Primitiva funktioner - Lär dig bestämma baklängesderivata

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 3 BC

Primitiva Funktioner

Video

Video & text av: Simon Rybrand Övningsuppgifter av: Anna Karp

I den här videon går vi igenom primitiva funktioner. Vi tittar på vad en primitiv funktion är för något och tränar på att ta fram primitiva funktioner i några konkreta exempel.

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM


  • 500+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
  • 3500+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
PROVA FÖR 9 KR
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.
13 votes, average: 3,77 out of 513 votes, average: 3,77 out of 513 votes, average: 3,77 out of 513 votes, average: 3,77 out of 513 votes, average: 3,77 out of 5
13
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

8
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
MEDELPOÄNG
ALLA
3

Text

Exempel i videon

  • Derivatan och Primitiva funktionen till $ f(x) = x^2 $.
  • Primitiva funktionen till $ f(x) = x^2 $.
  • Bestäm den primitiva funktionen till $ f(x) = 6x^3 $.
  • Bestäm den primitiva funktionen till $ f(x) = e^x $.
  • Bestäm den primitiva funktionen till $ f(x) = 2x^4+2x-10 $.
  • Bestäm den primitiva funktionen till $ f(x) = cosx $.

Så fungerar Primitiva funktioner

För att kunna beräkna integraler krävs det att man kan ta fram den primitiva funktionen till en funktion. Enkelt uttryckt innebär en primitiv funktion att man tar fram baklängesderivatan för en funktion y = f(x). Ibland kallas detta också för antiderivata. Så när du deriverar den primitiva funktionen får du återigen fram den funktion som du ”började med”.

Metoden för att lyckas med att ta fram primitiva funktioner är att försöka tänka baklängesderivata. Dvs. om du har en funktion tänker man hur denna såg ut innan den blev deriverad. I videon visar vi på hur detta mönster känns igen och hur man metodiskt kan tänka för att lyckas ta fram primitiva funktioner. Kortfattat och som inledande vägledning kan följande metod användas för polynomfunktioner och med ett exempel där $ f(x) = x^2 $

  1. Öka exponenten ett steg. Ex, har du funktionen $ f(x) = x^2 $ ökar du exponenten till 3, dvs funktionen $ F(x) = x^3 $.
  2. Tänk efter vad du får när du deriverar den primitiva funktionen F(x), i exemplet får vi $ F´(x) = 3x^2 $ vilket inte överenstämmer med f(x). Vi kan då lösa detta genom att dividera med 3 för att få korrekt primitiv funktione.
  3. Här har vi därför den primitiva funktionen $ F(x) = \frac{x^3}{3} + C $ där C är en konstant.

Två exempel på att ta fram primitiv funktion

$ f(x) = x – 3x^2 + 10 $ har den primitiva funktionen $ F(x) = \frac{x^2}{2} – x^3 + 10x + C $

$ f(x) = e^{3x} $ har den primitiva funktionen $ F(x) = \frac{e^{3x}}{3} + C $

Kommentarer

  1. Ska inte f(x) = 2cosx bli F(x) = -2sinx + C?

    oscar.bergman
    1. Hej!
      Jag tror att derivatan av 2cosx = -2sinx
      medans den primitiva funktionen till 2cosx = 2sinx+C

      Derivatan av cosx+C = -sinx
      Antiderivatan av -sinx = cosx+C

      Derivatan av sinx+C= cosx
      Antiderivatan av cosx = sinx+C

      Robin12345
      1. Det är precis som Robin skriver här att den primitiva funktionen till f(x) = 2cosx är F(x) = 2sinx + C, där C är en konstant.

        Tack Robin för att du tog dig tid att svara!

        Simon Rybrand
  2. Hej, jag tänkte på att när du har en funktion given t.ex f(x)=6x^3, måste man då skriva +C i slutet på den primitiva funktionen? Eftersom f(x) redan är given utan konstant?

    Ullvi3
    1. Hej,
      Ja du bör skriva att du har en möjlig konstantterm C då alla konstanttermer blir 0 när de deriveras. Denna konstantterm kan ju också vara noll.

      Simon Rybrand
  3. Jag förstår inte riktigt

    Rayhanny
    1. Hej, vad är det du inte förstår, hur du t.ex. en konkret uppgift som du jobbar med just nu?

      Simon Rybrand
  4. Jag förstår inte riktigt hur derivering av cosinus samt sinus fungerar.

    natsu25
  5. Hej Simon!

    Jag behöver hjälp med en uppgift. f(x)=x/5+x^2/5. Hur ska jag först göra för att skriva om den till enklare form för att sedan räkna ut F(x)?

    folkuniv
    1. Om du har $ f(x) = \frac{x}{5} + \frac{x^2}{5} $ så kan du skriva den så att du tar ut 1/5 ur bägge termerna på följande vis:
      $ f(x) = \frac{1}{5}x + \frac{1}{5}x^2 $

      Då kanske det blir enklare att ta fram den primitiva funktionen? Du får då denna till
      $ F(x) = \frac{1}{5}⋅\frac{x^2}{2} + \frac{1}{5}⋅\frac{x^3}{3} = \frac{x^2}{10} + \frac{x^3}{15} $

      Simon Rybrand
      1. Tack så mycket 🙂

        folkuniv
  6. Hej
    Behöver hjälp med att hitta primitiva funktionen till sinxcosx

    masara
    1. Hej, den är lite lurig då det inte finns ett bra ”system” för det som det exempelvis finns för polynomfunktioner.
      Men här kan vi använda oss av att om vi deriverar en sammansatt funktion (har inre derivata) så vill vi få den inre derivatan cosx eller sin x. Om vi har den inre funktionen sinx så kommer den inre derivatan att bli cos x.
      Vi kan då ställa upp det enligt:
      $ f(x) = sinxcosx $
      $ F(x) = \frac{1}{2}sin^2x + C $

      Simon Rybrand
  7. hej ! jag behöver hjälp med att bestämma den primitiva funktion F till f(x)= e^(3x) för F(0) = 4/3

    tack på förhand

    noor
    1. Hej, den primitiva funktionen till $f(x)= e^{3x}$ är
      $ F(x) = \frac{e^{3x}}{3} + C $
      Det du nu söker är konstanten C vilken du kan hitta genom att lösa ekvationen
      $ F(0) = 4/3 ⇔ $
      $ \frac{e^{3*0}}{3} = 4/3 $
      Hoppas att detta hjälper dig på vägen, annars får du gärna fråga vidare.

      Simon Rybrand
  8. hej! jag behöver hjälp med att bestämma samtliga lösningar till ekvation f´ (x) = 0 i intervaller 0 ≤ x ≤ π då f(x) = 2x + cos 4x

    tack på förhand

    noor
    1. Här får du derivera först så att du får
      $ f'(x) = 2 – 4sin4x $
      Sedan kan du lösa ekvationen
      $ 2 – 4sin4x = 0 $

      Simon Rybrand
  9. Hejsan! Jag har kört fast på primitiva funktioner
    f(x)=2/roten ur x . Hur ska jag tänka här,Här är en till f(x)=xgånger roten ur x delat med 2??

    nti_ma3
    1. Hej, skriv om funktionen på följande vis:
      $ f(x) = \frac{2}{\sqrt{x}} = \frac{2}{x^{1/2}} = $
      $ 2x^{-1/2} $
      Här blir det enklare att ta fram den primitiva funktionen, hoppas att det hjälper dig vidare!

      Simon Rybrand
      1. Tackar!!

        nti_ma3
  10. hur bestämmer man den här primitiva funktionen f(x)=e^0.1x+4√x?

    hur får man 4√x= 8x√x/3?

    Xiaoting Chen
    1. Hej
      Först kan du skriva om funktionen så att det blir lite enklare att se den primitiva funktionen:
      $ f(x)=e^{0,1x}+4\sqrt{x}=e^{0,1x}+4x^{1/2} $

      Sedan gör jag enligt följande:
      $ F(x)=\frac{e^{0,1x}}{0,1} +\frac{4x^{3/2}}{3/2}+C$ $ =10e^{0,1x}+\frac{8x^{3/2}}{3} +C$

      Simon Rybrand
  11. Hej
    jag har kört fast och inte kan gå vidare med en primtiv funktion

    f(x)= 5x^3 – 6x^2 + 7x +8

    jag började; F(x)= 5x^4\4 – 6x^3\3 + 7x^2\2 + 8x+ C

    sara94
    1. Ser ut som att du har gjort rätt, du kan dock förenkla
      $\frac{6x^2}{2} = 3x^2$

      Simon Rybrand
  12. Jag förstår inte varför 2x^4 antiderivatan av det blir 2x^5/5 medan 3x^2 blir x^3

    Yosefd
    1. Mönstret för att hitta den primitiva funktionen brukar ju vara att öka på exponenten med ett och sedan dela med exponenten då denna sedan ”kommer ner” vid derivering. I fallet med $2x^4$ så måste vi göra det exempelvis då dess primitiva funktion är
      $ \frac{2x^5}{5} $. När detta uttryck deriveras får vi ju 10 framför x och delar vi då med 5 så får vi 2.
      Med $ 3x^2 $ så är det ju så smidigt att vi inte behöver dela med 3 då derivatan av $x^3$ är $ 3x^2 $. Men vi kan ändå följa samma mönster och se att det fungerar då
      $ \frac{3x^3}{3}=x^3 $
      Hoppas att detta hjälper dig vidare!

      Simon Rybrand
  13. Hur vet man att antiderivatan av 4x^1/ blir 4x^3/2? och när jag slår e^3∗0 /3 får jag 1/3 inte
    4/3

    Yosefd
    1. Hej, $4x^1=4x$ har den primitiva funktionen $ \frac{4x^2}{2}=2x^2 $ och inte det som du skriver? Missförstår jag något?
      Det andra uttrycket har jag svårt att tolka, var hämtar du det ifrån?

      Simon Rybrand
  14. kollade på dina tidigare svar, tror att jag missuppfattade ditt svar.

    Yosefd
  15. Hej!

    Om jag vill att f(x)= 1/2√x ska bli F(x) hur gör jag då?

    Jag vet att jag ska flytta upp √x så att jag får x^-1/2 sedan +1 så att jag får (x^1/2)/2/1/2.

    Christoffer Gustavsson
    1. Ja skriv det som
      $f(x)=0,5x^{-1/2}$ först och sedan får du
      $ F(x)=-x^{-1/2}+C $

      Simon Rybrand
  16. Hej!

    Det ser ut som att du bytt tecken på funktionen när du jämför Primitiva funktionens derivata och Funktionen. Då blir a positivt och b negativt, vilket annars hade blivit tvärt om. Inte sant?

    // Rasmus

    Rasmus Mononen
    1. På vilken uppgift hittade du detta?

      Simon Rybrand
  17. Hej!

    Hur jag än räknar kommer jag fram till a= -3 och b=6 på fråga åtta, men det rätta svaret ska vara a=3 b=-6, hur kan det bli så?

    Lo Larson

Kommentarer är inaktiverade. Logga in för att felrapportera.

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: