...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Deriveringsregler Exponentialfunktioner

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

I den här lektionen lär du dig att derivera exponentialfunktioner, med hjälp av deriveringsregler. 

Deriveringsregler exponentialfunktioner

I denna kursen är exponenten alltid en linjär funktion, alltså en förstagradsfunktion. Derivatan till alla linjära funktioner är alltid en konstant. Därför brukar man ibland lite slarvigt säga att man ”dividerar med koefficienten i exponenten”. Men det beror alltså på att derivatan av exponenten, när den är linjär, alltid motsvaras av koefficienten i exponenten.

Exponentialfunktioner på basen a

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Om funktionen står skriven på formen  $f(x)=Ca^{kx}$ƒ (x)=Cakx  ges derivatan av:

 $f'(x)=Ca^{kx}\cdot k\cdot\ln a$ƒ ’(x)=Cakx·k·lna 

 $\ln$ln står för den naturliga logaritmen som är logaritmen med basen  $e$e .

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Exponentialfunktioner på basen e

Denna regel blir extra enkel att använda när vi har en exponentialfunktion med basen  $e$e. Detta efter som att  $\ln e=1$lne=1. Vi får då att

 $f'(x)=Ce^{kx}\cdot k\cdot\ln e=Ce^{kx}\cdot k$ƒ ’(x)=Cekx·k·lne=Cekx·k  

Skulle dess utom koefficienten i exponenten  $k$k vara lika med  $1$1 får vi en ännu enklare regel, nämligen att

 $f'(x)=Ce^x\cdot1\cdot\ln e=Ce^x$ƒ ’(x)=Cex·1·lne=Cex.

Alltså denna speciella egenskap att funktionen är identisk med sin derivata. Men observera att detta bara gäller när basen är $e$e och variabeln  $x$x  står ensam i exponenten.

Om funktionen står skriven på basen $e$e enligt $ f(x) = Ce^{kx} $ så ges derivatan av

$ f ’(x) =  C e^{kx}\cdot k $

Viktigt att notera här är att exponenten inte förändras. Det är bara för potensfunktionerna. För exponentialfunktionen förblir exponenten den samma vid derivering.

Exempel 1

Bestäm $f’\left(x\right)$ƒ (x) då  $f(x)=e^{4x}$ƒ (x)=e4x  

Lösning:

Vi använder deriveringsregeln för exponentialfunktioner med basen  $e$e  och deriverar funktionen.

 $f(x)=C\cdot e^{kx}$ƒ (x)=C·ekx  är  $f´(x)=k\cdot C\cdot e^{kx}$ƒ ´(x)=k·C·ekx  

Viktigt att komma ihåg här är alltså att exponenten inte förändras när du deriverar exponentialfunktioner. Vi får att då

 $f(x)=e^{4x}$ƒ (x)=e4x  är  $f´(x)=4e^{4x}$ƒ ´(x)=4e4x  

Exempel 2

Bestäm $f’\left(x\right)$ƒ (x) då  $f(x)=2e^{3x}$ƒ (x)=2e3x  

Lösning:

Vi använder deriveringsregeln för exponentialfunktioner med basen  $e$e  och deriverar funktionen.

 $f(x)=C\cdot e^{kx}$ƒ (x)=C·ekx  är  $f´(x)=k\cdot C\cdot e^{kx}$ƒ ´(x)=k·C·ekx  

Viktigt att komma ihåg här är alltså att exponenten inte förändras när du deriverar exponentialfunktioner. Vi får att då

 $f(x)=2e^{3x}$ƒ (x)=2e3x  är  $f´(x)=6e^{3x}$ƒ ´(x)=6e3x

eftersom att

 $f’\left(x\right)=3\cdot2\cdot e^{3x}=6x^{3x}$ƒ (x)=3·2·e3x=6x3x 

Observera att exponenten förblir oförändrad vid deriveringen.  

Vanligt fel vid derivering av exponentialfunktioner

Det är vanligt att man glömmer bort att det inte är korrekt att multiplicera en bas med en faktor.

 $4\cdot3^2=4\cdot9=36$4·32=4·9=36  

Men

 $4\cdot3^2\ne12^2=144$4·32122=144 

På samma sätt gäller att 

 $f’\left(x\right)=3^x\cdot2\cdot\ln3\ne6^x\cdot\ln3$ƒ (x)=3x·2·ln36x·ln3 

Du får INTE multiplicera basen $a$a med faktorn $k$k eller  $\ln a$lna  i  $f´\left(x\right)=C\cdot a^{kx}\cdot k\cdot\ln a$ƒ ´(x)=C·akx·k·lna . 

Exempel 3

Bestäm $f’\left(x\right)$ƒ (x) då  $f(x)=5^x$ƒ (x)=5x.  Ange ett exakt svar.

Lösning:

Enligt deriveringsregeln för exponentialfunktioner med basen  $a$a  har vi att då

 $f(x)=C\cdot a^{kx}$ƒ (x)=C·akx  är  $f´(x)=C\cdot a^{kx}\cdot k\cdot\ln a$ƒ ´(x)=C·akx·k·lna  

och då  $k=1$k=1  får vi att vår funktions sökta derivata är

 $f´(x)=5^x\cdot1\cdot\ln5=$ƒ ´(x)=5x·1·ln5= $5^x\cdot\ln5$5x·ln5 

 $\ln=1,609…$ln=1,609…  men då vi ska svara exakt behåller vi $\ln5$ln5  i svaret.

Att ange ett exakt svar

När vi deriverar exponentialfunktioner får vi ofta ett svar med  $\ln a$lna. Har basen värdet $e$e beräknar vi  $\ln e=1$lne=1 och förenklar svaret. Men när basen är ett annat tal motsvarar värdet av $\ln a$lna ett långt decimaltal, som kanske dessutom är irrationellt, alltså inte kan skrivas som en kvot av två heltal, då behåller vi det exakta värdet  $\ln a$lna.

När det efterfrågas ett exakt svar behåller vi  $\ln a$lna i svaret om det inte ger ett exakt värde när vi multiplicerar det med $k$k, vilket det väldigt väldigt sällan blir.

Det är först vid tillämpning som ett närmevärde blir intressant att ta fram eftersom att det då ska tolkat till något. I det sammanhanget vill man oftast ha ett närmevärde. Istället för svaret  $3\cdot\ln4$3·ln4 dagar vill man då gärna ha drygt $4$4 dagar.

Exempel 4

Bestäm $f’\left(x\right)$ƒ (x) då $f\left(x\right)=4^{2x}+5x$ƒ (x)=42x+5x .   Ange ett exakt svar.

Lösning:

Man deriverar term för term. Den första termen har variabeln i exponenten och vi använder därför deriveringsregeln för exponentialfunktioner där,

 $f\left(x\right)=Ca^{kx}$ƒ (x)=Cakx      ⇒    $f´\left(x\right)=C\cdot a^{kx}\cdot k\cdot\ln a$ƒ ´(x)=C·akx·k·lna     

medan den andra termen har variabeln i basen och vi använder därför deriveringsregeln för potensfunktioner för den. 

  $f\left(x\right)=kx^n$ƒ (x)=kxn     ⇒     $f´\left(x\right)=n\cdot kx^{n-1}$ƒ ´(x)=n·kxn1 

och får att

 $f\left(x\right)=4^{2x}+5x$ƒ (x)=42x+5x  ⇒    $f'(x)=4^{2x}\cdot2\cdot\ln4-5$ƒ ’(x)=42x·2·ln45 

Då det efterfrågas ett exakt svar behåller vi $\ln4$ln4 eftersom att  $\ln4\approx1,386…$ln41,386… 

Exempel i videon

  • Derivera $ f(x)=2^x $.
  • Derivera $ f(x)=e^{2x} $.
  • Derivera $ f(x)= 6^x$.
  • Derivera $ f(x)= e^{-2x}$.
  • Derivera $ f(x)= 4e^{8x}$.

Kommentarer

Signe

Hej, fråga 6 saknar rätt svarsalternativ. Det som står i förklaringen finns inte som svarsalternativ.

Julia Ojeda Ottosson

Tack så mycket! Nu förstår jag 😀

Julia Ojeda Ottosson

Hej! Har problem med denna uppgift där jag ska bestämma första derivatan till funktionen: f(x)=x^3-6x+4

Förstår verkligen inte 🙁

    Simon Rybrand (Moderator)

    Där använder du deriveringsregler för polynomfunktioner: https://matematikvideo.se/lektioner/deriveringsregler-polynom/. Kika gärna på dem så att du lär dig det. Derivatan är annars: $ f´(x)=3x^2-6 $

Wilfred Cederholm

Hej
Derivatan för f(x)=a^x måste väla vara Df(x)= xa^x-1 ?
Mvh Wilfred

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Nej derivatan för exponentialfunktioner fungerar inte på samma vis som för polynomfunktioner. Här är derivatan istället
    $f'(x) = a^x \cdot ln a$

Caroline

Hej Simon.
I slutet på videon, cirka 03:50 så säger du att
f(x)= 4e^8x blir f'(x)= 8*4e^8x.
Jag undrar varför man inte drar bort en del från exponenten 8? Alltså att svaret bör bli:
f'(x)=8*4e^7x. När man ju annars drar bort.

Sen sitter jag fast på en fråga på ett gammalt nationella; Derivera y = e^4x
Jag vet att svaret blir y’=4e^4x. Men även här, varför drar man inte bort ett från exponenten 4?
Finns det någon annan video för just detta med att derivera e^4x?

Tack på förhand,
/Carro

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Om du kikar på deriveringsregeln för exponentialfunktioner på basen e så är skillnaden mot polynomfunktioner att exponenten inte ändras. Regeln är följande:
    $ f(x) = ke^{ax} $ har derivatan
    $ f ‘(x) = a \cdot k e^{ax} $
    Dvs det är samma exponent $ax$
    Detta bör ju också svara på din andra fråga här, säg till annars så diskuterar vi vidare.

AnnaM.

Hej!
Vad är talet e? Förstår inte. I matteboken står det :

f(x+h) – f(x)/ h= a^x+h – a^x / h = a^x * a^h- 1/h

Vart kom ettan ifrån? Och sen en massa tabeller med gränsvärden och konstanter med decimaler 🙁

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Jag anar att du skall bestämma derivatan av $f(x)=a^x$ med hjälp av derivatans definition som vi kan ställa upp enligt
    $ \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{a^{x+h}-a^x}{h}=\frac{a^xa^h-a^x}{h} $
    Här kan du bryta ut $a^x$ i täljaren så att du får
    $ \frac{a^x(a^h-1)}{h} = a^x \frac{a^h-1}{h} $
    Går det att förstå vad ettan kommer ifrån då? Det är alltså från att vi bryter ut $ a^x $
    Talet $e$ är ett irrationellt tal vars närmevärde är $e≈2,7182818284590452$ och detta tal e är sådant att
    $\lim\limits_{h \to 0} a^x \frac{a^h-1}{h} =a^{x}$.
    Dvs då $ \lim\limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h} = 1 $
    Hoppas att detta hjälper dig vidare med att förstå och fördjupa dig i talet e.

emil saltin

Y=70*0,855^x kan skrivas Y=70*e^kx
Hur bestämmer man talet k med 3 decimaler och visst är funktionen avtagande?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Funktionen är avtagande och ser ut enligt följande:

    Ställ upp ekvationen
    $e^{kx} = 0,855^x ⇔$
    $lne^{kx} = ln0,855^x ⇔$
    $kx = xln0,855 ⇔$
    $k=ln0,855≈-0,157$

Sara Thulesius

Hej,

Tack för kanonbra genomgångar!
Hur bestämmer man en ekvation för tangenten till en funktion, i detta fall f(x)=e^x i tex punkten (1,e)?

Tacksam för hjälp

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Kika in den här genomgången där vi går igenom metoden för detta:
    https://matematikvideo.se/lektioner/derivata-och-tangentens-lutning/

Xiaoting Chen

Hur löser man den här ekvationen e^0.5x=6-0.5x genom att rita graferna till y=e^0.5x och y= 6-0.5x.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Om du ritar ut de bägge funktionerna (i en grafritande räknare, online eller på datorn) så hittar du lösningarna till ekvationen där de bägge funktionernas grafer skär varandra.

EmelieBengtsson

Hej, jag har kört fast med det här att derivera med talet e.
204*e^1,5t

5ex-6e^-3x+e^1x

Hur ska man göra?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej,
    $ y = 204⋅e^{1,5t} $
    Har derivatan
    $ y´ = 1,5⋅204^{1,5t} = 306^{1,5t} $
    Tänk på att exponenten inte förändras när funktionen deriveras.

abfvuxgot

Hej! Har kört fast på detta tal. Derivera 1/e^x och ange svaret utan negativa exponenter?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Du kan använda potensregeln
    $ a^{-b}=\frac{1}{a^b} $
    både när du skriver om funktionen för att derivera och när du anger svaret. Dvs
    $ y = \frac{1}{e^x} = e^{-x} $
    $ y´ = -e^{-x} = \frac{-1}{e^x} $

nti_ma3

vad är derivatan för 3 x^4x=? och 3 4^5x=?

Rayhanny

Hur skulle du derivera detta talet, 3^x+3x

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, där använder du deriveringsregeln för exponentialfunktioner med en annan bas en talet e, nämligen
    $ y = a^x $ har derivatan $ y´ = a^x \cdot lna $
    så du får derivatan $ y’ = 3^xln3 + 3 $

Ahmedgaal

hej!
det är jätte bra förklaring hur du resonerar genomgångarna och jag tackar dig. det enda jag behöver veta är att jag skall göra slutprov på matte och jag köpte matte c och nutiden finns det så kallade matte 3 och hur det blir för mig som köpte denna matte c
ifall frågar jag om det finns skillnad på slutprov matte c förtiden och slutprov matte 3 i nutiden.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, Kul att du gillar genomgången om derivata och exponentialfunktioner. Det är väldigt svårt för oss att svara kring specifika slutprov och hur dessa är utformade. Matematik 3 är ju en helt ny kurs för året och det har ännu inte gått något nationellt prov på detta. Kontakta den skola som anordnar slutprovet för att få mer information.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (7)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M
    R1
    K

    Din vän ska derivera funktionen  $y=5^x$y=5x  och får resultatet

     $y’=x\cdot5^{(x-1)}$y=x·5(x1) 

    Vad tänker du om din väns derivering?

    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Ange derivatan till  $f(x)=e^x$ƒ (x)=ex  

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm derivatan för  $f(x)=3e^x$ƒ (x)=3ex 

    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Ange derivatan till  $f(x)=5e^{2x}$ƒ (x)=5e2x  

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    För funktionen $f$ƒ  gäller att  $f(x)=e^x$ƒ (x)=ex 

    Vilket av följande påståenden A-E är korrekt? 

    A.    $f$ƒ   är en exponentialfunktion med basen  $e$e  där  $e\approx1,718$e1,718 
    B.    $f$ƒ  har en graf som går genom punkten  $(1,0)$(1,0) 
    C.    $f$ƒ  är avtagande för  $x<0$x<0  och växande för  $x>0$x>0 
    D.  
     $f$ƒ  har egenskapen att för alla  $x$x gäller att  $f′(x)=f(x)$ƒ ′(x)=ƒ (x) 
    E.    $f$ƒ  har egenskapen att  $f′(1)=0$ƒ ′(1)=0 

    (NP Ma3vt11)

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilken av derivatorna nedan tillhör funktionen  $f(x)=e^{2x}+e^x$ƒ (x)=e2x+ex ?

    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Derivera  $f(x)=6^x$ƒ (x)=6x 

    Rättar...

c-uppgifter (4)

  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Derivera  $y=7^x+x^7$y=7x+x7 

    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Derivera  $f(x)=3^{2x}-ex$ƒ (x)=32xex  

    Ange ett exakt svar.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 10. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Derivera $y=2^{3x}+2x^3$y=23x+2x3 och välj det alternativ som motsvarar funktionens derivata i förenklad form.

    Rättar...
  • 11. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Derivera  $g(x)=12e^{\frac{x}{2}}+5^x+7$g(x)=12ex2 +5x+7 

    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 12. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/3)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R1
    K1

    Alexandra hävdar att eftersom vi vet att funktionen $f(x)=e^x$ƒ (x)=ex har derivatan $f´(x)=e^x$ƒ ´(x)=ex så vet vi också, med hjälp av derivatans definition, att

    $\lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{e^h-1}{h}=$eh1h =$1$1 

    Vad tänker du om Alexandras slutsats?

    Öva på att skriva din motivering på ett papper. Den kommer krävas för att få poäng på A-nivå.

    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar