Potenser är tal som kan skrivas med en bas och en exponent. I den här genomgången går vi igenom hur du jobbar med potenser med rationella exponenter, dvs då exponenten är ett bråktal.
Vad tycker du om videon?
Loading...Potenser med rationella exponenter
Video
Loading...Övning
8
FRÅGOR
TESTA DIG SJÄLV
Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
MEDELPOÄNG
ALLA
5
Text
Exempel i videon
- $ 2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{4}} $
- $ \frac{ 3^{ \frac{1}{2} }}{ 3^{ \frac{3}{2} }} $
- $ (2^{ \frac{1}{3} })^{\frac{1}{4}} $
- $ (3^{ \frac{1}{2} } \cdot 2^{ \frac{3}{4} })^{ \frac{1}{3} } $
- $ 7^{ -\frac{3}{4} } $
- Hantera roten ur och bråk med rationella exponenter
- Potensen och dess exponent
Vad är en potens och potenslagarna
En potens är ett tal multiplicerat med sig självt lika många gånger som värdet i exponenten. Så om vi har talet $ 3^4 $ där basen är 3 och exponenten 4 multiplicerar vi alltså 3 med sig självt 4 gånger.
Exempelvis gäller att:
$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 $
För potensregler gäller en mängd olika regler som ofta kallas för potenslagar eller potensregler. Dessa är mycket bra att vara bekant med för att enkelt kunna göra beräkningar med potenser. De potensregler som är vanligast är följande:
Potensregler
$ a^m \cdot a^n = a^{m + n}$
$ \frac{a^m}{a^n} = a^{m – n}$
$ (a^m)^n = a^{m \cdot n}$
$ (a \cdot b)^x = a^x \cdot b^x $
$ a^0 = 1 $
$ a^{-x} = \frac{1}{a^x} $
$ a^{ \frac{1}{2} } = \sqrt{a} $
$ a^{ \frac{1}{x} } = \sqrt[x]{a}$
Potenser med rationella exponenter
När potenser har exponenter som består av rationella expontenter (bråktal) så gäller samma regler som nämns ovan. Det kan dock krävas lite övningar innan man vänjer sig vid att hantera dessa typer av exponenter.
Det kan vara viktigt att känna till att vi använder dessa regler i samband med att vi löser potensekvationer samt indirekt då vi löser exponentialekvationer med logaritmer.
Exempel 1
Förenkla $x^{\frac13}⋅x^{\frac25} $
Lösning:
$x^{\frac13}⋅x^{\frac25} = x^{\frac13+\frac25} = $
$ x^{\frac{5}{15}+\frac{6}{15}} =x^{\frac{11}{15}} $
Exempel 2
Förenkla $\frac{\,\,2^{\frac27}\,\,}{2^{\frac{1}{4}}}$
Lösning:
$\frac{\,\,2^{\frac27}\,\,}{2^{\frac{1}{4}}} = 2^{\frac27-\frac14} = $
$2^{\frac27-\frac14} = 2^{\frac{8}{28}-\frac{7}{28}}=2^{\frac{1}{28}}$
Exempel 3:
Förenkla $\sqrt{3}\cdot 9^{\frac{1}{4}} $ till ett heltal.
Lösning:
$\sqrt{3}\cdot 9^{\frac{1}{4}} = 3^{\frac12}⋅9^{\frac12⋅\frac12} = $
$3^{\frac12}⋅(9^{\frac12})^{\frac12} = 3^{\frac12}⋅3^{\frac12}=3^1=3 $
Kommentarer
Kommentarer är inaktiverade. Logga in för att felrapportera.
Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar.
När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda
kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod:
hej!! klurar med denna, lös ekvationen: x^5/2 dividerat med x^3/2 och är lika med 18.
tacksam för svar
Är det
som du jobbar med?
Då använder du regeln för att dividera bråktal med varandra och får
$ \frac{x^5}{2} / \frac{x^3}{2} = \frac{2x^5}{2x^3} = \frac{x^5}{x^3} = x^2 $
x^5/2
dividerat med
x^3/2
= 18.
Lite svårt och formulera på dator…=)
Använd förenklingen här ovan och lös sedan ekvationen
$ x^2 = 18 $
Hej
Hur räknar man detta utan räknare? (1/4)^1/2
tack
Hejsan,
Där kan du använda att $ a^{1/2} = \sqrt{a} $ och att $ \sqrt{ \frac{a}{b} } = \frac{ \sqrt{a} }{ \sqrt{b} } $
Så du kan alltså räkna ut det enligt
$ (\frac{1}{4})^{1/2} = \sqrt{ \frac{1}{4} } = \frac{ \sqrt{1} }{ \sqrt{4}} = \frac{1}{2} $
Hur skriver man:
a^3*√a
som potens med basen a?
Hej, här behöver du använda potensreglerna:
$ a^b ⋅ a^c = a^{b+c} $
$ \sqrt{a} = a^{1/2} $
Så du får
$ a^3 \cdot \sqrt{a} = a^3 \cdot a^{1/2} = a^{\frac31 + \frac12} $ $ = a^{\frac62 + \frac12} = a^{\frac72} $
Blir väl ändå a^(7/2)?
Jepp, fixar det!
Hur fasen löser jag följande?
$ 2^{1/2}*4^{3/2}*8^{4/3}=$?
Skriv gärna med exempel som jag kan använda. Jag får inte till det ;(
Tack i förväg.
Hej, du behöver skriva om potenserna så att du har samma bas 2, dvs du kan skriva $ 4 = 2^2 $ och $ 8 = 2^3 $. Då får du
$ 2^{1/2}*(2^2)^{3/2}*(2^3)^{4/3}= $
$ 2^{1/2}*2^3*2^4 $
Sedan kan du använda potensreglerna då du har samma bas.
Jag läser matematik 1c och har ett konto här (matematik1), nu behöver jag lära mig POTENSER MED RATIONELL EXPONENT som ingår i min matte 1 kurs, varför är denna video bara till för matematik 2?… lägg gärna in en genomgång för detta även på kursen matte 1 🙂
Hejsan, vi har lagt in denna video i Matematik 1 också, lycka till med pluggandet!
Förstår inte riktigt sista exemplet, med a^1/2=roten ur a
varför är det samma sak som roten ur a gånger roten ur a? ska det inte vara a^1/2=roten ur a^2 då?
Det första där är mest regeln att
$ a^{1/2}= \sqrt{a} $
och att denna kan användas för att förstå vad
$ 2^{1/2}⋅2^{1/2} $
blir på två olika sätt.
Den ena varianten är då man känner till regeln här ovan och skriver om
$ 2^{1/2}⋅2^{1/2}=\sqrt{2}⋅\sqrt{2}=2 $
Alternativet är att beräkna
$ 2^{1/2}⋅2^{1/2}=2^{1/2+1/2}=2^1=2$
9/25^ -3/2
hur förenklar man denna
Hej, hade nog gjort så här:
$ (\frac{9}{25})^{-3/2} = (\frac{9^{1/2}}{25^{1/2}})^{-3}= $
$(\frac{3}{5})^{-3} = \frac{3^{-3}}{5^{-3}}=$
$ \frac{5^3}{3^3} = \frac{125}{27}$
Hej!
Jag förstår inte hur kommer det 125 från 5 ggr 5? jag tycker att denna förklaring var inte tillräcklig klar. Kunde man börja med att skriva : (9/25 )^ −3/2 = 1/ (9/25 )^ −3/2, stämmer det?
Det är för att $5^3=5·5·5=125$, hjälper detta dig vidare?
Hur gör man när man räknare ut såna här?
9^(3/2)
Hej, man kan dela upp beräkningen på följande vis där man använder sig av att $ a^{1/2}=\sqrt{a} $:
$9^{\frac32}=(9^{\frac12})^3=(\sqrt{9})^3=3^3=27$
Känner mig lite förvirrad men vad är det för skillnad på
a^(1/2)
och
a^(2/2)
Blir inte båda a^1? Ber om ursäkt ifall jag har missat något helt uppenbart.
Tack!
Hej, Nej de blir inte lika med varandra då $\frac12 = 0,5$ och $ \frac22 = 1 $. Exempelvis gäller att
$ a^{1/2}=\sqrt{a} $ enligt en potensregel.
Hej! Jag läser matte 3b, och är nu på kapitlet talföljder och talet e. I första kapitlet handlar det om potenser, och har några uppgifter jag inte riktigt vet hur jag ska lösa
…man skriver ju x^4= 100 -> X= 100^1/4
…men hur ska jag skriva följande? Det står att man ska bestämma den positiva roten till ekvationerna.
y^0,2=3
5 × x^1,25=80
y^5+70=290
3,1 + x^0,05=9
0,2 × x^30 – 65=150
Tack så mycket för en grym hemsida!!!!
Precis som i ditt exempel fast med ett decimal tal. Eller du får skriva om till bråkform.
y^0,2=3 y^(1/5)=3 y=3^(1/0,2) y=3^(1/1/5) y=3^5
5x^(1,25)=80 x^(1,25)=40 x=40^(1/1,25) x=40^(1/5/4) x=40^(4/5)
y^5+70=290 y^5=290-70 y=220^(1/5)
3,1+x^(0,05)=9 x=(5,9)^(1/0,05) x= (5,9)^(1/1/20) x=(5,9)^20
0,2x^(30)-65=150 x^30=205/0,2 x=(205/(1/5))^(1/30) x=(205*5)^(1/30) x=1025^(1/30)
Hoppas det hjälper!
Hej!
På fråga 7 verkar det ha smugit sig in ett litet fel, det står att lådan ska rymma 64 m2 istället för 64 m3.
Mvh
Ki
Hej! Tack för att du sade till om detta, det är korrigerat.
Hej, jag ska skriva följande i potens, kan du förklara denna?
-8^1/3
Med vänliga hälsningar,
Pim
Hej, det talet är redan skrivet som en potens med den rationella exponenten $\frac13$. Det du kan göra är att skriva om talet med tredjeroten ur, dvs att
$-8^{\frac13}=-\sqrt[3]{8}$
Sorry, jag råkade missuppfattade uppgiften. Det skulle stå:
Beräkna utan räknare
-8^1/3 jag vet att svaret är -2 men förstår inte hur man beräknar denna.
Skulle du kunna förklara närmare?
Eftersom att $2^3=8$ så gäller att $ \sqrt[3]{8} = 2 $. Alltså gäller att
$-8^{\frac13}=-\sqrt[3]{8}=-2$
varför blir inte 2 1/3 x 2 1/4= 4 7/12?
Hej
Eftersom att det är potenser vi jobbar med så måste vi hålla oss till reglerna för dessa typer av tal. Vi kan inte multiplicera baserna utan använder oss av potensregeln
$a^m \cdot a^n = a^{m + n}$
för att utföra denna multiplikation.
Uppgift 8!
Är alternativ 3 en rätt förenkling ?
Dvs är (2^1/2)^3 samma sak som 2^7/2 ?
Hej, om jag förstår din fråga rätt så är det inte det då
$ (2^{\frac12})^3 = 2^{\frac32} $, dvs du kan inte addera 2 med 1/3 utan dessa skall multipliceras där enligt potenslagen
$ (a^b)^c = a^{bc} $
Hej,
i ex. 5, kan vi inte ta 2 / (1/5) = 10 också som alternativ till 2⋅5=X/5⋅5?
Hej, jag tror jag förstår hur du menar och det skall vara ok att göra så också.
Hej! Finns det ett fel i uppgift 8? Jag förstår inte hur det blir som det blir..
Jag har fyllt på förklaringen till den uppgiften, han missar alltså att använda potensregeln $(a^b)^c=a^{bc}$
hej! hur löser man ekvationen 3=x upphöjt till 1/3
Hej, det är en potensekvation. Många liknande ekvationer hittar du på vår lektion om potensekvationer.
Hej! Hur löser jag
(2^1/2)^3/4 * 2^-1/2.
bump
blir det (2^3/2)^1/4 x 2^-1/2 –> 2^3/8 * 2^-1/2 –> 2^3/8 * 2^-4/8 –>
2^-(-1)/8?? Så man förenkla det? eller tänker jag fel där?
Bara så att jag hjälper dig med rätt sak här, gäller det
$(2^{\frac12})^{\frac34}·2^{\frac{-1}{2}}$?
uppgiften efter B på samma är 4^1/3*16^1/5
(2^2)^1/3 * (2^4)^1/5 –> 2^2/3 * 2^4/5 –> 2^10/15 * 2^12/15 = 2^22/15,
Detta förstår jag, förenklingen, men hur blir (2^1/2)^3/4 * 2^-1/2 = 2^1/8 ???
Hej! Jag förstår inte förlängningarna med x och 5 i fråga 5. Men jag har något svagt minne om att om man flyttar nämnarna till andra sidan likhetstecknet så ska de multipliceras och om jag gör så förstår jag att x =10…
Missade att bocka för att jag vill ha epost vid svar.