...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Kontinuerliga och Diskreta Funktioner

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Kontinuerlig eller Diskontinuerlig funktion?

Ett förenklat sätt att beskriva en kontinuerlig funktion är att säga, att det är en funktion vars graf går att rita, utan att lyfta pennan från papperet. Det vill säga en funktion som är sammanhängande i sin definitionsmängd och där med också sin värdemängd.

Nedan ser vi ett typiskt exempel på hur en kontinuerlig funktion se ut.

Kontinuerlig funktion definition

Alla polynomfunktioner, så som till exempel linjära-, andragrads- och tredjegradsfunktioner, är kontinuerliga. Det samma gäller för alla exponentialfunktioner.

Som en generell förklaring av de kontinuerliga funktionerna kan detta var till hjälp, men det kan lura oss lite, då även en funktion som vi måste lyfta pennan för att rita, kan vara kontinuerlig. Mer om detta i kommande lektion.

Motsatsen till en kontinuerlig funktion är en diskontinuerlig funktion. Den känns lättast igen på att den, till skillnad från den kontinuerliga grafen, har avbrott. En diskontinuerlig funktions graf kan inte ritas utan att lyfta pennan. 

Så här kan en typisk diskontinuerlig funktion se ut.

Diskontinuerlig funktion definition

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Diskret funktion

Den finns en särskild grupp funktioner som inte heller de är sammanhängande i sin definitionsmängd. För dessa gäller att funktionens definitionsmängd är diskret. Det innebär att funktionens $x$x -värden är åtskilda från varandra, till skillnad från en funktion där definitionsmängden är kontinuerlig, sammanhängande.

Några exempel på diskreta mängder är de naturliga talen, som skrivs om mängden  $N=\left\{0,\text{ }1,\text{ }2,\text{ }3,\text{ }4…\right\}$N={0, 1, 2, 3, 4…}  , heltalen  $Z=\left\{…-1,\text{ }0,\text{ }1,\text{ }2…\right\}$Z={1, 0, 1, 2…} eller de rationella talen (bråktalen) $Q=\left\{\frac{a}{b}\right\}$Q={ab } där  $b\ne0$b0  och $a$a och $b$b är heltal. Men det finns fler. I diskreta mängder antar $x$x åtskilda värden, värden som har ”glapp” mellan sig. Till exempel finns oändligt många decimaltal mellan de två hela talen $1$1 och $2$2, men de är inte med i mängden Heltal. Detta till skillnad från de reella talen $R$R, där varje tal som finns på tallinjen är med. Man säger att de reella talen inte är åtskilda, mellan två tal i mängden finns inga ”glapp”.

Så här kan en typisk diskret funktion se ut. Just denna har en definitionsmängd som tillhör de naturliga talen  $N=\left\{0,\text{ }1,\text{ }2,\text{ }3,\text{ }4…\right\}$N={0, 1, 2, 3, 4…} .

Diskret funktion definition

Det är alltså definitionsmängden som avgör om en funktion är diskret, medan det är värdemängden som avgör om en funktion är kontinuerlig. De två egenskaperna behöver alltså inte vara varandras motsatser.

Definition av kontinuerliga funktioner

En funktion $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x) är en kontinuerlig funktion, om den är kontinuerlig i varje punkt i sin definitionsmängd.

Exempel på kontinuerlig, diskontinuerlig och diskret funktion

Exempel 1 -Kontinuerlig funktion

Ett exempel på en kontinuerlig funktion kan vara $f(x)=x^2$ƒ (x)=x2  där  $x\ge0$x0  och  $f(x)$ƒ (x) beskriver höjden på en raket efter $x$x sekunder. Här kommer raketen ha en höjden för varje sekund och del av sekund och funktionen är därmed kontinuerlig.

Andragradsfunktion

Exempel 2 -Diskontinuerlig funktion

Funktionen $f(x)=\begin{cases} x^2-4\,\,\,\,\text{då}\,\,x<3 \\x-1 \,\,\,\,\,\,\text{då}\,\,x\ge 3 \end{cases}$ är diskontinuerlig då $ \lim\limits_{x \to 3^+} f(x) ≠\lim\limits_{x \to 3^-} f(x) ≠f(3) $.

Detta resulterar i att grafen inte är sammanhängande då  $x=3$x=3

Diskontinuerlig graf

Exempel 3 -Diskret funktion

Ett exempel på en diskret funktion kan vara  $f(x)=3x$ƒ (x)=3x  där $x$x är antalet sålda bilar i en bilaffär. Här kan man förstås bara sälja hela bilar och funktionen blir därför inte sammanhängande.

Grafen till en diskret funktion

Exempel i videon

  • Avståndet i km du har åkt med en bil beskrivs av funktionen  $f\left(t\right)$ƒ (t) där t är tiden i minuter efter start.
  • Priset att parkera på en parkeringsplats är $5$5 kr per påbörjad timme. Funktionen  $p\left(h\right)$p(h)  där h är den påbörjade timmen ger priset.
  • I en mataffär kan du köpa apelsiner för $7$7 kr styck och potatis för 9 kr kilot. Beskriv inköp av apelsinerna och potatisen med var sin funktion och avgör om de är kontinuerliga.

Kommentarer

Signe

Hej!
Bilden på fråga 3 och 4 visas inte utan man ser endast en liten ruta med ett frågetecken.
Vet inte om det bara är jag som har detta problem?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Vi kikar på detta, tack för att du sade till.

Anders Gustafsson

Exemplet med parkeringsplatsen är felaktig. Grafen visar inte en diskret funktion (men en diskontinuerlig funktion). Som ni skriver så är definitionsmängden i en diskret funktion heltal. Men i grafen kan man tydligt avläsa ett funktionsvärde för t.ex h= 0,5 Detta skall inte vara möjligt om definitionsmängden bara är heltal.
Grafen är dock korrekt om definitionsmängden är alla reella tal (större än eller lika med 0). Men då blir inte funktionen diskret.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Anders!
    Vi skall ordna detta så fort som möjligt! Tack för att du sade till!
    /Simon R

Johan Svensson

Fråga 3 ger fel även om man svarar rätt. Jag svarade -5 < y < 1 fast med mindre än eller lika med symbolen mellan y och ett och fick fel trots att förklaringen efter säger att det är rätt. 

    Simon Rybrand (Moderator)

    Vi fixar det, tack för att du sade till!

Olga Nikolajenko

Hej!

Jag tror det är något bugg i uppgift 8 och 3. För det ser konstigt ut.
Det är -5<y\le 1.
Rätt svar: −5<yle1
men bodde se ut så -5<y≤1

    Simon Rybrand (Moderator)

    Vi fixar det, tack för att du sade till!

Nebosja Kostic Hermods Gymnasium STHL

Uppg. 3 Ange värdemängden till funktionen…
det är samma svar på alla de tre alternativen???

    Simon Rybrand (Moderator)

    Vi fixar det!

Husan Karim

Hej!
Varför har ni så få uppgifter här? Eller finns det nå länk med mer uppgifter som man kan träna på?
Mvh Husan

    Simon Rybrand (Moderator)

    Vi kommer att fylla på med fler uppgifter här inom kort. Just nu finns det tyvärr inte fler uppgifter att träna på.

Janina Carvajal

Hej jag studerar matematik 3b. Jag ska precis börja med Diskreta och kontinuerliga funktioner samt gränsvärde.

I boken finns det en uppgift där det står : f(x) = 2x + 3, Df = R.
Vad menas med R? Jag har sett liknande tal fast som har Df = N. De förklarade N lite i boken, och har förstått det som att N är för heltal?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Kan det vara att definitionsmängden (Df) = alla reella tal (R)?

      Ann Kristin Frost

      Hejsan.
      Jag har börjat med 3c och har samma uppgift som diskuterats tidigare. f(x)= 2x+3, Df=R

      Jag ska avgöra om det är kontinuerlig, diskret eller inget.
      Hur avgör man det? Hur räknar man ut talen? Det enda exemplet jag har säger bara vad som är vad. inte hur man faktiskt räknar ut talen, eller hur man skriver det i en grafräknare så man kan se det direkt.

        Simon Rybrand (Moderator)

        Förenklat (och med en del undantag) kan man tänka att en funktion är kontinuerlig om det går att rita ut dess graf med en penna utan att behöva lyfta denna. Så om du har definitionsmängden alla reella tal så är den kontinuerlig då du då inte får några ”hopp”. Hjälper detta dig att förstå?

vitti

Tja. kan man rita upp detta på grafräknaren? jag vet inte hur detta fungerar?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Det går att rita både kontinuerliga och diskreta funktioner på olika vis. Har du ett exempel som du jobbar med? Så har jag något att utgå från.

Caroline

3:50 i videon, grafen y=x^2, hur vet ni att den ska ha den böjen? Var kan jag kika mer på detta här på matematikvideo?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, kika mera på andragradsfunktioner så tror jag att det kommer att klarna.

ksenija

definitionsmängden är -5 mindre eller lika med x större eller lika med 6
värdemängd -2 mindre eller lika med y större eller lika med 4 tror jag

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Du kan beskriva en funktion med så kallade villkor. Att det i ett intervall beskrivs av en funktionsformel och i ett annat intervall så gäller en annan funktionsformel.
    så när
    $ x ≤ 1 $ gäller att $ f(x) = -x-1 $
    och då
    $ x > 1 $ gäller att $ f(x) = x-3 $
    Det här görs ibland men kan förstås vara lite ovant om du inte tidigare sett liknande funktioner.

ksenija

Hej! jag har ett problem, studerar matematik 3b och i boken står under headline rationella funktioner, denna uppgift :
Grafen f(x)kan beskrivas med funktionsuttrycket

f(x) -x-1 för x är mindre eller lika med 1
x-3 för x är större än 1

grafen ser ut som ett v med nollställerna på x=3 och x=-1 och minimipunkten, om man kan kalla den så är på -2
det jag inte fattar är hur kan grafen uttryckas med dessa uttryck. är det något du förstår?

Kevin Coldevin

Hej igen. Sorry, jag missförstod redan från början vilket gjorde det lite svårt. Jag tror att jag förstår nu så du kan ta bort min kommentar eller bara strunta i den.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, vad bra att du förstod!

Kevin Coldevin

Hej!

Vad innebär x = c? Min bok förklarar det inte överhuvudtaget vilket gör detta omöjligt att förstå.

nti_ma3

Hej!
I exemplet som ges vid 04:00 i videon poängteras att värdemängden kan vara högre eller lika med 0, samt mindre än 4. Bör inte detta vara mindre eller lika med 4?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej! Eftersom x = 2 inte ingår i definitionsmängden ( 0≤x<2 ) så kommer inte vi aldrig att få y - värdet 4.

philip.warnerman

Fråga två har något fel i sig, svarade rätt men den gav mig fel.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, sådana textsvar kan vara lite känsliga för stora/små bokstäver och mellanslag. Vi gjorde så att vi ändrade den till en flervalsuppgift istället så att det inte misstolkas.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (7)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilket påstående stämmer till den utritade grafen?

    Grafen till en kontinuerlig funktion

    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Är grafen kontinuerlig?

    Grafen till en diskontinuerlig funktion
    Svara med Ja eller Nej.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vad kallas en funktion där  $x$x-värdena i definitionsmängden är åtskilda och därför ser ut på till exempel detta sätt?

    Diskret funktion

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Diskret funktion

    Ange den diskreta funktionens definitionsmängd.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Ange värdemängden till funktionen  $y=2x-3$y=2x3 då definitionsmängden är  $-1<$1< $x\le2$x2 .

    Lös gärna uppgiften både algebraiskt och grafiskt.

    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Funktionen  $f(x)=99x$ƒ (x)=99x beskriver kostnaden vid inköp av $x$x antal filmer på en webbtjänst.

    Är $f(x)$ƒ (x)  kontinuerlig?

    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

     $f(x)=$ƒ (x)=  $\frac{1}{x+4}$1x+4   är utritad i figuren. Vilken är dess definitionsmängd?

    Grafen till en rationell funktion

    Rättar...

c-uppgifter (2)

  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Studera händelserna nedan och välj vilken händelse som kan beskrivas med en matematisk modell som motsvarar en kontinuerlig funktion?

    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R1
    K

    Vilken funktion antar störst värde?

    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar