Exakta trigonometriska värden och symmetrier på enhetscirkeln

I bilden nedan hittar du en tabell över de värden som finns listade i formelbladet till nationella prov.

Det är framförallt tabellen här ovan som du kommer att använda dig av vid provtillfällen så det är viktigt att du lär dig att använda den.

I Ma4 introduceras vinkelmåttet radianer längre fram i kapitlet om trigonometri. Det är definierat som den sträcka utmed enhetscirkelns rand som spänns upp av vinkeln. Ett helt varv i enhetscirkeln motsvarar $360$360 grader eller $2\pi$2π radianer, eftersom att enhetscirkeln har radien $1$1 och därmed har omkretsen $2\pi$2π.  Med det följer att  $1$1 radian $\approx57$≈57 grader.

Nedan listar vi fler trigonometriska värden som går att härleda utifrån redan befintliga exakta värden och symmetri på enhetscirkeln. Det är bra att du känner till att dessa värden finns.

Nedan härleder vi några av exakta värden i denna tabell.

Med hjälp av enhetscirkeln kan vi härleda de exakta trigonometriska värdena för  $0°$0°, $90°$90°,  $180°$180° och $270°$270°. Vi använder här att på enhetscirkeln gäller att punkten vid cirkelns rand har  $x$x koordinaten $\cos v$cosv och  $y$y koordinaten $\sin v$sinv. För att ta fram värdet för tangens så används att $\tan v=\frac{\sin v}{\cos v}$tanv=sinvcosv .

Vi ritar ut en vinkel  $v=45°$v=45° i enhetscirkeln. Då skapas en rätvinklig triangel (blåmarkerad i figuren nedan) där de två kateterna $a$a är lika långa. Vi använder även symmetrin på enhetscirkeln för att markera ut några vinklar till som vi återkommer till nedan.

Med hjälp av pythagoras sats kan vi nu ställa upp och lösa ekvationen

 $a^2+a^2=1$a²+a²=1 

 $2a^2=1$2a²=1 

 $a^2=\frac{1}{2}$a²=12  

 $a=$a=$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$√12 =√1√2 =1√2   

Nu har vi kateternas längd och med hjälp av de grundläggande trigonometriska sambanden kan vi lista de exakta värdena för $45°$45°.

 $\sin45°=$sin45°=$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}$1√2 1 =1√2   

 $\cos45°=$cos45°=  $\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}$1√2 1 =1√2  

 $\tan45°=$tan45°= $\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=$1√2 1√2  =$1$1  

Med hjälp av symmetrin på enhetscirkeln kan vi även ta fram de exakta värdena för $135°$135°,  $225°$225° och $315°$315°. Exempelvis har vinkeln $135°$135° samma x- och y-koordinat som $45°$45° men med skillnaden att x-koordinaten är negativ. Därför gäller att

Vi kan även härleda de exakta värdena för $30°$30° och $60°$60° på ett liknande vis. Nedan visas detta och därefter kan vi även lista ett antal exakta värden till.

Vi markerar ut en liksidig triangel som innehåller två rätvinkliga trianglar. I den rätvinkliga triangeln kallar vi den motstående kateten $a$a och den närliggande kateten $b$b.

Då vi har en liksidig triangel får vi att

 $1=2a$1=2a 

 $a=$a= $\frac{1}{2}$12   

Då kan vi ta reda på $b$b genom pythagoras sats.

 $\left(\frac{1}{2}\right)^2+b^2=1$(12 )²+b²=1 

 $\frac{1}{4}+b^2=1$14 +b²=1

 $b^2=$b²= $\frac{3}{4}$34   

 $b=$b= $\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$√34 =√3√4 =√32   

Då vi nu har de bägge kateterna $a$a och $b$b så kan vi ta fram de exakta värdena för $30°$30° och $60°$60°. Vi använder de grundläggande trigonometriska sambanden och får

 $\sin30°=$sin30°= $\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2}$12 1 =12   

 $\cos30°=$cos30°=  $\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}$√32 1 =√32  

 $\tan30°=$tan30°=  $\frac{1}{2}\text{/}\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{\sqrt{3}}$12 /√32 =1√3  

 $\sin60°=$sin60°= $\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}$√32 1 =√32   

 $\cos60°=$cos60°=  $\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2}$12 1 =12  

 $\tan60°=$tan60°= $\frac{\sqrt{3}}{2}\text{/}\frac{1}{2}=$√3‍2 /12 = $\sqrt{3}$√3  

Med hjälp av symmetrin på enhetscirkeln kan vi även ta fram de exakta värdena för $120°$120°, $150°$150°,  $210°$210°,  $240°$240°, $300°$300° och  $330°$330° . Vi ritar ut dessa tillsammans med vinklarna $30°$30° och $60°$60°.