...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Prova för 9 kr Prova för 9 kr
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Deriveringsregler Potensfunktioner

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Deriveringsregeln för potensfunktioner

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Är du ny här? Så här funkar Premium
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Precis som vi nämt tidigare, kan alla deriveringsregler härledas från derivatans definition. Med hjälp av reglerna förenklar och effektiviserar vi deriveringen. I denna lektion presenterar vi deriveringsregeln för potensfunktionen. Det är identisk med regeln för polyomfunktioner, efter som att en polynomfunktion är en av flera potensfunktioner.

Deriveringsregler för potensfunktioner

För att möjliggöra användandet av regeln måste vi oftast skriva om potensfunktionen i potensform innan vi tillämpar regeln.

Potensregler som är viktiga för derivering av potensfunktioner

Följande potensregler används ofta för att skriva om uttrycken i potensform.

 $a^0=1$a0=1 

 $a^{-n}=$an=  $\frac{1}{a^n}$1an  

 $\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$a=a12  

 $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$na=a1n  

Det kan alltså vara bra att känna till dessa eller ha dem nära till hands när du deriverar potensfunktioner.

Viktigt att tänka på när man använder deriveringsreglerna

Förutom dessa omskrivningar så gäller samma deriveringsregler för potensfunktioner som också gäller för polynomfunktioner, nämligen att

Fyra bra kom ihåg när du deriverar potensfunktioner

  1. Du deriverar alltid ett uttryck ”term för term”.

  2. Derivatan av en konstant är alltid lika med noll.

  3. Derivatan av en förstagradsterm är alltid lika med koefficienten.

  4. Skriv om i potensform innan du deriverar, om uttrycket har variabeln i nämnaren eller återfinns under ett rottecken. Följande två potensregler är användbara för detta.

         $\frac{1}{a^n}$1an   $=a^{-n}$=an    som ger att  $\frac{k}{x^n}=$kxn =  $kx^{-n}$kxn 

         $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$na=a1n    som ger att  $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$x=x12  

Nu visar vi exempel med potensfunktioner. Först med en lösning i bråkform och sedan i decimalform. Vilken du använder spelar ingen roll. De är likvärdiga. Men för tal med andra siffror kan de två olika varianterna vara olika fördelaktiga. Så det är bra om du kan båda sätten.

Exempel 1 -Bråkform

Derivera  $f(x)=2\cdot\sqrt{x}$ƒ (x)=2·x 

Lösning:

Vi börjar med att skriva om funktionen i potensform med hjälp av potensregeln  $\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$a=a12 

 $f(x)=2\cdot\sqrt{x}=2\cdot x^{\frac{1}{2}}$ƒ (x)=2·x=2·x12  

Derivatan blir enligt deriveringsregeln 

 $f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\cdot x^{-\frac{1}{2}}$ƒ ’(x)=12 ·2·x12  vilket i nu kan skriva om igen på formen   $f’\left(x\right)=1\cdot x^{-\frac{1}{2}}=$ƒ (x)=1·x12 = $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$1x12  =1x  

En del föredrar decimalform framför bråkform. Vi gör nu samma exempel i decimalform för den som vill.

Exempel 1- Decimalform

Derivera  $f(x)=2\cdot\sqrt{x}$ƒ (x)=2·x 

Lösning:

Vi börjar med att skriva om funktionen i potensform med hjälp av potensregeln  $\sqrt{a}=a^{0,5}$a=a0,5

 $f(x)=2\cdot\sqrt{x}=2\cdot x^{0,5}$ƒ (x)=2·x=2·x0,5 

Derivatan blir enligt deriveringsregeln 

 $f'(x)=0,5\cdot2\cdot x^{-0,5}$ƒ ’(x)=0,5·2·x0,5  vilket i nu kan skriva om igen på formen   $f’\left(x\right)=1\cdot x^{-0,5}=$ƒ (x)=1·x0,5=$\frac{1}{x^{0,5}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$1x0,5 =1x  

I exemplet här ovan tillämpar vi potensreglerna både för att skriva om funktionen och för att skriva om derivatan. Så återigen så kan det vara viktigt att nämna att dessa är bra att kunna utantill alternativt ha nära till hands i exempelvis ett formelblad.

Exempel 2

Derivera  $f(x)=$ƒ (x)= $\frac{4}{x^3}$4x3  

Lösning:

Vi skriver om funktionen i potensform med hjälp av regeln$\frac{1}{a^n}=$1an = $a^{-n}$an, för att sedan lättare utföra deriveringen.

 $f(x)=$ƒ (x)= $\frac{4}{x^3}=$4x3 =  $4x^{-3}$4x3   ⇒   $f'(x)=-3\cdot4x^{-3-1}=-12x^{-4}=$ƒ ’(x)=3·4x31=12x4= $-\frac{12}{x^4}$12x4   

Tykte du det var svårt att förstå hur omskrivningen gick till är här ett försök att förtydliga det.

  $\frac{4}{x^3}=\frac{4\cdot1}{1\cdot x^3}=\frac{4}{1}\cdot\frac{1}{x^3}=$4x3 =4·11·x3 =41 ·1x3 = $4\cdot x^{-3}$4·x3    och     $-12x^{-4}=$12x4=  $\frac{-12\cdot x^{-4}}{1\cdot1}=-\frac{12}{1}\cdot\frac{x^{-4}}{1}=-\frac{12}{1}\cdot\frac{1}{x^4}=-\frac{12}{x^4}$12·x41·1 =121 ·x41 =121 ·1x4 =12x4   

Du behöver inte redovisa alla dessa steg i din uträkning. Men kanske de är bra att göra till en början, om du tycker att det är lite hokuspokus hur siffror och variabler rör sig upp och ner i bråken.

Exempel i videon

  • Exempel på användning av potenslagarna $ a^{-x} = \frac{1}{a^{x}}, a ≠ 0 $ och $ a^{1/n}=\sqrt[n]{a} $.
  • Derivera $ f(x)=-4x^{-5} $.
  • Derivera $ f(x)=4x^{\frac12} $
  • Derivera $ f(x)=\sqrt{x} $

Kommentarer

David M

Tack för en jättebra video! En fråga om sista exemplet i videon som förenklas till 1/2*sqrt(x): borde det inte gå att förenkla vidare till 1/x pga sqrt(x)*sqrt(x) =x?

    David M

    Ursäkta, tänkte fel här! Förväxlade två gånger roten ur x med roten ur x upphöjd till två:

    2*sqrt(x)≠sqrt(x)*sqrt(x) utan 2*sqrt(x) precis som ni skriver i exemplet, enligt t.ex. 2*sqrt(16)=2*4=8 medan sqrt(16)^2=4*4=16.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Nej det går tyvärr inte. Om det hade varit i täljaren $\sqrt{x}·\sqrt{x}$ så är det däremot lika med $x$

Salem Alemiye

Hej, på uppgift 7 så är 2 av svarsalternativen samma och jag får p(x)=4x⁻³+√x vilket egentligen ’borde’ vara med bland dessa svarsalternativ

Benjamin Larsson

Hej!
Jag skulle behöva hjälp att derivera \left(x-1\right)/x^2
Mvh Benjamin

    Benjamin Larsson

    Blev fel i förra kommentaren! Skulle behöva hjälp att derivera (x-1)/x^2
    Mvh Benjamin

      Simon Rybrand (Moderator)

      Har du kikat på deriveringsregeln kvotregeln?
      Gör det annars, då tror jag att det löser sig.

        Benjamin Larsson

        Tack! Var inga konstigheter med kvotregeln! Talet är från exponent 3b så den fans värken med i boken eller formelbladet.

Calle

Hej!
Jag undrar hur jag deriverar 2/x?
Mvh Calle

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Derivatan blir $-2/x^2$

Sebastian Gren

Hur bäreknar jag (1/rotenurx)^3

    Sebastian Gren

    Glömde när f'(2)
    f(x)=2*(1/rotenurx)^3

      Simon Rybrand (Moderator)

      Här får du först skriva om funktionen till
      $f\left(x\right)=2\left(\frac{1}{\sqrt{x}} \right)^3 = 2\left(x^{-1/2} \right)^3$
      Du har nu en inre funktion $u=x^{-1/2}$ och en yttre funktion $ 2u^3 $ så här får du använda dig av kedjeregeln och får då derivatan
      $f´(x)=6(x^{-1/2})^2 · (-\frac12x^{-3/2}) = 6x^{-1} · (-\frac{x^{-3/2}}{2}) =$
      $-\frac{6x^{-5/2}}{2} = -3x^{-5/2}$
      Nu sätter du in 2 i denna derivata och räknar ut värdet.

Ali Abed

hej!
Tack för mycket bra videos =)
Trots mycket bra videos så förstår jag inte detta.
Derivera- f(x) = 2/x+ roten ur X.
Jag förstår inte varför det ska bli 2/X^2 i första ledet.
Tacksam för svar

    Simon Rybrand (Moderator)

    skriv först om funktionen med potensreglerna $a^{-1}=\frac{1}{a}$ och $\sqrt{x}=x^{1/2}$ enligt
    $f(x)=\frac{2}{x}+\sqrt{x}=2x^{-1}+x^{1/2}$
    Sedan blir det enklare att derivera, vi får då
    $ f´(x)=-2x^{-2}+\frac12x^{-1/2} $
    Slutligen skriver vi om derivatan med samma potensregler som vi först skrev om funktionen och får
    $f´(x)=-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{2\sqrt{x}}$

Sebastian Gren

Hallå. igen hur skulle du lösa denna uppgift. 3√(x)-2x^2+³√(x)
Vill se om jag har löst den på rätt set eller inte. Tack på förhand

    Simon Rybrand (Moderator)

    Börja med att skriva om funktionen med potensregeln $ \sqrt[a]{b}=\sqrt[a]{b}=b^{1/a} $ så att du får
    $f(x)=3\sqrt{x}-2x^2+\sqrt[3]{x}=3x^{1/2}-2x^2+x^{1/3}=$
    Sedan derivera den så att vi får
    $ f´(x)=\frac32x^{-1/2}-4x+\frac13x^{-2/3}=\frac{3}{2\sqrt{x}}-4x+\frac{1}{3x^{2/3}} $
    Hoppas att det hjälper dig vidare

Sebastian Gren

Hej skulle jag kunna få lite hjälp med en uppgift.
derivera
g(x)= 3/x^3

svaret ska vara 9/4x

Fins det något simpelt sätt att räkna utt detta?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Lite konstigt svar på den, när man deriverar $g(x)=\frac{3}{x^3}=3x^{-3}$ så får man
    $g´(x)=(-3)·3x^{-4}=\frac{-9}{x^4}$
    Tänk här på att du kan skriva om funktionen med hjälp av potensregeln $ a^{-b}=\frac{1}{a^b} $

Marko

4√x+5

4*x^1/2
1/2*4*x^1/2-1
2*x^-1/2 = 2/x^1/2

Vet inte om du förstår min uträkning, men om du gör det.. Vill du berätta för mig om jag har tänkt/gjort rätt?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Om jag tolkar din derivata så verkar det se rätt ut. 🙂
    Du kan även skriva den som $ \frac{2}{\sqrt{x}} $

Philip Jönsson

Hej jag har så otroligt svårt att förstå hur 1/2 * x blir 2 och inte 0.5?

    Philip Jönsson

    Syftar då på fråga 2 bland övningar!

      Simon Rybrand (Moderator)

      Är det när vi deriverar som du fastnar?
      Där har vi ju en 1/2 * x och det är samma sak som att multiplicera med 0,5. Däremot så är ju inte 2:an i täljaren utan i nämnaren så det är alltså en halv eller 0,5. Kanske att det blir lättare att förstå om vi tar ett mellansteg:
      $\frac12 x^{-1/2} = \frac12 ⋅ \frac{x^{-1/2}}{1} =$
      $\frac{1⋅x^{-1/2}}{2⋅1} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

sara94

Hej
jag har svårt att derivera bråk, finns det en video om hur deriverar man ett bråk?

jag har en fråga här
y= 1/x + 5/x^2

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Vi har fått mycket frågor om att derivera Polynom med bråk så vi får nog ta och göra en ny video om det.
    Om du har funktionen $y={\frac{1}{x}}+{\frac{5}{x^{2}}}$ så kan vi först göra så att vi skriver om varje term med hjälp av potensregeln
    $\frac{1}{a^{b}}=a^{b}$

    Denna använder vi och skriver om:
    $\frac{1}{x}=x^{-1}$
    och
    $\frac{5}{x^{2}}=5x^{-2}$

    Vi har då
    $y=x^{-1}+5x^{-2} $
    som har derivatan
    $y’=\left(-1\right)⋅x^{-2}+(-2)⋅5x^{-3}=-x^{-2}-10x^{-3}$

    Nu kan vi använda samma potensregel som ovan och skriva om derivatan till
    $y’=-x^{-2}-10x^{-3} = -\frac{1}{x^2}-\frac{10}{x^3}$

    Hoppas att detta hjälper dig vidare så länge!

      sara94

      tack så mycket, det hjälpte mig mycket

Xiaoting Chen

hej, den här uppgiften gör mig lite förvirrad.

y=√x/3

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Tolkar det som att du har
    $ y = \frac{\sqrt{x}}{3} = \frac13 \cdot x^{1/2} $
    som har derivatan
    $ y´ = \frac12 \cdot \frac13 x^{-1/2} $ $ = \frac16 \cdot \frac{1}{x^{1/2}} $ $ = \frac16 \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} $ $ = \frac{1}{6\sqrt{x}} $

nti_ma3

Ett av exemplena gör mig förvirrad.

20x^-6 = 20 / x^6 eller hur?

Men i sista exemplet 1/2x^-1/2 = 1 /2x^1/2

Men reglerna säger ju att a som i sista fallet är 1/2 ska stå ovanför bråkstrecket. Varför hamnar 2an nedanför? Ska det inte stå (1/2)/ x^1/2?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, först så har vi ju fått $ \frac12⋅4x^{-1/2} $ så när vi har multiplicerat 1/2 med 4 så ges
    $ 2x^{-1/2} $
    Notera här att det endast är x som upphöjs med -1/2 och inte tvåan.
    Så då ges
    $ f´(x) = \frac{2}{x^{1/2}} = \frac{2}{\sqrt{x}} $

    Fråga gärna vidare om det är otydligt!

Ulf

skulle behöva få förklarat
derivering av f(x) roten ur x delat med 5

    Simon Rybrand (Moderator)

    Du har alltså:
    $ f(x) = \frac{\sqrt{x}}{5} = \frac{1}{5}x^{1/2} $

    När du deriverar detta får du:
    $ f'(x) = \frac{1}{10}x^{-1/2} = \frac{1}{10\sqrt{x}} $

folkuniv

Hej! Jag undrar om det är någon skillnad på om konstanten står själv där nere eller där uppe och i så fall hur man skriver om det/räknar ut det?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, har du ett exempel som kan förtydliga lite kring vad du funderar över, jag hjälper dig gärna vidare att förstå detta!

      folkuniv

      y=x^2/2-x^6/3 är den jag funderar över just nu.

        Simon Rybrand (Moderator)

        Hej på en sådan uppgift som du nämner här så är det relativt enkelt att derivera då du kan skriva om funktionen på följande vis:
        $y=\frac{x^2}{2}-\frac{x^6}{3}=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^6$

        Här har jag alltså flyttat ut 1/2 och 1/3 ur de bägge termerna för att det skall bli tydligare att derivera funktionen.
        Derivatan blir då:
        $y´=\frac{2}{2}x-\frac{6}{3}x^5=x-2x^5$

starmarket

Hur löser man:

Bestäm f'(x) om f(x) = 3√x-5/√x ?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, när du har en sådan funktion så är det bra att skriva om den först så att du har
    $ f(x) = 3x^{1/2} – 5x^{-1/2} $

    När du sedan deriverar denna funktion så får du
    $ f´(x) = (3/2)x^{-1/2} + (5/2)x^{-3/2} = $
    $ = \frac{3}{2 \sqrt{x}} + \frac{5}{2x^{3/2}} $

nti_ma3

Hej!
När jag försökte lösa andra C-uppgiften stod det att x= 0,25 men när den rättades var x=0,5. Hur kommer det sig? Och är det facit eller uppgiften som har fel x?

Tack på förhand!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, det är en tvåa som fattas i uträkningarna i facit, vi fixar detta, tack för att du kommenterade!

Ullvi3

Hej, jag förstår inte riktigt hur jag löser detta: y’ = 0 då y= 2x + 50/x samt y’ = 0 då y= 5x + 20/x^2

Tack på förhand!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, jag kan visa den ena så liknar den andra uppgiften denna lösning.

    Först skriver vi om funktionen:
    $ y = 2x + \frac{50}{x} = 2x + 50x^{-1} $

    Derivatan blir
    $ y’ = 2 -50x^{-2} = 2 – \frac{50}{x^2} $

      Ultimecea

      Hej! Jag har exakt den här uppgiften som problem just nu. Jag ska beräkna y'(0). Enligt lösningen får man då 2x^2-50 vilket jag tycker låter lite konstigt. Jag får inte ihop varför man flyttar upp x^2 till 2:an innan -50.

        Simon Rybrand (Moderator)

        Är det alltså samma funktion som här ovan som du skall derivera?
        När du deriverar en sådan funktion så skall du ta -1 i exponenten, dvs -1-1 = -2.

        Sedan så används en potensregel för att skriva om uttrycket.

addesnillet

Gött nu fattar ja! 🙂 tack så mycker för du svara så snabbt! uppskattas!

addesnillet

Hej! förstår inte riktigt varför $ \frac{1}{2} x^{ – \frac{1}{2} } = \frac{1}{2x^{1/2}} $. som förklaras i videon vid 6.34 🙂 tack föresten tror ja kanske klarar kurser pågrund utan dessa videos!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, kul att du känner att det går bättre med hjälp av videogenomgångarna.

    Grundprincipen som du behöver förstå här är att vi använder potensregeln $ a^{-b} = \frac{1}{a^b} $ för att göra denna omskrivning. Dvs när vi flyttar ned potensen får vi istället en positiv exponent i nämnaren. Vi får alltså

    $
    \frac{1}{2} x^{ – \frac{1}{2} } =
    \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{ \frac{1}{2}} } =
    \frac{1}{2x^{1/2}} =
    \frac{1}{2 \sqrt{x} } $


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (4)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilken är en korrekt derivata av  $f(x)=4x^{-4}$ƒ (x)=4x4 

    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm derivatan när  $x=0,25$x=0,25  då  $f(x)=\sqrt{x}$ƒ (x)=x 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M
    R1
    K

    Per-Erik har fått fel på ett prov när han skrev så här.

    Välj det alternativ du anser stämmer bäst med hans redovisning.

    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Premium
    • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
    • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm derivatan  $f´(4)$ƒ ´(4)  då  $f(x)=4\sqrt{x}$ƒ (x)=4x  med hjälp av deriveringsreglerna.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...

c-uppgifter (3)

  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Derivera  $f(x)=\frac{x^4}{2}-2\sqrt{x}$ƒ (x)=x42 2x  och välj vilket alternativ som motsvarar funktionens derivata.

    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Derivera  $f(x)=x^{-3}-3\sqrt{x}$ƒ (x)=x33x  och välj vilket alternativ som motsvarar funktionens derivata.

    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilket polynom  $p(x)$p(x)  har derivatan   $p'(x)=$p’(x)=$-\frac{12}{x^4}+\frac{1}{2\sqrt{x}}$12x4 +12x  ?

    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/3)
    ECA
    B1
    P
    PL1
    M
    R1
    K

    Bestäm $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0}$ $\frac{\sqrt{4+h}+1-(\sqrt{4}+1)}{h}$4+h+1(4+1)h   och svara exakt.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Premium
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.