Lär dig Derivatans Definition - Matematikvideo

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 3 BC

Derivatans Definition

Video

Video, text & övningsfrågor av: Simon Rybrand

I den här videon härleder vi derivatans definition och diskuterar innebörden av begreppet derivata.

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM


  • 600+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
PROVA FÖR 9 kr
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.
28 votes, average: 3,89 out of 528 votes, average: 3,89 out of 528 votes, average: 3,89 out of 528 votes, average: 3,89 out of 528 votes, average: 3,89 out of 5
28
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

10
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 10
MEDELPOÄNG
ALLA
3

Text

Derivatan – ett gränsvärde

Den genomsnittliga förändringshastigheten över ett intervall kan beräknas med en ändringskvot. Ändringskvoten motsvarar sekants lutning i intervallet. Derivatan definieras bland annat som gränsvärdet till denna ändringskvot. 

De

Derivatan i en punkt kan alltså beräknas med hjälp av gränsvärdet av ändringskvoten där en sekant går från att vara en sekant, till att bli en tangent till kurvan. Omvandlingen från sekant till tangent sker då avståndet mellan punkterna där sekanten skär genom grafen, går mot noll. Alltså i gränslandet där de två punkterna sammanfaller.

Som du ser på bilden nedan så blir sekantens lutning och lutningen på tangenten i punkten $\left(x,\text{ }f\left(x\right)\right)$(x, ƒ (x)) mer och mer lika, ju mindre intervall sekanten omfattar. Alltså när punkterna sekanten skär genom närmar sig varandra. 

Sekanten och tangenten

När avståndet mellan punkterna minskar, alltså då $h$h går mot noll, kommer vi tillslut nå den punkt där sekanten omvandlas till en tangent. I den punkten är gränsvärdet för ändringskvoten som motsvara sekantens lutning, densamma som tangentens lutning. Båda anger derivats värde i punkten vilket även tolkas som förändringshastigheten i punkten. 

Derivatans definition

När vi definierar derivata gör vi det i form av ett gränsvärde. Men inte vilket gränsvärde som helst, utan gränsvärdet på ändringskvoten som motsvarar sekanten lutning. 

Sekantens lutning som en ändringskvot

Sekant som ändringskvot
Sekantens lutning kan beräknas med hjälp av ändringskvoten

 $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ΔyΔx =ƒ (x+h)ƒ (x)h  

Uttrycket här ovan är alltså ett sätt att beskriva en sekants lutning eller den genomsnittliga förändringshastigheten i ett intervall. Sekantens lutning blir, som vi såg tidigare, mer och mer lik tangentens lutning, ju närmre de två punkterna sekanten skär genom kommer varandra.

För att i stället få fram förändringshastigheten i en punkt, det vill säga derivatan, låter vi avståndet i $x$x -led minska supermycket. Så mycket att vi kan se avståndet som obefintligt. Det är det vi menar med gränsvärdet då $h\rightarrow0$h→0. Med hjälp av detta kan vi teckna derivatans definition som följer.

Derivatans definition

$f'(x)=$$ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ƒ (x+h)ƒ (x)h  

Du kan själv se hur ändringskvotens värde förändras genom att flytta punkterna $A$A och $B$B närmre varandra.

Välj Funktion

$k_{AB}=\frac{Δy}{Δx} = \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = $
-

A = (a, f(a)) = (; )

B = (a+h, f(a+h)) = (; )

h =

Inställningar

När punkterna sammanfaller, alltså där sekanten förvandlas till en tangent, ser vi att kvotens värde inte kan beräknas. Vi får nämligen division med noll. Det är här gränsvärdet kommer in i bilden. Med hjälp av det kan vi bestämma kvotens värde för mycket små värden på $h$h och där med beräkna derivatans värde.

Bestäm derivatan utifrån definitionen

Här kommer ett exempel på hur man bestämmer derivatan med hjälp av derivatans definition.

Exempel 1

Bestäm  $f´\left(3\right)$ƒ ´(3) då  $f\left(x\right)=2x+5$ƒ (x)=2x+5 

Lösning:

Derivatans definition är 
$ f`(x)=\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} $ $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ƒ (x+h)ƒ (x)h  

Vi löser uppgiften stegvis genom att först bestämma $f(3+h)$ƒ (3+h) och  $f\left(3\right)$ƒ (3) då $f(x)=2x+5$ƒ (x)=2x+5 . Det gör vi genom att ersätta $x$x i funktionsuttrycket med först $3+h$3+h och sedan med $3$3 .

 $f(3+h)=2(3+h)+5=2\cdot3+2h+5=2h+11$ƒ (3+h)=2(3+h)+5=2·3+2h+5=2h+11 
 $f\left(3\right)=2\cdot3+5=11$ƒ (3)=2·3+5=11 

Med hjälp av detta kan vi ställa upp gränsvärdet och beräkna  $f’\left(3\right)$ƒ (3).

 $f’\left(3\right)=$ƒ (3)= $ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=$ƒ (3+h)ƒ (3)h =

$ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{2h+11-11}{h}=$2h+1111h =   

$ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{2h}{h}=$2hh = 

$ \lim\limits_{h \to 0}$ $2=$2=

 $2$2 då  $h\to0$h0

Alltså gäller att   $f´\left(3\right)=2$ƒ ´(3)=2 

I kommande lektion finns många fler exempel som detta.

Exempel i videon

  • Härledning av derivatans definition
  • Bestäm  $f´\left(2\right)$ƒ ´(2) då  $f\left(x\right)=x^2$ƒ (x)=x2  med hjälp av derivatans definition.

Kommentarer

  1. Varför sätter man 3(3+h)

    U S
    1. Vi skall där sätta in 3+h funktionen $f(x)=3x^2$, vi byter alltså ut $x$ mot $3+h$ så att du får
      $f(3+h)=3(3+h)^2$

      Simon Rybrand
  2. Hej!
    Beräkna F'(1)= lim h går mot 0 f(1+h)-f(1)/h för f(x)=x upphöjd till 2 -4x
    Hur ska jag tänka här??
    Hjälp

    Sumayah Hamah Saeed
    1. $f(x)=x^2-4x$
      vilket ger att
      $f(1)=1-4=-3$
      och
      $f(1+h)=(1+h)^2-4(1+h)$ $=1+2h+h^2-4-4h$ $=-3-2h+h^2$

      $\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h} = $
      $\lim\limits_{h \to 0} \frac{(-3-2h+h^2)-(-3)}{h} = $
      $\lim\limits_{h \to 0} \frac{-2h+h^2}{h} = $
      $\lim\limits_{h \to 0} (-2+h) = -2 $

      Simon Rybrand
      1. Tack för svaret!!!

        Sumayah Hamah Saeed
  3. Hej, Hur deriverar man den här funktionen:
    Y= (3x-5)(x-8)

    Xiaoting Chen
    1. Antingen använder du kedjeregeln eller så kan du först multiplicera ihop parenteserna för att därefter derivera.
      $y=(3x-5)(x-8) = 3x^2-24x-5x+40=3x^2-29x+40$
      $y´=6x-29$

      Simon Admin
  4. Hej

    För funktionen f gäller att f(x) = Ax^3 där A är en konstant. Bestäm f'(x) med hjälp av derivatans definition. Det som gör mig ambivalent är att jag inte vet hur jag ska hantera A.

    qwert
    1. Hej, du kan hantera a som vilken siffra som helst. Om du känner dig osäker på konstanter så prova en gång att exempelvis byta ut a mot en 2:a (eller något annat) när du utvecklar med hjälp av derivatans definition:
      $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

      Simon Rybrand
  5. Hej!
    Jag förstår inte varför ubåten stiger och inte dyker istället?
    Skulle behöva en mer utvecklad förklaring 🙂

    Simon
    1. Hej, när derivatan beräknas för en funktion så får vi förändringshastigheten i just den punkten som vi beräknar derivatan i. Man kan också säga att derivatan är tangentens lutning i just den punkten. I det exemplet så får vi alltså att derivatan är positiv vilket innebär att vi har en positiv lutning i just den punkten. Uppgiften var konstruerad på det viset att den nog kan misstolkas. Om djupet ökar borde ju ubåten vara på väg neråt.. Vi har lagt in en annan uppgift där som inte skall kunna missuppfattas lika lätt.

      Simon Rybrand
  6. hej! jag har en sån uppgift som jag löste med samma formel som jag lärde mig här i matematikvideo. men jag fick fel svar?

    frågan är f(3+h)

    om du kan lösa det tydligt så att jag förstår bra. tack!

    NISSE-MA
    1. Hej, för att kunna lösa en sådan uppgift så behöver vi känna till formeln f(x). Har du denna i uppgiften?

      Simon Rybrand
  7. Hej simon!
    I sista talet hur får du fram att f(2)=8 ?

    fredrikhultgren
    1. svarar mig själv
      f(2)=2x²=8

      fredrikhultgren
  8. Låt f(x) = 2x och bestäm f(5+h)-f(5)
    Hur gör jag då?
    blir detta 2(5+h)-2(5)?
    Är osäker om jag förstår detta rätt.

    pachara
    1. Hej, du har förstått det hela rätt verkar det som!
      Du byter ut x:et i funktionsformeln mot
      (5+h) resp. 5

      Simon Rybrand
  9. Hej Simon, jag har ett tal som jag nu suttit och klurat på men har inte kommit på svaret. Jag undrar om du skulle kunna ta dig tiden till att förklara hur jag skall lösa detta tal.
    f(x)= x5+7×2-5x+3
    Visa att talet ovan stämmer med hjälp av derivatans ekvation.
    Mvh
    Hampus

    Hampus
    1. Hej Hampus, jag tror att det kanske saknas något här i problembeskrivningen, du har skrivit i en funktion f(x) här men jag är lite osäker på om du skall derivera med derivatans definition eller något annat? Vad är det som du skall visa?

      Simon Rybrand
  10. Sista frågan i övningen… Kan man inte bara göra:

    f(x) = 2x^2
    f'(x) = 2*2x = 4x
    f'(2) = 4*2 = 8

    ? Eller är det jätteviktigt att kunna den där formeln? Jag tycker den är ganska krånglig..!

    holm.nathalie
    1. Hej, det går förstås att använda sig av deriveringsreglerna precis som du gör här ovan, det kan dock vara så att man får en fråga ställd så att du skall använda derivatans definition för att visa att du kan just denna. Då är det bra att förstå hur denna används. Svaret skall dock bli samma oavsett om du använder deriveringsregler eller definitionen.

      Simon Rybrand
  11. Tack för väldigt bra genomgångar. Jag önskar bara ett par fler exempel på derivata här. Jag är mest undrande kring hur man ska sätta in i f(x+h). Hur blir det till exempel när f(x)=x+m?

    Mvh Viktor

    komvux_boras
  12. Tusen tack för genomgången Simon!

    Lindalucas
  13. Hej!
    Se texten under ”Hur definieras derivata”?!

    staffan
    1. Hej Staffan, det verkade ha hänt något med den texten och den är nu uppdaterad.

      Simon Rybrand
  14. Tusen miljoner tack och en fet puss på pannan! Jag bugar och bockar för denna briljanta sida som nog kommer kunna ge mig ett högre betyg än G i matte C! TACK!

    majatheodorsson
    1. Då håller jag tummarna för högre betyg!

      Simon Rybrand
  15. Jag vill bara säga att du har räddat mitt liv. Innan jag upptäckte denna sida var jag helt ”lost” på matten och nu helt plötsligt börjar jag förstå hur viktigt det är med matten. Du förklarar fantastikst bra! tack så jätte mycket.

    maybe
    1. Hej Maybe och tack så mycket för din uppskattning, lycka till med dina studier!

      Simon Rybrand
  16. Ja, detta var inte dumt. Tack för att du tagit dig tid till en genomtänkt hemsida!

    MrMarcus
    1. Tack så mycket Markus, lycka till med plugg på derivata och Matte C

      Simon Rybrand
  17. Jättebra genomgångar! Verkligen genomtänkt och lättförstått.

    Car8oline
    1. Tack Caroline, lycka till med ditt Matte C pluggande.

      Simon Rybrand
  18. Tack så mycket Mohammed, lycka till med deriveringar och Matematik C!

    Simon Rybrand
  19. jag vill bara säga till tack så mycket. jag har lärt mig jätte mycket med hjälp av matematikvideo tack.

    Mohammed

Endast premiumkunder kan kommentera. Prova Premium!

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: