Tredjegradsekvationer – Matematikvideo

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 3 BC

Tredjegradsekvationer

Video

Video, text & övningsfrågor av: Simon Rybrand

I den här videon går vi igenom olika metoder för att lösa tredjegradsekvationer. Vi löser dem med tredjeroten ur, nollproduktmetoden, pq-formeln och grafiskt.

Vill du höja mattebetyget? Skaffa PREMIUM!


  • Över 600 videolektioner. Alla moment i din kurs.
  • Över 4000 övningsfrågor med förklaringar.
  • Genomgångar av gamla nationella prov.
  • Plugga i din takt. När du vill. Var du vill.
Ja, jag vill bli bättre med PREMIUM
Prova i 7 dagar för 9 kr.
Ingen bindningstid, avsluta när du vill.
11 votes, average: 4,64 out of 511 votes, average: 4,64 out of 511 votes, average: 4,64 out of 511 votes, average: 4,64 out of 511 votes, average: 4,64 out of 5
11
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

8
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
MEDELPOÄNG
ALLA
3

Text

Vad är en tredjegradsekvation?

En ekvation, där största exponent för variabeltermerna är talet tre, kallas för en tredjegradsekvation. Den tillhör polynomekvationerna och är, som avslöjas av namnet, av graden tre.

Tredjegradsekvationen i allmänform

 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ax3+bx2+cx+d=0 

där  $a$a , $b$b , $c$c  och $d$d alla är konstanter.

Så ser du en ekvation, där $x^3$x3 finns med och ingen variabelterm med ett större tal i exponenten, så är det helt enkelt en tredjegradsekvation.

Lösningar, dubbel- och trippelrötter

En tredjegradsekvation har tre lösningar. Men lösningarna kan sammanfalla, alltså vara identiska, vilket gör att de ser ut som bara en eller två lösningar. De kallas då för en trippel- eller dubbelrot.

tredjegradsekvationens grafiska lösningsalternativ

Viktigt att observera är följande. Det som ser ut att vara en trippelrot grafiskt, kan vara en tredjegradsekvation där en av rötterna är reell och de andra två komplexa. Om ekvationen endast har reella koefficienter är alltid antingen en av lösningarna, eller rötterna som de också kallas, eller alla tre reella lösningar. Vi kan alltså inte ha två reella och en komplex lösning. Ekvationen har då i stället en dubbelrot, alltså reella rötter där två av dem sammanfaller.

Metoder för att lösa tredjegradsekvationer

Det finns tyvärr ingen enkel formel för att lösa tredjegradsekvationer.

Men ofta kan man genom att först faktorisera och sedan använda lösningsmetoder för andragradsekvationen ganska enkelt hitta lösningen ändå.

Exempel 1

Lös ekvationen  $x^3-4x^2-5x=0$x34x25x=0 

Lösning:

VI har en tredjegradsekvation med tredjegradsterm, andragradsterm och en förstagradsterm , men ingen konstantterm. Vi löser den genom att först faktorisera och sedan lösa med en kombination av nollproduktmetoden och PQ.

 $x^3-4x^2-5x=0$x34x25x=0        Bryt ut $x$x 

 $x(x^2-4x-5)=0$x(x24x5)=0 

Den första lösningen ges av nollproduktmetoden och är $x_1=0$x1=0 

Vi använder pq-formeln för att ta reda på lösningarna som ges från parentesen genom att sätt den lika med noll.

 $x^2-4x-5=0$x24x5=0 

 $x=2\pm\sqrt{4+5}$x=2±4+5 

 $x=2\pm\sqrt{9}$x=2±9 

 $x=2\pm3$x=2±3 

$ \begin{cases} x_2 =5 \\  x_3 = -1  \end{cases} $

Det tre lösningarna är

$ \begin{cases} x_1=0 \\ x_2 =5 \\  x_3 = -1  \end{cases} $

Exempel 2

Lös ekvationen  $2x^3+16=0$2x3+16=0   

Lösning:

Då ekvationen bara har en tredjegradsterm och konstantterm använder vi rotmetoden.

 $4x^3+32=0$4x3+32=0    Dividerar båda leden med $4$4 

 $x^3+8=0$x3+8=0    Subtraherar båda leden med $8$8 

 $x^3=-8$x3=8    Dra tredjeroten ur båda leden

$ \begin{cases} x_1=-2 \\ x_2 =-2 \\  x_3 = -2  \end{cases} $

Denna ekvation har en reell trippelrot. Alltså alla tre lösningarna på ekvationen är  $x=-2$x=2 . 

Man skulle även kunna lösa denna ekvation med två komplexa rötter  $x=1\pm i\sqrt{3}$x=1±i3.

$ \begin{cases} x_1=-2 \\ x_2 =1+i\sqrt3 \\  x_3 =1-i\sqrt3  \end{cases} $

I faktorform skulle den i så fall skrivas som $\left(x+2\right)\left(x+\left(1-i\sqrt{3}\right)\right)\left(x-\left(1-i\sqrt{3}\right)\right)=0$(x+2)(x+(1i3))(x(1i3))=0 Men det behöver vi inte tänka på så mycket i denna kurs.

Exempel 3

Lös ekvationen  $\left(x+1\right)x^2-\left(x+1\right)4=0$(x+1)x2(x+1)4=0   

Lösning:

Vi börjar med att faktorisera VL.

  $\left(x+1\right)x^2-\left(x+1\right)4=0$(x+1)x2(x+1)4=0        Bryt ut  $\left(x+1\right)$(x+1) 

 $\left(x+1\right)\left(x^2-4\right)=0$(x+1)(x24)=0    

Med nollprodukt- och kvadratrotsmetoden kan vi nu ta fram lösningarna.

Den första faktorn ger att  $x=-1$x=1  är en lösning eftersom att

 $\left(x+1\right)=0$(x+1)=0           Subtrahera båda leden med $1$1 

 $x=-1$x=1 

Den andra faktorn ger att  $x=\pm2$x=±2 eftersom att

  $x^2-4=0$x24=0         Addera båda leden med $4$4 

 $x^2=4$x2=4               Dra roten ut båda leden 

 $x=\pm2$x=±2 

Vi får rötterna

$ \begin{cases} x_1=-1 \\ x_2 =2 \\  x_3 = -2  \end{cases} $

Metoder för att lösa andragradsekvationer

Vi repeterar här kort de olika metoderna för att lösa en andragradsekvation.

PQ-formeln

En andragradsekvation med andragradsterm, förstagradsterm och en konstantterm, måste lösas med lösningsformeln. För

 $x^2+px+q=0$x2+px+q=0     

där $p$p är förstagradstermens koefficient och $q$q motsvarar konstanttermen, gäller att

 $x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$x1,2=p2 ±(p2 )2q 

Nollproduktsmetoden

En andragradsekvation med andragradsterm och förstagradsterm, men ingen konstantterm, kan lösas med nollproduktmetoden.

Antar en av faktorerna värdet noll, blir hela produktens resultat noll.

Andragradsekvationen som i faktorform skrivs

 $\left(x-a\right)\left(x-b\right)=0$(xa)(xb)=0 

har lösningarna $ \begin{cases} x_1=a\\ x_2 =b\end{cases} $

Kvadratrotsmetoden

En andragradsekvation med andragradsterm och konstantterm, men ingen förstagradsterm, kan lösas med kvadratrotsmetoden.

 $x^2-a=0$x2a=0 

har lösningarna $ \begin{cases} x_1=\sqrt a\\ x_2 =-\sqrt a\end{cases} $

Grafisk lösning

Läs av ekvationens nollställen.

Andragradsekvationens grafiska lösningar

Exempel i videon

  • Lös ekvationen $ x^3 = 27 $.
  • Lös ekvationen $ x^3+x^2=0$.
  • Lös ekvationen $ x^3-8x^2+7x=0 $.
  • Lös ekvationen $ x^3-8x^2+7x=0 $ grafiskt.

Kommentarer

  1. Hur gör man när man ska bestämma extrempunkter och avgöra om de är lokala maximi eller minimipunkter?
    f(x)= x upphöjt till 2 + 5 ?
    är det pq-formeln här också ? blir helt förvirrad.

    nti_ma3
    1. Hej, nej det är oftast med hjälp av derivata som du avgör sådana saker. Jag rekommenderar att du kikar igenom genomgångarna om derivata och vad derivatan säger om kurvan/grafen.

      Simon Rybrand
  2. Vi är flera stycken som suttit flera timmar idag med denna uppgiften men kommer ingenstans..
    hur räknar man denna ekvation då det är så få termer ?

    nti_ma3
    1. Hej, vilken tredjegradsekvation avses? Är det någon i testet här ovan?

      Simon Rybrand
  3. Hej!
    Nej jag är på samma uppgift som tidigare,
    Hur gör man när man ska bestämma extrempunkter och avgöra om de är lokala maximi eller minimipunkter?
    f(x)= x upphöjt till 2 + 5 ?
    Vi har suttit i timmar utan något resultat.
    När ska man derivera och när är det pq-formeln ?

    nti_ma3
    1. Hej
      Det är alltså $ f(x) = x^2 + 5 $ och dess extrempunkter?
      Detta är ju en andragradsfunktion och de har antingen en maxpunkt eller en minimipunkt. Då vi har en positiv $ x^2 $ term så har vi en minimipunkt då denna kurva alltid är böjd som en positiv mun 🙂

      Beräkningen för den uppgiften kan se ut så här:
      $ f(x) = x^2 + 5 $
      Derivatan blir:
      $ f ’ (x) = 2x $
      Vi tar reda på när derivatan är 0:
      2x = 0
      x = 0

      Dvs vi har en minimipunkt då x = 0 där y värdet är $ y = 0^2 + 5 $ = 5 och denna minimipunkt har alltså koordinaterna:
      (0, 5)

      Jag kan rekommendera genomgången om derivata och grafer för mer teori kring detta.

      Simon Rybrand
  4. Hur gör man om det skulle stå $ x^3−8x^2−9x+6=0 $? då går det inte att bryta ut x ?

    sara
    1. Hej, det blir direkt då en lite svårare ekvation att lösa algebraiskt. Rent tekniskt brukar man göra så att man gissar sig till en lösning för att sedan göra en polynomdivision för att hitta en faktorisering. Detta ingår i Matematik E och hör kanske inte till Matematik 3 eller Matte C.

      Då är det bättre att du gör så att du ritar ut funktionen $ f(x) = x^3−8x^2−9x+6 $ i din grafritande räknare eller i ett grafprogram för att på så vis se när denna är = 0.

      Simon Rybrand
  5. Hur gör man om man om ekvationen ser ut så här
    $ x^3 − 6,5x^2 − 13x + 8 = 0 $ har en rot som är x = 0,5.

    Ella
    1. Ja om man inte vill jobba med polynomdivision (som ingår i Matematik E) så är nog det enklaste att rita ut funktionen
      $ f(x) = x^3 − 6,5x^2 − 13x + 8 $ och se vart grafen skär x – axeln, dvs där y = 0.

      Simon Rybrand
  6. finns det nån kurs du går igenom Binomialsatsen osv ? tex där man utvecklar (3a + 2b)^6

    BotenAnnie
    1. Hej,
      I nuläget har vi inget material på binomialsatsen tyvärr.
      Vi fyller hela tiden på med mer genomgångar så det kommer säkert att komma så småningom.
      Om du vill diskutera saken så starta gärna en forumtråd om just detta.

      Simon Rybrand
  7. hej !
    hur gör man om det står att ekvationen ska lösas exakt och du har en faktor till? Alltså,
    x^3 + x^2 – 10x +8 =0
    här kan jag ju inte bryta ut nåt x väl eftersom jag har + 8 med i slutet?
    mvh

    BotenAnnie
    1. Ja om man inte vill jobba med polynomdivision (som ingår i Matematik E) så är nog det enklaste att rita ut funktionen och se vart grafen skär x – axeln, dvs där y = 0.

      Simon Rybrand
  8. Hej! Jag ska lösa 4x^3-6x^2+x=0 UTAN räknare. Jag förstår att ett x=0.

    Amanda
    1. Denna ekvation kan du faktorisera först:
      $ 4x^3-6x^2+x=0 $
      $ x(4x^2-6x+1)=0 $

      För att få de två andra lösningarna så löser du andragradsekvationen
      $ 4x^2-6x+1 = 0 $
      (använd pq formeln)

      Simon Rybrand
  9. Hej, jag ska Faktorisera x^3+4x^2-19x+14 så långt som möjligt. Det jag får till hjälp är att om uttrycket = 0 så är x = 1 en rot. Jag förstår inte hur jag ska använda tredjegradsekvation i det här uttrycket

    sara94
    1. Hej, kan du posta denna i vårt forum istället? Du hittar det här. Anledningen till det är för att det kan krävas lite mer utrymme för diskussion kring denna uppgift.

      Simon Rybrand
  10. Om jag har en funktion f(x)+6,5=0 där lösningarna enligt grafen är x=-2,3; x=1; x=2,8
    och sen har frågan…
    För funktionen g gäller att g(x)=f(x)+k där k är en positiv konstant.
    För vilka värden på k har ekvatioen g(x) endast en reell lösning?
    Hur ska jag tänka?

    ann.ahlros@ockelbo.se
    1. Lite osäker på frågan här, har du en bild (graf) till frågan? Du skriver funktionen g på ett ställen och ekvationen g(x) på ett annat, det är lite olika saker så jag blir osäker på vad som är frågan där. Kan du gör så att du postar denna fråga i vårt forum här så hjälper jag dig gärna vidare därifrån.

      Simon Rybrand
  11. hej
    jag undrar hur man löser en sådan här ekvation. t^2/3-3t+6=2

    lina43233
    1. Hej
      Kika gärna på genomgången träna mera på andragradsekvationer här. I ditt fall får du först multiplicera varje term i ekvationen med 3 först för att sedan tillämpa exempelvis pq formeln.

      Simon Rybrand
  12. Står x1, x2, x1 som olika svarsalternativ på sista frågan? Knas i HTML? 🙂

    auroralexx
    1. Tyvärr inte knas i HTML 😉 utan här är det den mänskliga faktorn som har skrivit i fel. Det är korrigerat.

      Simon Rybrand
  13. Hej!
    Hur löser man en fjärdegradsekvation? Hittar ej det någonstans. Tex x^4 – x – 1 = 0.

    Kan man använda pq-formeln för en fjärdegradsekvation eller hur ska man räkna ut den? För att använda sig av nollproduktmetoden måste ju en av lösningarna bli 0 och jag hittar ingen sådan lösning i och med att x:et är upphöjt till 4…

    Andrea Olsson
  14. Eller är det inte en reell lösning?

    Andrea Olsson
    1. Hej
      Det finns i det här fallet två reella lösningar och två komplexa. Om du skall hitta de reella lösningarna så är nog en grafisk lösning smidigast. Dvs rita ut funktionen $ f(x)=x^4 – x – 1 $ och läs av när grafen skär x-axeln.

      Simon Rybrand
  15. Övning 8, jag förstår inte förklaringen till lösningen. Jag får rätt svar men jag gör på något annat sätt.. :)/ Kim

    Kim Ödeving
  16. Hej igen, det har blivit fel i svaret på övning 8, det skall vara 2x(x-2)(x+14). Har kollat med min mattelärare också 🙂

    Kim Ödeving

Kommentarer är inaktiverade. Logga in för att felrapportera.

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: