...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Absolutbelopp

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Vad är absolutbelopp?

Absolutbeloppet kan något förenklat beskrivas som avståndet mellan origo och en punkt.

Förklaring av absolutbelopp

Vi beskriver i denna kurs framför allt punktens position utifrån en dimension. På tallinje (en dimension) återfinns alla reella tal.

Definition av absolutbelopp

För reella tal definieras absolutbeloppet på följande vis.

$ |x|=\sqrt{x^2}= \begin{cases} x \text{ om } x ≥ 0 \\ -x \text{ om } x < 0 \end{cases} $

Definitionen innebär att absolutbeloppet alltid är positivt. Om exempelvis $x=-2$x=2 så gäller alltså att $\left|-2\right|=-\left(-2\right)=2$|2|=(2)=2. Om $x=2$x=2 så är även det absolutbeloppet positivt då vi från definitionen ser att $\left|2\right|=2$|2|=2.

planet/koordinatsystem (två dimensioner) kan vi beskriva punktens position med hjälp av de komplexa talen, genom att sätta $x$x -axeln till realdelen och $y$y -axeln till den imaginära delen. Kanske minns du detta utifrån arbete med vektorer i Ma1c.

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Förkunskaper

För att förstå absolutbelopp är det viktigt att kunna roten ur, negativa tal och hur tallinjen fungerar. Begreppet ingår i kursen Ma2c. Absolutbelopp används inom programmering och är en viktig förkunskap i arbetet med komplexa tal och vektorer.

Det som är nytt i denna kurs är att vi ska försöka avgöra om funktionen är deriverbar eller ej. Och här gäller det att vara observant för funktionsuttryck som innehåller ett absolutbelopp. Men först repeterar vi vad det är för något.

Avståndet mellan ett tal och origo

Då avstånd alltid är är positiva, så gäller att absolutbeloppet för ett tal alltid är positivt. Exempelvis är $\left|-4\right|=4$|4|=4. För att förstå hur detta fungerar i en dimension kan vi markera några tal på en tallinje.

Absolutbelopp exempel

Avståndet här ovan mellan den röda punkten på talet $4$4 och $0$0 är $4$4 l.e. Vi kan skriva det med absolutbeloppet $\left|4\right|=4$|4|=4.

Avståndet mellan den blå punkten på talet $-7$7 och $0$0 är $7$7 l.e. Vi kan skriva det med absolutbeloppet  $\left|-7\right|=7$|7|=7.

Avståndet mellan två tal

Absolutbelopp kan även tolkas som avstånd mellan tal. Exempelvis $\left|x-y\right|$|xy| avståndet mellan punkterna $x$x och $y$y. För att förstå det kan vi rita upp följande tallinje där vi har markerat talen $-5$5 och $3$3.

Avstånd mellan två tal

Alltså definierar vi avståndet mellan två tal $x$x och $y$y på tallinjen som $\left|x-y\right|$|xy|.

Exempel på beräkningar med absolutbelopp

Exempel 1

Beräkna $\left|-3\right|$|3|

Lösning

 $|-3|=\sqrt{3^2}=\sqrt{9}=3$|3|=32=9=3 

Exempel 2

Beräkna $10-\left|-3\right|+\left|-4\right|$10|3|+|4| 

Lösning

Vi beräknar först absolutbeloppen och sedan addition och subtraktion.

 $10-\left|-3\right|+\left|-4\right|=10-3+4=11$10|3|+|4|=103+4=11 

Absolutbelopp och ekvationer

När du löser ekvationer med absolutbelopp kan det vara viktigt att använda sig av att $\left|x-y\right|$|xy| kan ses som avståndet mellan talen $x$x och $y$y på tallinjen. Nedan följer ett exempel på hur vi löser en sådan ekvation.

Exempel 3

Lös ekvationen  $\left|x-4\right|=5$|x4|=5 

Lösning

Vi kan tolka $\left|x-4\right|=5$|x4|=5 som att vi söker två punkter med avståndet $5$5 till punkten $4.$4. Det finns två sådana punkter, nämligen $9$9  och $-1$1.

Ekvationen har alltså lösningarna $x_1=-1$x1=1 och $x_2=9$x2=9.

Då vi kan tänka oss absolutbeloppet som ett avstånd till origo kan vi resonera oss fram till lösningar på olikheter.

Exempel 4

Lös ekvationen $|x+7|<4$

Lösning

Vi söker värden på $x$ som ger att avståndet mellan $|x+7|$ och origo är mindre än $4$.

Vi börjar med att titta på vilka värdet på $x$ som ger att $|x+7|=4$.

När $x=-3$ och $x=-11$, eftersom att $|-3+7|=|4|=4$ och $|-11+7|=|-4|=4$.

Utifrån detta kan vi nu ange att om

$-11<x<-3$ är $|x+7| < 4$ eftersom att avståndet till origo då är mindre än fyra.

Om de känns svårt att se denna lösning är tipset att rita en tallinje eller sätta in olika värden på $x$x för att bekräfta sin teori.

$|-13+7| =|-6|=6 > 4$
$|-12+7| =|-5|=5 > 4$
$|-11+7| =|-4|=4$
$|-10+7| =|-3|=3< 4$
$|-9+7| =|-2|=2< 4$
$|-8+7| =|-1|=1< 4$

$|-4+7| =|3|=3< 4$
$|-3+7| =|4|=4$
$|-2+7| =|5|=5>4$
$|-1+7| =|6|=6>4$

Vi ser här att $-11<x<-3$ är de tal som ger att $|x+7| < 4$.

Absolutbelopp med olikhet

Det gällande intervallet för absolutbeloppet är i bilden är markerat med rött. Adderar vi sju till $x=-11$x=11 hamnar resultatet vid intervallets undre gräns, som i bilden är markerat vid den vänstra gröna pilens spets.

För  $x=-3$x=3 gäller att resultatet vid addition med sju hamnar i intervallets övre gräns. Därmed ger addition med sju resultat som hamnar i intervallet för alla  $x$x -värden i intervallet $-11<$11<  $x<-3$x<3.

Deriverbara funktioner

I Ma3c studerar vi derivatan av funktioner vars funktionsuttryck innehåller absolutbelopp.

För att en funktion ska vara deriverbar för hela definitionsmängden, ska derivatan vara entydig i alla punkter på grafen. Detta kan man förenklat beskriva som att man bara kan dra en tangent för varje punkt på grafen.

För diskontinuerliga eller funktioner som byter riktning hastigt är detta inte möjligt för alla $x$x -värden. De är därför inte heller deriverbara för alla  $x.$x. 

Grafen till  $f\left(x\right)=\left|x\right|$ƒ (x)=|x| 

Vi ser här grafen till  $f\left(x\right)=x$ƒ (x)=x  och $f\left(x\right)=\left|x\right|$ƒ (x)=|x| 

graf till f(x)=IxI

Funktionen  $f\left(x\right)=\left|x\right|$ƒ (x)=|x| antar, i förhållande till  $f\left(x\right)=x$ƒ (x)=x, de motsatta talens $y$y-värden för $x$x $<0$<0

Funktionen är mycket ”spetsig” i origo. Om v i närmar oss  $x=0$x=0 från vänster har vi en negativ derivata och från höger en positiv. Det gör att funktionen inte är deriverbar i $x=0$x=0, då funktionen är kontinuerlig i hela sin definitionsmängd, men inte har ett entydigt gränsvärde i  $x=0$x=0.

Exempel 5

Är funktionen $f\left(x\right)=\left|2x-1\right|$ƒ (x)=|2x1| deriverbar för alla  $x$x ? 

Lösning

Vi ritar funktionen för att se om derivatan är entydig för alla definierade  $x$x -värden.

Graf f(x)=I2x-1I

Funktionen är mycket ”spetsig” i  $x=0,5$x=0,5 . Om v i närmar oss  $x=0,5$x=0,5 från vänster har vi en negativ derivata och från höger en positiv. Det gör att funktionen inte är deriverbar i $x=0,5$x=0,5, då funktionen är kontinuerlig i hela sin definitionsmängd, men inte har ett entydigt gränsvärde i  $x=0,5$x=0,5.

Exempel i videon

  • Beräkna |-2| och |2|
  • Beräkna | -3 | + | -2 |
  • Beräkna | 6 – (-2) | – | 5 |
  • Lös ekvationen 3 = | x – 8 |

Kommentarer

Julia Engvall

Hej, hur räknar man ut ett sådant här tal.
$|x+2| > 8$
Tack på förhand.

    David Admin (Moderator)

    Hej Julia,
    vi söker värden på $x$ som ger att avståndet mellan $|x+2|$ och origo är större än $8$.

    Vi börjar med att titta på vilka värdet på $x$ som ger att $|x+2|=8$.

    Det får vi då $x=6$ och $x=-10$, eftersom att $|6+2|=|8|=8$ och $|-10+2|=|-8|=8$.
    Utifrån detta kan vi nu ange att om
    $x>6$ är $|x+2| > 8$ eftersom att avståndet till origo då är större än åtta.
    och
    $x<-10$ är $|x+2| > 8$ eftersom att avståndet till origo även då, är större än åtta.

    Hoppas detta hjälpe dig.
    Lycka till med absolutbeloppet!

Fredrik

Jag tror att ni har blandat ihop tecknen för absolutbeloppet vid 03:20 och framåt, tänker på att absolutbelopp alltid är positiva och det inte är det här (eller är det jag som blandar ihop det?), dessutom tänker jag på att ett tal i kvadrat alltid är positivt, vilket inte visas här.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Ja det står fel i videon där, vi korrigerar detta så fort som möjligt, tack för att du sade till om detta!

Joel Håkansson

”Markera på tallinjen det tal x för vilka det gäller att avståndet mellan : ”
a) x och 5 är 8

då tolkar jag det som x = |8 + 5| men jag får fel uträkningar.
Vad är det för någonting jag missar?

Avståndet mellan x och 5 är 8 tolkar jag som 5 är yttersta åt ena hållet, x är åt andra dvs 5 – 8 skulle bli -3 och då är -3 + -8 = 11 men facit säger -7 och -3

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Tycker att det verkar som ett konstigt svar i ditt facit.. Men det kan ju vara jag som missförstår frågan. De två tal x där avståndet mellan x och 5 är 8 är ju
    $x = 5+8=13 $
    och
    $ x = 5-8= -3 $

Oskar Karlsson

Hej!
Lösningen till olikheten ∣x+4∣<2 är ju x = -2 och x = -6.
Men hur bestämmer jag vilken som är större/mindre än x?
finns det någon regel jag missar?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Det du gör är att du löser likheten ∣x+4∣=2 och inte olikheten. Du kan ändå använda dig av de svar du har och undersöka intervallen x < -6 och -6 < x < -2 och x > -2.
    Du kommer då märka att olikheten stämmer för intervallet -6 < x < -2.

randsara

y(2) om y(x) = |3-x^2|

min lösning = Y(2) = |3-2^2|
y(2) = 3-4
y(2) = -1

men jag vet inte vad är det för fel, eftersom Absolutbelopp får svaret vara minus

    Simon Rybrand (Moderator)

    Eftersom du skall beräkna absolutbeloppet (dvs ett avstånd) så kommer du att få ett positivt svar.
    Dvs
    $ y(2) = | 3-2^2 |=| 3-4 |=|-1|=1 $

abfvuxgot

Hej!

Om man vill gå den långa vägen för att lösa en sådan ekvation av typen 3 = | x-8 |. Är det då lika giltigt? Jag tänker då på pq-formeln. För när jag gör det så får jag även där första index av x lika med 5, och andra index av x lika med 11. Dvs, om man vill göra en fullständig bevisföring. Samt om det är ett giltigt svar skulle denna typen av ekvation komma upp på det nationella provet?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, hur tänker du den långa vägen? Kan visa lite mer hur du då löser det?
    Allmänt så tycker jag nog att det blir enklare att ställa upp de två fallen utifrån att ett absolutbelopp är ett avstånd.

      abfvuxgot

      Hej igen!
      Jo med den ”långa vägen” så tänker jag mig följande stig så att säga:

      1; 3 = | x-8 |

      2; 3 = roten ur (x-8)^2

      3; 3^2= (x-8)^2

      4; 9 = (x-8)(x-8)

      5; 9 = x^2-16x-64

      6; 0 = x^2-16x-55

      7; x = 16/2 +- roten ur (16/2)^2 – 55

      8; x = 8 +- roten ur 64 -55

      9; x = 8 +- roten ur 9

      10; x = 8 +- 3

      11; x1 = 8+3 = 11

      12; x2 = 8-3 = 5

      Nu vet jag att det räcker med att utgå med att göra så som du har förklarat i videon som tillhör detta avsnitt. Men måste säga att du har verkligen gjort matte lättillgängligt så det har blivit spännande att krångla till det lite.

      Mvh
      Krille, student på ABFVuxGot

        abfvuxgot

        På steg nummer 5; och 6; ska det naturligtvis vara x^2-16x+64 och x^2-16x+55 då jag tar till den andra kvadreringsregeln och inget annat där.

        Simon Rybrand (Moderator)

        Ja det går ju även att lösa ekvationen
        $ 3 = \sqrt{(x-8)^2} $
        Har man liknande typer av ekvationer vill jag dock bara nämna att det kan vara lätt hänt att man får falska rötter. Testa då de svar du får fram så att det är riktiga rötter. Annars fungerar din metod också, även om jag kan tycka att det blir lite mer omständligt 😉

Falah

Hej! jag har en liten fråga:
för vilka x gäller olikheten ?
∣x-7∣<2

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, lösningen till den olikheten är att
    5 < x < 9. Du kan undersöka detta genom att lösa ekvationen | x-7 | = 2 som har lösningarna x = 9 och x = 5.

olof

Hej Gjorde övning tre på absolutbelopp, borde inte -3 också vara ett rimligt svar?

Ange en negativ lösning till | 2 + x | = 1 Du svarade tyvärr fel
Ditt svar: -3
Rätt Svar: -1

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Olof, helt rätt att det är ett rimligt svar, vi konstruerar om uppgiften så att man inte blir förvirrad där. Tack för din kommentar!


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (8)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna  $|-3|$|3| 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna  $|21|$|21| 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna  $|5-3|$|53| 

    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna  $|2-100|$|2100| 

    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna  $|-3+(-5)|-|-3|$|3+(5)||3| 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Ange en negativ lösning till  $|x|=1$|x|=1 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna absolutbeloppet $\left|x^2-5x\right|$|x25x|  då  $x=3$x=3 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna absolutbeloppet $\left|-5x^2-3x\right|$|5x23x|  då  $x=-2$x=2 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...

c-uppgifter (2)

  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P
    PL1
    M
    R1
    K

    Din vän påstår att det finns två tal $x$x som uppfyller likheten $\left|\text{ }2x-3\text{ }\right|=7$| 2x3 |=7 

    Det ena säger hon är $5$5. Vilket är det andra?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 10. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen    $\left|3x-8\right|=4$|3x8|=4  

    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 11. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/2)
    ECA
    B
    P
    PL
    M
    R1
    K1

    Din vän har antecknat ett påstående.    

     För alla reella tal $x$x gäller att  $\left|-x^3\right|-2x^3\le0$|x3|2x30    

    Din vän påstår att det stämmer efter som att vi tar bort dubbelt så mycket än det vi har.
    Håller du med din vän?

    Öva gärna på att redovisa ditt resonemang på ett papper, men ange endast svaret ja eller nej här.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar