Primitiva Funktioner - Integraler (Ma 3) - Matematikvideo

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 3 BC

Primitiva Funktioner

Video

Video & text av: Simon Rybrand Övningsuppgifter av: Anna Karp

I den här videon går vi igenom primitiva funktioner. Vi tittar på vad en primitiv funktion är för något och tränar på att ta fram primitiva funktioner i några konkreta exempel.

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM


  • 600+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
PROVA FÖR 9 kr
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.
17 votes, average: 4,06 out of 517 votes, average: 4,06 out of 517 votes, average: 4,06 out of 517 votes, average: 4,06 out of 517 votes, average: 4,06 out of 5
17
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

10
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 10
MEDELPOÄNG
ALLA
3

Text

Vad är en Primitiv funktion?

Tidigare har vi lärt oss hur man bestämmer derivatan $f’$ƒ  utifrån en känd funktion $f$ƒ .  Vi har deriveringsregler för potens- och exponentialfunktioner som kommer från derivatans definition.

Definition av en primitiv funktion

Vi ska nu vi studera hur man kan bestämma en funktion $f$ƒ  utifrån en given derivata $f’$ƒ  . Den ursprungliga funktionen kallas för en primitiv funktion och betecknas ofta med $F$F.  

Funktionen $F\left(x\right)$F(x) är en primitiv funktion till funktionen $f\left(x\right)$ƒ (x)  om

 $F’\left(x\right)=f\left(x\right)$F(x)=ƒ (x) 

Alltså om den primitiva funktionen $F$F:s derivata är lika med funktionen $f$ƒ 

Enkelt uttryckt innebär en primitiv funktion att man tar fram ”baklängesderivatan” för en funktion. Ibland kallas den primitiva funktionen just för antiderivata. Så när du deriverar den primitiva funktionen får du återigen fram den funktion som du ”började med”.

När använder man Primitiva funktioner?

När man beräknar integraler använder man den primitiva funktionen till integranden. Integranden är den funktion som begränsar arean. Hur man gör kommer vi gå igenom i kommande lektioner.

En metoden för att lyckas med att ta fram primitiva funktioner, är att försöka tänka derivering baklänges. Genom att tänka ”hur såg denna funktionen ut innan den blev deriverad?” kan man hitta den primitiva funktionen.

När vi deriverar multiplicerar vi med olika faktorer. När vi söker den primitiva funktionen kommer vi istället att dividera med motsvarande tal.

Primitiv funktion till potensfunktioner 

Den primitiva funktionen för termer i potensform är lika med “den ursprungliga funktionen dividerat med exponenten plus ett ”.

Primitiva funktioner till potensfunktioner

I videon visar vi på hur detta mönster känns igen och hur man metodiskt kan tänka för att lyckas ta fram primitiva funktioner. Som inledande vägledning kan följande metod användas för polynomfunktioner.

  1. Skriv av den givna funktionen.
  2. Addera exponenten med ett.
  3. Dividera med exponenten plus ett.
  4. Förenkla uttrycket.
  5. Lägg till en konstant C.

Derivatan av en konstant är alltid lika med noll. Därför, när vi söker den primitiva funktionen, lägger vi alltid till en konstant $C$C. Detta eftersom att när vi deriverar $F\left(x\right)$F(x) alltid kommer få  $f\left(x\right)$ƒ (x) oavsett värdet på konstanten, eftersom att den försvinner vid derivering.

Man brukar skilja på att bestämma en primitiv funktion och samtliga primitiva funktioner. Skillnaden är just detta att vi lägger till en konstant $C$C för att få samtliga funktioner $F\left(x\right)$F(x) som har derivatan $f\left(x\right)$ƒ (x).

I kommande lektion kommer vi att prata mer om konstanten $C$C  och hur man utifrån givna villkor kan bestämma dess värde.

Här följer nu exempel på hur vi bestämmer den primitiva funktionen till några potensfunktioner.

Exempel 1

Bestäm samtliga $F\left(x\right)$F(x) då  $f(x)=2x$ƒ (x)=2x  

Lösning:

Enligt regeln ska vi addera exponenten med ett och sedan dividera med den nya exponenten. Till sist adderar vi en konstant. Vi får att den primitiva funktionen är

 $F(x)=x^2+C$F(x)=x2+C 

Steg för steg får vi eftersom att

 $f\left(x\right)=2x=2\cdot x^1$ƒ (x)=2x=2·x1 

att

 $F(x)=\frac{2\cdot x^{1+1}}{2}+C=\frac{2\cdot x^2}{2}+C=x^2+C$F(x)=2·x1+12 +C=2·x22 +C=x2+C 

Exempel 2

Bestäm samtliga $F\left(x\right)$F(x)  då  $f(x)=x-3x^2+10$ƒ (x)=x3x2+10  

Lösning:

Enligt regeln ska vi addera exponenten med ett och sedan dividera med den nya exponenten. Till sist adderar vi en konstant. Vi får att den primitiva funktionen är

 $F(x)=\frac{x^2}{2}-x^3+10x+C$F(x)=x22 x3+10x+C 

Steg för steg får vi eftersom att

 $f\left(x\right)=x-3x^2+10=x^1-3x^2+10$ƒ (x)=x3x2+10=x13x2+10 

att

 $F(x)=\frac{x^{1+1}}{2}-\frac{3x^{2+1}}{3}+10x+C=\frac{x^2}{2}-x^3+10x+C$F(x)=x1+12 3x2+13 +10x+C=x22 x3+10x+C 

Exempel 3

Bestäm samtliga $F\left(x\right)$F(x)  då  $f(x)=$ƒ (x)= $\frac{2}{\sqrt{x}}$2x    

Lösning:

Enligt regeln ska vi addera exponenten med ett och sedan dividera med den nya exponenten. Till sist adderar vi en konstant. Vi får att den primitiva funktionen är

 $F(x)=4\sqrt{x}+C$F(x)=4x+C 

Steg för steg får vi eftersom att

 $f\left(x\right)=$ƒ (x)= $\frac{2}{\sqrt{x}}=\frac{2}{x^{0,5}}=$2x =2x0,5 = $2\cdot x^{-0,5}$2·x0,5  

att

 $F(x)=$F(x)= $\frac{2\cdot x^{-0,5+1}}{0,5}$2·x0,5+10,5  $+C=$+C=  $\frac{2\cdot x^{0,5}}{0,5}$2·x0,50,5  $+C=$+C=  $4\cdot x^{0,5}+C=4\sqrt{x}+C$4·x0,5+C=4x+C  

Primitiv funktion till exponentialfunktioner 

Den primitiva funktionen för termer med variabeln i exponenten är lika med “den ursprungliga funktionen dividerat med exponentens derivata gånger den naturliga logaritmen för basen”.

Primitiv funktion till exponentialfunktioner

Följande metod kan användas som vägledning när du bestämmer primitiva funktioner till exponentialfunktioner.

  1. Skriv av den givna funktionen.
  2. Dividera med, exponentens derivata multiplicerat med den naturliga logaritmen för basen.
  3. Förenkla uttrycket.
  4. Lägg till en konstant C.

I denna kursen är exponenten alltid en linjär funktion, alltså en förstagradsfunktion. Derivatan till alla linjära funktioner är alltid en konstant. Därför brukar man ibland lite slarvigt säga att man ”dividerar med koefficienten i exponenten”. Men det beror alltså på att derivatan av exponenten, när den är linjär, alltid motsvaras av koefficienten i exponenten.

I denna kurs är det även framföra allt exponentialfunktioner med basen $e$e som man ska bestämma den primitiva funktionen till. Det leder till att regeln blir något enklare. Detta eftersom att den naturliga logaritmen  $\ln$ln för basen  $e$e  är lika med ett. Vi får då att

 $F\left(x\right)=$F(x)=  $\frac{Ce^{kx}}{k\cdot\ln e}=\frac{Ce^{kx}}{k\cdot1}=\frac{Ce^{kx}}{k}$Cekxk·lne =Cekxk·1 =Cekxk  

Här följer ett exempel på hur vi bestämmer den primitiva funktionen till en exponentialfunktion.

Exempel 4

Bestäm samtliga $F\left(x\right)$F(x)  då  $f(x)=e^{3x}$ƒ (x)=e3x  

Lösning:

Enligt regeln ska vi utgå från den ursprungliga funktionen och sedan dividera med exponentens derivata gånger den naturliga logaritmen för basen. Till sist adderar vi en konstant. Vi får att den primitiva funktionen är

 $F(x)=\frac{e^{3x}}{3}+C$F(x)=e3x3 +C 

Några olika primitiva funktioner att lägga på minnet

Här har vi tagit fram den primitiva funktionen för några vanliga termer.

   $f\left(x\right)=k\text{ }\text{ }\text{⇒}$ƒ (x)=k    $F\left(x\right)=kx+C$F(x)=kx+C    där $k$k och $C$C är konstanter 
  $f\left(x\right)=4\text{ }\text{ }\text{⇒}$ƒ (x)=4    $F\left(x\right)=4x+C$F(x)=4x+C     
   $f\left(x\right)=kx^n\text{ ⇒}$ƒ (x)=kxn  $F\left(x\right)=$F(x)= $\frac{kx^{n+1}}{n+1}$kxn+1n+1  $+C$+C   
  $f\left(x\right)=2x\text{ ⇒}$ƒ (x)=2x  $F\left(x\right)=x^2$F(x)=x2  $+C$+C 
  $f\left(x\right)=x^2\text{ }\text{ }\text{⇒}$ƒ (x)=x2   $F\left(x\right)=$F(x)= $\frac{x^3}{3}$x33   $+C$+C  
  $f\left(x\right)=$ƒ (x)= $\frac{1}{x}$1x   $\text{ ⇒}$   $F\left(x\right)=$F(x)= $\ln x$lnx   $+C$+C 
  $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ƒ (x)=x $\text{ ⇒}$   $F\left(x\right)=$F(x)= $\frac{1}{2\sqrt{x}}$12x    $+C$+C 
 … 
 $f\left(x\right)=C\cdot a^{kx}$ƒ (x)=C·akx  $\text{ ⇒}$   $F\left(x\right)=$F(x)=  $\frac{Ca^{kx}}{k\cdot\ln a}$Cakxk·lna   $+C$+C 
 $f\left(x\right)=e^x\text{ }\text{ }\text{⇒}$ƒ (x)=ex     $F\left(x\right)=e^x+C$F(x)=ex+C 
 $f\left(x\right)=e^{5x}\text{ }\text{ }\text{⇒}$ƒ (x)=e5x     $F\left(x\right)=$F(x)= $\frac{e^{5x}}{5}$e5x5   

Exempel i videon

  • Derivatan och Primitiva funktionen till $ f(x) = x^2 $.
  • Primitiva funktionen till $ f(x) = x^2 $.
  • Bestäm den primitiva funktionen till $ f(x) = 6x^3 $.
  • Bestäm den primitiva funktionen till $ f(x) = e^x $.
  • Bestäm den primitiva funktionen till $ f(x) = 2x^4+2x-10 $.
  • Bestäm den primitiva funktionen till $ f(x) = cosx $.

Kommentarer

  1. Din hand i videon fick mig att direkt tänka på Monty Python’s Flying Circus ;-D

    Per Eriksson
    1. 🙂

      Simon Rybrand
  2. Hej!

    Hur jag än räknar kommer jag fram till a= -3 och b=6 på fråga åtta, men det rätta svaret ska vara a=3 b=-6, hur kan det bli så?

    Lo Larson
  3. Hej!

    Det ser ut som att du bytt tecken på funktionen när du jämför Primitiva funktionens derivata och Funktionen. Då blir a positivt och b negativt, vilket annars hade blivit tvärt om. Inte sant?

    // Rasmus

    Rasmus Mononen
    1. På vilken uppgift hittade du detta?

      Simon Rybrand
  4. Hej!

    Om jag vill att f(x)= 1/2√x ska bli F(x) hur gör jag då?

    Jag vet att jag ska flytta upp √x så att jag får x^-1/2 sedan +1 så att jag får (x^1/2)/2/1/2.

    Christoffer Gustavsson
    1. Ja skriv det som
      $f(x)=0,5x^{-1/2}$ först och sedan får du
      $ F(x)=-x^{-1/2}+C $

      Simon Rybrand
  5. kollade på dina tidigare svar, tror att jag missuppfattade ditt svar.

    Yosefd
  6. Hur vet man att antiderivatan av 4x^1/ blir 4x^3/2? och när jag slår e^3∗0 /3 får jag 1/3 inte
    4/3

    Yosefd
    1. Hej, $4x^1=4x$ har den primitiva funktionen $ \frac{4x^2}{2}=2x^2 $ och inte det som du skriver? Missförstår jag något?
      Det andra uttrycket har jag svårt att tolka, var hämtar du det ifrån?

      Simon Rybrand
  7. Jag förstår inte varför 2x^4 antiderivatan av det blir 2x^5/5 medan 3x^2 blir x^3

    Yosefd
    1. Mönstret för att hitta den primitiva funktionen brukar ju vara att öka på exponenten med ett och sedan dela med exponenten då denna sedan ”kommer ner” vid derivering. I fallet med $2x^4$ så måste vi göra det exempelvis då dess primitiva funktion är
      $ \frac{2x^5}{5} $. När detta uttryck deriveras får vi ju 10 framför x och delar vi då med 5 så får vi 2.
      Med $ 3x^2 $ så är det ju så smidigt att vi inte behöver dela med 3 då derivatan av $x^3$ är $ 3x^2 $. Men vi kan ändå följa samma mönster och se att det fungerar då
      $ \frac{3x^3}{3}=x^3 $
      Hoppas att detta hjälper dig vidare!

      Simon Rybrand
  8. Hej
    jag har kört fast och inte kan gå vidare med en primtiv funktion

    f(x)= 5x^3 – 6x^2 + 7x +8

    jag började; F(x)= 5x^4\4 – 6x^3\3 + 7x^2\2 + 8x+ C

    sara94
    1. Ser ut som att du har gjort rätt, du kan dock förenkla
      $\frac{6x^2}{2} = 3x^2$

      Simon Rybrand
  9. hur bestämmer man den här primitiva funktionen f(x)=e^0.1x+4√x?

    hur får man 4√x= 8x√x/3?

    Xiaoting Chen
    1. Hej
      Först kan du skriva om funktionen så att det blir lite enklare att se den primitiva funktionen:
      $ f(x)=e^{0,1x}+4\sqrt{x}=e^{0,1x}+4x^{1/2} $

      Sedan gör jag enligt följande:
      $ F(x)=\frac{e^{0,1x}}{0,1} +\frac{4x^{3/2}}{3/2}+C$ $ =10e^{0,1x}+\frac{8x^{3/2}}{3} +C$

      Simon Rybrand
  10. Hejsan! Jag har kört fast på primitiva funktioner
    f(x)=2/roten ur x . Hur ska jag tänka här,Här är en till f(x)=xgånger roten ur x delat med 2??

    nti_ma3
    1. Hej, skriv om funktionen på följande vis:
      $ f(x) = \frac{2}{\sqrt{x}} = \frac{2}{x^{1/2}} = $
      $ 2x^{-1/2} $
      Här blir det enklare att ta fram den primitiva funktionen, hoppas att det hjälper dig vidare!

      Simon Rybrand
      1. Tackar!!

        nti_ma3
  11. hej! jag behöver hjälp med att bestämma samtliga lösningar till ekvation f´ (x) = 0 i intervaller 0 ≤ x ≤ π då f(x) = 2x + cos 4x

    tack på förhand

    noor
    1. Här får du derivera först så att du får
      $ f'(x) = 2 – 4sin4x $
      Sedan kan du lösa ekvationen
      $ 2 – 4sin4x = 0 $

      Simon Rybrand
  12. hej ! jag behöver hjälp med att bestämma den primitiva funktion F till f(x)= e^(3x) för F(0) = 4/3

    tack på förhand

    noor
    1. Hej, den primitiva funktionen till $f(x)= e^{3x}$ är
      $ F(x) = \frac{e^{3x}}{3} + C $
      Det du nu söker är konstanten C vilken du kan hitta genom att lösa ekvationen
      $ F(0) = 4/3 ⇔ $
      $ \frac{e^{3*0}}{3} = 4/3 $
      Hoppas att detta hjälper dig på vägen, annars får du gärna fråga vidare.

      Simon Rybrand
  13. Hej
    Behöver hjälp med att hitta primitiva funktionen till sinxcosx

    masara
    1. Hej, den är lite lurig då det inte finns ett bra ”system” för det som det exempelvis finns för polynomfunktioner.
      Men här kan vi använda oss av att om vi deriverar en sammansatt funktion (har inre derivata) så vill vi få den inre derivatan cosx eller sin x. Om vi har den inre funktionen sinx så kommer den inre derivatan att bli cos x.
      Vi kan då ställa upp det enligt:
      $ f(x) = sinxcosx $
      $ F(x) = \frac{1}{2}sin^2x + C $

      Simon Rybrand
  14. Hej Simon!

    Jag behöver hjälp med en uppgift. f(x)=x/5+x^2/5. Hur ska jag först göra för att skriva om den till enklare form för att sedan räkna ut F(x)?

    folkuniv
    1. Om du har $ f(x) = \frac{x}{5} + \frac{x^2}{5} $ så kan du skriva den så att du tar ut 1/5 ur bägge termerna på följande vis:
      $ f(x) = \frac{1}{5}x + \frac{1}{5}x^2 $

      Då kanske det blir enklare att ta fram den primitiva funktionen? Du får då denna till
      $ F(x) = \frac{1}{5}⋅\frac{x^2}{2} + \frac{1}{5}⋅\frac{x^3}{3} = \frac{x^2}{10} + \frac{x^3}{15} $

      Simon Rybrand
      1. Tack så mycket 🙂

        folkuniv
  15. Jag förstår inte riktigt hur derivering av cosinus samt sinus fungerar.

    natsu25
  16. Jag förstår inte riktigt

    Rayhanny
    1. Hej, vad är det du inte förstår, hur du t.ex. en konkret uppgift som du jobbar med just nu?

      Simon Rybrand
  17. Hej, jag tänkte på att när du har en funktion given t.ex f(x)=6x^3, måste man då skriva +C i slutet på den primitiva funktionen? Eftersom f(x) redan är given utan konstant?

    Ullvi3
    1. Hej,
      Ja du bör skriva att du har en möjlig konstantterm C då alla konstanttermer blir 0 när de deriveras. Denna konstantterm kan ju också vara noll.

      Simon Rybrand
  18. Ska inte f(x) = 2cosx bli F(x) = -2sinx + C?

    oscar.bergman
    1. Hej!
      Jag tror att derivatan av 2cosx = -2sinx
      medans den primitiva funktionen till 2cosx = 2sinx+C

      Derivatan av cosx+C = -sinx
      Antiderivatan av -sinx = cosx+C

      Derivatan av sinx+C= cosx
      Antiderivatan av cosx = sinx+C

      Robin12345
      1. Det är precis som Robin skriver här att den primitiva funktionen till f(x) = 2cosx är F(x) = 2sinx + C, där C är en konstant.

        Tack Robin för att du tog dig tid att svara!

        Simon Rybrand

Endast premiumkunder kan kommentera. Prova Premium!

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: