...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Interaktivt material Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Vinkelmåttet radianer

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Vad är radianer?

Radianer är precis som grader ett sätt att mäta vinklar. Anledningen till att man ibland använder sig av radianer som vinkelmått istället för grader är för att det i vissa fall blir mycket enklare att beräkna derivator av trigonometriska funktioner.

Själv grundmåttet 1 radian är den vinkel som har båglängden 1 på enhetscirkeln. Då är den vinkeln 1 radian.

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Några vanliga vinkelmått i radianer

$720˚ = 4π rad$
$360˚ = 2π rad$
$180˚ = π rad$
$90˚ = π/2 rad$
$45˚ = π/4 rad$
$30˚ = π/6 rad$
$1˚ = π/180 rad$

Varför skall vi använda radianer istället?

Nu kanske du frågar dig varför du egentligen skall använda radianer istället för grader? Vad är egentligen meningen med det?

Det finns lite olika fördelar med detta men framförallt vill vi gå över till vinkelmåttet radianer för att vi skall få en enklare, och snyggare, derivata vi derivering av trigonometriska funktioner. Det visar sig nämligen att när man deriverar trigonometriska funktioner, t.ex. $f(x) = cos x$ och $f(x) = sin x$, så får vi krångligare uttryck med grader än med radianer.

Alltså använder du i princip alltid radianer när du jobbar med trigonometriska funktioner och derivata. En sak att hålla utkik efter är också om $\pi$ används i exempelvis ett funktionsuttryck. Då används ofta radianer.

Från grader till radianer och tillbaka igen

Kanske du nu känner att du både har förstått radianer och vet varför vi egentligen skall använda oss av detta vinkelmått istället och är redo för lite räkneexempel. Låt oss börja att ta några exempel där vi går från grader till radianer och vice versa. Viktigt att känna till när du jobbar med dessa omvandlingar är att $1˚ = π/180 \, rad$.

$55˚ = 55⋅(π/180) = 55π/180 = 11π/36 \, rad$
$120˚ = 120⋅(π/180) = 120π/180 = 2π/3 \, rad$
$π/9 = 180/9 = 20˚$
$2π/5 = 360/5 = 72˚$

Exempel i videon

  • Exempel på vinklarna $ 1\,  radian $, $ a \, radianer $ och $ 2 \pi \, radianer $ i en cirkel.
  • Bestämning av $180°$, $90°$ och $1°$ i radianer.
  • Bestämning av $2 \pi \, radianer°$, $\pi \, radianer $  och $1 \, radian $ i grader.
  • Lös ekvationen $ sinx=0,9 $ och svara i radianer.
  • Lös ekvationen $ cos x = 0,9$ och svara i radianer.

Kommentarer

Andreas Ährlund-Richter

Svarade rätt på 6an, fick ändå fel svar :/

    Simon Rybrand (Moderator)

    Vi fixar det, tack för att du sade till!

LindaE

Hej!
Detta kanske är en dum fråga, men hur gör man om man t.ex. har
2x=1,06+n*2π
Blir x då x=0.53+n*π
eller ”behåller” man 2π så att det blir x=0.53+n*2π?

Alltså vad händer med 2π då det är 2x. Divideras 2π eller inte?
Jag tänker att det alltid ska vara n*360 och att 2π därför ej bör divideras.

Jättetacksam för svar!
mvh

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, när du delar med två så delar du även $2\pi$ med två, precis som du beskriver först.

mariam.safia

Hej
En dum fråga!!

När ska man räkna med radianer? Alltså när man löser trigonometriska funktioner?

Tack!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Det är inte en dum fråga, det är det många som funderar på. Du hittar en förklaring i texten nedanför videon (Klicka på läs mer).

Alice Kuhlman

Okej, tack! Nej, x skall vara ett gånger tecken, ursäkta för det!

Alice Kuhlman

Hej, jag undrar om en uppgift som ser ut så här:
cos² 5π/3 – sin² 5π/3 = cos 2x 5π/3 = cos 10π/3 = cos (10π/3 – 2π) = cos 4π/3 = -1/2

Hur kommer man fram till första uträkningen? Och tredje? Vilka regler använder man sig av?

Tacksam för svar!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, i det första steget så används formeln för dubbla vinkeln, du hittar den här. Sen vet jag inte riktigt vart du får x ifrån? Var det med från början?

Leila

Hej!
Jag svarade rätt på första frågan det blev pi/2
Men när det rättades skrevs fel svar!!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, det beror på att det inte var markerat rätt vilket som är det korrekta svaret i testet, vi har korrigerat detta.

Elsalouise

Hej!
Jättebra förklaringar till grundbegreppen men jag skulle behöva lite tips på hur man går tillväga när man skall börja räkna utan räknare och genom enhetscirkeln.

Ex,
Lös ekv. Fullständigt utan räknare, svara exakt:
Cos(x-pi/4)= (roten ur 2)/2

Jag vet att pi/4=180/4 dvs 45grader men jag vet verkligen inte hur jag ska lösa det, har försökt hitta tabell i formelsamlingen vilket jag ej finner.

Fråga två är hur jag tänker när jag på sin ekv. Ska ta -180 dvs pi- mitt svar, hur skriver jag det u bråk?!

Jag använder Ma-bok matematik 5000 för Ma 4!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hejsan, du har alltså ekvationen
    $ cos(x- \frac{\pi}{4})= \frac{ \sqrt{2} }{2} $
    Här kan vi börja med att att ta arccos så att vi får
    $ x- \frac{\pi}{4}= ±arccos( \frac{ \sqrt{2} }{2} ) + n⋅2 \pi $
    Här gäller att
    $ arccos(\frac{ \sqrt{2} }{2})=arccos(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\pi}{4} $
    så vi får
    $ x- \frac{\pi}{4}= ±\frac{\pi}{4} + n⋅2 \pi $
    Vi får två olika lösningar här där
    1) $ x = \frac{\pi}{2} + n⋅2 \pi $
    eller
    2) $ x = n⋅2 \pi $

    Lite svårt att först dina andra fråga här, har du ett exempel vi kan utgå ifrån?

skola111

Hej, jag har fastnat på tre uppgifter, vet inte riktigt om det har med den här genomgången att göra, men uppgifterna är på ett lösblad så kan inte se vilket kapitel det tillhör, hoppas de e okej att jag frågar ändå!

Första: lös ekvationen 4cos*x/2 = 1 ( i grader)

Andra: lös ekvationen 2cos(x+40) =1 (grader)

Tredje: lös ekvationen 2+3 sin5x = 5

Tacksam för svar! för övrigt så är jag jätte nöjd med denna sidan!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Kul att du är nöjd med sidan! Det här är tre trigonometriska ekvationer och alla har ungefär samma lösningsmetod så jag kan hjälpa dig på vägen med några av dem:
    1)
    4cos(x/2) = 1 (dividera med 4)
    cos(x/2) = 0,25 (arccos)
    x/2 = ± 75,5° + n⋅360° (*2)
    x = ± 151° + n⋅720°

    2)
    2cos(x+40) =1 (dividera med 2)
    cos(x+40) =0,5 (arccos)
    x+40 = ±60° + n⋅360°
    x = 20° + n⋅360° eller x = -100° + n⋅360°

      loefet9

      2) – hur kommer det sig att det blir +- 100? Och inte 20?

        Simon Rybrand (Moderator)

        Det skall inte vara +-100 utan 20 som du skriver, slarvfel från min sida 🙁


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (6)

  • 1. Premium

    Rapportera fel

    Hur många grader är $ \frac{2 \pi }{6} $ rad? (svara endast med siffror utan enhet)

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel

    Hur många radianer är $90°$?

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel

    Hur många radianer är 130°?

    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel

    Lös ekvationen cos 2x = 0,5

    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel

    Lös ekvationen $sin(x)=0,5$ och svara i radianer.

    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel

    Lös ekvationen $cos(x)=0,1$ och svara i radianer.

    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar