...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Tal och Talsystem

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

I den här lektionen går vi igenom begreppet tal och närliggande områden som talsystem, talmängder, olika former av tal och hur olika typer av tal kan ha olika regler. Tanken med genomgången är att den skall ge en helhetsbild över talbegreppet.

Vad är ett tal?

Ett tal är ett sätt att beskriva storheter av olika slag.  Till exempel hur långt något är, hur mycket det väger, vilken volym, vilken hastighet, vilket antal eller vilken temperatur något har. Det är alltså ett sätt att beskriva olika kvantiteter, hur mycket, stort, litet eller långt något är.

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Olika talsystem

Storheter har genom alla tider beskrivits med så kallade talsystem. Talsystemen har varierat över tid. Idag används framförallt det decimala talsystemet när man ska göra matematisk beräkningar. Talsystemet är ett positionssystem, det vill säga siffrans plats i talet är avgörande för des värde, och bygger på basen tio. Det man menar med att ”bygga på basen tio” är att alla tal som finns kan byggas upp med en kombination av olika tiopotenser. Till exempel kan talet $365$365 kan skrivas i så kallad utvecklad form som $3\cdot10^2+6\cdot10^1+5\cdot10^0$3·102+6·101+5·100. Men mer om detta i lektionen om det decimala talsystemet.

Exempel på andra talsystem är det romerska talsystemet som var vida känt och använt under romartiden. Talsystemets tecken är bokstäverna I, V, X, L, C, D och M. Systemet är trubbigt för mer avancerade beräkningar och används sällan idag, men återfinns ibland på gamla byggnader eller möbler för datering eller numrering.

Andra kända talsystem är det binära talsystemet med basen två och det hexadecimala talsystemet med basen sexton som förknippas starkt med datorer. Det binära som grund för alla programmerings ursprung och det hexadecimala exempelvis för att beskriva färger på webben. Dessa talmängder kommer även de att studeras närmre i kommande lektioner.

Olika talmängder

Under historiens gång har matematiken utvecklas och nya upptäckter och behov har medfört att matematiker har organiserat och strukturerat tal i olika grupper för att underlätta och förtydliga sitt arbete med matematiken. Dessa grupperingar kallar man för mängder. Man kan i princip skapa vilka mängder man vill, men några har blivit mer användbara än andra och har därför fått särskilda namn. Här är en bild av några kända talmängder.

tal

Vissa av talen finns med i flera olika grupperingar. Inom mattematiken kan man kalla en mängd tal som även ingår i en annan mängd för delmängder.

Alla tal som tillhör någon av ovanstående delmängder uppfyller olika kriterier som avgör att det tillhör just den mängden. Nu går vi igenom några av de vanligaste talmängderna. Var och en av dessa talmängder har fått en egen bokstav som betecknar dem.

De Naturliga talen $ \mathbf{N} $

Människan har sedan urminnes tider använt sig av de naturliga talen. För att komma ihåg vilka de naturliga talen är, kan man tänka att det är det tal man naturligast börjar jobba med när man börjar räkna, nämligen när man vill räkna hur många gosedjur man har eller hur många dagar det är kvar till lördag. Mängde av alla naturliga tal har fått beteckningen$\mathbf{N}$

Naturligt tal

Alla heltal större eller lika med noll.

$\mathbf{N}=$ { $ 0, \, 1,\, 2,\, 3, \, 4, \, 5, \, …$}

Med ”$…$” menar man i matematiken att talen fortsätter oändligt uppåt eller nedåt. Och tecknet ”{” och ”}” brukar användas för att beteckna en mängd.

Det finns olika åsikter om noll ska ingå i de naturliga talen eller ej. Men i den svenska skolan brukar man alltid räkna med att noll ingår. Det finns oändligt många naturliga tal. Med oändligt många menar man ”hur många som helst”.

Heltal $ \mathbf{Z} $

Tiden går i människans historia och behovet av att kunna hålla koll på om någon är skyldig en uppstår. För att hålla koll på detta börjar man använda sig av negativa tal. De naturliga talen och de negativa hela talen tillsammans utgör mängden heltal. Denna mängd betecknas med ett $ \mathbf{Z}$, från tyskans Zahl

Heltal

Mängden av alla naturliga och negativa heltal.

$ \mathbf{Z}=$ { $ …-2,\, -1,\, 0, \, 1, \, 2…$}

Det finns även oändligt många heltal.

De Rationella talen $ \mathbf{Q} $

När människan blev mer och mer intresserad av att kunna mäta saker mer exakt så börja man intressera sig för andelar av helheten. Då inför man de rationella talen. Dessa tal utgör mängen av alla tal som kan skrivas som en kvot av två heltal. De rationella talen benämns ofta med namnet bråktal och betecknas med bokstaven $Q$.

Rationellt tal

Mängden av alla tal som kan skrivas som en kvot av två heltal $a$ och $b$, där $b≠0$.

$ \mathbf{Q}=$ { alla tal $\frac{a}{b}$, där $a$ och $b$ är hela tal och $b≠0$}

 Det finns även oändligt många rationella tal. Även heltalen är rationella tal. 

Några exempel är $ 2 $, $ \frac23 $, $ -3 $, $ -\frac19 $.

De Irrationella talen

Vissa tal kan inte tecknas som en kvot av två hela tal. Sådana tal kallas för irrationella tal. Ett av dessa tal har du känt till länge, nämligen talet $\pi$π. Några andra tal som du kommer att använda på gymnasiet är talen $\sqrt{2}$2och den naturliga basen $e$e. Gemensamt för dessa tal är att då de är skrivna i decimalform har en oändlig följd av decimaler, som inte består av några periodiska upprepningar. Det finns ingen speciell beteckning för de irrationella talen.

Irrationellt tal

Reella tal som inte är rationella. 

De Reella talen $ \mathbf{R} $

De reella talen är alla de tal som finns på en kontinuerlig tallinje, dvs. på en tallinje utan några avbrott. Det kan alltså vara alltifrån heltal som $1$, $2$ eller $-6$ till tal med en oändlig decimalutveckling, så kallade irrationella tal, som $ \sqrt{2} $ eller talet $ \pi $.

I de reella talen ingår alltså alla ovanstående mängder; de naturliga talen $N$, heltalen $Z$, de rationella talen $Q$ och de irrationella talen eftersom de alla är tal som finns med på en kontinuerlig tallinje.

Reella tal

Varje punkt på en kontinuerlig tallinje motsvarar ett reellt tal.

$ \mathbf{R}=$ { alla tal på tal linjen}

Det finns oändligt många reella tal.

De komplexa talen $ \mathbf{C} $

Med de komplexa talen så utvidgas de reella talen talen så att de innehåller en så kallad imaginär del som betecknas med ett $i$. Här definieras $i^2=-1$ vilket gör att vi faktiskt kan ta roten ur negativa tal och lösa ekvationer som har komplexa rötter. Läs gärna mer om detta här.

Tal på olika former

En storhet kan skrivas på olika former och ändå motsvara samma värde. Man säger att tal kan skrivas på olika former. I kommande lektioner kommer vi att fördjupa oss i några olika vanliga former att skriva talen på och olika räkneregler och egenskaper för talen. Men här nämner vi kort något.

Decimalform

Tal skrivna på en form, med siffror på båda sidor om ett decimaltecknet. 

Siffrorna på båda sidor decimaltecknet utgör tillsammans ett enda tal. Entalet motsvara talet precis till vänster om decimaltecknet. Det är entalet, inte decimaltecknet som är mittpunkten i talet. Åt vänster ökar värdet i varje position tiofalt och åt höger minskar värdet i varje position tiofalt. Om talet är mindre än ett används en nollor som platsmarkering före första gällande siffra i ett tal, t ex i $0,0049$.

I vårt samhälle är användningen av tal i decimalform mycket vanlig. Formen möjliggör många olika beräkningar. En svaghet med decimalsystemet, vars styrka är att uttrycka små delar av en enhet är, att det inte kan uttrycka ett exakt resultatet av vissa divisioner. Exempelvis kan en tredjedel inte skrivas exakt i decimalform, då talet har ett oändligt antal treor efter decimaltecknet. Genom att använda sig av skrivsättet med tre punkter på slutet, så här”$0,333…$”, visar man att treorna upprepas oändligt många gånger.

 Bråkform

Tal skrivna på formen  $\frac{a}{b}$ab ,  där täljaren $a$ och nämnaren$b$ är hela tal och $b≠0$

Precis som vi nämnde tidigare att bråktal är ett annat namn på rationellt tal.  Täljaren visar hur många delar av helheten vi har. Nämnaren visar i hur många delar en hel har delats. 

När täljaren är densamma och nämnaren blir större, det vill säga ju fler delar helheten delas i, desto mindre blir bråkets värde eftersom varje del blir mindre. 

Bråk uttrycker tydligt andelar av en helhet. Ibland behövs bråken för att resultatet av en division ska kunna uttryckas exakt och enkelt. Tillexempel är det omöjligt att skriva exakt en tredjedel utan ett bråk. 

Procentform

Tal skrivna på formen $a\%$a%

Ordet procent kommer från latinets pro centum som betyder ”för varje hundra”. Antalet procent anger just hur många hundradelar av en helhet något utgör. Procentform används ofta när man vill visa statistik eller olika förändringar.

Potensform

Tal skrivna på formen $a^x$ax, där $a$a är en bas och $x$x en exponent. 

Potensform är extra användbar när alla faktorer i en produkt är samma. Alltså när ett tal multipliceras med sig själv upprepade gånger. Mycket stora tal kan då skrivas i en kompakt, lättare greppbar form. Till exempel kan vi skriva talet $1\text{ }000\text{ }000\text{ }000\text{ }000\text{ }000$1 000 000 000 000 000, en biljard, som på potensform som  $10^{15}$1015, vilket är lättare att använda vid beräkningar med mera då det är lätta att missa en nolla eller två annars.

Andra intressanta mängder

Det finns förstås fler intressanta och viktiga grupperingar av tal som kan vara kul att känna till när du läser gymnasiematematik. Nedanför följer en lista några sådana mängder.

  • Negativ tal – Ett reellt tal mindre än noll.
  • Jämt tal – Ett heltal som är delbart med två.
  • Udda tal – Ett heltal som inte är delbart med två.
  • Motsatt tal – Två tal kallas motsatta om de ger summan noll när detta adderas. Exempelvis är $-5$ motsatt tall till $5$ då $5+(-5)=0$.
  • Primtal – Ett tal större än ett och som endast är delbara med sig självt och $1$.
  • Perfekt tal – Ett tal där summan av talest delare är lika med talet. Exempelvis är $6$ perfekt, eftersom att $1,2,3$ är talets delare och $1+2+3=6$.
  • Inverterat tal – Det tal som multiplicerat med ett givet tal ger $1$. Exempelvis är  $\frac{2}{5}$25   det inverterade talet till $\frac{5}{2}$52   eftersom att  $\frac{2}{5}\cdot\frac{5}{2}=$25 ·52 = $1$. 

I kommande lektioner har du möjlighet att fördjupa dig mer kring räkneregler och olika tals egenskaper. Vill du fördjupa dig riktigt mycket, utöver vad gymnasiekurserna kräver kan du med fördel läsa om detta på Wikipedia om tal.

Exempel i videon

  • Exempel på tre olika talsystem.
  • Exempel på olika talmängder.
  • Exempel på tal skrivna i olika former.
  • Exempel på olika räkneregler för olika former av tal.

Kommentarer

Ahmad Safi

Och jag kan inte bråk fprm kan ni hjälpa mig på detta ??

Lorin

Hej!

Jag förstår inte förklaringarna till fråga 7 och 8..

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Jag har utökat förklaringarna till de två uppgifterna och förklarat mer i detalj de olika stegen. Det kan också vara bra att du tittar på hur man dividerar bråktal med varandra då det ligger till grund för att lösa uppgiften.

Outi Frisk

Skulle vi kunna få motsvarande videor för nyanlända, d v s med mycket enkel svensk text?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Vi håller just nu på med att göra ett helt nytt kapitel där vi går igenom mycket grundläggande aritmetik.
    Där kommer även en ny lektion om tal och siffror att finnas med. Vi skall tänka på att svenskan skall vara mycket enkel!

Patrick Barbosa-Rydhult

minus*plus = minus och minus*minus = plus
Man brukar ofta säga att vi har teckenreglerna

minus*plus = minus

och

minus*minus = plus.

Vad man då menar är egentligen att produkten av ett negativt och ett positivt tal är ett negativt tal och att produkten av två negativa tal är ett positivt tal

minus*plus = minus och minus*minus = plus

eller

minus*plus = minus

och

minus*minus = plus.

Samir

Man brukar säga att om man kan skriva ett tal på bårkform, till exempel då 25/5 så är det ett rationellt tal. Men det är väl inte det som gör det till ett rationellt tal? För det ”rationella” handlar om tal som sitter mellan två heltal på en tallinje, alltså bråkdelar av heltal.

Det är väl därifrån ”äkta” och ”oäkta” (eller egentligt vs. oegentligt) bråk kommer från. För det finns tal som man försöker skönmåla som ”rationella”. Ett sånt tal är just 25/5. Formen är bråkform, men talet är mängden eller kvantiteten, och den mängden är i det här fallet 5, för 5 gånger 5 är 25.

Men 11/12 är dels ett äkta bråk, dels ett rationellt tal (för den mängd det beskriver), dels är det skrivet på bråkform (för det finns ingen annan form för äkta, rationella tal än just bråkform, dvs. det är ”förkortat så långt som möjligt”).

    Simon Rybrand (Moderator)

    Äkta eller egentliga bråk är bråktal där nämnaren är större än täljaren. Bråktal där täljaren är större än nämnaren kallas för oegentliga eller oäkta och kan skrivas om på blandad form.
    Så det är inte riktigt så som du skriver, tänk på att de rationella talen också omfattar de hela talen så även talet 5 omfattas av de rationella talen.

      Samir

      Tack! Jag tar tillbaka det jag skrev om att oäkta bråk inte är rationella. Jag glömde bort att heltalen ingår i de rationella. Det jag sa tidigare kan man skriva om på följande sätt. ”Äkta bråk kan endast skrivas i bråkform.” Men det i sig är inte ett argument för att oäkta bråk inte skulle vara rationella. Nu föll det på plats.

Samir

Använder man aldrig obelus (÷) som symbol för division i svensk skola? Det är väl inte helt rätt att använda bråkstrecket som symbol för division? För när man sedan börjar förklara talmängder och man kommer till rationella tal så tänker nog många att ”det är samma” som division. Jag skulle säga så här. Äkta bråk är rationella tal, men falska bråk är endast heltal, de är ej rationella. Till exempel är 25/5 ett heltal, men 11/12 är ett rationellt tal (för att det är ett äkta bråk). Hur tänker ni kring det?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Håller med dig att symbolen ÷ på många vis är bättre att beteckna operationen division med. Detta för att, precis som du skriver, undvika att blanda ihop det med bråktal/rationella tal. Som det är idag i svensk skola så används samma symbol för att beteckna två olika saker. Detta ställer ibland till det och det finns en diskussion kring detta i den matematiska didaktiken.
    Ett liknande område är hur vi betecknar negativa tal. Idag så betecknas det ofta på samma vis som operationen minus. Här försöker vi alltid att skriva negativa tal inom parentes för att särskilja detta. Ex 3-(-3)

      Samir

      Förutom division, vad kan man mer använda obelus symbolen till? Tittar man på någon engelskspråkig webbsida så är det uteslutande den symbolen man använder för division. När det kommer till multiplikation så blir det genast ”konstigt” när man användar ett litet X, så kallade ”St. Andrew” korset. Det använder man i tidig matematik, sedan byter man ut det mot bråkstreck för division och punkt för multiplikation när man kommer till algebra.

      Samir

      Just minus och minus brukade jag blanda ihop. Det ena är minus ”på ett sätt” och det andra är minus ”på ett annat sätt”. Det kan alltså betyda två olika saker, dels operaitonen subtraktion och dels att ett tal är negativt. Det är inte riktigt samma sak, även om man kan visa att det finns vissa samband mellan addition och subtraktion av negativa tal. Men det går inte att finta bort det som ”det är samma sak” med det argumentet. Ni gör rätt i att sätta ut parenteser kring negativa tal, alltid, även vid addition och subtraktion.

        Simon Rybrand (Moderator)

        Jag har gett förslag på att negativa tal istället skulle betecknas på följande vis:
        Negativa talet 3 = $3^{-}$
        Kan dock bli svårt att få med sig hela matematiksverige på detta 😉
        Detta är en mycket intressant diskussion och nog något som många som pluggar matematik kan vara förvirrande.

Ida Larsson

4 rätt…. känner mig ”JÄTTE” taggad inför nationella…..

Umumazin

Hej! det blir bra om ni skulle lägga flera övningar då kan man träna mer

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Vi jobbar på det hela tiden så att det fylls på med mer övningar. Tack för att du kommenterade detta så att vi vet att det finns behov av ännu fler!

nti_ma1

lyckades med fyra rätt

    Viktoria Kasho

    8/8 rätt på första försöket, riktigt bra teori + uppgifter här!


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (15)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Skriv  $73\%$73% i decimalform.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Skriv $\frac{1}{2}$12  i procentform.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Skriv fyra tusendelar i decimalform.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilken siffra är exponenten i potensen $10^4$104 ?

    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Hur skrivs talet $5\cdot5\cdot5$5·5·5 i potensform?

    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilket av talen nedan motsvarar hundratalet i talet $7896$7896 ?

    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilket tal skrivs i utvecklad form som $2\cdot10^2+9\cdot10^1+1\cdot10^0$2·102+9·101+1·100 ?

    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilket tal skrivs i utvecklad form som $4\cdot10^2+3\cdot10^1+7\cdot10^0$4·102+3·101+7·100 ?

    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilket alternativ motsvarar talet $352$352 i utvecklad form?

    Rättar...
  • 10. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna $499\cdot500+301\cdot500+200\cdot500$499·500+301·500+200·500 utan räknare.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 11. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilket av följande tal är ett naturligt tal?

           $-2$2         $7052$7052             $\frac{1}{3}$13                $\pi$π 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 12. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilket av följande alternativ beskriver bäst talmängden Reella tal?

    Rättar...
  • 13. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilken talmängd tillhör $\frac{9}{11}$911  ?

    Rättar...
  • 14. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilken av talmängderna nedan innehåller inte  talet $-4$4 ?

    Rättar...
  • 15. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilken talmängd tillhör $3,62$3,62 ?

    Rättar...

c-uppgifter (1)

  • 16. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vad blir resultatet om summan av de rationella talen $\frac{1}{3}$13   och  $\frac{2}{3}$23  divideras med summan av de rationella talen $\frac{1}{4}$14   och $\frac{1}{4}$14  ?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar