...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Tredjegradsekvationer

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Vad är en tredjegradsekvation?

En ekvation, där största exponent för variabeltermerna är talet tre, kallas för en tredjegradsekvation. Den tillhör polynomekvationerna och är, som avslöjas av namnet, av graden tre.

Tredjegradsekvationen i allmän form

 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ax3+bx2+cx+d=0 

där  $a$a , $b$b , $c$c  och $d$d alla är konstanter.

Så ser du en ekvation, där $x^3$x3 finns med och ingen variabelterm med ett större tal i exponenten, så är det helt enkelt en tredjegradsekvation.

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Lösningar, dubbel- och trippelrötter

En tredjegradsekvation har tre lösningar. Men lösningarna kan sammanfalla, alltså vara identiska, vilket gör att de ser ut som bara en eller två lösningar. De kallas då för en trippel- eller dubbelrot.

tredjegradsekvationens grafiska lösningsalternativ

Viktigt att observera är följande. Det som ser ut att vara en trippelrot grafiskt, kan vara en tredjegradsekvation där en av rötterna är reell och de andra två komplexa. Om ekvationen endast har reella koefficienter är alltid antingen en av lösningarna, eller rötterna som de också kallas, eller alla tre reella lösningar. Vi kan alltså inte ha två reella och en komplex lösning. Ekvationen har då i stället en dubbelrot, alltså reella rötter där två av dem sammanfaller.

Metoder för att lösa tredjegradsekvationer

Det finns tyvärr ingen enkel formel för att lösa tredjegradsekvationer.

Men ofta kan man genom att först faktorisera och sedan använda lösningsmetoder för andragradsekvationen ganska enkelt hitta lösningen ändå.

Exempel 1

Lös ekvationen  $x^3-4x^2-5x=0$x34x25x=0 

Lösning:

Vi har en tredjegradsekvation med tredjegradsterm, andragradsterm och en förstagradsterm , men ingen konstantterm. Vi löser den genom att först faktorisera och sedan lösa med en kombination av nollproduktmetoden och PQ.

 $x^3-4x^2-5x=0$x34x25x=0        Bryt ut $x$x 

 $x(x^2-4x-5)=0$x(x24x5)=0 

Den första lösningen ges av nollproduktmetoden och är $x_1=0$x1=0 

Vi använder pq-formeln för att ta reda på lösningarna som ges från parentesen genom att sätt den lika med noll.

 $x^2-4x-5=0$x24x5=0 

 $x=2\pm\sqrt{4+5}$x=2±4+5 

 $x=2\pm\sqrt{9}$x=2±9 

 $x=2\pm3$x=2±3 

$ \begin{cases} x_2 =5 \\  x_3 = -1  \end{cases} $

Det tre lösningarna är

$ \begin{cases} x_1=0 \\ x_2 =5 \\  x_3 = -1  \end{cases} $

Exempel 2

Lös ekvationen  $2x^3+16=0$2x3+16=0   

Lösning:

Då ekvationen bara har en tredjegradsterm och konstantterm använder vi rotmetoden.

 $4x^3+32=0$4x3+32=0    Dividerar båda leden med $4$4 

 $x^3+8=0$x3+8=0    Subtraherar båda leden med $8$8 

 $x^3=-8$x3=8    Dra tredjeroten ur båda leden

$ \begin{cases} x_1=-2 \\ x_2 =-2 \\  x_3 = -2  \end{cases} $

Denna ekvation har en reell trippelrot. Alltså alla tre lösningarna på ekvationen är  $x=-2$x=2 . 

Man skulle även kunna lösa denna ekvation med två komplexa rötter  $x=1\pm i\sqrt{3}$x=1±i3.

$ \begin{cases} x_1=-2 \\ x_2 =1+i\sqrt3 \\  x_3 =1-i\sqrt3  \end{cases} $

I faktorform skulle den i så fall skrivas som $\left(x+2\right)\left(x+\left(1-i\sqrt{3}\right)\right)\left(x-\left(1-i\sqrt{3}\right)\right)=0$(x+2)(x+(1i3))(x(1i3))=0 Men det behöver vi inte tänka på så mycket i denna kurs.

Exempel 3

Lös ekvationen  $\left(x+1\right)x^2-\left(x+1\right)4=0$(x+1)x2(x+1)4=0   

Lösning:

Vi börjar med att faktorisera VL.

  $\left(x+1\right)x^2-\left(x+1\right)4=0$(x+1)x2(x+1)4=0        Bryt ut  $\left(x+1\right)$(x+1) 

 $\left(x+1\right)\left(x^2-4\right)=0$(x+1)(x24)=0    

Med nollprodukt- och kvadratrotsmetoden kan vi nu ta fram lösningarna.

Den första faktorn ger att  $x=-1$x=1  är en lösning eftersom att

 $\left(x+1\right)=0$(x+1)=0           Subtrahera båda leden med $1$1 

 $x=-1$x=1 

Den andra faktorn ger att  $x=\pm2$x=±2 eftersom att

  $x^2-4=0$x24=0         Addera båda leden med $4$4 

 $x^2=4$x2=4               Dra roten ut båda leden 

 $x=\pm2$x=±2 

Vi får rötterna

$ \begin{cases} x_1=-1 \\ x_2 =2 \\  x_3 = -2  \end{cases} $

Metoder för att lösa andragradsekvationer

Vi repeterar här kort de olika metoderna för att lösa en andragradsekvation.

PQ-formeln

En andragradsekvation med andragradsterm, förstagradsterm och en konstantterm, måste lösas med lösningsformeln. För

 $x^2+px+q=0$x2+px+q=0     

där $p$p är förstagradstermens koefficient och $q$q motsvarar konstanttermen, gäller att

 $x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$x1,2=p2 ±(p2 )2q 

Nollproduktsmetoden

En andragradsekvation med andragradsterm och förstagradsterm, men ingen konstantterm, kan lösas med nollproduktmetoden.

Antar en av faktorerna värdet noll, blir hela produktens resultat noll.

Andragradsekvationen som i faktorform skrivs

 $\left(x-a\right)\left(x-b\right)=0$(xa)(xb)=0 

har lösningarna $ \begin{cases} x_1=a\\ x_2 =b\end{cases} $

Kvadratrotsmetoden

En andragradsekvation med andragradsterm och konstantterm, men ingen förstagradsterm, kan lösas med kvadratrotsmetoden.

 $x^2-a=0$x2a=0 

har lösningarna $ \begin{cases} x_1=\sqrt a\\ x_2 =-\sqrt a\end{cases} $

Grafisk lösning

Läs av ekvationens nollställen.

Andragradsekvationens grafiska lösningar

Exempel i videon

  • Lös ekvationen $ x^3 = 27 $.
  • Lös ekvationen $ x^3+x^2=0$.
  • Lös ekvationen $ x^3-8x^2+7x=0 $.
  • Lös ekvationen $ x^3-8x^2+7x=0 $ grafiskt.

Kommentarer

Kim Ödeving

Hej igen, det har blivit fel i svaret på övning 8, det skall vara 2x(x-2)(x+14). Har kollat med min mattelärare också 🙂

Kim Ödeving

Övning 8, jag förstår inte förklaringen till lösningen. Jag får rätt svar men jag gör på något annat sätt.. :)/ Kim

Andrea Olsson

Eller är det inte en reell lösning?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Det finns i det här fallet två reella lösningar och två komplexa. Om du skall hitta de reella lösningarna så är nog en grafisk lösning smidigast. Dvs rita ut funktionen $ f(x)=x^4 – x – 1 $ och läs av när grafen skär x-axeln.

Andrea Olsson

Hej!
Hur löser man en fjärdegradsekvation? Hittar ej det någonstans. Tex x^4 – x – 1 = 0.

Kan man använda pq-formeln för en fjärdegradsekvation eller hur ska man räkna ut den? För att använda sig av nollproduktmetoden måste ju en av lösningarna bli 0 och jag hittar ingen sådan lösning i och med att x:et är upphöjt till 4…

auroralexx

Står x1, x2, x1 som olika svarsalternativ på sista frågan? Knas i HTML? 🙂

    Simon Rybrand (Moderator)

    Tyvärr inte knas i HTML 😉 utan här är det den mänskliga faktorn som har skrivit i fel. Det är korrigerat.

Amanda

Hej! Jag ska lösa 4x^3-6x^2+x=0 UTAN räknare. Jag förstår att ett x=0.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Denna ekvation kan du faktorisera först:
    $ 4x^3-6x^2+x=0 $
    $ x(4x^2-6x+1)=0 $

    För att få de två andra lösningarna så löser du andragradsekvationen
    $ 4x^2-6x+1 = 0 $
    (använd pq formeln)

BotenAnnie

hej !
hur gör man om det står att ekvationen ska lösas exakt och du har en faktor till? Alltså,
x^3 + x^2 – 10x +8 =0
här kan jag ju inte bryta ut nåt x väl eftersom jag har + 8 med i slutet?
mvh

    Simon Rybrand (Moderator)

    Ja om man inte vill jobba med polynomdivision (som ingår i Matematik E) så är nog det enklaste att rita ut funktionen och se vart grafen skär x – axeln, dvs där y = 0.

BotenAnnie

finns det nån kurs du går igenom Binomialsatsen osv ? tex där man utvecklar (3a + 2b)^6

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej,
    I nuläget har vi inget material på binomialsatsen tyvärr.
    Vi fyller hela tiden på med mer genomgångar så det kommer säkert att komma så småningom.

Ella

Hur gör man om man om ekvationen ser ut så här
$ x^3 − 6,5x^2 − 13x + 8 = 0 $ har en rot som är x = 0,5.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Ja om man inte vill jobba med polynomdivision (som ingår i Matematik E) så är nog det enklaste att rita ut funktionen
    $ f(x) = x^3 − 6,5x^2 − 13x + 8 $ och se vart grafen skär x – axeln, dvs där y = 0.

sara

Hur gör man om det skulle stå $ x^3−8x^2−9x+6=0 $? då går det inte att bryta ut x ?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, det blir direkt då en lite svårare ekvation att lösa algebraiskt. Rent tekniskt brukar man göra så att man gissar sig till en lösning för att sedan göra en polynomdivision för att hitta en faktorisering. Detta ingår i Matematik E och hör kanske inte till Matematik 3 eller Matte C.

    Då är det bättre att du gör så att du ritar ut funktionen $ f(x) = x^3−8x^2−9x+6 $ i din grafritande räknare eller i ett grafprogram för att på så vis se när denna är = 0.

nti_ma3

Hej!
Nej jag är på samma uppgift som tidigare,
Hur gör man när man ska bestämma extrempunkter och avgöra om de är lokala maximi eller minimipunkter?
f(x)= x upphöjt till 2 + 5 ?
Vi har suttit i timmar utan något resultat.
När ska man derivera och när är det pq-formeln ?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Det är alltså $ f(x) = x^2 + 5 $ och dess extrempunkter?
    Detta är ju en andragradsfunktion och de har antingen en maxpunkt eller en minimipunkt. Då vi har en positiv $ x^2 $ term så har vi en minimipunkt då denna kurva alltid är böjd som en positiv mun 🙂

    Beräkningen för den uppgiften kan se ut så här:
    $ f(x) = x^2 + 5 $
    Derivatan blir:
    $ f ’ (x) = 2x $
    Vi tar reda på när derivatan är 0:
    2x = 0
    x = 0

    Dvs vi har en minimipunkt då x = 0 där y värdet är $ y = 0^2 + 5 $ = 5 och denna minimipunkt har alltså koordinaterna:
    (0, 5)

nti_ma3

Vi är flera stycken som suttit flera timmar idag med denna uppgiften men kommer ingenstans..
hur räknar man denna ekvation då det är så få termer ?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, vilken tredjegradsekvation avses? Är det någon i testet här ovan?

nti_ma3

Hur gör man när man ska bestämma extrempunkter och avgöra om de är lokala maximi eller minimipunkter?
f(x)= x upphöjt till 2 + 5 ?
är det pq-formeln här också ? blir helt förvirrad.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, nej det är oftast med hjälp av derivata som du avgör sådana saker. Jag rekommenderar att du kikar igenom genomgångarna om derivata och vad derivatan säger om kurvan/grafen.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (4)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $ x^3 = 8 $

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $ x^3 – 2x^2 = 0 $

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Funktionen $f(x)=x^3-2x^2-x+2$ är ritad i koordinatsystemet nedan.

    Ange lösningen till ekvationen $f(x)=0$

    drawit-diagram-28

    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $ x^3 – 8x^2 – 9x = 0 $

    Rättar...

c-uppgifter (2)

  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen  $2x^3+16=0$2x3+16=0 .

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilken är rötterna till ekvationen $2x^3-50x=0$

    Rättar...

a-uppgifter (2)

  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/2)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K1

    Funktionen $f(x)$ är ritad i koordinatsystemet nedan. Funktionen skär i y-axeln då $y=-16$. Vilken är funktionens formel?

    drawit-diagram-29

    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/2)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R1
    K

    Skriv polynomet $p(x)$p(x) i faktor form.

     $p(x)=2x^3+24x^2-56x$p(x)=2x3+24x256x 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar