Potenser med rationella exponenter - Aritmetik (Ma 1) - Matematikvideo

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 2 ABC

Potenser med rationella exponenter

Video

Video, text & övningsfrågor av: Simon Rybrand

Potenser är tal som kan skrivas med en bas och en exponent. I den här genomgången går vi igenom hur du jobbar med potenser med rationella exponenter, dvs då exponenten är ett bråktal.

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM


  • 600+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
PROVA FÖR 9 kr
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.
38 votes, average: 3,53 out of 538 votes, average: 3,53 out of 538 votes, average: 3,53 out of 538 votes, average: 3,53 out of 538 votes, average: 3,53 out of 5
38
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

15
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 10
  • 11
  • 12
  • 13
  • 14
  • 15
MEDELPOÄNG
ALLA
6

Text

Potenser med rationella exponenter

När en potens har en rationell exponent så betyder det att basen upphöjs med en exponent som är ett bråktal, exempelvis 1/2 eller 1/3. Ett annat nämn för bråktal är rationellt tal, därav namnet. Det finns också ett viktigt samband mellan rationella exponenter och roten ur uttryck.

Potenslagar – roten ur och rationella exponenter

$ a^{ \frac{1}{2} } = \sqrt{a} $
$ a^{ \frac{1}{n} } = \sqrt[n]{a}$

Övriga potenslagar

$ a^m \cdot a^n = a^{m + n}$ (Multiplikationsregeln)
$ \frac{a^m}{a^n} = a^{m – n}$ (Divisionsregeln)
$ (a^m)^n = a^{m \cdot n}$ (Regeln för potens av en potens)
$ (a \cdot b)^x = a^x \cdot b^x $ (regeln för potens av en produkt)
$ a^0 = 1 $ (regel för upphöjt till noll)
$ a^{-x} = \frac{1}{a^x} $ (regel för negativ exponent)

Potenser med rationella exponenter

När potenser har exponenter som består av rationella expontenter (bråktal) så gäller samma regler som nämns ovan. Det kan dock krävas lite övning innan man vänjer sig vid att hantera dessa typer av exponenter. Du behöver känna till hur du hanterar potenser, adderar och subtraherar bråktal och multiplicerar och dividerar bråk.

Det är också viktigt att du förstår kopplingen mellan roten ur uttryck och potenser med rationella exponenter. Nedan visas ett antal exempel på där du kan se hur sådan här potenser hanteras.

Exempel 1 – Multiplikation

Skriv som en potens  $x^{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{4}{3}}$x13 ·x43  

Lösning

Här får vi använda multiplikationsregeln. Exponenterna adderas på samma sätt som två bråktal adderas.

 $x^{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{4}{3}}=x^{\frac{1+4}{3}}=x^{\frac{5}{3}}$x13 ·x43 =x1+43 =x53 

Exempel 2 – Roten ur

Skriv $\sqrt{2}$2 som en potens

Lösning

Vi använder regeln för roten ur och får

 $\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}$2=212  

Exempel 3 – Division och olika nämnare

Skriv som en potens: $\frac{\,\,2^{\frac27}\,\,}{2^{\frac{1}{4}}}$

Lösning

Vi börjar att använda potensregeln för division

$\frac{\,\,2^{\frac27}\,\,}{2^{\frac{1}{4}}} = 2^{\frac27-\frac14} $

Nu förlänger vi exponenterna så att de har samma nämnare 28. Vi gör det först och använder det för att skriva om potenserna.

 $\frac{2}{7}=\frac{2\cdot4}{7\cdot4}=\frac{8}{28}$27 =2·47·4 =828  och $\frac{1}{4}=\frac{1\cdot7}{4\cdot7}=\frac{7}{28}$14 =1·74·7 =728   

Nu gör vi klart

 $2^{\frac{2}{7}-\frac{1}{4}}=2^{\frac{8}{28}-\frac{7}{28}}=2^{\frac{1}{28}}$227 14 =2828 728 =2128  

Exempel 4 – potens av en potens

Skriv $\left(2^{\frac{1}{4}}\right)^{\frac{2}{3}}$(214 )23  som en potens

Lösning:

 $\left(2^{\frac{1}{4}}\right)^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}}=2^{\frac{2}{12}}=2^{\frac{1}{6}}$(214 )23 =214 ·23 =2212 =216  

Exempel 5 – Potens av en produkt

Skriv $\left(16\cdot4\right)^{\frac{1}{2}}$(16·4)12  som ett heltal utan att använda räknare

Lösning:

Vi använder regeln för en potens av en produkt

  $16^{\frac{1}{2}}\cdot4^{\frac{1}{2}}$1612 ·412 

Att upphöja något med $\frac{1}{2}$12  är samma sak som roten ur. 

  $16^{\frac{1}{2}}\cdot4^{\frac{1}{2}}=\sqrt{16}\cdot\sqrt{4}=4\cdot2=8$1612 ·412 =16·4=4·2=8 

Exempel 6

Förenkla $\sqrt{3}\cdot9^{\frac{1}{4}}$3·914   till ett heltal.

Lösning:

 $\sqrt{3}\cdot9^{\frac{1}{4}}=3^{\frac{1}{2}}\cdot9^{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}}=$3·914 =312 ·912 ·12 =  $3^{\frac{1}{2}}\cdot(9^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}=3^{\frac{1}{2}}\cdot3^{\frac{1}{2}}=3^1=3$312 ·(912 )12 =312 ·312 =31=3 

Exempel i videon

  • $ 2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{4}} $
  • $ \frac{ 3^{ \frac{1}{2} }}{ 3^{ \frac{3}{2} }} $
  • $ (2^{ \frac{1}{3} })^{\frac{1}{4}} $
  • $ (3^{ \frac{1}{2} } \cdot 2^{ \frac{3}{4} })^{ \frac{1}{3} } $
  • $ 7^{ -\frac{3}{4} } $
  • Hantera roten ur och bråk med rationella exponenter
  • Potensen och dess exponent

Kommentarer

  1. I potenser med rationella exponenter övning . Stämmer inte siffrorna. I eran förklaring stämmer det dock. (2^1/2)^3≠2^7/2. Enligt vad jag vet iaf.

    Anders Glans
    1. Hej
      Tack för din fråga, tanken med övningen är att du skall avgöra var det blir fel, dvs i vilket steg.

      Simon Rybrand
  2. Missade att bocka för att jag vill ha epost vid svar.

    Johanna Forslind
  3. Hej! Jag förstår inte förlängningarna med x och 5 i fråga 5. Men jag har något svagt minne om att om man flyttar nämnarna till andra sidan likhetstecknet så ska de multipliceras och om jag gör så förstår jag att x =10…

    Johanna Forslind
  4. uppgiften efter B på samma är 4^1/3*16^1/5

    (2^2)^1/3 * (2^4)^1/5 –> 2^2/3 * 2^4/5 –> 2^10/15 * 2^12/15 = 2^22/15,
    Detta förstår jag, förenklingen, men hur blir (2^1/2)^3/4 * 2^-1/2 = 2^1/8 ???

    Mattias HÅkansson
  5. Hej! Hur löser jag
    (2^1/2)^3/4 * 2^-1/2.

    Mattias HÅkansson
    1. bump

      Mattias HÅkansson
    2. blir det (2^3/2)^1/4 x 2^-1/2 –> 2^3/8 * 2^-1/2 –> 2^3/8 * 2^-4/8 –>
      2^-(-1)/8?? Så man förenkla det? eller tänker jag fel där?

      Mattias HÅkansson
      1. Bara så att jag hjälper dig med rätt sak här, gäller det
        $(2^{\frac12})^{\frac34}·2^{\frac{-1}{2}}$?

        Simon Rybrand
  6. hej! hur löser man ekvationen 3=x upphöjt till 1/3

    Rahmah Alattafi
    1. Hej, det är en potensekvation. Många liknande ekvationer hittar du på vår lektion om potensekvationer.

      Simon Rybrand
  7. Hej! Finns det ett fel i uppgift 8? Jag förstår inte hur det blir som det blir..

    Jesper Westin
    1. Jag har fyllt på förklaringen till den uppgiften, han missar alltså att använda potensregeln $(a^b)^c=a^{bc}$

      Simon Rybrand
  8. Hej,

    i ex. 5, kan vi inte ta 2 / (1/5) = 10 också som alternativ till 2⋅5=X/5⋅5?

    RedEagle
    1. Hej, jag tror jag förstår hur du menar och det skall vara ok att göra så också.

      Simon Rybrand
  9. Uppgift 8!

    Är alternativ 3 en rätt förenkling ?
    Dvs är (2^1/2)^3 samma sak som 2^7/2 ?

    Jonas Rosell
    1. Hej, om jag förstår din fråga rätt så är det inte det då
      $ (2^{\frac12})^3 = 2^{\frac32} $, dvs du kan inte addera 2 med 1/3 utan dessa skall multipliceras där enligt potenslagen
      $ (a^b)^c = a^{bc} $

      Simon Rybrand
  10. varför blir inte 2 1/3 x 2 1/4= 4 7/12?

    Emily McEwan Fornhammar
    1. Hej
      Eftersom att det är potenser vi jobbar med så måste vi hålla oss till reglerna för dessa typer av tal. Vi kan inte multiplicera baserna utan använder oss av potensregeln
      $a^m \cdot a^n = a^{m + n}$
      för att utföra denna multiplikation.

      Simon Rybrand
  11. Hej, jag ska skriva följande i potens, kan du förklara denna?
    -8^1/3

    Med vänliga hälsningar,
    Pim

    Pimstoker15@hotmail.com
    1. Hej, det talet är redan skrivet som en potens med den rationella exponenten $\frac13$. Det du kan göra är att skriva om talet med tredjeroten ur, dvs att
      $-8^{\frac13}=-\sqrt[3]{8}$

      Simon Rybrand
      1. Sorry, jag råkade missuppfattade uppgiften. Det skulle stå:
        Beräkna utan räknare

        -8^1/3 jag vet att svaret är -2 men förstår inte hur man beräknar denna.

        Skulle du kunna förklara närmare?

        Pimstoker15@hotmail.com
        1. Eftersom att $2^3=8$ så gäller att $ \sqrt[3]{8} = 2 $. Alltså gäller att
          $-8^{\frac13}=-\sqrt[3]{8}=-2$

          Simon Rybrand
  12. Hej!
    På fråga 7 verkar det ha smugit sig in ett litet fel, det står att lådan ska rymma 64 m2 istället för 64 m3.
    Mvh
    Ki

    Ki Nyhlen
    1. Hej! Tack för att du sade till om detta, det är korrigerat.

      Simon Rybrand
  13. Hej! Jag läser matte 3b, och är nu på kapitlet talföljder och talet e. I första kapitlet handlar det om potenser, och har några uppgifter jag inte riktigt vet hur jag ska lösa

    …man skriver ju x^4= 100 -> X= 100^1/4

    …men hur ska jag skriva följande? Det står att man ska bestämma den positiva roten till ekvationerna.

    y^0,2=3

    5 × x^1,25=80

    y^5+70=290

    3,1 + x^0,05=9

    0,2 × x^30 – 65=150

    Tack så mycket för en grym hemsida!!!!

    GabriellaR
    1. Precis som i ditt exempel fast med ett decimal tal. Eller du får skriva om till bråkform.

      y^0,2=3 y^(1/5)=3 y=3^(1/0,2) y=3^(1/1/5) y=3^5

      5x^(1,25)=80 x^(1,25)=40 x=40^(1/1,25) x=40^(1/5/4) x=40^(4/5)

      y^5+70=290 y^5=290-70 y=220^(1/5)

      3,1+x^(0,05)=9 x=(5,9)^(1/0,05) x= (5,9)^(1/1/20) x=(5,9)^20

      0,2x^(30)-65=150 x^30=205/0,2 x=(205/(1/5))^(1/30) x=(205*5)^(1/30) x=1025^(1/30)

      Hoppas det hjälper!

      Pedro Veenekamp
  14. Känner mig lite förvirrad men vad är det för skillnad på

    a^(1/2)

    och

    a^(2/2)

    Blir inte båda a^1? Ber om ursäkt ifall jag har missat något helt uppenbart.
    Tack!

    NSchultz
    1. Hej, Nej de blir inte lika med varandra då $\frac12 = 0,5$ och $ \frac22 = 1 $. Exempelvis gäller att
      $ a^{1/2}=\sqrt{a} $ enligt en potensregel.

      Simon Rybrand
  15. Hur gör man när man räknare ut såna här?

    9^(3/2)

    Petter Östergren
    1. Hej, man kan dela upp beräkningen på följande vis där man använder sig av att $ a^{1/2}=\sqrt{a} $:
      $9^{\frac32}=(9^{\frac12})^3=(\sqrt{9})^3=3^3=27$

      Simon Rybrand
  16. 9/25^ -3/2
    hur förenklar man denna

    sara
    1. Hej, hade nog gjort så här:
      $ (\frac{9}{25})^{-3/2} = (\frac{9^{1/2}}{25^{1/2}})^{-3}= $
      $(\frac{3}{5})^{-3} = \frac{3^{-3}}{5^{-3}}=$
      $ \frac{5^3}{3^3} = \frac{125}{27}$

      Simon Rybrand
      1. Hej!
        Jag förstår inte hur kommer det 125 från 5 ggr 5? jag tycker att denna förklaring var inte tillräcklig klar. Kunde man börja med att skriva : (9/25 )^ −3/2 = 1/ (9/25 )^ −3/2, stämmer det?

        Patricia Olaya-Contreras
        1. Det är för att $5^3=5·5·5=125$, hjälper detta dig vidare?

          Simon Rybrand
  17. Förstår inte riktigt sista exemplet, med a^1/2=roten ur a
    varför är det samma sak som roten ur a gånger roten ur a? ska det inte vara a^1/2=roten ur a^2 då?

    nti_ma2
    1. Det första där är mest regeln att
      $ a^{1/2}= \sqrt{a} $
      och att denna kan användas för att förstå vad
      $ 2^{1/2}⋅2^{1/2} $
      blir på två olika sätt.

      Den ena varianten är då man känner till regeln här ovan och skriver om
      $ 2^{1/2}⋅2^{1/2}=\sqrt{2}⋅\sqrt{2}=2 $

      Alternativet är att beräkna
      $ 2^{1/2}⋅2^{1/2}=2^{1/2+1/2}=2^1=2$

      Simon Rybrand
  18. Jag läser matematik 1c och har ett konto här (matematik1), nu behöver jag lära mig POTENSER MED RATIONELL EXPONENT som ingår i min matte 1 kurs, varför är denna video bara till för matematik 2?… lägg gärna in en genomgång för detta även på kursen matte 1 🙂

    claraedstrom
    1. Hejsan, vi har lagt in denna video i Matematik 1 också, lycka till med pluggandet!

      Simon Rybrand
  19. Hur fasen löser jag följande?

    $ 2^{1/2}*4^{3/2}*8^{4/3}=$?

    Skriv gärna med exempel som jag kan använda. Jag får inte till det ;(

    Tack i förväg.

    nti_ma2
    1. Hej, du behöver skriva om potenserna så att du har samma bas 2, dvs du kan skriva $ 4 = 2^2 $ och $ 8 = 2^3 $. Då får du
      $ 2^{1/2}*(2^2)^{3/2}*(2^3)^{4/3}= $
      $ 2^{1/2}*2^3*2^4 $

      Sedan kan du använda potensreglerna då du har samma bas.

      Simon Rybrand
  20. Hur skriver man:

    a^3*√a

    som potens med basen a?

    gustav
    1. Hej, här behöver du använda potensreglerna:
      $ a^b ⋅ a^c = a^{b+c} $
      $ \sqrt{a} = a^{1/2} $
      Så du får
      $ a^3 \cdot \sqrt{a} = a^3 \cdot a^{1/2} = a^{\frac31 + \frac12} $ $ = a^{\frac62 + \frac12} = a^{\frac72} $

      Simon Rybrand
      1. Blir väl ändå a^(7/2)?

        Samuel Gustafsson
        1. Jepp, fixar det!

          Simon Rybrand
  21. Hej
    Hur räknar man detta utan räknare? (1/4)^1/2
    tack

    nti_ma2
    1. Hejsan,
      Där kan du använda att $ a^{1/2} = \sqrt{a} $ och att $ \sqrt{ \frac{a}{b} } = \frac{ \sqrt{a} }{ \sqrt{b} } $
      Så du kan alltså räkna ut det enligt
      $ (\frac{1}{4})^{1/2} = \sqrt{ \frac{1}{4} } = \frac{ \sqrt{1} }{ \sqrt{4}} = \frac{1}{2} $

      Simon Rybrand
  22. x^5/2
    dividerat med
    x^3/2
    = 18.

    Lite svårt och formulera på dator…=)

    annab87
    1. Använd förenklingen här ovan och lös sedan ekvationen
      $ x^2 = 18 $

      Simon Rybrand
  23. hej!! klurar med denna, lös ekvationen: x^5/2 dividerat med x^3/2 och är lika med 18.

    tacksam för svar

    annab87
    1. Är det

      $ \frac{\frac{x^5}{2}}{\frac{x^3}{2}} $

      som du jobbar med?

      Då använder du regeln för att dividera bråktal med varandra och får

      $ \frac{x^5}{2} / \frac{x^3}{2} = \frac{2x^5}{2x^3} = \frac{x^5}{x^3} = x^2 $

      Simon Rybrand

Endast premiumkunder kan kommentera. Prova Premium!

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: