Lär dig Absolutbelopp - (Ma 3) - Matematikvideo

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 3 C

Absolutbelopp

Video

Video, text & övningsfrågor av: Simon Rybrand

Ett absolutbelopp motsvarar det geometriska avståndet mellan en punkt och origo. I den här genomgången går vi grundläggande igenom detta begrepp.

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM


  • 600+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
PROVA FÖR 9 kr
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.
20 votes, average: 4,10 out of 520 votes, average: 4,10 out of 520 votes, average: 4,10 out of 520 votes, average: 4,10 out of 520 votes, average: 4,10 out of 5
20
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

11
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 10
  • 11
MEDELPOÄNG
ALLA
4

Text

För att förstå absolutbelopp är det viktigt att kunna roten ur, negativa tal och hur tallinjen fungerar. Begreppet ingår i kursen Ma2c. Absolutbelopp används inom programmering och är en viktig förkunskap i arbetet med komplexa tal och vektorer.

Det som är nytt i denna kurs är att vi ska försöka avgöra om funktionen är deriverbar eller ej. Och här gäller det att vara observant för funktionsuttryck som innehåller ett absolutbelopp. Men först repeterar vi vad det är för något.

Vad är absolutbelopp?

Absolutbeloppet kan något förenklat beskrivas som avståndet mellan origo och en punkt.

Förklaring av absolutbelopp

Vi beskriver i denna kurs framför allt punktens position utifrån en dimension. På tallinje (en dimension) återfinns alla reella tal.

Definition av absolutbelopp

För reella tal definieras absolutbeloppet på följande vis.

$ |x|=\sqrt{x^2}= \begin{cases} x \text{ om } x ≥ 0 \\ -x \text{ om } x < 0 \end{cases} $

Definitionen innebär att absolutbeloppet alltid är positivt. Om exempelvis $x=-2$x=2 så gäller alltså att $\left|-2\right|=-\left(-2\right)=2$|2|=(2)=2. Om $x=2$x=2 så är även det absolutbeloppet positivt då vi från definitionen ser att $\left|2\right|=2$|2|=2.

planet/koordinatsystem (två dimensioner) kan vi beskriva punktens position med hjälp av de komplexa talen, genom att sätta $x$x -axeln till realdelen och $y$y -axeln till den imaginära delen. Kanske minns du detta utifrån arbete med vektorer i Ma1c.

Avståndet mellan ett tal och origo

Då avstånd alltid är är positiva, så gäller att absolutbeloppet för ett tal alltid är positivt. Exempelvis är $\left|-4\right|=4$|4|=4. För att förstå hur detta fungerar i en dimension kan vi markera några tal på en tallinje.

Absolutbelopp exempel

Avståndet här ovan mellan den röda punkten på talet $4$4 och $0$0 är $4$4 l.e. Vi kan skriva det med absolutbeloppet $\left|4\right|=4$|4|=4.

Avståndet mellan den blå punkten på talet $-7$7 och $0$0 är $7$7 l.e. Vi kan skriva det med absolutbeloppet  $\left|-7\right|=7$|7|=7.

Avståndet mellan två tal

Absolutbelopp kan även tolkas som avstånd mellan tal. Exempelvis $\left|x-y\right|$|xy| avståndet mellan punkterna $x$x och $y$y. För att förstå det kan vi rita upp följande tallinje där vi har markerat talen $-5$5 och $3$3.

Avstånd mellan två tal

Alltså definierar vi avståndet mellan två tal $x$x och $y$y på tallinjen som $\left|x-y\right|$|xy|.

Exempel på beräkningar med absolutbelopp

Exempel 1

Beräkna $\left|-3\right|$|3|

Lösning:

 $|-3|=\sqrt{3^2}=\sqrt{9}=3$|3|=32=9=3 

Exempel 2

Beräkna $10-\left|-3\right|+\left|-4\right|$10|3|+|4| 

Lösning:

Vi beräknar först absolutbeloppen och sedan addition och subtraktion.

 $10-\left|-3\right|+\left|-4\right|=10-3+4=11$10|3|+|4|=103+4=11 

Absolutbelopp och ekvationer

När du löser ekvationer med absolutbelopp kan det vara viktigt att använda sig av att $\left|x-y\right|$|xy| kan ses som avståndet mellan talen $x$x och $y$y på tallinjen. Nedan följer ett exempel på hur vi löser en sådan ekvation.

Exempel 3

Lös ekvationen  $\left|x-4\right|=5$|x4|=5 

Lösning:

Vi kan tolka $\left|x-4\right|=5$|x4|=5 som att vi söker två punkter med avståndet $5$5 till punkten $4.$4. Det finns två sådana punkter, nämligen $9$9  och $-1$1.

Ekvationen har alltså lösningarna $x_1=-1$x1=1 och $x_2=9$x2=9.

Deriverbara funktioner

I Ma3c studerar vi derivatan av funktioner vars funktionsuttryck innehåller absolutbelopp.

För att en funktion ska vara deriverbar för hela definitionsmängden, ska derivatan vara entydig i alla punkter på grafen. Detta kan man förenklat beskriva som att man bara kan dra en tangent för varje punkt på grafen.

För diskontinuerliga eller funktioner som byter riktning hastigt är detta inte möjligt för alla $x$x -värden. De är därför inte heller deriverbara för alla  $x.$x. 

Grafen till  $f\left(x\right)=\left|x\right|$ƒ (x)=|x| 

Vi ser här grafen till  $f\left(x\right)=x$ƒ (x)=x  och $f\left(x\right)=\left|x\right|$ƒ (x)=|x| 

graf till f(x)=IxI

Funktionen  $f\left(x\right)=\left|x\right|$ƒ (x)=|x| antar, i förhållande till  $f\left(x\right)=x$ƒ (x)=x, de motsatta talens $y$y-värden för $x$x $<0$<0

Funktionen är mycket ”spetsig” i origo. Om v i närmar oss  $x=0$x=0 från vänster har vi en negativ derivata och från höger en positiv. Det gör att funktionen inte är deriverbar i $x=0$x=0, då funktionen är kontinuerlig i hela sin definitionsmängd, men inte har ett entydigt gränsvärde i  $x=0$x=0.

Exempel 4

Är funktionen $f\left(x\right)=\left|2x-1\right|$ƒ (x)=|2x1| deriverbar för alla  $x$x ? 

Lösning:

Vi ritar funktionen för att se om derivatan är entydig för alla definierade  $x$x -värden.

Graf f(x)=I2x-1I

Funktionen är mycket ”spetsig” i  $x=0,5$x=0,5 . Om v i närmar oss  $x=0,5$x=0,5 från vänster har vi en negativ derivata och från höger en positiv. Det gör att funktionen inte är deriverbar i $x=0,5$x=0,5, då funktionen är kontinuerlig i hela sin definitionsmängd, men inte har ett entydigt gränsvärde i  $x=0,5$x=0,5.

Exempel i videon

  • Beräkna |-2| och |2|
  • Beräkna | -3 | + | -2 |
  • Beräkna | 6 – (-2) | – | 5 |
  • Lös ekvationen 3 = | x – 8 |

Kommentarer

  1. Jag tror att ni har blandat ihop tecknen för absolutbeloppet vid 03:20 och framåt, tänker på att absolutbelopp alltid är positiva och det inte är det här (eller är det jag som blandar ihop det?), dessutom tänker jag på att ett tal i kvadrat alltid är positivt, vilket inte visas här.

    Fredrik
    1. Ja det står fel i videon där, vi korrigerar detta så fort som möjligt, tack för att du sade till om detta!

      Simon Rybrand
  2. ”Markera på tallinjen det tal x för vilka det gäller att avståndet mellan : ”
    a) x och 5 är 8

    då tolkar jag det som x = |8 + 5| men jag får fel uträkningar.
    Vad är det för någonting jag missar?

    Avståndet mellan x och 5 är 8 tolkar jag som 5 är yttersta åt ena hållet, x är åt andra dvs 5 – 8 skulle bli -3 och då är -3 + -8 = 11 men facit säger -7 och -3

    Joel Håkansson
    1. Hej
      Tycker att det verkar som ett konstigt svar i ditt facit.. Men det kan ju vara jag som missförstår frågan. De två tal x där avståndet mellan x och 5 är 8 är ju
      $x = 5+8=13 $
      och
      $ x = 5-8= -3 $

      Simon Rybrand
  3. Hej!
    Lösningen till olikheten ∣x+4∣<2 är ju x = -2 och x = -6.
    Men hur bestämmer jag vilken som är större/mindre än x?
    finns det någon regel jag missar?

    Oskar Karlsson
    1. Det du gör är att du löser likheten ∣x+4∣=2 och inte olikheten. Du kan ändå använda dig av de svar du har och undersöka intervallen x < -6 och -6 < x < -2 och x > -2.
      Du kommer då märka att olikheten stämmer för intervallet -6 < x < -2.

      Simon Rybrand
  4. y(2) om y(x) = |3-x^2|

    min lösning = Y(2) = |3-2^2|
    y(2) = 3-4
    y(2) = -1

    men jag vet inte vad är det för fel, eftersom Absolutbelopp får svaret vara minus

    randsara
    1. Eftersom du skall beräkna absolutbeloppet (dvs ett avstånd) så kommer du att få ett positivt svar.
      Dvs
      $ y(2) = | 3-2^2 |=| 3-4 |=|-1|=1 $

      Simon Rybrand
  5. Hej!

    Om man vill gå den långa vägen för att lösa en sådan ekvation av typen 3 = | x-8 |. Är det då lika giltigt? Jag tänker då på pq-formeln. För när jag gör det så får jag även där första index av x lika med 5, och andra index av x lika med 11. Dvs, om man vill göra en fullständig bevisföring. Samt om det är ett giltigt svar skulle denna typen av ekvation komma upp på det nationella provet?

    abfvuxgot
    1. Hej, hur tänker du den långa vägen? Kan visa lite mer hur du då löser det?
      Allmänt så tycker jag nog att det blir enklare att ställa upp de två fallen utifrån att ett absolutbelopp är ett avstånd.

      Simon Rybrand
      1. Hej igen!
        Jo med den ”långa vägen” så tänker jag mig följande stig så att säga:

        1; 3 = | x-8 |

        2; 3 = roten ur (x-8)^2

        3; 3^2= (x-8)^2

        4; 9 = (x-8)(x-8)

        5; 9 = x^2-16x-64

        6; 0 = x^2-16x-55

        7; x = 16/2 +- roten ur (16/2)^2 – 55

        8; x = 8 +- roten ur 64 -55

        9; x = 8 +- roten ur 9

        10; x = 8 +- 3

        11; x1 = 8+3 = 11

        12; x2 = 8-3 = 5

        Nu vet jag att det räcker med att utgå med att göra så som du har förklarat i videon som tillhör detta avsnitt. Men måste säga att du har verkligen gjort matte lättillgängligt så det har blivit spännande att krångla till det lite.

        Mvh
        Krille, student på ABFVuxGot

        abfvuxgot
        1. På steg nummer 5; och 6; ska det naturligtvis vara x^2-16x+64 och x^2-16x+55 då jag tar till den andra kvadreringsregeln och inget annat där.

          abfvuxgot
        2. Ja det går ju även att lösa ekvationen
          $ 3 = \sqrt{(x-8)^2} $
          Har man liknande typer av ekvationer vill jag dock bara nämna att det kan vara lätt hänt att man får falska rötter. Testa då de svar du får fram så att det är riktiga rötter. Annars fungerar din metod också, även om jag kan tycka att det blir lite mer omständligt 😉

          Simon Rybrand
  6. Hej! jag har en liten fråga:
    för vilka x gäller olikheten ?
    ∣x-7∣<2

    Falah
    1. Hej, lösningen till den olikheten är att
      5 < x < 9. Du kan undersöka detta genom att lösa ekvationen | x-7 | = 2 som har lösningarna x = 9 och x = 5.

      Simon Rybrand
  7. Hej Gjorde övning tre på absolutbelopp, borde inte -3 också vara ett rimligt svar?

    Ange en negativ lösning till | 2 + x | = 1 Du svarade tyvärr fel
    Ditt svar: -3
    Rätt Svar: -1

    olof
    1. Hej Olof, helt rätt att det är ett rimligt svar, vi konstruerar om uppgiften så att man inte blir förvirrad där. Tack för din kommentar!

      Simon Rybrand

Endast premiumkunder kan kommentera. Prova Premium!

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: