...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Interaktivt material Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Beräkna Integraler

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Så tas en primitiv funktion fram

För att kunna beräkna integraler krävs det att man kan ta en primitiv funktion på en funktion. Enkelt uttryckt innebär en primitiv funktion att man tar fram baklängesderivatan för en funktion $y = f(x)$. Ibland kallas detta också för antiderivata.

Primitiva funktioner

$ y = k $ har den primitiva funktionen $ Y=kx+C $
$ y = x^{n}, n≠-1 $ har den primitiva funktionen $ Y=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C $
$ y = x^{-1}=\frac{1}{x}$ har den primitiva funktionen $ Y=lnx+C $
$ y = e^x$ har den primitiva funktionen $ Y=e^x+C $
$ y = e^{kx}$ har den primitiva funktionen $ Y=\frac{e^{kx}}{k}+C $
$ y = a^{x}, a>0,a≠-1$ har den primitiva funktionen $ Y=\frac{a^x}{lna}+C $
$ y = sinx$ har den primitiva funktionen $ Y=-cosx+C $
$ y = cosx$ har den primitiva funktionen $ Y=sinx+C $

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Beräkna integraler

I grunden är en Integral en summa där av areor mellan x – axeln och en kurva till en funktion. Idén med att beräkna en integral är alltså inte konstigare än att beräkna en area. Vi kan tänka oss att vi tar en oregelbunden yta och önskar att beräkna arean av denna. Detta är förstås mycket svårt då den är oregelbunden och vi kan på vår höjd endast uppskatta arean. Istället gör vi så att vi delar in denna oregelbundna yta i mängder av små kolonner (rektanglar) som vi däremot enklare kan beräkna arean på. Sedan summerar vi dessa areor och får på det vis arean av hela ytan. Det är precis detta som en Integral innebär. Vi delar helt enkelt in ett område i små kolonner och summerar dessa när vi beräknar en integral.

En integral beräknas enligt integralkalkylens fundamentalsats. Denna säger följande.

Integralkalkylens fundamentalsats definieras enligt:

$ \int\limits_a^b f(x) dx = \left[ F(x) \right]_a^b = F(b) – F(a) $ där

  • a är den undre gränsen och b den övre.
  • f(x) är integranden, dvs den funktion vi tar fram primitiv funktion F(x) på.
  • För att få fram värdet på integralen beräknas sedan F(b) – F(a)

Exempel i videon

  • Bestäm den primitiva funktionen till $ f(x)=6x^3 $.
  • Bestäm den primitiva funktionen till $ f(x)=3cosx+sinx $.
  • Beräkna $\int\limits_0^2 (4-x^2) dx $.
  • Beräkna $\int\limits_0^{\pi/2} (cosx) dx $.
  • Beräkna $\int\limits_{-1}^1 (2-2x^2) dx $.

Kommentarer

serkan

Tja, jag undrar hur man kan beräkna
2
∫ f(x) dx
-2
då det enda som är angivet som funktion är en halv cirkel i ett diagram där nollställerna är vid x=2 och X=-2 och y som är y=2

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, eftersom att du har en halvcirkeln och radien till denna så kan du beräkna arean av halvcirkeln vilket är samma som integralen mellan -2 och 2 om jag förstår din uppgift rätt. En integral ger arean under en kurva.

cmhedlund

Hur vet man när beräkningen ska vara i grader eller radianer?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Om det inte anges i frågeställningen hur du skall svara så brukar radianer användas när derivata är inblandat alternativt när vinkeln anges med någon multipel av pi.

Anne

I videon ovan,exempel 3 så är det ju 2 X ^3 i täljaren i den primitiva funktionen men sedan när du beräknar det så tar du inte upphöjt till 3? eller?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej,
    Anledningen till att jag inte sätter ut upphöjt till 3 är för att det är en 1:a som vi sätter in i den primitiva funktionen. Exempelvis gäller ju att
    $ 1 = 1^2 = 1^4 $ osv.

nti_ma4

Bestäm den primitiva funktionen F(x) till f(x)=9×2. Du svarade tyvärr fel
Ditt svar: F(x)=3×3+C
Rätt Svar: F(x)=3×3

” (Glöm inte den bortderiverade konstanten som kommer tillbaka).”

Noobs.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Testet är korrigerat

Cecilia

Har uppgifter som ska in imorgon. Hur löser jag denna:

Beräkna integralen
4
∫(4-x^3) dx med hjälp av primitiv funktion
1

Börjar jag med att lösa integralen eller ska jag hitta primitiva funktionen först?
Tacksam för svar!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Du börjar med att ta steget där du tar fram den primitiva funktionen F(X). Sedan får du integralens värde genom att beräkna
    F(4) – F(1)

folkuniv

Hej!
Hur kan jag bestämma exakt integralen,

1
∫(1/e^x)
0
Tack!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    $ \int\limits_0^1 (\frac{1}{e^x}) dx = \int\limits_0^1 (e^{-x}) dx = \left[ -e^{-x} \right]_0^1 = $
    $ -e^{-1}-(-e^0) = -e^{-1} + 1 = \frac{e-1}{e} $


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (5)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm den primitiva funktionen $F(x)$ till $f(x)=9x^2$.

    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna $\int\limits_0^3 x^2 dx $.

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna  $\int_2^e3^xdx$2e3xdx .

    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna $\int\limits_{-\pi}^{\pi} sin(x) dx$.

    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M1
    R
    K

    Beräkna $\int_{ln4}^{ln6}e^{2x}dx$ln4ln6e2xdx.

    Rättar...

c-uppgifter (3)

  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna  $\int_a^b\frac{\sqrt{2}}{2x^2}dx$ab22x2 dx där $a=\frac{1}{\sqrt{2}}$a=12  och $b=2$b=2.

    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna  $\int\frac{sin\left(2x\right)}{\pi}dx$sin(2x)π dx i intervallet $-\frac{\pi}{2}\le x\le0$π2 x0.

    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/3/0)
    ECA
    B
    P3
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna  $\int_1^4\frac{x^2}{\sqrt{4x}}dx$14x24x dx. Förenkla så långt så möjligt och svara exakt.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar