Deriveringsregler Potensfunktioner - (Ma 3, Ma 4) - Matematikvideo

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 3 BC

Deriveringsregler Potensfunktioner

Video

Video, text & övningsfrågor av: Simon Rybrand

I den här videon går vi igenom deriveringsregler för det som kallas potensfunktioner. Vi repeterar några potensregler och visar hur de används för att skriva om termer i potensform för att kunna derivera dem.

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM


  • 600+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
PROVA FÖR 9 kr
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.
20 votes, average: 3,95 out of 520 votes, average: 3,95 out of 520 votes, average: 3,95 out of 520 votes, average: 3,95 out of 520 votes, average: 3,95 out of 5
20
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

8
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
MEDELPOÄNG
ALLA
2

Text

Deriveringsregeln för potensfunktioner

Precis som vi nämt tidigare, kan alla deriveringsregler härledas från derivatans definition. Med hjälp av reglerna förenklar och effektiviserar vi deriveringen. I denna lektion presenterar vi deriveringsregeln för potensfunktionen. Det är identisk med regeln för polyomfunktioner, efter som att en polynomfunktion är en av flera potensfunktioner.

Deriveringsregler för potensfunktioner

För att möjliggöra användandet av regeln måste vi oftast skriva om potensfunktionen i potensform innan vi tillämpar regeln.

Potensregler som är viktiga för derivering av potensfunktioner

Följande potensregler används ofta för att skriva om uttrycken i potensform.

 $a^0=1$a0=1 

 $a^{-n}=$an=  $\frac{1}{a^n}$1an  

 $\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$a=a12  

 $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$na=a1n  

Det kan alltså vara bra att känna till dessa eller ha dem nära till hands när du deriverar potensfunktioner.

Viktigt att tänka på när man använder deriveringsreglerna

Förutom dessa omskrivningar så gäller samma deriveringsregler för potensfunktioner som också gäller för polynomfunktioner, nämligen att

Fyra bra kom ihåg när du deriverar potensfunktioner

  1. Du deriverar alltid ett uttryck ”term för term”.

  2. Derivatan av en konstant är alltid lika med noll.

  3. Derivatan av en förstagradsterm är alltid lika med koefficienten.

  4. Skriv om i potensform innan du deriverar, om uttrycket har variabeln i nämnaren eller återfinns under ett rottecken. Följande två potensregler är användbara för detta.

         $\frac{1}{a^n}$1an   $=a^{-n}$=an    som ger att  $\frac{k}{x^n}=$kxn =  $kx^{-n}$kxn 

         $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$na=a1n    som ger att  $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$x=x12  

Nu visar vi exempel med potensfunktioner. Först med en lösning i bråkform och sedan i decimalform. Vilken du använder spelar ingen roll. De är likvärdiga. Men för tal med andra siffror kan de två olika varianterna vara olika fördelaktiga. Så det är bra om du kan båda sätten.

Exempel 1 -Bråkform

Derivera  $f(x)=2\cdot\sqrt{x}$ƒ (x)=2·x 

Lösning:

Vi börjar med att skriva om funktionen i potensform med hjälp av potensregeln  $\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$a=a12 

 $f(x)=2\cdot\sqrt{x}=2\cdot x^{\frac{1}{2}}$ƒ (x)=2·x=2·x12  

Derivatan blir enligt deriveringsregeln 

 $f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\cdot x^{-\frac{1}{2}}$ƒ ’(x)=12 ·2·x12  vilket i nu kan skriva om igen på formen   $f’\left(x\right)=1\cdot x^{-\frac{1}{2}}=$ƒ (x)=1·x12 = $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$1x12  =1x  

En del föredrar decimalform framför bråkform. Vi gör nu samma exempel i decimalform för den som vill.

Exempel 1- Decimalform

Derivera  $f(x)=2\cdot\sqrt{x}$ƒ (x)=2·x 

Lösning:

Vi börjar med att skriva om funktionen i potensform med hjälp av potensregeln  $\sqrt{a}=a^{0,5}$a=a0,5

 $f(x)=2\cdot\sqrt{x}=2\cdot x^{0,5}$ƒ (x)=2·x=2·x0,5 

Derivatan blir enligt deriveringsregeln 

 $f'(x)=0,5\cdot2\cdot x^{-0,5}$ƒ ’(x)=0,5·2·x0,5  vilket i nu kan skriva om igen på formen   $f’\left(x\right)=1\cdot x^{-0,5}=$ƒ (x)=1·x0,5=$\frac{1}{x^{0,5}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$1x0,5 =1x  

I exemplet här ovan tillämpar vi potensreglerna både för att skriva om funktionen och för att skriva om derivatan. Så återigen så kan det vara viktigt att nämna att dessa är bra att kunna utantill alternativt ha nära till hands i exempelvis ett formelblad.

Exempel 2

Derivera  $f(x)=$ƒ (x)= $\frac{4}{x^3}$4x3  

Lösning:

Vi skriver om funktionen i potensform med hjälp av regeln$\frac{1}{a^n}=$1an = $a^{-n}$an, för att sedan lättare utföra deriveringen.

 $f(x)=$ƒ (x)= $\frac{4}{x^3}=$4x3 =  $4x^{-3}$4x3   ⇒   $f'(x)=-3\cdot4x^{-3-1}=-12x^{-4}=$ƒ ’(x)=3·4x31=12x4= $-\frac{12}{x^4}$12x4   

Tykte du det var svårt att förstå hur omskrivningen gick till är här ett försök att förtydliga det.

  $\frac{4}{x^3}=\frac{4\cdot1}{1\cdot x^3}=\frac{4}{1}\cdot\frac{1}{x^3}=$4x3 =4·11·x3 =41 ·1x3 = $4\cdot x^{-3}$4·x3    och     $-12x^{-4}=$12x4=  $\frac{-12\cdot x^{-4}}{1\cdot1}=-\frac{12}{1}\cdot\frac{x^{-4}}{1}=-\frac{12}{1}\cdot\frac{1}{x^4}=-\frac{12}{x^4}$12·x41·1 =121 ·x41 =121 ·1x4 =12x4   

Du behöver inte redovisa alla dessa steg i din uträkning. Men kanske de är bra att göra till en början, om du tycker att det är lite hokuspokus hur siffror och variabler rör sig upp och ner i bråken.

Exempel i videon

  • Exempel på användning av potenslagarna $ a^{-x} = \frac{1}{a^{x}}, a ≠ 0 $ och $ a^{1/n}=\sqrt[n]{a} $.
  • Derivera $ f(x)=-4x^{-5} $.
  • Derivera $ f(x)=4x^{\frac12} $
  • Derivera $ f(x)=\sqrt{x} $

Kommentarer

  1. Tack för en jättebra video! En fråga om sista exemplet i videon som förenklas till 1/2*sqrt(x): borde det inte gå att förenkla vidare till 1/x pga sqrt(x)*sqrt(x) =x?

    David M
    1. Ursäkta, tänkte fel här! Förväxlade två gånger roten ur x med roten ur x upphöjd till två:

      2*sqrt(x)≠sqrt(x)*sqrt(x) utan 2*sqrt(x) precis som ni skriver i exemplet, enligt t.ex. 2*sqrt(16)=2*4=8 medan sqrt(16)^2=4*4=16.

      David M
    2. Hej
      Nej det går tyvärr inte. Om det hade varit i täljaren $\sqrt{x}·\sqrt{x}$ så är det däremot lika med $x$

      Simon Rybrand
  2. Hej, på uppgift 7 så är 2 av svarsalternativen samma och jag får p(x)=4x⁻³+√x vilket egentligen ’borde’ vara med bland dessa svarsalternativ

    Salem Alemiye
  3. Hej!
    Jag skulle behöva hjälp att derivera \left(x-1\right)/x^2
    Mvh Benjamin

    Benjamin Larsson
    1. Blev fel i förra kommentaren! Skulle behöva hjälp att derivera (x-1)/x^2
      Mvh Benjamin

      Benjamin Larsson
        1. Tack! Var inga konstigheter med kvotregeln! Talet är från exponent 3b så den fans värken med i boken eller formelbladet.

          Benjamin Larsson
  4. Hej!
    Jag undrar hur jag deriverar 2/x?
    Mvh Calle

    Calle
    1. Hej
      Derivatan blir $-2/x^2$

      Simon Rybrand
  5. Hur bäreknar jag (1/rotenurx)^3

    Sebastian Gren
    1. Glömde när f'(2)
      f(x)=2*(1/rotenurx)^3

      Sebastian Gren
      1. Här får du först skriva om funktionen till
        $f\left(x\right)=2\left(\frac{1}{\sqrt{x}} \right)^3 = 2\left(x^{-1/2} \right)^3$
        Du har nu en inre funktion $u=x^{-1/2}$ och en yttre funktion $ 2u^3 $ så här får du använda dig av kedjeregeln och får då derivatan
        $f´(x)=6(x^{-1/2})^2 · (-\frac12x^{-3/2}) = 6x^{-1} · (-\frac{x^{-3/2}}{2}) =$
        $-\frac{6x^{-5/2}}{2} = -3x^{-5/2}$
        Nu sätter du in 2 i denna derivata och räknar ut värdet.

        Simon Rybrand
  6. hej!
    Tack för mycket bra videos =)
    Trots mycket bra videos så förstår jag inte detta.
    Derivera- f(x) = 2/x+ roten ur X.
    Jag förstår inte varför det ska bli 2/X^2 i första ledet.
    Tacksam för svar

    Ali Abed
    1. skriv först om funktionen med potensreglerna $a^{-1}=\frac{1}{a}$ och $\sqrt{x}=x^{1/2}$ enligt
      $f(x)=\frac{2}{x}+\sqrt{x}=2x^{-1}+x^{1/2}$
      Sedan blir det enklare att derivera, vi får då
      $ f´(x)=-2x^{-2}+\frac12x^{-1/2} $
      Slutligen skriver vi om derivatan med samma potensregler som vi först skrev om funktionen och får
      $f´(x)=-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{2\sqrt{x}}$

      Simon Rybrand
  7. Hallå. igen hur skulle du lösa denna uppgift. 3√(x)-2x^2+³√(x)
    Vill se om jag har löst den på rätt set eller inte. Tack på förhand

    Sebastian Gren
    1. Börja med att skriva om funktionen med potensregeln $ \sqrt[a]{b}=\sqrt[a]{b}=b^{1/a} $ så att du får
      $f(x)=3\sqrt{x}-2x^2+\sqrt[3]{x}=3x^{1/2}-2x^2+x^{1/3}=$
      Sedan derivera den så att vi får
      $ f´(x)=\frac32x^{-1/2}-4x+\frac13x^{-2/3}=\frac{3}{2\sqrt{x}}-4x+\frac{1}{3x^{2/3}} $
      Hoppas att det hjälper dig vidare

      Simon Rybrand
  8. Hej skulle jag kunna få lite hjälp med en uppgift.
    derivera
    g(x)= 3/x^3

    svaret ska vara 9/4x

    Fins det något simpelt sätt att räkna utt detta?

    Sebastian Gren
    1. Hej
      Lite konstigt svar på den, när man deriverar $g(x)=\frac{3}{x^3}=3x^{-3}$ så får man
      $g´(x)=(-3)·3x^{-4}=\frac{-9}{x^4}$
      Tänk här på att du kan skriva om funktionen med hjälp av potensregeln $ a^{-b}=\frac{1}{a^b} $

      Simon Rybrand
  9. 4√x+5

    4*x^1/2
    1/2*4*x^1/2-1
    2*x^-1/2 = 2/x^1/2

    Vet inte om du förstår min uträkning, men om du gör det.. Vill du berätta för mig om jag har tänkt/gjort rätt?

    Marko
    1. Hej
      Om jag tolkar din derivata så verkar det se rätt ut. 🙂
      Du kan även skriva den som $ \frac{2}{\sqrt{x}} $

      Simon Rybrand
  10. Hej jag har så otroligt svårt att förstå hur 1/2 * x blir 2 och inte 0.5?

    Philip Jönsson
    1. Syftar då på fråga 2 bland övningar!

      Philip Jönsson
      1. Är det när vi deriverar som du fastnar?
        Där har vi ju en 1/2 * x och det är samma sak som att multiplicera med 0,5. Däremot så är ju inte 2:an i täljaren utan i nämnaren så det är alltså en halv eller 0,5. Kanske att det blir lättare att förstå om vi tar ett mellansteg:
        $\frac12 x^{-1/2} = \frac12 ⋅ \frac{x^{-1/2}}{1} =$
        $\frac{1⋅x^{-1/2}}{2⋅1} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

        Simon Rybrand
  11. Hej
    jag har svårt att derivera bråk, finns det en video om hur deriverar man ett bråk?

    jag har en fråga här
    y= 1/x + 5/x^2

    sara94
    1. Hej
      Vi har fått mycket frågor om att derivera Polynom med bråk så vi får nog ta och göra en ny video om det. Så länge kanske jag kan hjälpa dig vidare utifrån ditt exempel här alternativt att du startar en tråd i forumet så tar vi det därifrån.

      Om du har funktionen $y={\frac{1}{x}}+{\frac{5}{x^{2}}}$ så kan vi först göra så att vi skriver om varje term med hjälp av potensregeln
      $\frac{1}{a^{b}}=a^{b}$

      Denna använder vi och skriver om:
      $\frac{1}{x}=x^{-1}$
      och
      $\frac{5}{x^{2}}=5x^{-2}$

      Vi har då
      $y=x^{-1}+5x^{-2} $
      som har derivatan
      $y’=\left(-1\right)⋅x^{-2}+(-2)⋅5x^{-3}=-x^{-2}-10x^{-3}$

      Nu kan vi använda samma potensregel som ovan och skriva om derivatan till
      $y’=-x^{-2}-10x^{-3} = -\frac{1}{x^2}-\frac{10}{x^3}$

      Hoppas att detta hjälper dig vidare så länge!

      Simon Rybrand
      1. tack så mycket, det hjälpte mig mycket

        sara94
  12. hej, den här uppgiften gör mig lite förvirrad.

    y=√x/3

    Xiaoting Chen
    1. Hej
      Tolkar det som att du har
      $ y = \frac{\sqrt{x}}{3} = \frac13 \cdot x^{1/2} $
      som har derivatan
      $ y´ = \frac12 \cdot \frac13 x^{-1/2} $ $ = \frac16 \cdot \frac{1}{x^{1/2}} $ $ = \frac16 \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} $ $ = \frac{1}{6\sqrt{x}} $

      Simon Rybrand
  13. Ett av exemplena gör mig förvirrad.

    20x^-6 = 20 / x^6 eller hur?

    Men i sista exemplet 1/2x^-1/2 = 1 /2x^1/2

    Men reglerna säger ju att a som i sista fallet är 1/2 ska stå ovanför bråkstrecket. Varför hamnar 2an nedanför? Ska det inte stå (1/2)/ x^1/2?

    nti_ma3
    1. Hej, först så har vi ju fått $ \frac12⋅4x^{-1/2} $ så när vi har multiplicerat 1/2 med 4 så ges
      $ 2x^{-1/2} $
      Notera här att det endast är x som upphöjs med -1/2 och inte tvåan.
      Så då ges
      $ f´(x) = \frac{2}{x^{1/2}} = \frac{2}{\sqrt{x}} $

      Fråga gärna vidare om det är otydligt!

      Simon Rybrand
  14. skulle behöva få förklarat
    derivering av f(x) roten ur x delat med 5

    Ulf
    1. Du har alltså:
      $ f(x) = \frac{\sqrt{x}}{5} = \frac{1}{5}x^{1/2} $

      När du deriverar detta får du:
      $ f'(x) = \frac{1}{10}x^{-1/2} = \frac{1}{10\sqrt{x}} $

      Simon Rybrand
  15. Hej! Jag undrar om det är någon skillnad på om konstanten står själv där nere eller där uppe och i så fall hur man skriver om det/räknar ut det?

    folkuniv
    1. Hej, har du ett exempel som kan förtydliga lite kring vad du funderar över, jag hjälper dig gärna vidare att förstå detta!

      Simon Rybrand
      1. y=x^2/2-x^6/3 är den jag funderar över just nu.

        folkuniv
        1. Hej på en sådan uppgift som du nämner här så är det relativt enkelt att derivera då du kan skriva om funktionen på följande vis:
          $y=\frac{x^2}{2}-\frac{x^6}{3}=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^6$

          Här har jag alltså flyttat ut 1/2 och 1/3 ur de bägge termerna för att det skall bli tydligare att derivera funktionen.
          Derivatan blir då:
          $y´=\frac{2}{2}x-\frac{6}{3}x^5=x-2x^5$

          Simon Rybrand
  16. Hur löser man:

    Bestäm f'(x) om f(x) = 3√x-5/√x ?

    starmarket
    1. Hej, när du har en sådan funktion så är det bra att skriva om den först så att du har
      $ f(x) = 3x^{1/2} – 5x^{-1/2} $

      När du sedan deriverar denna funktion så får du
      $ f´(x) = (3/2)x^{-1/2} + (5/2)x^{-3/2} = $
      $ = \frac{3}{2 \sqrt{x}} + \frac{5}{2x^{3/2}} $

      Simon Rybrand
  17. Hej!
    När jag försökte lösa andra C-uppgiften stod det att x= 0,25 men när den rättades var x=0,5. Hur kommer det sig? Och är det facit eller uppgiften som har fel x?

    Tack på förhand!

    nti_ma3
    1. Hej, det är en tvåa som fattas i uträkningarna i facit, vi fixar detta, tack för att du kommenterade!

      Simon Rybrand
  18. Hej, jag förstår inte riktigt hur jag löser detta: y’ = 0 då y= 2x + 50/x samt y’ = 0 då y= 5x + 20/x^2

    Tack på förhand!

    Ullvi3
    1. Hej, jag kan visa den ena så liknar den andra uppgiften denna lösning.

      Först skriver vi om funktionen:
      $ y = 2x + \frac{50}{x} = 2x + 50x^{-1} $

      Derivatan blir
      $ y’ = 2 -50x^{-2} = 2 – \frac{50}{x^2} $

      Simon Rybrand
      1. Hej! Jag har exakt den här uppgiften som problem just nu. Jag ska beräkna y'(0). Enligt lösningen får man då 2x^2-50 vilket jag tycker låter lite konstigt. Jag får inte ihop varför man flyttar upp x^2 till 2:an innan -50.

        Ultimecea
        1. Är det alltså samma funktion som här ovan som du skall derivera?
          När du deriverar en sådan funktion så skall du ta -1 i exponenten, dvs -1-1 = -2.

          Sedan så används en potensregel för att skriva om uttrycket.

          Simon Rybrand
  19. Gött nu fattar ja! 🙂 tack så mycker för du svara så snabbt! uppskattas!

    addesnillet
  20. Hej! förstår inte riktigt varför $ \frac{1}{2} x^{ – \frac{1}{2} } = \frac{1}{2x^{1/2}} $. som förklaras i videon vid 6.34 🙂 tack föresten tror ja kanske klarar kurser pågrund utan dessa videos!

    addesnillet
    1. Hej, kul att du känner att det går bättre med hjälp av videogenomgångarna.

      Grundprincipen som du behöver förstå här är att vi använder potensregeln $ a^{-b} = \frac{1}{a^b} $ för att göra denna omskrivning. Dvs när vi flyttar ned potensen får vi istället en positiv exponent i nämnaren. Vi får alltså

      $
      \frac{1}{2} x^{ – \frac{1}{2} } =
      \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{ \frac{1}{2}} } =
      \frac{1}{2x^{1/2}} =
      \frac{1}{2 \sqrt{x} } $

      Simon Rybrand

Endast premiumkunder kan kommentera. Prova Premium!

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: