Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 4
/ Derivata
Kedjeregeln
Innehåll
Kedjeregeln används för att derivera sammansatta funktioner.
Det är funktioner som är en slags sammanslagning av flera olika funktioner, yttre och inre funktioner.
Exempelvis är $f\left(x\right)=\sin^2x$ƒ (x)=sin2x , $f\left(x\right)=\cos\left(2x\right)$ƒ (x)=cos(2x) och $f\left(x\right)=\left(x+1\right)^2$ƒ (x)=(x+1)2 sammansatta funktioner.
Sammansatta funktioner
Funktionen $ y = f(g(x)) $ är en sammansatt funktion där $f(g(x))$ är den yttre funktionen och $g(x)$ är den inre funktionen.
Det vi framförallt fokuserar på i den här lektionen är att du lär dig känna igen en sammansatt funktion och vad som är den inre och den yttre funktionen. Efter det blir det enklare att derivera med kedjeregeln.
Kedjeregeln
En sammansatt funktion deriveras med hjälp av kedjeregeln. Den säger att du tar den yttre derivatan multiplicerat med den inre derivatan.
Vi fördjupar din förståelse av sammansatta funktioner och hur du kan se vad som är den inre och yttre funktionen längre ned i texten.
Kedjeregeln
En sammansatt funktion $y=f(g(x))$y=ƒ (g(x)) har derivatan $y´=f´(g(x))\cdot g´(x)$y´=ƒ ´(g(x))·g´(x) där den inre funktionen är $g$g och den yttre funktionen är $f$ƒ .
Utmaningen kan vara att avkoda vad som är den yttre och den inre funktionen. Enda sättet att bli bra på det är att öva. Vi tittar därför på några exempel på det.
Exempel 1
Derivera $y=(2x+1)^2$y=(2x+1)2
Lösning
Den inre funktionen är uttrycket som står i parentesen, dvs $g\left(x\right)=2x+1$g(x)=2x+1 och den yttre är $f\left(g\left(x\right)\right)=g\left(x\right)^2$ƒ (g(x))=g(x)2 .
Derivatan blir $y´=f´\left(g\left(x\right)\right)\cdot g´\left(x\right)=2g\left(x\right)\cdot g´\left(x\right)$y´=ƒ ´(g(x))·g´(x)=2g(x)·g´(x) , dvs
$y´=\text{Yttre derivata}\cdot\text{Inre derivata}=2(2x+1)\cdot2=$y´=Yttre derivata·Inre derivata=2(2x+1)·2= $4\left(2x+1\right)=8x+4$4(2x+1)=8x+4
Vi kan dubbelkolla att kejderegeln stämmer genom att först utveckla uttrycket med kvadreringsregeln och sedan derivera.
$y=(2x+1)^2=4x^2+4x+1$y=(2x+1)2=4x2+4x+1 vilket ger derivata $y’=8x+4$y’=8x+4
Kedjeregeln verkar stämma!
Sammansatta funktioner
Vi kan tänka kring begreppet sammansatt funktion som att det är en funktion som är sammansatt av två funktioner. En funktion som i sin tur har en inbyggd funktion. När du väl ser vad som är den inre och den yttre funktionen så blir det enklare att derivera hela funktionen.
Vi tar ett exempel för att resonera kring sammansatta funktioner. Titta på funktionen nedan
$y=\sin^3x$y=sin3x som vi även skriver som $y=\left(\sin x\right)^3$y=(sinx)3 .
Den inre funktionen i det här fallet betecknar vi med $g\left(x\right)=\sin x$g(x)=sinx . Den funktionen har derivatan $g´\left(x\right)=\cos x$g´(x)=cosx .
Därför är den yttre funktionen den funktion som upphöjer hela den inre funktionen med 3. Med matematiskt språk blir det $f\left(g\left(x\right)\right)=g\left(x\right)^3$ƒ (g(x))=g(x)3. Den yttre derivatan är $3g\left(x\right)^2$3g(x)2. Du kan jämföra det med $x^3$x3 som har derivatan $3x^2$3x2. I det här fallet så är $x$x utbytt mot $g\left(x\right)$g(x) istället.
Vi sammanfattar
- Den inre funktionen $g\left(x\right)=\sin x$g(x)=sinx . Den har derivatan $g´\left(x\right)=\cos x$g´(x)=cosx .
- Den yttre funktionen är $f\left(g\left(x\right)\right)=g\left(x\right)^3$ƒ (g(x))=g(x)3. Den har derivatan $f´\left(g\left(x\right)\right)=3g\left(x\right)^2=3\left(\sin x\right)^2$ƒ ´(g(x))=3g(x)2=3(sinx)2. Jämför gärna med $u^3$u3.
Därför är derivatan $y´=\text{Yttre derivata}\cdot\text{Inre derivata}$y´=Yttre derivata·Inre derivata $=3\left(\sin x\right)^2\cdot\cos x$=3(sinx)2·cosx
Exempel på användning av Kedjeregeln
Exempel 2
Derivera $y=\cos\left(3x\right)$y=cos(3x)
Lösning
Den inre funktionen är $g\left(x\right)=3x$g(x)=3x och har derivatan $g´\left(x\right)=3$g´(x)=3 .
Då skriver vi den yttre funktionen som $f\left(g\left(x\right)\right)=\cos\left(g\left(x\right)\right)$ƒ (g(x))=cos(g(x)) . Den har derivatan $f´\left(g\left(x\right)\right)=-\sin\left(g\left(x\right)\right)$ƒ ´(g(x))=−sin(g(x)). Jämför gärna med $\cos x$cosx som har derivatan $-\sin x$−sinx. Här är bara $x$x utbytt mot $g\left(x\right)$g(x).
Derivatan blir
$y´=\text{Yttre derivata}\cdot\text{Inre derivata}$y´=Yttre derivata·Inre derivata $=-\sin\left(3x\right)\cdot3=-3\sin\left(3x\right)$=−sin(3x)·3=−3sin(3x)
Exempel 3
Derivera $y=\sqrt{x^3}$y=√x3.
Lösning
Den inre funktionen är $g\left(x\right)=x^3$g(x)=x3 och har derivatan $g´\left(x\right)=3x^2$g´(x)=3x2 .
Därför kan vi skriva den yttre funktionen som $f\left(g\left(x\right)\right)=\sqrt{g\left(x\right)}$ƒ (g(x))=√g(x) . Den har derivatan $f´\left(g\left(x\right)\right)=$ƒ ´(g(x))=$\frac{1}{2\sqrt{g\left(x\right)}}$12√g(x) . Jämför gärna med $\sqrt{x}$√x som har derivatan $\frac{1}{2\sqrt{x}}$12√x . Här är bara $x$x utbytt mot $g\left(x\right)$g(x).
Som ett resultat av detta blir derivatan av den sammansatta funktionen
$y´=\text{Yttre derivata}\cdot\text{Inre derivata}$y´=Yttre derivata·Inre derivata $=\frac{1}{2\sqrt{x^3}}\cdot$=12√x3 · $3x^2$3x2
Andra sätt att beteckna kedjeregeln
Det finns även andra sätt att beskriva kedjeregel. Ett exempel på ett sådant sätt nämns nedan.
$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dz}\cdot\frac{dz}{dx}$dydx =dydz ·dzdx
Detta utläser du som ”dy dx är lika med dy dg multiplicerat med dg dx”. Du lär dig mer om detta i lektionen förändringshastigheter och derivata.
Exempel i videon
- Bestäm derivatan av $f(x)=sin2x$ med kedjeregeln
- Derivera $f(x)=sin(2x^2+3x)$
- $f(x)=sin^2(3x)$
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (8)
-
1. Premium
Bestäm derivatan av $ f(x) = (3x+2)^3 $
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata inre funktion kedjeregeln sammansatt funktion yttre funktionRättar...2. Premium
Ange alternativet som motsvarar derivatan av $y=\sin(3x)$.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata Deriveringsregeln kedjeregelnRättar...3. Premium
Bestäm derivatan av $ f(x) = \sin^2 x $
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: DeriveringsreglerLiknande uppgifter: Derivata inre funktion kedjeregeln sammansatt funktion yttre funktionRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Derivera $y=(x^2+3)^5$y=(x2+3)5
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...5. Premium
Bestäm derivatan av $f(x)=4\cos(10x+2)$ƒ (x)=4cos(10x+2)
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata inre funktion kedjeregeln sammansatt funktion yttre funktionRättar...6. Premium
Bestäm $y´´$y´´ då $y=-2\text{ }\sin(2x)$y=−2 sin(2x)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: AndraderivataLiknande uppgifter: Andraderivata Derivata derivatan och grafen Matematik 3 Matematik 4Rättar...7. Premium
Derivera $y=\ln(2x^5-7)$y=ln(2x5−7)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata Deriveringsregel kedjeregelnRättar...8. Premium
Derivera $y=\sin^3(x)$
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...c-uppgifter (3)
-
9. Premium
Derivera $y=\left(\sqrt{x}\right)^3$y=(√x)3
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
10. Premium
Derivera $y=e^{2 \cos(x)}$
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
11. Premium
Derivera $y=e^{\sqrt{x}}$y=e√x
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata Deriveringsregel kedjeregelnRättar...
a-uppgifter (2)
-
12. Premium
Derivera $f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2x^3-e^{2x}}}$ƒ (x)=1√2x3−e2x
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
13. Premium
Derivera $f(x)=\sin^4 (x^3-5x^2)$
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...
-
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Björn Follin
På fråga 9 står det i förklaringen att den yttre derivatan är -1/x^3/2. Är den inte -1/2x^3/2? Jag antar att ni bara har skrivit fel, annars hänger jag verkligen inte med…
Simon Rybrand (Moderator)
Den yttre derivatan där skall stämma. Kolla gärna mer på hur potensfunktioner deriveras.
elisabeth karlsson
Hej
Uppgift 7 och det korrekta svaret ska ha e^2x. Tvåan har fallit bort, likaså i förklaringen i sista ledet.
Simon Rybrand (Moderator)
Vi fixar det direkt!
Tack för att du sade till!
Linnéa Jansson
I det sista exemplet i den här genomgången skriver du 2sin3x*cos(3x) * 3
och sen 6sin3x*cox(3x).
Finns det en anledningen till att ni skriver cos(3x) med parenteser och sin3x utan parenteser?
och sen förstår jag inte varför den inre derivatan blir cos(3x) * 3 och inte 3cos(3x). Hade jag fått det där exemplet på ett prov hade jag nog skrivit
2sin3x*3cos3x som svar, istället för att multiplicera trean med tvåan framför sin3x.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Det finns ingen anledning att inte vara konsekvent där egentligen, skulle nog rekommendera att alltid använda parentes runt argumentet, dvs 3x i det här fallet.
Eftersom att $cos(3x)·3 = 3cos(3x)$ och vi skall göra ett steg till i förenklingen av det deriverade uttrycket så spelar det inte så stor roll hur det ser ut just där. Om det istället hade varit vårat svar så håller jag med dig om att $3cos(3x)$ ser snyggare ut.
Jafar Fathullah
Jag vill jättegärna förklaring till bevis av kedjeregelen.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Just nu har vi ingen sådan. Vi kan kika på om vi kanske kan utöka med detta framåt i en video.
Evelyn
Hej!
Dessa videor hjälper mig enorm med matte D just nu. Det är bara en sak jag inte förstår i denna video. Vid exempel 1 så deriverar du den inre funktionen till 4x+3. Varför behåller du sen den icke-deriverade formen när du deriverar den yttre funktionen? Ska det inte vara samma svar, eller tänker jag knas?
MvH Evelyn
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, anledningen att jag behåller den inre funktionen är för att vi bara skall derivera den yttre, dvs att derivatan av sin u är cos u.
Ferhat0117
Hejsan!
Jag har en uppgift som jag inte riktigt förstår. Uppgiften lyder såhär:
Funktionen f(x) = 5e^2x är given. Beräkna närmevärde med tre decimaler till f'(3) genom
a) att först bestämma f'(x)
b) att använda approximationen f'(3) = f(3+h)-f(3-h)/zh för h=1.
Uppgift a är ju rätt så enkelt. Det är bara att derivera själva uppgiften och sedan ändra x till 3 konstigt nog så får jag fel svar, eller är det jag som gör fel?
Med vänliga hälsningar, Ferhat!
Simon Rybrand (Moderator)
Hej Ferhat,
Det man gör när man approximerar derivata är att man sätter h till ett litet tal tex 0,001 eller som i ditt fall där du skall sätta det till h = 1 är att man använder derivatans definition för att ta fram derivatan istället för med deriveringsreglerna. Så här behöver du utgå ifrån derivatans definition och beräkna
$ \frac{f(4) – f(3)}{1} $
Fråga gärna mer i QnA om något är otydligt eller om jag förstår din fråga felaktigt.
/Simon
Mario
Hejsan, tack så mycket för fin genomgång av matte d.
Läser exponent men tycker faktiskt att boken är för svår, för lite exempel och svårighetsgraden ökar markant.
Bra sida som jag kommer att rekomendera vidare.
mvh Mario
Simon Rybrand (Moderator)
Hej Mario, vad bra att genomgången hjälpte dig att förstå och använda kedjeregeln som är viktig i Matte D, lycka till med studierna!
Endast Premium-användare kan kommentera.