...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Talet e och den naturliga logaritmen ln

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

I den här lektionen lär du dig att förstå talet e ≈ 2,72 och den naturliga logaritmen ln. Du lär dig även att lösa exponentialekvationer med den naturliga logaritmen.

Talet e

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Talet $e$e är ett irrationellt tal  och har därmed oändligt antalet decimaler. Närmevärdet med sju decimaler är

 $e\approx2,7182818$e2,7182818 

Talet $e$e definieras som gränsvärdet

$ \lim\limits_{n \to ∞} $ $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$(1+1n )n 

Talet $e$e har egenskaper som gör det enklare att derivera exponentialfunktioner. Där av det stora intresset för talet!

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Varför är e intressant?

När man under $1700$1700 -talet intresserade sig för derivatan för olika funktioner, växte intresset för om det fanns någon funktion som var identisk med sin derivata fram. Efter studier visade det sig att funktionen  $y\approx2,7182818^x$y2,7182818x var en sådan funktion. Denna bas blev då så intressant att den tilldelas namnet Eulers tal, eller Nepers tal, och fick en egen beteckning, $e$e.

Talet e - Eulers tal

Talet $e$e kan liknas vid exempelvis talet $\pi$π. Precis som $\pi$π representerar den konstant som motsvarar förhållande mellan omkretsen och diametern i en cirkel, kan talet $e$e beskrivas som den konstant som utgör basen för den naturliga logaritmen$\ln$ln.

Härledning av talet e

Med hjälp av derivatans definition kan vi teckna derivatan för exponentialfunktionen  $f\left(x\right)=a^x$ƒ (x)=ax  som

 $f'(x)=$ƒ ’(x)= $ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=$ƒ (x+h)ƒ (x)h =$ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{a^{x+h}-a^x}{h}$ax+haxh  

Genom att nu förenkla uttrycket kan vi skriva  

 $f’\left(x\right)=$ƒ (x)=$ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=$ax+haxh =  $ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{a^x\cdot a^h-a^x}{h}=$ax·ahaxh =   $ \lim\limits_{h \to 0}$  $a^x\cdot$ax· $\frac{a^h-1}{h}$ah1h  

Eftersom att den första faktorn, $a^x$ax, inte påverkas av $h$h, kan vi skriva  $f’\left(x\right)=$ƒ (x)= $a^x\cdot$ax· $k$k

där  $k=$k= $ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{a^h-1}{h}$ah1h   

Genom att göra numeriska beräkningar, alltså sätta in mindre och mindre värden för $h$h i kvoten, kan vi bestämma att

k= $ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{1^h-1}{h}$1h1h  $=0$=0    vilket ger derivatan  $f’\left(x\right)=$ƒ (x)=$1^x\cdot0=0$1x·0=0

k= $ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{2^h-1}{h}$2h1h  $\approx0,69$0,69   vilket ger derivatan $f’\left(x\right)=$ƒ (x)= $2^x\cdot0,69$2x·0,69 

k= $ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{3^h-1}{h}$3h1h  $\approx1,10$1,10     vilket ger derivatan $f’\left(x\right)=$ƒ (x)= $3^x\cdot1,10$3x·1,10 

k= $ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{4^h-1}{h}$4h1h  $\approx1,39$1,39     vilket ger derivatan $f’\left(x\right)=$ƒ (x)= $4^x\cdot1,39$4x·1,39 

Vi söker nu den basen  $a$a som ger att konstanten $k=1$k=1. Alltså det värde på  $k=$k= $ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{a^h-1}{h}=1$ah1h =1.

Genom att studera beräkningarna ovan kan vi se att den basen måste finnas i intervallet $2<$2< $a<3$a<3, eftersom att $k=0,69$k=0,69  när  $a=2$a=2 och  $k=1,10$k=1,10 när  $a=3$a=3.

Genom upprepade beräkningar kan man finna att det värde på basen som ger att $k=$k= $ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{a^h-1}{h}=1$ah1h =1 är $2,718\text{ }281\text{ }828\text{ }459…$2,718 281 828 459… 

Varför är nu detta intressant?

Jo, för att när $k=$k= $ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{a^h-1}{h}=1$ah1h =1 får vi att derivatan för basen  $f’\left(x\right)=$ƒ (x)=$a^x\cdot$ax· $k=a^x\cdot1=a^x$k=ax·1=ax vilket i sin tur innebär att för denna bas gäller att  $f\left(x\right)=f’\left(x\right)$ƒ (x)=ƒ (x).

Funktionen och dess derivata är alltså två identiska funktioner. Det gör att du kan bestämma både derivatan och funktionsvärdet på samma gång.

Denna bas,  $a=2,718\text{ }281\text{ }828\text{ }459…$a=2,718 281 828 459… har ett eget namn. Eulers eller Nepers tal, och betecknas alltså $e$e.

Eftersom att $ \lim\limits_{h \to 0}$   $\frac{e^h-1}{h}=1$eh1h =1  kan vi för små värde på  $h$h göra omskrivningen 

 $e^h-1\approx h$eh1h 

 $e^h\approx1+h$eh1+h 

 $e\approx\left(1+h\right)^{\frac{1}{h}}$e(1+h)1h  

Sätter vi  $\frac{1}{h}=n$1h =n kan vi nu skriva att

 $e=$e= $ \lim\limits_{n \to ∞} $ $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$(1+1n )n 

Den naturliga logaritmen 

När vi lärde oss att lösa exponentialekvationer algebraiskt lärde vi oss tiologaritmen $\lg$lg. Men hjälp av logaritmen kunde vi skriva om uttrycket så att variabeln hamnar i basen i stället för i exponenten.

I denna kurs introducerar vi en logaritm som kommer bli väldig användbar när vi deriverar exponentialfunktioner. Denna logaritm kallas för den naturliga logaritmen och betecknas med $ln$ln.

Logaritmer -förklaring

Den naturliga logaritmen har basen $e$e och$e$och  $e^{\ln x}=x$elnx=x gäller för alla $x>0$x>0. 

Logaritmen med basen $e$e kan skrivas som  $\log_e$loge . Men eftersom att att den, precis som tiologaritmen, är väldigt användbar har den getts en egen beteckning, nämligen $\ln$ln

Den naturliga logaritmen

Talet $x$x är det tal som basen $e$e ska upphöjas till för att svaret ska bli talet $b$b.

 $e^x=b$ex=b     ⇒      $x=\ln b$x=lnb 

Denna logaritm kommer till stor användning, när man löser ekvationer eller deriverar exponentiella uttryck med basen $e$e.

Exponentialekvationer med basen e

Nedan följer exempel på hur den naturliga logaritmen kan användas vid arbetet med exponentialekvationer med basen  $e$e .

Exempel 1

Lös ekvationen  $10e^x=4$10ex=4.

Ange ett exakt svar.

Lösning:

 $10e^x=4$10ex=4      Dividera båda leden med  $10$10 

 $e^x=0,4$ex=0,4        Logaritmera båda sidor med dem naturliga logaritmen

 $\ln e^x=\ln0,4$lnex=ln0,4      Skriv om med logaritmlagen $\text{lg }x\text{ }^p=p\cdot\text{lg }x$lg x p=p·lg x 

 $x\cdot\ln e=\ln0,4$x·lne=ln0,4            Använd kunskapen att  $\ln e=1$lne=1 

 $x=\ln0,4$x=ln0,4 

När vi svarar exakt låter vi  $\ln$ln vara kvar i svaret eftersom att $\ln0,4=-0,916…$ln0,4=0,916… med en mängd decimaler, vilket inte är ett exakt värde. 

Vi skulle lika gärna kunna lösa uppgiften med tio-logaritmen. Men då missar vi tjusningen med att enkelt i huvudet kunna beräkna  $\ln e=1$lne=1

Exempel 2

Skriv om talet $7$7 på basen $e$e .

Lösning:

Eftersom att $\ln$ln mycket omatematiskt sagt påverkar talet $7$7 på det vis att det ”neutraliserar” basen $e$e får vi att

 $7=e^{\ln7}$7=eln7 

Vi undrar ju: Vilket tal $x$x är det tal som basen $e$e ska upphöjas till för att svaret ska bli talet $7$7 ?

 $e^x=7$ex=7   ⇒      $x=\ln7$x=ln7 

Svaret blir: Talet $\ln7$ln7 är det tal som basen $e$e ska upphöjas till för att svaret ska bli talet $7$7 .

 $e^{\ln7}=7$eln7=7 

Omatematiskt kan vi tänka som att talet $e$e och naturliga logaritmen $\ln$ln  ”påverkar/motverkar/tar ut varandra” så att

  $\ln e^x=x$lnex=x   – talet i exponenten ”faller ner” på marknivå 

 $x=e^{\ln x}$x=elnx   –  puttar upp $x$x:et i exponenten

Exempel i videon

  • Förklaring av innebörden av $ ln 2$ och $ ln e $.
  • Beräkna $ ln e $.
  • Beräkna $ ln 2 $.
  • Lös ekvationen $ e^x=7 $.
  • Lös ekvationen $ 3 \cdot e^x=9 $

Kommentarer

Sebastian Sollerman

Hej,

Fattar inte riktigt varför svaret blir -3 i fråga 7,

Har fått för mig att man ska ställa upp det på följande sätt (tänker enbart på höger led här):
e^0 = lne * 0 = 1 * 0 = 0
Men det kanske inte alls är så den formeln funkar? Eller är det ett special fall när exponenten är noll?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Det är speciellt då exponenten är noll då vi har potenslagen
    $a^0=1$

Alexandra Trudel

Hej,
I uppgift 7 får man fel om man skriver enbart svaret. Man har ju aldrig behövt skriva ut x= på de andra ekvationerna man löser så borde vara samma här?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Vi ordnar det, tack för att du sade till!

Henning Wennberg

Hej, har fastnat på en uppgift helt. Har svårt för talet e och naturliga logaritmen samt Derivatan av a^x.
Antalet råttor R(t) på en soptipp kan beräknas med formeln R(t)=390 * e^0,09x

, där t = antalet månader från en given tidpunkt.
a) Hur många råttor fanns det från början?
b) Beräkna R'(3) och förklara med ord vad det betyder.
c) När ökar antalet råttor med 900 st/månad?


    Simon Rybrand (Moderator)

    a) Beräkna R(0)
    b) Betyder ökning/minskning av antalet råttor per månad efter 2 månader. Derivera först och beräkna sedan R´(3).
    c) Sätt $R´(x)=900$ och lös ekvationen.
    Hoppas att detta hjälper dig vidare!

Anika Hossain

Bara en synpunkt men tycker ni borde ha en video som tillägnar ämnet att skriva om
ex.talet: Derivera y = 2^3x genom att skriva om med basen e.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Skall ta med detta i framtida planering, dvs en video om att skriva om exponentialfunktioner så att de stå på basen e.

Iwona

Hej
Jag undrar om man kan beräkna ekvation f(-1) = 10lnx – x^2 + 8x på det sättet:
f(-1) = 10ln(-1)-(-1)^2 +8*(-1) där 10ln(-1) är odefinierad och det ger: f(-1) = -(-1)^2 +8*(-1)

Hälsningar

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Det du skall göra där är ju att sätta in $ x=-1 $ i funktionen och beräkna funktionsvärdet. Så det ser ut som att du är på väg åt rätt håll i grundtanken. Dock är $ln(-1)$ inte odefinierat.

Elna Cornelia Karlsson

Hej, skulle gärna vilja har lite hjälp med följande uppgift…

(eˣ)²+5eˣ=14

Tack på förhand!

/Cornelia

    Simon Rybrand (Moderator)

    $(e^x)^2+5e^x=14$
    Sätt $e^x=t$
    $t^2+5t=14$
    $t^2+5t-14=0$
    $t_1=2$
    $t_2=-7$ (kan ej vara en lösning då $e^x$ alltid är positivt.
    Alltså har du att
    $ e^x=2 $
    och att $x=ln2$

Joel Håkansson

om jag ska lösa ekvationen lnx – ln(x-1) = 1
och skriver om det till e^x – e^(x-1) = e^0
för att få x fritt måste jag väl dela allt på vl med e? eller är det parantesen jag borde flytta över? så det blir x = e^0/(x-1) ?

förvandlar jag fel?
potensreglerna gäller väl inte vid – ?
/joel

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Hade nog inte gjort om det på det vis som du skriver. Hade nog löst ekvationen på följande vis.
    Börja med att tillämpa logaritmlagen $ lnA-lnB=ln(A/B) $ i VL.
    $ln(\frac{x}{x-1})=1$
    Nu skriver vi bägge leden med basen e (”avlogaritmerar”)
    $\frac{x}{x-1}=e^1⇔$
    $\frac{x}{x-1}=e$
    Multiplicera med $(x-1)$
    $x=ex-e⇔$
    $ex-x=e$
    Bryt ut x i VL
    $x(e-1)=e⇔$
    $x=\frac{e}{e-1}$

Caroline

Har stött på ett problem.
I mattebok 3bc – VUX;

Vad är det för skillnad på uppgift 2423 och 2428?

Såhär ser det ut:
Uppgift 2423.
”Lös ekvationen. Svara dels exakt, dels med ett närmevärde med tre deicmaler”.
a) 10^x = 15
b) e^x = 15
c) 4 * 10^x = 28
Osv..
Jag förstår att man deriverar med 4 på uppgift c).
Dock till problemet..
Här ska man tydligen räkna ut på detta viset:
10^x = 15
x * (lg10) = lg 15
x = lg 15 = 1,176

Medans uppgift 2328 ser ut såhär:
”Lös ekvationen 2^x = 5, exakt och med närmevärde med tre decimaler, med hjälp av
a) 10-logaritmer
b) naturliga logaritmer
c) Jämför dina svar och kommentera resultatet.

Men då ska plötsligt räkna ut på detta sätt:
2^x = 5
x * (log 2) = log 5
x = log 5/log 2 = 2,322

Varför deriverar jag i uppgift 2428 men inte uppgift 2423?
Det är ju enda skillnaden, alla svar stämmer i facit också. :/
Sen undrar jag varför man deriverar log 5/log 2 och inte log 2/log 5 istället?

Tack på förhand!
/Carro

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Carro
    Du skriver att du skall derivera, det behöver du inte göra (oftast inte i alla fall) göra när du löser så kallade exponentialekvationer som är ekvationer där den okända variabeln befinner sig i exponenten.
    Jag tror att du tycker att metoderna ser olika ut på de bägge uppgifterna för att tiologaritmen av talet 10 är lite speciell. Det är nämligen så att $ lg(10) = 1 $ då det tal man upphöjer 10 med för att få 10 är just 1.
    Så när du har $ 10^x = 15 $ så får du:
    $ lg(10)^x = lg(15) $
    $ xlg(10) = lg(15) $
    Här är alltså lg(10) = 1 så du kan direkt skriva det som
    $ x*1 = lg(15) $
    $ x = lg(15) $
    Hoppas att detta reder ut din fråga!

Sara Hagberg

Hej! Jättebra videos, jag lär mig massor av dessa!
Jgag inte tycker mig hitta svaret på denna fråga någonstans dock:
Bestäm f ’(0) algebraiskt då f(x)= ex – e-x. Tack!

    Sara Hagberg

    Oj, nu blev det fel. Bestäm f ’(0) algebraiskt då f(x)= e^x – e^-x skulle det vara.

      Simon Rybrand (Moderator)

      Här gör du först så att du deriverar och då får du
      $ f'(x) = e^x – (-e^{-x}) = e^x+e^{-x} $
      Sedan sätter du in x = 0 i derivatan och får
      $f'(0)=e^0+e^{0}$
      Potensregeln $a^0=1$ ger att
      $ f´(0) = 1+1 = 2 $

BotenAnnie

alltså, till frågan ovan. e försvann och ln var inte med …

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, Det man kan göra är att använda potensregeln $ a^{-b}=\frac{1}{a^b} $ och skriva om uttrycket enligt:
    $\left(e^{-0,0007x}\right)^2 = e^{-0,0014x}=\frac{1}{e^{0,0014x}}$

    Vart x försvinner i din uträkning vet jag inte, har du ett värde på x?

BotenAnnie

hej Simon !
kan du förklara varför
(e ^-0,0007x )^2 = 1 / 0,0014
jag är med på att regeln för exp är man kan gångra 7 * 2 = 14 men varför 1 genom 0,0014?

qwert

Hej

För funktionen f(x) = e^2x gäller att f(1,1) =9

a) Bestäm ett nämnevärde till f'(1,1)
f(x) =e^2x
f'(x) = 2e^2x
f'(1,1) = 2e^2×1,1 = cirka 18
Stämmer detta?

Dock har jag inte riktigt förstått hur jag ska redovisa b)
b) Visa att f'(3,3) = 2 x 9^3

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, a) verkar ju stämma bra. Fattas det information i b). En snabb överslagsräkning ger att
    $ f´(3,3) = 1470,19…$
    och
    $ 2\cdot9^3 = 1458 $

      qwert

      Tack så mycket, kanon! Det är all information, dock ska det inte vara ett = utan det ska vara cirka. Jag tänkte lika dant, dock skulle b) vara en uppgift som skulle visa A-kvalité och det var därför jag inte visste riktigt om något mer skulle redovisas.

qwert

Hej!
Jag har kört fast på ett problem. Jag ska bestämma var funktionen har en inflextionspunkt. Ska jag räkna ut f”(x) och sätta det ekvivalent med 0?

f(x)=e^2x-2e^x

    Simon Rybrand (Moderator)

    Ja det stämmer, du söker där andraderivatan är lika med 0. Där konkaviteten går från – till + eller vice versa.

nti_ma3

Jag skulle vilja se en introduktionsvideo som behandlar talet e, i detta klipp hoppar man direkt in och jag har svårt att förstå..

Marcus

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, bra förslag! Vi skall planera in detta under de närmaste veckornas videoutveckling!

nti_ma3

Hej! Har fastnat på en uppgift från Origo 3c boken som lyder;

Bestäm derivatan m.h.a. deriveringsreglerna för;

f(x)=7e^2x-7^2x.

Jag gjorde så att jag deriverade term för term enligt deras egna regler för att sedan sätta ihop de i slutet.

Mitt svar blir att; f'(x)=14e^2x – 7^2x * ln 7 * 2

Men i bokens facit så står det att; f'(x)=14e^2x + 2 * ln 7 * 7^2x.

Varför blir facitsvaret positivt för både 7^2x och konstanten 2?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, Jag kan inte se att det skall vara positivt där utan det bör fortfarande vara en subtraktion.

      nti_ma3

      Så är mitt svar rätt? =) Eller hur hade du gjort? Tack för snabb respons!

jenca

Hej, tack för en bra sida. Kan inte öppna ”Deriveringsregler polynom”, Internet explorer slutar fungera varje gång. Fungerar det för andra eller ska jag ladda ner en annan webbläsare?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, vi testade i firefox, IE, safari och chrome och där fungerar det. Ett tips kan vara att testa chrome eller firefox och se om det fungerar där. Ibland kan det strula pga någon inställning i webbläsaren. Hör annars av dig till vår support så tar vi det därifrån!

annas

Har kört fast med detta tal så nu behöver jag hjälp!
Lös ekvationen f'(x)=0 om f(x)=e^2x-e^x

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, här deriverar du först och sedan får du lösa ekvationen f'(x) = 0.

    $ f'(x) = 2e^(2x)-e^x $
    $ f'(x) = 0 ⇔ $
    $ 2e^{2x}-e^x = 0 ⇔$ (+e^x)
    $ 2e^{2x}= e^x ⇔$ (logaritmera)
    $ ln(2e^{2x})= lne^x ⇔$ (logaritmlag i VL)
    $ ln2 + lne^{2x}= lne^x ⇔$ (logaritmlag i VL och HL)
    $ ln2 + 2x⋅lne= x⋅lne ⇔$ (lne=1)
    $ ln2 + 2x= x ⇔$
    $ x = -ln2 $

darrrrUC

Hej, strålande lektion! Efter dessa sidor om lne i ma3c boken så kommer det ”derivatan av Y = 2^x” finns detta på genomgång på video här någonstans?

mvh,
Emil

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, kika på
    Deriveringsregler för exponentialfunktioner

BotenAnnie

skulle du kunna göra en video med exempel på hur man anv logaritmlagarna? vi måste kunna dom utantill

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej! På vilket sätt tänker du användning av logaritmlagarna? I problemlösning eller att skriva om lite krångligare uttryck med hjälp av lagarna?

nti_ma3

Jag vill bara säga tack så jättemycket för dina videos! Dom är guld värda! Man läser igenom förklaring och exempel i boken 5 gånger utan att fatta något, sen kollar man dina videos EN gång och då förstår man plötsligt allt som står i boken! Tack

    Simon Rybrand (Moderator)

    Härligt att läsa att du blir hjälpt av våra genomgångar, fortsatt lycka till med pluggandet!

nti_ma3

Hur gör jag med ett tal som t.ex detta:

ln(x) – ln(x-1) = 1.

Jag har förstått processen med logaritmlagarna vilket ger:

ln(x/x-1) = 1 -> x/x-1 = e^1. Men hur går jag vidare här?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Du har alltså kommit till ekvationen
    $ \frac{x}{x-1} = e $
    Vi skulle här kunna lösa ut x enligt:
    $ \frac{x}{x-1} = e ⇔ $
    $ x = e(x-1) ⇔ $
    $ x = ex-e ⇔ $
    $ x – ex = -e ⇔ $
    $ x(1 – e) = -e ⇔ $
    $ x = \frac{-e}{(1 – e)} $

studying

vad betyder pilarna och dollar-tecknen?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, vi omger matematiska beräkningar och formler på sajten med dollartecken och sedan skall sajten rendera om det till tydligare matematiskt symbolspråk, det skall alltså inte behövas synas dollartecken och pilar men om man exempelvis har javascript avstängt i webbläsaren så kan det hända att detta inte fungerar. Kontakta oss gärna om du har problem med detta.

studying

om nu e är = det tal man tar det upphöjt till, kan ju inte värdet vara 2,718??

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, nej e är just bara ett tal som har en del speciella egenskaper, framförallt i kombination med derivata, utan det är tex talet ln 2 som är det tal man upphöjer e med för att få 2.

davdav112

kan du hjälpa mig med den här uppgiften fattar inte hur jag ska göra

4e^4x = 16

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, du har alltså ekvationen
    $ 4e^{4x} = ⇔16 $ (/4)
    $ e^{4x} = 4 $
    Här kan man sedan logaritmera med ln på bägge sidor av likhetstecknet:
    $ lne^{4x} = ln4 ⇔$ (logaritmlag)
    $ 4x⋅lne = ln4 ⇔$ (ln e = 1)
    $ 4x = ln4 ⇔$ (/4)
    $ x = \frac{ln4}{4} ≈ 0,347 $

nti_ma3

När nu definitionen av ln x är ”det tal man tar e upphöjt till för att få x” så blir ju svaren ganska givna utan mellansteg, eller missförstår jag något? 🙂

    Simon Rybrand (Moderator)

    Nej du har förstått definitionen rätt.

komvux_boras

Är det bara jag som inte kan se videon ”Deriveringsregler Polynom” ? När man försöker öppna den videon fås bara ett felmeddelande.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, vi kikade på detta och kunde få igång videon både i webbläsaren (firefox) och i en mobil webbläsare. Kollar du på genomgången på datorn eller på mobil/läsplatta? Du kan alltid kontakta oss här om du har frågor om tekniken.

      komvux_boras

      Hmm, skumt. Jag kollar i datorn (explorer) och de andra videorna kan jag ju se. men just denna verkar inte stödjas.
      Skulle du kanske kunna tipsa om en liknande videgenomgång?

Luem

Hur löser man ett tal som ser ut såhär då? ln(x-1)=2

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej,
    Du kan använda ln baklänges (invers), dvs $ e^x $ så att du löser ekvationen på följande vis:
    $ ln(x-1)=2 $ (ln invers)
    $ x-1=e^2 $ (+1)
    $ x=e^2+1 $

nordlundkajsa

du säger i videon att ”vi har gått igenom talet e förut” men det är väl inte förklarat i någon av videorna under matte c.. så jag undrar, var finns förklaring?

    Simon Rybrand (Moderator)

    (uppdatering: videon är åtgärdad)
    Hej och tack för din kommentar, nej det finns ingen tydlig video riktad till just talet e. Skall ändra informationen i videon så snart som möjligt för att det inte skall vara missvisande.

    Är det något speciellt du undrar över talet e och hur det fungerar så hjälper jag dig gärna vidare här i kommentarerna så länge.
    /Simon


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (11)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna potensen  $10^{\lg3}$10lg3 utan räknare

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna potensen  $e^{\ln5}$eln5 utan räknare

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna potensen  $e^{\ln0,3}$eln0,3 utan räknare

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna  $8-\ln e$8lne 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna  $2+2\cdot\ln e$2+2·lne 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen  $e^x=1$ex=1 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen  $e^x=4$ex=4 

    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel

    Lös ekvationen $e^{2x} = 20$

    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Talet $2$ kan skrivas om som en potens med basen $10$ på detta vis: $2=10^{lg\,2}$

    Skriv talet $2$ som en potens med basen $e$.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 10. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    För funktionen  $f$ƒ  gäller att  $f(x)=e^x$ƒ (x)=ex.  Vilket av följande påståenden A-E är korrekt?

    A.   $f$ƒ   är en potensfunktion med exponenten  $x$x  där  $x\approx2,718$x2,718 

    B.    $f$ƒ   är en exponentialfunktion med basen  $e$e  där  $e\approx2,718$e2,718 

    C.   $f$ƒ   har en graf som går genom punkten  $(2,718;0)$(2,718;0) 

    D.     $f$ƒ   är avtagande för  $x<0$x<0  och växande för  $x>0$x>0 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 11. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M1
    R
    K

    Ange det värde på $a$a som ger att  $a^x=e^{0,2x}$ax=e0,2x 

    Svara med två decimalers noggrannhet.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...

c-uppgifter (2)

  • 12. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen  $e^{\frac{x}{3}}=12$ex3 =12  utan räknare.

    Svara exakt.

    Rättar...
  • 13. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M1
    R
    K

    Karolina häller upp en kopp kaffe i ett rum där temperaturen är $20$20 °C. Hon mäter kaffets temperatur direkt och därefter varje minut under de första fem minuterna.

    Karolina anpassar sedan en matematisk modell till sina mätvärden: $T(t)=95e^{-0,039t}$T(t)=95e0,039t 
    där $T$T är kaffets temperatur i °C och $t$t är tiden i minuter efter att Karolina startade sin mätning av temperaturen.

    Bestäm med hur många procent temperaturen hos kaffet minskar per minut.

    (NP ht12)

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...

a-uppgifter (2)

  • 14. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/1)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen  $\ln(4+x)=0$ln(4+x)=0  utan räknare.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 15. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/1)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen  $\ln x=\ln10+\ln10+\ln10+\ln10$lnx=ln10+ln10+ln10+ln10  utan räknare.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar