Deriveringsregler Exponentialfunktioner - (Ma 3, Ma 4) - Matematikvideo

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 3 BC

Deriveringsregler Exponentialfunktioner

Video

Video, text & övningsfrågor av: Simon Rybrand

I den här videon går vi igenom deriveringsregler för exponentialfunktioner. Vi visar även derivatans graf till den unika basen $e$e och basen kan används för att derivera funktioner.

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM


  • 600+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
PROVA FÖR 9 kr
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.
19 votes, average: 3,68 out of 519 votes, average: 3,68 out of 519 votes, average: 3,68 out of 519 votes, average: 3,68 out of 519 votes, average: 3,68 out of 5
19
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

12
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 10
  • 11
  • 12
MEDELPOÄNG
ALLA
4

Text

Deriveringsregler för exponentialfunktioner

I denna lektion ska vi presentera deriveringsregeln för exponentialfunktioner. 

Deriveringsregler exponentialfunktioner

I denna kursen är exponenten alltid en linjär funktion, alltså en förstagradsfunktion. Derivatan till alla linjära funktioner är alltid en konstant. Därför brukar man ibland lite slarvigt säga att man ”dividerar med koefficienten i exponenten”. Men det beror alltså på att derivatan av exponenten, när den är linjär, alltid motsvaras av koefficienten i exponenten.

Om funktionen står skriven på formen  $f(x)=Ca^{kx}$ƒ (x)=Cakx  ges derivatan av:

 $f'(x)=Ca^{kx}\cdot k\cdot\ln a$ƒ ’(x)=Cakx·k·lna 

 $\ln$ln står för den naturliga logaritmen som är logaritmen med basen  $e$e .

Denna regel blir extra enkel att använda när vi har en exponentialfunktion med basen  $e$e. Detta efter som att  $\ln e=1$lne=1. Vi får då att

 $f'(x)=Ce^{kx}\cdot k\cdot\ln e=Ce^{kx}\cdot k$ƒ ’(x)=Cekx·k·lne=Cekx·k  

Skulle dess utom koefficienten i exponenten  $k$k vara lika med  $1$1 får vi en ännu enklare regel, nämligen att

 $f'(x)=Ce^x\cdot1\cdot\ln e=Ce^x$ƒ ’(x)=Cex·1·lne=Cex.

Alltså denna speciella egenskap att funktionen är identisk med sin derivata. Men observera att detta bara gäller när basen är $e$e och variabeln  $x$x  står ensam i exponenten.

Om funktionen står skriven på basen $e$e enligt $ f(x) = Ce^{kx} $ så ges derivatan av

$ f ’(x) =  C e^{kx}\cdot k $

Viktigt att notera här är att exponenten inte förändras. Det är bara för potensfunktionerna. För exponentialfunktionen förblir exponenten den samma vid derivering.

Exempel 1

Bestäm $f’\left(x\right)$ƒ (x) då  $f(x)=e^{4x}$ƒ (x)=e4x  

Lösning:

Vi använder deriveringsregeln för exponentialfunktioner med basen  $e$e  och deriverar funktionen.

 $f(x)=C\cdot e^{kx}$ƒ (x)=C·ekx  är  $f´(x)=k\cdot C\cdot e^{kx}$ƒ ´(x)=k·C·ekx  

Viktigt att komma ihåg här är alltså att exponenten inte förändras när du deriverar exponentialfunktioner. Vi får att då

 $f(x)=e^{4x}$ƒ (x)=e4x  är  $f´(x)=4e^{4x}$ƒ ´(x)=4e4x  

Exempel 2

Bestäm $f’\left(x\right)$ƒ (x) då  $f(x)=2e^{3x}$ƒ (x)=2e3x  

Lösning:

Vi använder deriveringsregeln för exponentialfunktioner med basen  $e$e  och deriverar funktionen.

 $f(x)=C\cdot e^{kx}$ƒ (x)=C·ekx  är  $f´(x)=k\cdot C\cdot e^{kx}$ƒ ´(x)=k·C·ekx  

Viktigt att komma ihåg här är alltså att exponenten inte förändras när du deriverar exponentialfunktioner. Vi får att då

 $f(x)=2e^{3x}$ƒ (x)=2e3x  är  $f´(x)=6e^{3x}$ƒ ´(x)=6e3x

eftersom att

 $f’\left(x\right)=3\cdot2\cdot e^{3x}=6x^{3x}$ƒ (x)=3·2·e3x=6x3x 

Observera att exponenten förblir oförändrad vid deriveringen.  

Vanligt fel vid derivering av exponentialfunktioner

Det är vanligt att man glömmer bort att det inte är korrekt att multiplicera en bas med en faktor.

 $4\cdot3^2=4\cdot9=36$4·32=4·9=36  

Men

 $4\cdot3^2\ne12^2=144$4·32122=144 

På samma sätt gäller att 

 $f’\left(x\right)=3^x\cdot2\cdot\ln3\ne6^x\cdot\ln3$ƒ (x)=3x·2·ln36x·ln3 

Du får INTE multiplicera basen $a$a med faktorn $k$k eller  $\ln a$lna  i  $f´\left(x\right)=C\cdot a^{kx}\cdot k\cdot\ln a$ƒ ´(x)=C·akx·k·lna . 

Exempel 3

Bestäm $f’\left(x\right)$ƒ (x) då  $f(x)=5^x$ƒ (x)=5x.  Ange ett exakt svar.

Lösning:

Enligt deriveringsregeln för exponentialfunktioner med basen  $a$a  har vi att då

 $f(x)=C\cdot a^{kx}$ƒ (x)=C·akx  är  $f´(x)=C\cdot a^{kx}\cdot k\cdot\ln a$ƒ ´(x)=C·akx·k·lna  

och då  $k=1$k=1  får vi att vår funktions sökta derivata är

 $f´(x)=5^x\cdot1\cdot\ln5=$ƒ ´(x)=5x·1·ln5= $5^x\cdot\ln5$5x·ln5 

 $\ln=1,609…$ln=1,609…  men då vi ska svara exakt behåller vi $\ln5$ln5  i svaret.

Att ange ett exakt svar

När vi deriverar exponentialfunktioner får vi ofta ett svar med  $\ln a$lna. Har basen värdet $e$e beräknar vi  $\ln e=1$lne=1 och förenklar svaret. Men när basen är ett annat tal motsvarar värdet av $\ln a$lna ett långt decimaltal, som kanske dessutom är irrationellt, alltså inte kan skrivas som en kvot av två heltal, då behåller vi det exakta värdet  $\ln a$lna.

När det efterfrågas ett exakt svar behåller vi  $\ln a$lna i svaret om det inte ger ett exakt värde när vi multiplicerar det med $k$k, vilket det väldigt väldigt sällan blir.

Det är först vid tillämpning som ett närmevärde blir intressant att ta fram eftersom att det då ska tolkat till något. I det sammanhanget vill man oftast ha ett närmevärde. Istället för svaret  $3\cdot\ln4$3·ln4 dagar vill man då gärna ha drygt $4$4 dagar.

Exempel 4

Bestäm $f’\left(x\right)$ƒ (x) då $f\left(x\right)=4^{2x}+5x$ƒ (x)=42x+5x .   Ange ett exakt svar.

Lösning:

Man deriverar term för term. Den första termen har variabeln i exponenten och vi använder därför deriveringsregeln för exponentialfunktioner där,

 $f\left(x\right)=Ca^{kx}$ƒ (x)=Cakx      ⇒    $f´\left(x\right)=C\cdot a^{kx}\cdot k\cdot\ln a$ƒ ´(x)=C·akx·k·lna     

medan den andra termen har variabeln i basen och vi använder därför deriveringsregeln för potensfunktioner för den. 

  $f\left(x\right)=kx^n$ƒ (x)=kxn     ⇒     $f´\left(x\right)=n\cdot kx^{n-1}$ƒ ´(x)=n·kxn1 

och får att

 $f\left(x\right)=4^{2x}+5x$ƒ (x)=42x+5x  ⇒    $f'(x)=4^{2x}\cdot2\cdot\ln4-5$ƒ ’(x)=42x·2·ln45 

Då det efterfrågas ett exakt svar behåller vi $\ln4$ln4 eftersom att  $\ln4\approx1,386…$ln41,386… 

Exempel i videon

  • Derivera $ f(x)=2^x $.
  • Derivera $ f(x)=e^{2x} $.
  • Derivera $ f(x)= 6^x$.
  • Derivera $ f(x)= e^{-2x}$.
  • Derivera $ f(x)= 4e^{8x}$.

Kommentarer

  1. Hej, fråga 6 saknar rätt svarsalternativ. Det som står i förklaringen finns inte som svarsalternativ.

    Signe
  2. Tack så mycket! Nu förstår jag 😀

    Julia Ojeda Ottosson
  3. Hej! Har problem med denna uppgift där jag ska bestämma första derivatan till funktionen: f(x)=x^3-6x+4

    Förstår verkligen inte 🙁

    Julia Ojeda Ottosson
  4. Hej
    Derivatan för f(x)=a^x måste väla vara Df(x)= xa^x-1 ?
    Mvh Wilfred

    Wilfred Cederholm
    1. Hej
      Nej derivatan för exponentialfunktioner fungerar inte på samma vis som för polynomfunktioner. Här är derivatan istället
      $f'(x) = a^x \cdot ln a$

      Simon Rybrand
  5. Hej Simon.
    I slutet på videon, cirka 03:50 så säger du att
    f(x)= 4e^8x blir f'(x)= 8*4e^8x.
    Jag undrar varför man inte drar bort en del från exponenten 8? Alltså att svaret bör bli:
    f'(x)=8*4e^7x. När man ju annars drar bort.

    Sen sitter jag fast på en fråga på ett gammalt nationella; Derivera y = e^4x
    Jag vet att svaret blir y’=4e^4x. Men även här, varför drar man inte bort ett från exponenten 4?
    Finns det någon annan video för just detta med att derivera e^4x?

    Tack på förhand,
    /Carro

    Caroline
    1. Hej
      Om du kikar på deriveringsregeln för exponentialfunktioner på basen e så är skillnaden mot polynomfunktioner att exponenten inte ändras. Regeln är följande:
      $ f(x) = ke^{ax} $ har derivatan
      $ f ‘(x) = a \cdot k e^{ax} $
      Dvs det är samma exponent $ax$
      Detta bör ju också svara på din andra fråga här, säg till annars så diskuterar vi vidare.

      Simon Rybrand
  6. Hej!
    Vad är talet e? Förstår inte. I matteboken står det :

    f(x+h) – f(x)/ h= a^x+h – a^x / h = a^x * a^h- 1/h

    Vart kom ettan ifrån? Och sen en massa tabeller med gränsvärden och konstanter med decimaler 🙁

    AnnaM.
    1. Hej
      Jag anar att du skall bestämma derivatan av $f(x)=a^x$ med hjälp av derivatans definition som vi kan ställa upp enligt
      $ \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{a^{x+h}-a^x}{h}=\frac{a^xa^h-a^x}{h} $
      Här kan du bryta ut $a^x$ i täljaren så att du får
      $ \frac{a^x(a^h-1)}{h} = a^x \frac{a^h-1}{h} $
      Går det att förstå vad ettan kommer ifrån då? Det är alltså från att vi bryter ut $ a^x $
      Talet $e$ är ett irrationellt tal vars närmevärde är $e≈2,7182818284590452$ och detta tal e är sådant att
      $\lim\limits_{h \to 0} a^x \frac{a^h-1}{h} =a^{x}$.
      Dvs då $ \lim\limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h} = 1 $
      Hoppas att detta hjälper dig vidare med att förstå och fördjupa dig i talet e.

      Simon Rybrand
  7. Y=70*0,855^x kan skrivas Y=70*e^kx
    Hur bestämmer man talet k med 3 decimaler och visst är funktionen avtagande?

    emil saltin
    1. Funktionen är avtagande och ser ut enligt följande:

      Ställ upp ekvationen
      $e^{kx} = 0,855^x ⇔$
      $lne^{kx} = ln0,855^x ⇔$
      $kx = xln0,855 ⇔$
      $k=ln0,855≈-0,157$

      Simon Rybrand
  8. Hej,

    Tack för kanonbra genomgångar!
    Hur bestämmer man en ekvation för tangenten till en funktion, i detta fall f(x)=e^x i tex punkten (1,e)?

    Tacksam för hjälp

    Sara Thulesius
    1. Hej
      Kika in den här genomgången där vi går igenom metoden för detta:
      https://matematikvideo.se/lektioner/derivata-och-tangentens-lutning/

      Simon Rybrand
  9. Hur löser man den här ekvationen e^0.5x=6-0.5x genom att rita graferna till y=e^0.5x och y= 6-0.5x.

    Xiaoting Chen
    1. Hej
      Om du ritar ut de bägge funktionerna (i en grafritande räknare, online eller på datorn) så hittar du lösningarna till ekvationen där de bägge funktionernas grafer skär varandra.

      Simon Rybrand
  10. Hej, jag har kört fast med det här att derivera med talet e.
    204*e^1,5t

    5ex-6e^-3x+e^1x

    Hur ska man göra?

    EmelieBengtsson
    1. Hej,
      $ y = 204⋅e^{1,5t} $
      Har derivatan
      $ y´ = 1,5⋅204^{1,5t} = 306^{1,5t} $
      Tänk på att exponenten inte förändras när funktionen deriveras.

      Simon Rybrand
  11. Hej! Har kört fast på detta tal. Derivera 1/e^x och ange svaret utan negativa exponenter?

    abfvuxgot
    1. Du kan använda potensregeln
      $ a^{-b}=\frac{1}{a^b} $
      både när du skriver om funktionen för att derivera och när du anger svaret. Dvs
      $ y = \frac{1}{e^x} = e^{-x} $
      $ y´ = -e^{-x} = \frac{-1}{e^x} $

      Simon Rybrand
  12. vad är derivatan för 3 x^4x=? och 3 4^5x=?

    nti_ma3
  13. Hur skulle du derivera detta talet, 3^x+3x

    Rayhanny
    1. Hej, där använder du deriveringsregeln för exponentialfunktioner med en annan bas en talet e, nämligen
      $ y = a^x $ har derivatan $ y´ = a^x \cdot lna $
      så du får derivatan $ y’ = 3^xln3 + 3 $

      Simon Rybrand
  14. hej!
    det är jätte bra förklaring hur du resonerar genomgångarna och jag tackar dig. det enda jag behöver veta är att jag skall göra slutprov på matte och jag köpte matte c och nutiden finns det så kallade matte 3 och hur det blir för mig som köpte denna matte c
    ifall frågar jag om det finns skillnad på slutprov matte c förtiden och slutprov matte 3 i nutiden.

    Ahmedgaal
    1. Hej, Kul att du gillar genomgången om derivata och exponentialfunktioner. Det är väldigt svårt för oss att svara kring specifika slutprov och hur dessa är utformade. Matematik 3 är ju en helt ny kurs för året och det har ännu inte gått något nationellt prov på detta. Kontakta den skola som anordnar slutprovet för att få mer information.

      Simon Rybrand

Endast premiumkunder kan kommentera. Prova Premium!

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: