...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Nollproduktmetoden

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

I den här lektionen går vi igenom hur du löser andragradsekvationer med en metod som kallas nollproduktmetoden. 

Nollproduktmetoden

Metoden lämpar sig för alla andragradsekvationer skriven i faktorform. 

Så fungerar Nollproduktmetoden

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Nollproduktmetoden bygger på att vi får en produkt med värdet noll, om en eller flera av faktorerna är lika med noll.

Matematiskt kan vi beskriva detta som att om $a·b=0$ gäller att $a=0$ och/eller $b=0$.

Med hjälp av denna kunskap kan du ta fram lösningen till ekvationen, eftersom du vet att om en av faktorerna är lika med noll, så är även produkten lika med noll.

Exempel 1

Lös ekvationen 

Lösning

Om en av faktorerna är lika med noll, är hela produkten lika med noll. Uttrycket i VL består av två faktorer. Nämligen de två parenteserna. Om någon av parenteserna antar värdet noll, kommer produkten anta värdet noll.

Så lösningen till ekvationen får vi om 

$ (x-2)=0 $ eller om $ (x+1)=0 $.

Den första parentesen, som alltså är det samma som den första faktorn, $ (x-2) $får värdet noll då  $x=2$x=2. Detta är en av lösningarna till ekvationen.

Den andra parentesen, som alltså är det samma som den andra faktorn, $ (x+1) $ får värdet noll då  $x=-1$x=1 . Detta är den andra lösningen till ekvationen.

Nollproduktmetoden ger därmed att

$\begin{cases} x_1=2 \\ x_2=-1  \end{cases}$

Vi kan kontrollera våra lösningar för att vara på den säkra sidan.

 Då  $x=2$x=2  får vi att VL=$ (2-2)(x+1)=0\cdot(x+1)=0$=HL. Lösningen stämmer!
 Då  $x=-1$x=1   får vi att VL=$ (x-2)((-1)+1)=(x-2)\cdot 0=0$=HL. Lösningen stämmer!

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Då kan nollproduktmetoden användas

En andragradsekvation definieras enligt följande.

$ax^2+bx+c=0$

där $a,b,c$ är konstanter och $a≠0$

Nollproduktmetoden kan användas då andragradsekvationen har en $x^2$-term och en $x$-term men ingen konstantterm, dvs då $a≠0$ och $b≠0$ och $c=0$ enligt definitionen här ovan.

Faktorisera innan Nollproduktmetoden

För att kunna använda nollproduktmetoden måste ena ledet bestå enbart av faktorer och andra vara lika med noll. Detta kallas att ekvationen står i faktorform.

Ibland behöver du därför skriva om ekvationen innan du använder nollproduktmetoden. Är ena leden lika med noll fixar du det andra genom att faktorisera, alltså bryta ut något gemensamt ur termerna, så att det bildas två eller fler faktorer i ena ledet.

Som vi tidigare nämnde går det inte att använda denna metod om det finns en konstantterm i ekvationen. Nollproduktmetoden lämpar sig endast för ekvationer utan konstanttermer. Alltså på formen

$ax^2+bx=0$

där $a,b$ är konstanter och $a≠0$

Vi tar ett exempel på denna metod.

Exempel

Exempel 2

Lös ekvationen $ x^2+2x = 0 $

Lösning

För att tillämpa nollproduktmetoden måste ena eden vara lika med noll och det andra bestå av faktorer. Vi faktorisera därför VL.

$ x^2+2x = 0 $             Bryt ut $x$ i VL

$ x(x+2) = 0 $

Nollproduktmetoden ger att om en eller flera av faktorerna, som i detta fall motsvarar de två parenteserna i VL, är lika med noll är hela produkten lika med noll. Detta gäller då

$\begin{cases} x_1=0 \\ x_2=-2  \end{cases}$

För att tillämpa nollproduktmetoden måste alltså ena eden vara lika med noll och det andra bestå av faktorer. Vi tar ett exempel till direkt, där vi behöver göra båda dessa steg.

Exempel 3

Lös ekvationen $3x^2=27x$

Lösning

Vi skriver om ekvationen på faktorform för att kunna lösa den med nollproduktmetoden.

$3x^2=27x$       Subtrahera båda leden med $27x$ för att få ena ledet lika med noll

$3x^2-27x=0$            Bryt ut $3x$ i VL

$3x(x-9)=0$

Nollproduktmetoden ger att då en  eller flera av faktorerna, i vårt fall parenteserna, är lika med noll är hela produkten lika med noll. Det ger oss att ekvationens lösningar är 

$\begin{cases} x_1=0 \\ x_2=9  \end{cases}$

Nu är det bara att börja öva! 

I Matematik 3 kommer vi utveckla användningsområdena av nollproduktmetoden, så det är bra om du redan nu, i Matematik 2, känner att du behärskar metoden.

Exempel i videon

  • Lös ekvationen $x^2-x=0$
  • Lös ekvationen $2x^2+8x=0$
  • Lös ekvationen $10x^2=-20x$
  • Lös ekvationen $(3x+2)(x-7)=0$

Kommentarer


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (10)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilken är den största möjliga faktorn som går att bryta ut från $2x^2-4x$2x24x ?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilken är den största möjliga faktorn som går att bryta ut från $36x^2-18x$36x218x ?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M
    R1
    K

    Din vän har fått tillbaka ett läxförhör och frågar dig vad som blivit fel. Välj det alternativ du tycker stämmer bäst.

    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilken är den största möjliga faktorn som går att bryta ut från $3x+9x^2$3x+9x2 ?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $x^2+10x=0$x2+10x=0 

    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $x^2-3x=0$x23x=0 

    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $3x^2+6x=0$3x2+6x=0 

    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $3x=12x^2$3x=12x2 

    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $(2x-8)(x-4)=0$(2x8)(x4)=0 

    Rättar...
  • 10. Premium

    Rapportera fel
    (3/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL2
    M
    R1
    K

    Anna spelar brännboll. Bollens bana i luften kan beskrivas med ekvationen $h\left(t\right)=8t-2t^2$h(t)=8t2t2 , där $h$h är bollens höjd i luften och $t$t är tiden i sekunder efter att bollen slagits iväg. Modellen börjar dock gälla först efter  $0,2$0,2 sekunder.

    Efter hur många sekunder slår bollen i marken, om inte någon tar lyra?

    Rättar...

c-uppgifter (2)

  • 11. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $ax^2-bx=0$ax2bx=0 

    Rättar...
  • 12. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    Bestäm $a$a så att andragradsekvationen $(ax+\frac{1}{2})(3-x)=0$(ax+12 )(3x)=0 har en lösning $x=\frac{3}{2}$x=32 

    Svara på formen a/b eller -a/b.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar