Deriveringsregler Potensfunktioner - (Ma 3, Ma 4) - Matematikvideo

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 3 BC

Deriveringsregler Potensfunktioner

Video

Video, text & övningsfrågor av: Simon Rybrand

I den här videon går vi igenom deriveringsregler för det som kallas potensfunktioner. Vi tittar på några potensregler som är viktiga för att derivera dessa funktioner och hur detta används för att skriva om och derivera funktionerna.

18 votes, average: 3,83 out of 518 votes, average: 3,83 out of 518 votes, average: 3,83 out of 518 votes, average: 3,83 out of 518 votes, average: 3,83 out of 5
18
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

8
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
MEDELPOÄNG
ALLA
2

Text

Exempel i videon

  • Exempel på användning av potenslagarna $ a^{-x} = \frac{1}{a^{x}}, a ≠ 0 $ och $ a^{1/n}=\sqrt[n]{a} $.
  • Derivera $ f(x)=-4x^{-5} $.
  • Derivera $ f(x)=4x^{\frac12} $
  • Derivera $ f(x)=\sqrt{x} $

Potensregler som är viktiga för derivering av potensfunktioner

Många gånger blir det enklare att derivera dessa typer av funktioner om man skriver om dem på en form som är mer bekant och där det då blir enklare att derivera. Några potensregler som vi använder i videon för att skriva om funktioner är följande:

$ a^{-b} = \frac{1}{a^b} $

$ \sqrt{a} = a^{ \frac{1}{2} } $

$ \sqrt[b]{a} = a^{ \frac{1}{b} } $

Det kan alltså vara bra att känna till dem eller ha dem nära till hands när du deriverar dessa typer av uttryck.

Deriveringsregler för potensfunktioner

Förutom dessa omskrivningar så gäller samma deriveringsregler för potensfunktioner som också gäller för polynomfunktioner, nämligen att

Derivatan av en konstant är noll. Dvs om $f(x) = 300$ är $f'(x) = 0$.

Om $ f(x) = a \cdot x^k $ är $ f'(x) = k \cdot a \cdot x^{k-1} $.

Du får derivera ”term för term” i ett polynom.

Ett exempel på derivatan av en potensfunktion

Om vi exempelvis vill derivera $ f(x) = 2 \cdot \sqrt{x} $ kan vi skriva om funktionen enligt:

$ f(x) = 2 \cdot \sqrt{x} = 2 \cdot x^{ \frac{1}{2} } $

Derivatan blir $ f ’(x) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot x^{ – \frac{1}{2} } = \frac{1}{x^{ \frac{1}{2} } } = \frac{1}{ \sqrt{x} } $

I exemplet här ovan tillämpar vi potensreglerna både för att skriva om funktionen och för att skriva om derivatan. Så återigen så kan det vara viktigt att nämna att dessa är bra att kunna utantill alternativt ha nära till hands i exempelvis ett formelblad.

Kommentarer

  1. Hej! förstår inte riktigt varför $ \frac{1}{2} x^{ – \frac{1}{2} } = \frac{1}{2x^{1/2}} $. som förklaras i videon vid 6.34 🙂 tack föresten tror ja kanske klarar kurser pågrund utan dessa videos!

    addesnillet
    1. Hej, kul att du känner att det går bättre med hjälp av videogenomgångarna.

      Grundprincipen som du behöver förstå här är att vi använder potensregeln $ a^{-b} = \frac{1}{a^b} $ för att göra denna omskrivning. Dvs när vi flyttar ned potensen får vi istället en positiv exponent i nämnaren. Vi får alltså

      $
      \frac{1}{2} x^{ – \frac{1}{2} } =
      \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{ \frac{1}{2}} } =
      \frac{1}{2x^{1/2}} =
      \frac{1}{2 \sqrt{x} } $

      Simon Rybrand
  2. Gött nu fattar ja! 🙂 tack så mycker för du svara så snabbt! uppskattas!

    addesnillet
  3. Hej, jag förstår inte riktigt hur jag löser detta: y’ = 0 då y= 2x + 50/x samt y’ = 0 då y= 5x + 20/x^2

    Tack på förhand!

    Ullvi3
    1. Hej, jag kan visa den ena så liknar den andra uppgiften denna lösning.

      Först skriver vi om funktionen:
      $ y = 2x + \frac{50}{x} = 2x + 50x^{-1} $

      Derivatan blir
      $ y’ = 2 -50x^{-2} = 2 – \frac{50}{x^2} $

      Simon Rybrand
      1. Hej! Jag har exakt den här uppgiften som problem just nu. Jag ska beräkna y'(0). Enligt lösningen får man då 2x^2-50 vilket jag tycker låter lite konstigt. Jag får inte ihop varför man flyttar upp x^2 till 2:an innan -50.

        Ultimecea
        1. Är det alltså samma funktion som här ovan som du skall derivera?
          När du deriverar en sådan funktion så skall du ta -1 i exponenten, dvs -1-1 = -2.

          Sedan så används en potensregel för att skriva om uttrycket.

          Simon Rybrand
  4. Hej!
    När jag försökte lösa andra C-uppgiften stod det att x= 0,25 men när den rättades var x=0,5. Hur kommer det sig? Och är det facit eller uppgiften som har fel x?

    Tack på förhand!

    nti_ma3
    1. Hej, det är en tvåa som fattas i uträkningarna i facit, vi fixar detta, tack för att du kommenterade!

      Simon Rybrand
  5. Hur löser man:

    Bestäm f'(x) om f(x) = 3√x-5/√x ?

    starmarket
    1. Hej, när du har en sådan funktion så är det bra att skriva om den först så att du har
      $ f(x) = 3x^{1/2} – 5x^{-1/2} $

      När du sedan deriverar denna funktion så får du
      $ f´(x) = (3/2)x^{-1/2} + (5/2)x^{-3/2} = $
      $ = \frac{3}{2 \sqrt{x}} + \frac{5}{2x^{3/2}} $

      Simon Rybrand
  6. Hej! Jag undrar om det är någon skillnad på om konstanten står själv där nere eller där uppe och i så fall hur man skriver om det/räknar ut det?

    folkuniv
    1. Hej, har du ett exempel som kan förtydliga lite kring vad du funderar över, jag hjälper dig gärna vidare att förstå detta!

      Simon Rybrand
      1. y=x^2/2-x^6/3 är den jag funderar över just nu.

        folkuniv
        1. Hej på en sådan uppgift som du nämner här så är det relativt enkelt att derivera då du kan skriva om funktionen på följande vis:
          $y=\frac{x^2}{2}-\frac{x^6}{3}=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^6$

          Här har jag alltså flyttat ut 1/2 och 1/3 ur de bägge termerna för att det skall bli tydligare att derivera funktionen.
          Derivatan blir då:
          $y´=\frac{2}{2}x-\frac{6}{3}x^5=x-2x^5$

          Simon Rybrand
  7. skulle behöva få förklarat
    derivering av f(x) roten ur x delat med 5

    Ulf
    1. Du har alltså:
      $ f(x) = \frac{\sqrt{x}}{5} = \frac{1}{5}x^{1/2} $

      När du deriverar detta får du:
      $ f'(x) = \frac{1}{10}x^{-1/2} = \frac{1}{10\sqrt{x}} $

      Simon Rybrand
  8. Ett av exemplena gör mig förvirrad.

    20x^-6 = 20 / x^6 eller hur?

    Men i sista exemplet 1/2x^-1/2 = 1 /2x^1/2

    Men reglerna säger ju att a som i sista fallet är 1/2 ska stå ovanför bråkstrecket. Varför hamnar 2an nedanför? Ska det inte stå (1/2)/ x^1/2?

    nti_ma3
    1. Hej, först så har vi ju fått $ \frac12⋅4x^{-1/2} $ så när vi har multiplicerat 1/2 med 4 så ges
      $ 2x^{-1/2} $
      Notera här att det endast är x som upphöjs med -1/2 och inte tvåan.
      Så då ges
      $ f´(x) = \frac{2}{x^{1/2}} = \frac{2}{\sqrt{x}} $

      Fråga gärna vidare om det är otydligt!

      Simon Rybrand
  9. hej, den här uppgiften gör mig lite förvirrad.

    y=√x/3

    Xiaoting Chen
    1. Hej
      Tolkar det som att du har
      $ y = \frac{\sqrt{x}}{3} = \frac13 \cdot x^{1/2} $
      som har derivatan
      $ y´ = \frac12 \cdot \frac13 x^{-1/2} $ $ = \frac16 \cdot \frac{1}{x^{1/2}} $ $ = \frac16 \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} $ $ = \frac{1}{6\sqrt{x}} $

      Simon Rybrand
  10. Hej
    jag har svårt att derivera bråk, finns det en video om hur deriverar man ett bråk?

    jag har en fråga här
    y= 1/x + 5/x^2

    sara94
    1. Hej
      Vi har fått mycket frågor om att derivera Polynom med bråk så vi får nog ta och göra en ny video om det. Så länge kanske jag kan hjälpa dig vidare utifrån ditt exempel här alternativt att du startar en tråd i forumet så tar vi det därifrån.

      Om du har funktionen $y={\frac{1}{x}}+{\frac{5}{x^{2}}}$ så kan vi först göra så att vi skriver om varje term med hjälp av potensregeln
      $\frac{1}{a^{b}}=a^{b}$

      Denna använder vi och skriver om:
      $\frac{1}{x}=x^{-1}$
      och
      $\frac{5}{x^{2}}=5x^{-2}$

      Vi har då
      $y=x^{-1}+5x^{-2} $
      som har derivatan
      $y’=\left(-1\right)⋅x^{-2}+(-2)⋅5x^{-3}=-x^{-2}-10x^{-3}$

      Nu kan vi använda samma potensregel som ovan och skriva om derivatan till
      $y’=-x^{-2}-10x^{-3} = -\frac{1}{x^2}-\frac{10}{x^3}$

      Hoppas att detta hjälper dig vidare så länge!

      Simon Rybrand
      1. tack så mycket, det hjälpte mig mycket

        sara94
  11. Hej jag har så otroligt svårt att förstå hur 1/2 * x blir 2 och inte 0.5?

    Philip Jönsson
    1. Syftar då på fråga 2 bland övningar!

      Philip Jönsson
      1. Är det när vi deriverar som du fastnar?
        Där har vi ju en 1/2 * x och det är samma sak som att multiplicera med 0,5. Däremot så är ju inte 2:an i täljaren utan i nämnaren så det är alltså en halv eller 0,5. Kanske att det blir lättare att förstå om vi tar ett mellansteg:
        $\frac12 x^{-1/2} = \frac12 ⋅ \frac{x^{-1/2}}{1} =$
        $\frac{1⋅x^{-1/2}}{2⋅1} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

        Simon Rybrand
  12. 4√x+5

    4*x^1/2
    1/2*4*x^1/2-1
    2*x^-1/2 = 2/x^1/2

    Vet inte om du förstår min uträkning, men om du gör det.. Vill du berätta för mig om jag har tänkt/gjort rätt?

    Marko
    1. Hej
      Om jag tolkar din derivata så verkar det se rätt ut. 🙂
      Du kan även skriva den som $ \frac{2}{\sqrt{x}} $

      Simon Rybrand
  13. Hej skulle jag kunna få lite hjälp med en uppgift.
    derivera
    g(x)= 3/x^3

    svaret ska vara 9/4x

    Fins det något simpelt sätt att räkna utt detta?

    Sebastian Gren
    1. Hej
      Lite konstigt svar på den, när man deriverar $g(x)=\frac{3}{x^3}=3x^{-3}$ så får man
      $g´(x)=(-3)·3x^{-4}=\frac{-9}{x^4}$
      Tänk här på att du kan skriva om funktionen med hjälp av potensregeln $ a^{-b}=\frac{1}{a^b} $

      Simon Rybrand
  14. Hallå. igen hur skulle du lösa denna uppgift. 3√(x)-2x^2+³√(x)
    Vill se om jag har löst den på rätt set eller inte. Tack på förhand

    Sebastian Gren
    1. Börja med att skriva om funktionen med potensregeln $ \sqrt[a]{b}=\sqrt[a]{b}=b^{1/a} $ så att du får
      $f(x)=3\sqrt{x}-2x^2+\sqrt[3]{x}=3x^{1/2}-2x^2+x^{1/3}=$
      Sedan derivera den så att vi får
      $ f´(x)=\frac32x^{-1/2}-4x+\frac13x^{-2/3}=\frac{3}{2\sqrt{x}}-4x+\frac{1}{3x^{2/3}} $
      Hoppas att det hjälper dig vidare

      Simon Rybrand
  15. hej!
    Tack för mycket bra videos =)
    Trots mycket bra videos så förstår jag inte detta.
    Derivera- f(x) = 2/x+ roten ur X.
    Jag förstår inte varför det ska bli 2/X^2 i första ledet.
    Tacksam för svar

    Ali Abed
    1. skriv först om funktionen med potensreglerna $a^{-1}=\frac{1}{a}$ och $\sqrt{x}=x^{1/2}$ enligt
      $f(x)=\frac{2}{x}+\sqrt{x}=2x^{-1}+x^{1/2}$
      Sedan blir det enklare att derivera, vi får då
      $ f´(x)=-2x^{-2}+\frac12x^{-1/2} $
      Slutligen skriver vi om derivatan med samma potensregler som vi först skrev om funktionen och får
      $f´(x)=-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{2\sqrt{x}}$

      Simon Rybrand
  16. Hur bäreknar jag (1/rotenurx)^3

    Sebastian Gren
    1. Glömde när f'(2)
      f(x)=2*(1/rotenurx)^3

      Sebastian Gren
      1. Här får du först skriva om funktionen till
        $f\left(x\right)=2\left(\frac{1}{\sqrt{x}} \right)^3 = 2\left(x^{-1/2} \right)^3$
        Du har nu en inre funktion $u=x^{-1/2}$ och en yttre funktion $ 2u^3 $ så här får du använda dig av kedjeregeln och får då derivatan
        $f´(x)=6(x^{-1/2})^2 · (-\frac12x^{-3/2}) = 6x^{-1} · (-\frac{x^{-3/2}}{2}) =$
        $-\frac{6x^{-5/2}}{2} = -3x^{-5/2}$
        Nu sätter du in 2 i denna derivata och räknar ut värdet.

        Simon Rybrand
  17. Hej!
    Jag undrar hur jag deriverar 2/x?
    Mvh Calle

    Calle
    1. Hej
      Derivatan blir $-2/x^2$

      Simon Rybrand
  18. Hej!
    Jag skulle behöva hjälp att derivera \left(x-1\right)/x^2
    Mvh Benjamin

    Benjamin Larsson
    1. Blev fel i förra kommentaren! Skulle behöva hjälp att derivera (x-1)/x^2
      Mvh Benjamin

      Benjamin Larsson
        1. Tack! Var inga konstigheter med kvotregeln! Talet är från exponent 3b så den fans värken med i boken eller formelbladet.

          Benjamin Larsson
  19. Hej, på uppgift 7 så är 2 av svarsalternativen samma och jag får p(x)=4x⁻³+√x vilket egentligen ’borde’ vara med bland dessa svarsalternativ

    Salem Alemiye

Kommentarer är inaktiverade. Logga in för att felrapportera.

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: