Integraler med trigonometriska funktioner

Exempel 1

Bestäm den primitiva funktionen till  $f\left(x\right)=sin\left(3x\right)$ƒ (x)=sin(3x)

Lösning

Den primitiva funktionen är

$F\left(x\right)=-\frac{cos\left(3x\right)}{3}+C$F(x)=−cos(3x)3 +C

Exempel 2

Bestäm den primitiva funktionen till  $f\left(x\right)=\frac{cos\left(2x\right)}{2}$ƒ (x)=cos(2x)2 

Lösning

Vi kan även skriva funktionen som  $f\left(x\right)=\frac{1}{2}cos\left(2x\right)$ƒ (x)=12 cos(2x).

Den primitiva funktionen är

$F\left(x\right)=\frac{1}{2}\frac{sin\left(2x\right)}{2}+C=\frac{sin\left(2x\right)}{4}+C$F(x)=12 sin(2x)2 +C=sin(2x)4 +C

Exempel 3

I koordinatsystem är grafen till $f\left(x\right)=cosx$ƒ (x)=cosx utritad. Beräkna arean av det skuggade området.

Lösning

Vi ställer upp och beräknar integralen från $0$0 till $\frac{\pi}{2}$π2 .

$\int_0^{\frac{\pi}{2}}cosx\text{ }dx$∫₀^π2 cosx dx  $=[sinx]^{\text{π/2}}_0$=[sinx]^π/2₀ $=sin\left(\frac{\pi}{2}\right)-sin\left(0\right)$=sin(π2 )−sin(0)

Vi använder exakta trigonometriska värden och får att

$sin\left(\frac{\pi}{2}\right)-sin\left(0\right)=1-0=1\text{ }a.e$sin(π2 )−sin(0)=1−0=1 a.e

Exempel 4

I koordinatsystem är grafen till $f\left(x\right)=sin\left(2x\right)+1$ƒ (x)=sin(2x)+1  utritad. Beräkna arean av det skuggade området.

Lösning

Vi ställer upp och beräknar integralen från $0$0 till $\pi$π.

$\int_0^{\pi}sin\left(2x\right)+1\text{ }dx$∫₀^πsin(2x)+1 dx  $=[-\frac{cos\left(2x\right)}{2}+x]^{\text{π}}_0$=[−cos(2x)2 +x]^π₀

$=\left(-\frac{cos\left(2\cdot\pi\right)}{2}+\pi\right)-\left(-\frac{cos\left(2\cdot0\right)}{2}+0\right)$=(−cos(2·π)2 +π)−(−cos(2·0)2 +0)

Vi använder exakta trigonometriska värden och får att

$\left(-\frac{1}{2}+\pi\right)-\left(-\frac{1}{2}+0\right)$(−12 +π)−(−12 +0) $=-\frac{1}{2}+\pi+\frac{1}{2}=\pi\text{ }a.e$=−12 +π+12 =π a.e

Arean är alltså  $\pi$π areaenheter