...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Prova för 9 kr Prova för 9 kr
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Integraler med trigonometriska funktioner

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Här lär du dig att beräkna integraler med trigonometriska funktioner. Vi visar även hur primitiva funktioner till trigonometriska uttryck tas fram.

Primitiva funktioner – Trigonometriska funktioner

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Är du ny här? Så här funkar Premium
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Här samlar vi de primitiva funktioner du behöver känna till för att beräkna integraler med trigonometriska funktioner.

 $f\left(x\right)$ƒ (x) $F\left(x\right)$F(x)
 $sin\left(kx\right)$sin(kx) $-\frac{cos\left(kx\right)}{k}+C$cos(kx)k +C
 $cos\left(kx\right)$cos(kx) $\frac{sin\left(kx\right)}{k}+C$sin(kx)k +C

Exempel 1

Bestäm den primitiva funktionen till  $f\left(x\right)=sin\left(3x\right)$ƒ (x)=sin(3x)

Lösning

Den primitiva funktionen är

$F\left(x\right)=-\frac{cos\left(3x\right)}{3}+C$F(x)=cos(3x)3 +C

Exempel 2

Bestäm den primitiva funktionen till  $f\left(x\right)=\frac{cos\left(2x\right)}{2}$ƒ (x)=cos(2x)2 

Lösning

Vi kan även skriva funktionen som  $f\left(x\right)=\frac{1}{2}cos\left(2x\right)$ƒ (x)=12 cos(2x).

Den primitiva funktionen är

$F\left(x\right)=\frac{1}{2}\frac{sin\left(2x\right)}{2}+C=\frac{sin\left(2x\right)}{4}+C$F(x)=12 sin(2x)2 +C=sin(2x)4 +C

Beräkna integraler med trigonometriska funktioner

När du beräknar integraler med trigonometriska funktioner använder du dig av reglerna ovan för primitiva funktioner. Det är också bra att du känner till hur integralkalkylens fundamentalsats är uppbyggd. I exemplen nedan använder vi oss av vinkelmåttet radianer.

Exempel 3

I koordinatsystem är grafen till $f\left(x\right)=cosx$ƒ (x)=cosx utritad. Beräkna arean av det skuggade området.

Exempel 1 trigonometriska funktioner

Lösning

Vi ställer upp och beräknar integralen från $0$0 till $\frac{\pi}{2}$π2 .

$\int_0^{\frac{\pi}{2}}cosx\text{ }dx$0π2 cosx dx  $=[sinx]^{\text{π/2}}_0$=[sinx]π/20 $=sin\left(\frac{\pi}{2}\right)-sin\left(0\right)$=sin(π2 )sin(0)

Vi använder exakta trigonometriska värden och får att

$sin\left(\frac{\pi}{2}\right)-sin\left(0\right)=1-0=1\text{ }a.e$sin(π2 )sin(0)=10=1 a.e

Exempel 4

I koordinatsystem är grafen till $f\left(x\right)=sin\left(2x\right)+1$ƒ (x)=sin(2x)+1  utritad. Beräkna arean av det skuggade området.

Exempel 2 trigonometriska funktioner och integraler

Lösning

Vi ställer upp och beräknar integralen från $0$0 till $\pi$π.

$\int_0^{\pi}sin\left(2x\right)+1\text{ }dx$0πsin(2x)+1 dx  $=[-\frac{cos\left(2x\right)}{2}+x]^{\text{π}}_0$=[cos(2x)2 +x]π0

$=\left(-\frac{cos\left(2\cdot\pi\right)}{2}+\pi\right)-\left(-\frac{cos\left(2\cdot0\right)}{2}+0\right)$=(cos(2·π)2 +π)(cos(2·0)2 +0)

Vi använder exakta trigonometriska värden och får att

$\left(-\frac{1}{2}+\pi\right)-\left(-\frac{1}{2}+0\right)$(12 +π)(12 +0) $=-\frac{1}{2}+\pi+\frac{1}{2}=\pi\text{ }a.e$=12 +π+12 =π a.e

Arean är alltså  $\pi$π areaenheter

Kommentarer


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (5)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm den primitiva funktionen till $f\left(x\right)=2sinx$ƒ (x)=2sinx 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm den primitiva funktionen till $f\left(x\right)=-cosx$ƒ (x)=cosx 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    I koordinatsystemet är grafen till $f\left(x\right)=2sinx$ƒ (x)=2sinx utritad. Bestäm arean av det markerade området.

    Svara med enheten ae.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Premium
    • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
    • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna $\int\limits_{-\pi}^{\pi} sin(x) dx$.

    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm den primitiva funktionen till  $f\left(x\right)=cos\left(5x\right)$ƒ (x)=cos(5x) 

    Rättar...

c-uppgifter (2)

  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna  $\int\frac{sin\left(2x\right)}{\pi}dx$sin(2x)π dx i intervallet $-\frac{\pi}{2}\le x\le0$π2 x0.

    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/3/0)
    ECA
    B
    P2
    PL1
    M
    R
    K

    I koordinatsystemet är  $f\left(x\right)=1$ƒ (x)=1 och $g\left(x\right)=2sin\left(x\right)$g(x)=2sin(x) utritade

    Beräkna arean av det markerade området

    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/2)
    ECA
    B
    P
    PL2
    M
    R
    K

    Beräkna  $\int_0^{\text{π/6}}\left(2sinx+5\right)cosx\text{ }dx$0π/6(2sinx+5)cosx dx 

    nationellt prov uppgift 14, vt13

    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Premium
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.