Lär dig Derivatans Definition - Matematikvideo

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 3 BC

Derivatans Definition

Video

Video, text & övningsfrågor av: Simon Rybrand

I den här videon härleder vi derivatans definition och diskuterar innebörden av begreppet derivata.

21 votes, average: 3,67 out of 521 votes, average: 3,67 out of 521 votes, average: 3,67 out of 521 votes, average: 3,67 out of 521 votes, average: 3,67 out of 5
21
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

8
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
MEDELPOÄNG
ALLA
3

Text

Exempel i videon

  • Härledning av derivatans definition
  • Bestäm  $f´\left(2\right)$ƒ ´(2) då  $f\left(x\right)=x^2$ƒ (x)=x2  med hjälp av derivatans definition.

Derivatan – ett gränsvärde

För att förstå hur derivatan definieras behöver vi känna till begreppet gränsvärde inom matematiken. Ett gränsvärde får vi när vi låter en variabel eller varför inte en geometrisk längd gå mot, eller närma sig, ett visst värde. Om vi exempelvis har uttrycket $ \frac{1}{h} $ där vi låter h gå mot oändligheten så kan vi konstatera att uttrycket då går mot 0. Alltså att

$ \lim\limits_{h \to \infty} \frac{1}{h} = 0 $

Gränsvärde förkortar vi med ordet lim eller limes som kommer från engelskans limit.

Så definieras derivata

När vi definierar derivata är det alltså ett gränsvärde som vi beräknar. Gränsvärdet får vi genom att ställa upp ett uttryck för lutningen för en sekant. Dvs

$ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Uttrycket här ovan är alltså ett sätt att beskriva en sekants lutning eller den genomsnittliga förändringshastigheten i ett intervall (medelhastighet). För att få fram förändringshastigheten i en punkt behöver vi nu skapa ett gränsvärde av detta uttryck. För att göra detta låter vi avståndet h gå mot 0 dvs

$ \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $

Här har vi alltså definitionen av derivata eller förändringshastigheten i en punkt.

Exempel på att använda derivatans definition

Exempel 1

Bestäm  $f´\left(3\right)$ƒ ´(3) då  $f\left(x\right)=3x^2$ƒ (x)=3x2

Lösning:

Vi använder derivatans definition och ställer upp gränsvärdet

$ \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(3+h)-f(3)}{h} $

Vi förenklar kvoten genom

$\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=\frac{3\left(3+h\right)^2-3\cdot3^2}{h}$ƒ (3+h)ƒ (3)h =3(3+h)23·32h 

$=\frac{3\left(9+6h+h^2\right)-27}{h}=\frac{27+18h+3h^2-27}{h}$=3(9+6h+h2)27h =27+18h+3h227h 

$=\frac{18h+3h^2}{h}=18+3h$=18h+3h2h =18+3h

Detta uttryck går mot  $18$18 då  $h\to0$h0

Alltså gäller att   $f´\left(3\right)=18$ƒ ´(3)=18

Kommentarer

  1. jag vill bara säga till tack så mycket. jag har lärt mig jätte mycket med hjälp av matematikvideo tack.

    Mohammed
  2. Tack så mycket Mohammed, lycka till med deriveringar och Matematik C!

    Simon Rybrand
  3. Jättebra genomgångar! Verkligen genomtänkt och lättförstått.

    Car8oline
    1. Tack Caroline, lycka till med ditt Matte C pluggande.

      Simon Rybrand
  4. Ja, detta var inte dumt. Tack för att du tagit dig tid till en genomtänkt hemsida!

    MrMarcus
    1. Tack så mycket Markus, lycka till med plugg på derivata och Matte C

      Simon Rybrand
  5. Jag vill bara säga att du har räddat mitt liv. Innan jag upptäckte denna sida var jag helt ”lost” på matten och nu helt plötsligt börjar jag förstå hur viktigt det är med matten. Du förklarar fantastikst bra! tack så jätte mycket.

    maybe
    1. Hej Maybe och tack så mycket för din uppskattning, lycka till med dina studier!

      Simon Rybrand
  6. Tusen miljoner tack och en fet puss på pannan! Jag bugar och bockar för denna briljanta sida som nog kommer kunna ge mig ett högre betyg än G i matte C! TACK!

    majatheodorsson
    1. Då håller jag tummarna för högre betyg!

      Simon Rybrand
  7. Hej!
    Se texten under ”Hur definieras derivata”?!

    staffan
    1. Hej Staffan, det verkade ha hänt något med den texten och den är nu uppdaterad.

      Simon Rybrand
  8. Tusen tack för genomgången Simon!

    Lindalucas
  9. Tack för väldigt bra genomgångar. Jag önskar bara ett par fler exempel på derivata här. Jag är mest undrande kring hur man ska sätta in i f(x+h). Hur blir det till exempel när f(x)=x+m?

    Mvh Viktor

    komvux_boras
  10. Sista frågan i övningen… Kan man inte bara göra:

    f(x) = 2x^2
    f'(x) = 2*2x = 4x
    f'(2) = 4*2 = 8

    ? Eller är det jätteviktigt att kunna den där formeln? Jag tycker den är ganska krånglig..!

    holm.nathalie
    1. Hej, det går förstås att använda sig av deriveringsreglerna precis som du gör här ovan, det kan dock vara så att man får en fråga ställd så att du skall använda derivatans definition för att visa att du kan just denna. Då är det bra att förstå hur denna används. Svaret skall dock bli samma oavsett om du använder deriveringsregler eller definitionen.

      Simon Rybrand
  11. Hej Simon, jag har ett tal som jag nu suttit och klurat på men har inte kommit på svaret. Jag undrar om du skulle kunna ta dig tiden till att förklara hur jag skall lösa detta tal.
    f(x)= x5+7×2-5x+3
    Visa att talet ovan stämmer med hjälp av derivatans ekvation.
    Mvh
    Hampus

    Hampus
    1. Hej Hampus, jag tror att det kanske saknas något här i problembeskrivningen, du har skrivit i en funktion f(x) här men jag är lite osäker på om du skall derivera med derivatans definition eller något annat? Vad är det som du skall visa?

      Simon Rybrand
  12. Låt f(x) = 2x och bestäm f(5+h)-f(5)
    Hur gör jag då?
    blir detta 2(5+h)-2(5)?
    Är osäker om jag förstår detta rätt.

    pachara
    1. Hej, du har förstått det hela rätt verkar det som!
      Du byter ut x:et i funktionsformeln mot
      (5+h) resp. 5

      Simon Rybrand
  13. Hej simon!
    I sista talet hur får du fram att f(2)=8 ?

    fredrikhultgren
    1. svarar mig själv
      f(2)=2x²=8

      fredrikhultgren
  14. hej! jag har en sån uppgift som jag löste med samma formel som jag lärde mig här i matematikvideo. men jag fick fel svar?

    frågan är f(3+h)

    om du kan lösa det tydligt så att jag förstår bra. tack!

    NISSE-MA
    1. Hej, för att kunna lösa en sådan uppgift så behöver vi känna till formeln f(x). Har du denna i uppgiften?

      Simon Rybrand
  15. Hej!
    Jag förstår inte varför ubåten stiger och inte dyker istället?
    Skulle behöva en mer utvecklad förklaring 🙂

    Simon
    1. Hej, när derivatan beräknas för en funktion så får vi förändringshastigheten i just den punkten som vi beräknar derivatan i. Man kan också säga att derivatan är tangentens lutning i just den punkten. I det exemplet så får vi alltså att derivatan är positiv vilket innebär att vi har en positiv lutning i just den punkten. Uppgiften var konstruerad på det viset att den nog kan misstolkas. Om djupet ökar borde ju ubåten vara på väg neråt.. Vi har lagt in en annan uppgift där som inte skall kunna missuppfattas lika lätt.

      Simon Rybrand
  16. Hej

    För funktionen f gäller att f(x) = Ax^3 där A är en konstant. Bestäm f'(x) med hjälp av derivatans definition. Det som gör mig ambivalent är att jag inte vet hur jag ska hantera A.

    qwert
    1. Hej, du kan hantera a som vilken siffra som helst. Om du känner dig osäker på konstanter så prova en gång att exempelvis byta ut a mot en 2:a (eller något annat) när du utvecklar med hjälp av derivatans definition:
      $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

      Simon Rybrand
  17. Hej, Hur deriverar man den här funktionen:
    Y= (3x-5)(x-8)

    Xiaoting Chen
    1. Antingen använder du kedjeregeln eller så kan du först multiplicera ihop parenteserna för att därefter derivera.
      $y=(3x-5)(x-8) = 3x^2-24x-5x+40=3x^2-29x+40$
      $y´=6x-29$

      Simon Admin
  18. Hej!
    Beräkna F'(1)= lim h går mot 0 f(1+h)-f(1)/h för f(x)=x upphöjd till 2 -4x
    Hur ska jag tänka här??
    Hjälp

    Sumayah Hamah Saeed
    1. $f(x)=x^2-4x$
      vilket ger att
      $f(1)=1-4=-3$
      och
      $f(1+h)=(1+h)^2-4(1+h)$ $=1+2h+h^2-4-4h$ $=-3-2h+h^2$

      $\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h} = $
      $\lim\limits_{h \to 0} \frac{(-3-2h+h^2)-(-3)}{h} = $
      $\lim\limits_{h \to 0} \frac{-2h+h^2}{h} = $
      $\lim\limits_{h \to 0} (-2+h) = -2 $

      Simon Rybrand
      1. Tack för svaret!!!

        Sumayah Hamah Saeed
  19. Varför sätter man 3(3+h)

    U S
    1. Vi skall där sätta in 3+h funktionen $f(x)=3x^2$, vi byter alltså ut $x$ mot $3+h$ så att du får
      $f(3+h)=3(3+h)^2$

      Simon Rybrand

Kommentarer är inaktiverade. Logga in för att felrapportera.

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: