomplettering

    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $10x^2+10x=100$10x2+10x=100 med kvadratkomplettering.

    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M
    R1
    K

    Sara skall härleda pq-formeln från uttrycket  $x^2+px+q=0$x2+px+q=0  med hjälp av kvadratkomplettering.

    Hon gör följande steg:

     $x^2+px+q=0$x2+px+q=0 

    Subtrahera med  $q$q 
     $x^2+px=-q$x2+px=q 

    Nu lägger vi till kvadraten  $(\frac{p}{2})^2$(p2 )2 .
     $x^2+px+(\frac{p}{2})^2=(\frac{p}{2})^2-q$x2+px+(p2 )2=(p2 )2q 

    Här fastnar hon, vad skall hon göra härnäst?

    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar