...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Potenser med rationella exponenter

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Potenser är tal som kan skrivas med en bas och en exponent. I den här lektionen går vi igenom hur du jobbar med potenser med rationella exponenter, dvs då exponenten är ett bråktal.

Potenser med rationella exponenter

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

När en potens har en rationell exponent så betyder det att basen upphöjs med en exponent som är ett bråktal, exempelvis $\frac{1}{2}$12  eller $\frac{4}{7}$47 . Ett annat namn för bråktal är rationellt tal, därav namnet.

Potenser med rationella exponenter

Det finns ett viktigt samband mellan rationella exponenter och roten ur uttryck.

Potenslagar – roten ur och rationella exponenter

$ a^{ \frac{1}{2} } = \sqrt{a} $
$ a^{ \frac{1}{n} } = \sqrt[n]{a}$

Övriga potenslagar

$ a^m \cdot a^n = a^{m + n}$ (Multiplikationsregeln)
$ \frac{a^m}{a^n} = a^{m – n}$ (Divisionsregeln)
$ (a^m)^n = a^{m \cdot n}$ (Regeln för potens av en potens)
$ (a \cdot b)^x = a^x \cdot b^x $ (regeln för potens av en produkt)
$ a^0 = 1 $ (regel för upphöjt till noll)
$ a^{-x} = \frac{1}{a^x} $ (regel för negativ exponent)

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Potenser med rationella exponenter

När potenser har exponenter som består av rationella expontenter (bråktal) så gäller samma regler som nämns ovan. Det kan dock krävas lite övning innan man vänjer sig vid att hantera dessa typer av exponenter. Du behöver känna till hur du hanterar potenser, adderar och subtraherar bråktal och multiplicerar och dividerar bråk.

Det är också viktigt att du förstår kopplingen mellan roten ur uttryck och potenser med rationella exponenter. Nedan visas ett antal exempel på där du kan se hur sådan här potenser hanteras.

Exempel 1 – Multiplikation

Skriv som en potens  $x^{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{4}{3}}$x13 ·x43  

Lösning

Här får vi använda multiplikationsregeln. Exponenterna adderas på samma sätt som två bråktal adderas.

 $x^{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{4}{3}}=x^{\frac{1+4}{3}}=x^{\frac{5}{3}}$x13 ·x43 =x1+43 =x53 

Exempel 2 – Roten ur

Skriv $\sqrt{2}$2 som en potens

Lösning

Vi använder regeln för roten ur och får

 $\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}$2=212  

Exempel 3 – Division och olika nämnare

Skriv som en potens: $\frac{\,\,2^{\frac27}\,\,}{2^{\frac{1}{4}}}$

Lösning

Vi börjar att använda potensregeln för division

$\frac{\,\,2^{\frac27}\,\,}{2^{\frac{1}{4}}} = 2^{\frac27-\frac14} $

Nu förlänger vi exponenterna så att de har samma nämnare 28. Vi gör det först och använder det för att skriva om potenserna.

 $\frac{2}{7}=\frac{2\cdot4}{7\cdot4}=\frac{8}{28}$27 =2·47·4 =828  och $\frac{1}{4}=\frac{1\cdot7}{4\cdot7}=\frac{7}{28}$14 =1·74·7 =728   

Nu gör vi klart

 $2^{\frac{2}{7}-\frac{1}{4}}=2^{\frac{8}{28}-\frac{7}{28}}=2^{\frac{1}{28}}$227 14 =2828 728 =2128  

Exempel 4 – potens av en potens

Skriv $\left(2^{\frac{1}{4}}\right)^{\frac{2}{3}}$(214 )23  som en potens

Lösning:

 $\left(2^{\frac{1}{4}}\right)^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}}=2^{\frac{2}{12}}=2^{\frac{1}{6}}$(214 )23 =214 ·23 =2212 =216  

Exempel 5 – Potens av en produkt

Skriv $\left(16\cdot4\right)^{\frac{1}{2}}$(16·4)12  som ett heltal utan att använda räknare

Lösning:

Vi använder regeln för en potens av en produkt

  $16^{\frac{1}{2}}\cdot4^{\frac{1}{2}}$1612 ·412 

Att upphöja något med $\frac{1}{2}$12  är samma sak som roten ur. 

  $16^{\frac{1}{2}}\cdot4^{\frac{1}{2}}=\sqrt{16}\cdot\sqrt{4}=4\cdot2=8$1612 ·412 =16·4=4·2=8 

Exempel 6

Förenkla $\sqrt{3}\cdot9^{\frac{1}{4}}$3·914   till ett heltal.

Lösning:

 $\sqrt{3}\cdot9^{\frac{1}{4}}=3^{\frac{1}{2}}\cdot9^{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}}=$3·914 =312 ·912 ·12 =  $3^{\frac{1}{2}}\cdot(9^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}=3^{\frac{1}{2}}\cdot3^{\frac{1}{2}}=3^1=3$312 ·(912 )12 =312 ·312 =31=3 

Exempel i videon

  • $ 2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{4}} $
  • $ \frac{ 3^{ \frac{1}{2} }}{ 3^{ \frac{3}{2} }} $
  • $ (2^{ \frac{1}{3} })^{\frac{1}{4}} $
  • $ (3^{ \frac{1}{2} } \cdot 2^{ \frac{3}{4} })^{ \frac{1}{3} } $
  • $ 7^{ -\frac{3}{4} } $
  • Hantera roten ur och bråk med rationella exponenter
  • Potensen och dess exponent

Kommentarer

Ahmad Abu khamis

Tack för er ..Men det är viktigt för mig att ska finnas en text med videor. Hoppas att ni tar hänsyn om detta. Dvs att det är viktigt för utländska som tappar några ord under förklaringen…då kan lätt se texten som fungerar med videon.

    Anna Admin (Moderator)

    Hej.

    Tack för din kommentar. Vi har textning på våra nyare filmer och kommer fortsätta att lägga med det på allt nytt vi producerar. Vi beklagar att det inte finns på alla gamla.

    Vi hoppas ändå att du kan ha nytta av vår tjänst och lära dig av den. Lycka till.

Anders Glans

I potenser med rationella exponenter övning . Stämmer inte siffrorna. I eran förklaring stämmer det dock. (2^1/2)^3≠2^7/2. Enligt vad jag vet iaf.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Tack för din fråga, tanken med övningen är att du skall avgöra var det blir fel, dvs i vilket steg.

Johanna Forslind

Missade att bocka för att jag vill ha epost vid svar.

Johanna Forslind

Hej! Jag förstår inte förlängningarna med x och 5 i fråga 5. Men jag har något svagt minne om att om man flyttar nämnarna till andra sidan likhetstecknet så ska de multipliceras och om jag gör så förstår jag att x =10…

Mattias HÅkansson

uppgiften efter B på samma är 4^1/3*16^1/5

(2^2)^1/3 * (2^4)^1/5 –> 2^2/3 * 2^4/5 –> 2^10/15 * 2^12/15 = 2^22/15,
Detta förstår jag, förenklingen, men hur blir (2^1/2)^3/4 * 2^-1/2 = 2^1/8 ???

Mattias HÅkansson

Hej! Hur löser jag
(2^1/2)^3/4 * 2^-1/2.

    Mattias HÅkansson

    bump

    Mattias HÅkansson

    blir det (2^3/2)^1/4 x 2^-1/2 –> 2^3/8 * 2^-1/2 –> 2^3/8 * 2^-4/8 –>
    2^-(-1)/8?? Så man förenkla det? eller tänker jag fel där?

      Simon Rybrand (Moderator)

      Bara så att jag hjälper dig med rätt sak här, gäller det
      $(2^{\frac12})^{\frac34}·2^{\frac{-1}{2}}$?

Rahmah Alattafi

hej! hur löser man ekvationen 3=x upphöjt till 1/3

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, det är en potensekvation. Många liknande ekvationer hittar du på vår lektion om potensekvationer.

Jesper Westin

Hej! Finns det ett fel i uppgift 8? Jag förstår inte hur det blir som det blir..

    Simon Rybrand (Moderator)

    Jag har fyllt på förklaringen till den uppgiften, han missar alltså att använda potensregeln $(a^b)^c=a^{bc}$

RedEagle

Hej,

i ex. 5, kan vi inte ta 2 / (1/5) = 10 också som alternativ till 2⋅5=X/5⋅5?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, jag tror jag förstår hur du menar och det skall vara ok att göra så också.

Jonas Rosell

Uppgift 8!

Är alternativ 3 en rätt förenkling ?
Dvs är (2^1/2)^3 samma sak som 2^7/2 ?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, om jag förstår din fråga rätt så är det inte det då
    $ (2^{\frac12})^3 = 2^{\frac32} $, dvs du kan inte addera 2 med 1/3 utan dessa skall multipliceras där enligt potenslagen
    $ (a^b)^c = a^{bc} $

Emily McEwan Fornhammar

varför blir inte 2 1/3 x 2 1/4= 4 7/12?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Eftersom att det är potenser vi jobbar med så måste vi hålla oss till reglerna för dessa typer av tal. Vi kan inte multiplicera baserna utan använder oss av potensregeln
    $a^m \cdot a^n = a^{m + n}$
    för att utföra denna multiplikation.

Pimstoker15@hotmail.com

Hej, jag ska skriva följande i potens, kan du förklara denna?
-8^1/3

Med vänliga hälsningar,
Pim

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, det talet är redan skrivet som en potens med den rationella exponenten $\frac13$. Det du kan göra är att skriva om talet med tredjeroten ur, dvs att
    $-8^{\frac13}=-\sqrt[3]{8}$

      Pimstoker15@hotmail.com

      Sorry, jag råkade missuppfattade uppgiften. Det skulle stå:
      Beräkna utan räknare

      -8^1/3 jag vet att svaret är -2 men förstår inte hur man beräknar denna.

      Skulle du kunna förklara närmare?

        Simon Rybrand (Moderator)

        Eftersom att $2^3=8$ så gäller att $ \sqrt[3]{8} = 2 $. Alltså gäller att
        $-8^{\frac13}=-\sqrt[3]{8}=-2$

Ki Nyhlen

Hej!
På fråga 7 verkar det ha smugit sig in ett litet fel, det står att lådan ska rymma 64 m2 istället för 64 m3.
Mvh
Ki

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej! Tack för att du sade till om detta, det är korrigerat.

GabriellaR

Hej! Jag läser matte 3b, och är nu på kapitlet talföljder och talet e. I första kapitlet handlar det om potenser, och har några uppgifter jag inte riktigt vet hur jag ska lösa

…man skriver ju x^4= 100 -> X= 100^1/4

…men hur ska jag skriva följande? Det står att man ska bestämma den positiva roten till ekvationerna.

y^0,2=3

5 × x^1,25=80

y^5+70=290

3,1 + x^0,05=9

0,2 × x^30 – 65=150

Tack så mycket för en grym hemsida!!!!

    Pedro Veenekamp

    Precis som i ditt exempel fast med ett decimal tal. Eller du får skriva om till bråkform.

    y^0,2=3 y^(1/5)=3 y=3^(1/0,2) y=3^(1/1/5) y=3^5

    5x^(1,25)=80 x^(1,25)=40 x=40^(1/1,25) x=40^(1/5/4) x=40^(4/5)

    y^5+70=290 y^5=290-70 y=220^(1/5)

    3,1+x^(0,05)=9 x=(5,9)^(1/0,05) x= (5,9)^(1/1/20) x=(5,9)^20

    0,2x^(30)-65=150 x^30=205/0,2 x=(205/(1/5))^(1/30) x=(205*5)^(1/30) x=1025^(1/30)

    Hoppas det hjälper!

NSchultz

Känner mig lite förvirrad men vad är det för skillnad på

a^(1/2)

och

a^(2/2)

Blir inte båda a^1? Ber om ursäkt ifall jag har missat något helt uppenbart.
Tack!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, Nej de blir inte lika med varandra då $\frac12 = 0,5$ och $ \frac22 = 1 $. Exempelvis gäller att
    $ a^{1/2}=\sqrt{a} $ enligt en potensregel.

Petter Östergren

Hur gör man när man räknare ut såna här?

9^(3/2)

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, man kan dela upp beräkningen på följande vis där man använder sig av att $ a^{1/2}=\sqrt{a} $:
    $9^{\frac32}=(9^{\frac12})^3=(\sqrt{9})^3=3^3=27$

sara

9/25^ -3/2
hur förenklar man denna

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, hade nog gjort så här:
    $ (\frac{9}{25})^{-3/2} = (\frac{9^{1/2}}{25^{1/2}})^{-3}= $
    $(\frac{3}{5})^{-3} = \frac{3^{-3}}{5^{-3}}=$
    $ \frac{5^3}{3^3} = \frac{125}{27}$

      Patricia Olaya-Contreras

      Hej!
      Jag förstår inte hur kommer det 125 från 5 ggr 5? jag tycker att denna förklaring var inte tillräcklig klar. Kunde man börja med att skriva : (9/25 )^ −3/2 = 1/ (9/25 )^ −3/2, stämmer det?

        Simon Rybrand (Moderator)

        Det är för att $5^3=5·5·5=125$, hjälper detta dig vidare?

nti_ma2

Förstår inte riktigt sista exemplet, med a^1/2=roten ur a
varför är det samma sak som roten ur a gånger roten ur a? ska det inte vara a^1/2=roten ur a^2 då?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Det första där är mest regeln att
    $ a^{1/2}= \sqrt{a} $
    och att denna kan användas för att förstå vad
    $ 2^{1/2}⋅2^{1/2} $
    blir på två olika sätt.

    Den ena varianten är då man känner till regeln här ovan och skriver om
    $ 2^{1/2}⋅2^{1/2}=\sqrt{2}⋅\sqrt{2}=2 $

    Alternativet är att beräkna
    $ 2^{1/2}⋅2^{1/2}=2^{1/2+1/2}=2^1=2$

claraedstrom

Jag läser matematik 1c och har ett konto här (matematik1), nu behöver jag lära mig POTENSER MED RATIONELL EXPONENT som ingår i min matte 1 kurs, varför är denna video bara till för matematik 2?… lägg gärna in en genomgång för detta även på kursen matte 1 🙂

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hejsan, vi har lagt in denna video i Matematik 1 också, lycka till med pluggandet!

nti_ma2

Hur fasen löser jag följande?

$ 2^{1/2}*4^{3/2}*8^{4/3}=$?

Skriv gärna med exempel som jag kan använda. Jag får inte till det ;(

Tack i förväg.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, du behöver skriva om potenserna så att du har samma bas 2, dvs du kan skriva $ 4 = 2^2 $ och $ 8 = 2^3 $. Då får du
    $ 2^{1/2}*(2^2)^{3/2}*(2^3)^{4/3}= $
    $ 2^{1/2}*2^3*2^4 $

    Sedan kan du använda potensreglerna då du har samma bas.

gustav

Hur skriver man:

a^3*√a

som potens med basen a?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, här behöver du använda potensreglerna:
    $ a^b ⋅ a^c = a^{b+c} $
    $ \sqrt{a} = a^{1/2} $
    Så du får
    $ a^3 \cdot \sqrt{a} = a^3 \cdot a^{1/2} = a^{\frac31 + \frac12} $ $ = a^{\frac62 + \frac12} = a^{\frac72} $

      Samuel Gustafsson

      Blir väl ändå a^(7/2)?

        Simon Rybrand (Moderator)

        Jepp, fixar det!

nti_ma2

Hej
Hur räknar man detta utan räknare? (1/4)^1/2
tack

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hejsan,
    Där kan du använda att $ a^{1/2} = \sqrt{a} $ och att $ \sqrt{ \frac{a}{b} } = \frac{ \sqrt{a} }{ \sqrt{b} } $
    Så du kan alltså räkna ut det enligt
    $ (\frac{1}{4})^{1/2} = \sqrt{ \frac{1}{4} } = \frac{ \sqrt{1} }{ \sqrt{4}} = \frac{1}{2} $

annab87

x^5/2
dividerat med
x^3/2
= 18.

Lite svårt och formulera på dator…=)

    Simon Rybrand (Moderator)

    Använd förenklingen här ovan och lös sedan ekvationen
    $ x^2 = 18 $

annab87

hej!! klurar med denna, lös ekvationen: x^5/2 dividerat med x^3/2 och är lika med 18.

tacksam för svar

    Simon Rybrand (Moderator)

    Är det

    $ \frac{\frac{x^5}{2}}{\frac{x^3}{2}} $

    som du jobbar med?

    Då använder du regeln för att dividera bråktal med varandra och får

    $ \frac{x^5}{2} / \frac{x^3}{2} = \frac{2x^5}{2x^3} = \frac{x^5}{x^3} = x^2 $


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (13)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna potensen  $2^{\frac{4}{8}}\cdot2^{\frac{1}{2}}$248 ·212  

    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna $16^{\frac{1}{4}}$1614   

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Förenkla  $(16^{1/2})^{1/2}$(161/2)1/2 

    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Förenkla  $\frac{5^{\frac{4}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$543 523   

    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilket alternativ är samma sak som $5^{-\frac{2}{5}}$525  ?

    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna potensen $3$3 $^{\frac{3}{4}}$34   $\cdot3$·3 $^{\frac{10}{8}}$108  

    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Förenkla  $3^{\frac{1}{3}}\cdot3^{\frac{1}{3}}\cdot3^{\frac{1}{3}}$313 ·313 ·313  

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna ( $6$6 $^{\frac{2}{5}}$25  ) $^{\frac{3}{4}}$34  

    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M
    R1
    K

    Ofelia och Hamlet ska beräkna hur lång sidan på en kubisk låda ska vara. Lådan måste rymma  $64dm^3$64dm3 

    Ofelia säger att sidan måste vara  $64^{\frac{1}{3}}$6413   dm lång, medan Hamlet menar att den ska vara  $\sqrt[3]{64}$364  dm lång.

    Vem har rätt?

    Rättar...
  • 10. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Förenkla $\frac{4^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{4}}}$413 414    

    Rättar...
  • 11. Premium

    Rapportera fel
    (1/1/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen  $\frac{5^{\frac{2}{9}}}{5^{\frac{4}{3}}}=5^{\frac{x}{9}}$529 543  =5x9  

    Rättar...
  • 12. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna sidornas längd för kuben på bilden.

    Rättar...
  • 13. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M
    R1
    K

    Orvar ska förenkla uttrycket  $(2^{\frac{1}{2}})^3$(212 )3  och gör följande förenklingar. 

    Steg 1.  $(2^{\frac{1}{2})^3}$(212 )3 

    Steg 2.  $2^{\frac{1}{2}+3}$212 +3 

    Steg 3.  $2^{\frac{1}{2}+\frac{6}{2}}$212 +62  

    Steg 4.  $2^{\frac{7}{2}}$272  

    Stämmer dessa eller i vilken rad finns det ett fel?

    Rättar...

c-uppgifter (2)

  • 14. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Förenkla $\left(3^{\frac{4}{6}}\cdot5^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{4}}$(346 ·523 )34  

    Rättar...
  • 15. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen  $7^{\frac{2}{5}}\cdot7^{\frac{2}{x}}=7^{\frac{3}{5}}$725 ·72x =735  

    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar