...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Prova för 9 kr Prova för 9 kr
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Andragradsfunktioner

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

En andragradsfunktion är en funktion, där själva funktionsuttrycket utgörs av ett andragradspolynom. Med det menas att funktionsuttrycket har graden två. Uttrycket måste då innehålla en variabelterm av sorten $ax^2$ och inga variabeltermer med ett högre gradtal, en större exponent, än två.

Andragradsfunktionens olika delar

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Är du ny här? Så här funkar Premium
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Andragradsfunktionens begrepp

Generell formel för andragradsfunktionen

Det allmänna funktionsuttrycket för andragradsfunktionen är följande.

Den generella andragradsfunktionen

$ f(x) = ax^2 + bx + c $

där $a,b$ och $c$ är konstanter och där $a≠0$

Viktigt är att koefficienten framför andragradstermen,  $a$a , måste vara frånskild från noll.  Annars får vi ingen andragradsfunktion, eftersom att andragradstermen ”försvinner” om  $a=0$a=0.

Andragradsfunktionens graf

När du ritar grafen till en andragradsfunktion i ett koordinatsystem kallas grafen för en parabel. Något som kännetecknar dessa parabler är att de antingen ser ut som en glad mun, öppen uppåt,  eller en ledsen mun, öppen nedåt.

För andragradsfunktioner där  $a>0$a>0, alltså då koefficienten framför andragradstermen är positiv, kommer grafen att vara öppen uppåt.

Positiv parabel

För andragradsfunktioner där  $a<0$a<0 , alltså då koefficienten framför andragradstermen är negativ, kommer grafen att vara öppen nedåt.

Negativ parbel

Enkelt uttryck gäller att om det är en negativ koefficient framför $ x^2 $ får du en graf som ser ut som en negativ, sur, mun.
Om det är en positiv koefficient framför $ x^2 $ får en graf som ser ut som en positiv, glad, mun.

Undersök parabelns utseende

Genom att flytta reglagen i sidled kan du undersöka hur konstanterna $a,\text{ }b$a, b och $c$c i andragradsfunktionen  $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ƒ (x)=ax2+bx+c påverkar parabeln utseende.

Konstanten $a$a påverkar parabelns utseende på det sätt att den går från att för stora negativa värden på $a$a resultera i en smal och negativ graf, till att bli bredare och bredare ju närmre värdet noll $a$a kommer. Får små positiva värden är parabeln bred men positiv, för att sedan bli smalare och smalare igen desto större värdet på  $a$a blir.

Konstanten $b$b förflyttar grafen i både sid och höjdled samtidigt.

Konstanten $c$c förflyttar endast grafen i höjdled. Notera att värdet på $c$c alltid går att läsa av i skärningspunkten mellan grafen och $y$y-axeln.

Vertex

Vid tillämpning av matematiken är det vanligt att man vill beräkna största och minsta möjliga funktionsvärdet. Därför har de punkter som anger vart grafen vänder fått ett eget namn. Nämligen vertex.

Vertex motsvarar den punkt där andragradsfunktionen antar sitt största eller minsta värde.

I grafen kan vi läsa av dessa vändpunkter.

Exempel 1

Ange koordinaterna för vertex genom avläsning i figuren nedan.

Minimipunkt

Lösning

Vertex återfinns i grafens vändpunkt. I detta fall är vertex en minimipunkt. Vi läser av punktens koordinater till $(2,-3)$.

Eftersom att det kan vara av intresse om vertex anger det största eller minsta funktionsvärdet delar man upp vertex i maximi- och minimipunkter.

Största värdet på parabeln återfinns i maximipunkten, eller maxpunkten som den också kallas.

Maximipunkt

En parabel där  $a<0$a<0 , alltså då koefficienten framför andragradstermen är negativ, har alltid en maximipunkt.

Maximipunkt

Minsta värdet på parabeln återfinns i minimipunkten, eller minpunkten som den också kallas.

Miminipunkt

En parabel där  $a>0$a>0 , alltså då koefficienten framför andragradstermen är positiv, har alltid en minimipunkt.

Minimipunkt

Så genom att läsa av koefficienten framför andragradstermen kan du enkelt avgöra om funktionen har en max- eller minpunkt.

Exempel 2

Har grafen till $ f(x)=10x^2+4 $ en maximipunkt eller en minimipunkt?

Lösning

Koefficienten framför andragradstermen är $10$10, vilket är ett positiv tal. Det ger att grafen ser ut som en glad mun. Därför har grafen en minimipunkt.

I samlingsnamnet extrempunkter ingår alla vertexpunkter, då extrempunkter motsvarar just max- och minpunkter. Men bland extrempunkter ingår dessutom de så kallade terasspunkterna. Men de kommer introduceras först i Ma3.

Symmetrilinjen

En parabel är alltid symmetrisk. Det innebär att man kan dra en linjen mitt genom grafen, som ger att varje punkt på grafen ger en exakt spegling som också tillhör grafen. För att detta ska stämma måste symmetrilinjen dras som en lodrät linje genom vertex.

Symmetrilinjen går alltid genom vertex.

Symmetrilinje

Symmetrilinjens ekvation är $x=a$x=a , där $a$a motsvarar det $x$x -värde den lodräta linjen skär genom. Men mer om detta i nästa lektion.

Nollställen

De $x$-värden där parabeln skär $x$-axeln kallas för nollställen.

Nollställe

För alla nollställen gäller att funktionens värde är lika med noll, vilket vi kan skriva som $ f(x) = 0 $. Kännedom kring nollställen kan komma till användning bland annat vid lösning av andragradsekvationer. I nästa lektion fördjupar vi kunskapen kring andragradsfunktionens nollställen.

Konstanten c

I likhet med den linjära funktionen  $m$m  -värde, kan man lätt avgöra andragradsfunktionens  $c$c -värde, eftersom att den är en konstant som inte påverkas av variablerna i uttrycket.

Värdet på $c$c återfinns, i likhet med värdet på den linjära funktionens värde på $m$m, i skärningspunkten mellan grafen och $y$y -axeln. Även för andragradsfunktionen gäller att värdet på  konstanten motsvarar $y$y -värdet i skärningspunkten.

c-värdet

Med hjälp av bland annat denna information kan vi bestämma formeln till en andragradsfunktion utifrån den uppritade grafen. Men mer om det i lektionen Ange andragradsfunktionen utifrån nollställena och en punkt.

Exempel 3

En andragradsfunktionen kan beskrivas med formeln  $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ƒ (x)=ax2+bx+c. Ange värdet på  $c$c med hjälp av grafen.

Negativ parabel

Lösning

Värdet på $c$c motsvarar $y$y -värdet i skärningspunkten mellan grafen och $y$y -axeln. Därför är  $c=3$c=3

Varför är det så då? Jo, eftersom att $x$x  -värdet är lika med noll när grafen skär -axeln vår vi att funktionsvärdet är  $f\left(0\right)=a\cdot0^2+b\cdot0+c=c$ƒ (0)=a·02+b·0+c=c. Men mer om detta i kommande lektioner.

Exempel i videon

  • Andragradsfunktionens begrepp
  • Har graferna till följande funktioner en maximi-, eller en minimipunkt?
    a) $f(x)=3x^2-x-2$
    b) $f(x)=-8-x^2$
  • I koordinatsystemet är $f(x)=x^2-2x-8$ utritad. Ange koordinaterna för vertex.
  • Bestäm skärningspunkten med y-axeln för $f(x)=-10x^2-x+10$

Kommentarer

Christoffer Suhonen

Lite störande att grafen på Uppgift 2 skär i y-axeln ungefär -8.7 men rätt svar är 9. Kan ni inte justera grafen så att den faktiskt ligger på 9 då 🙂

    Simon Rybrand (Moderator)

    Japp det fixade vi direkt Christoffer!

Sara Svensson

Hej! Hur ritar jag en parabel med grafräknare? Har en TI-83 Stats. Är osäker på om det blir rätt när jag räknar så känns bättre om jag kan dubbelkolla med grafräknare.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, genom att gå till knappen Y= och där skriva i funktionens formel, sedan ser du grafen genom att trycka på GRAPH.
    Vi har även en grafräknare här på sajten, du kommer åt den via knappen längst ned till höger om du använder en vanlig dator.

      Sara Svensson

      Hej igen! Gjorde som du skrev på grafräknare men får upp ett felmeddelande : Err Syntax. Vad har jag slagit fel? Eller är min räknare fel inställd?

        Simon Rybrand (Moderator)

        Svårt att svara på vad som blir fel. Testa följande:
        – Skriver du exempelvis Y1=2X^2, dvs använder rätt X
        – Gå till knappen ZOOM och välj ZStandard så att du har rätt fönsterinställningar.

Simon Rybrand (Moderator)

Hej
Här tror jag tanken är att du skall tänka på att konstanterna +1, -2 och +3 förskjuter x^2 grafen etta steg upp, två steg ned och 3 steg upp. Dvs du behöver först veta hur $y=x^2$ ser ut och sedan inse att denna förskjuts uppåt/nedåt med hjälp av konstanterna.
Graferna kommer att se ut på följande vis:

Fanny Johansson

hej! jag förstår inte hur man ska rita upp en grafen om man har en funktion.. finns det någon video på de?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Ja det finns flera, framförallt när det gäller linjära funktioner men principen är densamma. Börja med att kika på:
    Så fungerar en funktion

Adam Falk

Hej.

Var ett tag sedan jag gjorde dessa andragradsfunktioner. Jag har en fundering på hur du får reda på minimipunkten eller maximipunkten på en positiv eller negativ andragradsfunktion.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Det finns en enkel minnesregel för att veta detta. Om tecknet framför $x^2$ termen är positivt så ser kurvan ut som en glad (positiv) mun och du har en minimipunkt. Om tecknet framför $x^2$ termen är negativt så ser kurvan ut som en ledsen (negativ) mun och du har istället en maximipunkt.
    Om du funderar på hur du tar reda de exakta koordinaterna för max/min punkten så kan du göra så att du först tar reda på symmetrilinjen. Det kan du exempelvis göra genom att hitta där kurvan skär x – axeln. Sedan går symmetrilinjen mellan dessa så kallade nollställen.

Emily McEwan Fornhammar

Jag förstår hur man hittar nollställen via p/q formeln men hur man vet att kurvan ser ut sådär förstår jag inte… knappar in funktionen på räknaren?
Tex. f(x) =1/ x-4 är ett tal jag inte förstår. La in olika värden för x ( 1, 3 och 6) och fick då tre punkter på en linje, men det var tydligen helt fel… grafen skulle se ut om en glad och ledsen mun, vridet ett kvarts varv… var i kursen kan jag kolla för att förstå det här? ?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Den funktionen är ingen andragradsfunktion utan man kallar dem för potensfunktioner. Eftersom att du har x nere i nämnaren så är det lite speciella typer av funktioner som inte är definierade för alla x, i det här fallet är funktionen inte definierad för x = 4 förutsatt att det är funktion $ f(x)=\frac{1}{x-4} $ som du har. Om det är funktionen $ f(x) = \frac{1}{x}-4 $ så den inte definierad för x = 0.
    Kan rekommendera att kika vidare på den här genomgången om asymptoter där mycket av dessa saker gås igenom.

      Emily McEwan Fornhammar

      tack!

Caroline

03:28 i videon. Jag förstår att x^2 är positiv (glad mun), men varför är grafen just där den är? Vad i 4x-5 säger det? Kan tyda att minimipunkten om den nu hette så, är -5 kanske eller? Men 4x i sådant fall?
Som sagt, varför är grafen där den är?

    Simon Rybrand (Moderator)

    I den uppgiften har vi ritat ut grafen med hjälp av ett grafprogram för att hjälpa till att förstå vad det är vi får fram när vi sätter funktionens formel lika med 0 och löser ekvationen som uppstår. Dvs att det är nollställena eller x-värdena där linjen skär x-axeln.

    Om vi inte hade haft bilden framför oss så kan vi vi göra följande för att kunna skissa ut funktionen:

    -Vi vet att grafen ser ut som en ”glad mun” då koefficienten framför $x^2$ termen är positiv, i det här fallet $+1$
    – Om vi sätter $x = 0$ så får vi att $y = 0^2 +4⋅0 -5 = -5$. Då vet vi att grafen skär y-axeln i $y=-5$.
    – När vi sätter $ y = 0 $ (som i videon) får vi reda på där grafen skär x-axeln (nollställena).

    Utifrån dessa saker kan vi ganska säkert skissa vår graf.

Camilla Tarnvik

det är något fel på videon som ligger ute, när man startar videon så finns det bara en 1-minuterslång video.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Kan du göra så att du kontaktar support@matematikvideo.se så får vi hjälpa dig att ta reda på varför du upplever detta problem.

Nathalie Hermansson

Jag förstår inte riktigt hur man får fram värdet på a och c i f(x)=ax^2+c, även om man har en värdetabell..

    Simon Rybrand (Moderator)

    Om du har en värdetabell så har du ett antal x och y som du kan använda dig av.
    Om du exempelvis vet att y=f(x)=2 då x=1 samt att y=f(x)=5 då x=2 så kan du sätta in detta i funktionen så att du får:
    $ 2 = a⋅1^2+c $
    $ 5 = a⋅2^2+c $

    Här har du ett ekvationssystem som du kan lösa. Du behöver förstås använda dig av de värden du har i din värdetabell istället men metoden är densamma.

GabriellaR

Hej! Jag har en fråga! Jag har andragradsfuntionen Y=ax^2 + bx + c

Jag har även nollställena 2 och 5

Och C skall vara 3.

Hur ska jag ta reda på K, samt utföra ekvationen?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Vilket K är det som du skall ta reda på? Eller är det a och b som du söker? Du kan med hjälp av nollställena (dvs då y = 0) ställa upp sambanden:
    $ a⋅2^2+b⋅2+3=0 $
    och
    $ a⋅5^2+b⋅5+3=0 $
    Detta kan du lösa som ett ekvationssystem.

dinmamma777

I sista funktionen hur får man fram x2 som är -2?

Nollställena är
x1=10, x2=−2

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Här används pq formeln och vi kommer fram till
    $ x = 4 \pm 6 $.
    Då ges de två lösningarna av
    $ x_1 =4+6=10 $ och $ x_2 = 4-6=-2 $

Bushra Sadat

Hej!

Tack för lätt och bra förklaringar… ville även säga att ni har råkat skriva fel ovan…. ” Maximipunkt: Den punkt där andragradsfunktionen antar sitt största värde. Det är endast andragradsfunktioner med negativ koefficient framför x2 som har en minimipunkt.” sista ordet är fel …visst menar ni maximipunkt….!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Tack för att du påpekade detta, vi fixar det omedelbums.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (7)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vad kallas grafen i en andragradsfunktion?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vad är samlingsnamnet för de punkter där andragradsfunktionens graf vänder, och därmed antar sitt största eller minsta värde? 

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    I figuren är grafen till  $f\left(x\right)=-x^2-2x+2$ƒ (x)=x22x+2 utritad. I vilket  $y$y -värde skär grafen  $y$y -axeln? 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Premium
    • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
    • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Har andragradsfunktionen $f(x)=x^2-2$ƒ (x)=x22 en maximipunkt eller minimipunkt?

    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm y-värdet där grafen till  $f\left(x\right)=12x^2+0,6x-1,5$ƒ (x)=12x2+0,6x1,5 skär y-axeln.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Har andragradsfunktionen  $f(x)=2x-x^2$ƒ (x)=2xx2 en maximi- eller minimipunkt?

    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilka koordinater har maximipunkten?

    Rättar...

c-uppgifter (2)

  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    I figuren är grafen till en funktion på formen  $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ƒ (x)=ax2+bx+c utritad. Bestäm konstanten $c.$c.

     

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

     $f\left(x\right)=0,5x^2$ƒ (x)=0,5x2 och  $g\left(x\right)=-x^2+6$g(x)=x2+6.

    För vilka $x$x gäller att  $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ƒ (x)=g(x)?

    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 10. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/1)
    ECA
    B
    P
    PL
    M
    R1
    K

    Bestäm förhållandet mellan konstanterna $A$A och $B$B så att graferna till funktionerna  $f\left(x\right)=x^2+A$ƒ (x)=x2+A och  $g\left(x\right)=B-x^2$g(x)=Bx2 skär varandra i endast en punkt.

    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Premium
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.