...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Prova för 9 kr Prova för 9 kr
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Sannolikhetslära - Introduktion

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

När vi pratar om sannolikhet i denna kurs är målet att ge ett mått, på hur troligt det är att en viss händelse inträffar. 

Sannolikhet

För den klassiska sannolikhetsdefinitionen motsvarar detta värde kvoten mellan, hur många resultat som motsvarar det du vill ange sannolikheten för och alla möjliga resultat.

Slumpförsök

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Är du ny här? Så här funkar Premium
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Ett försök som kan upprepas flera gånger på samma vis och där resultatet av försöket inte går att förutse eller påverka, kallas för ett slumpförsök.  

I denna kurs jobbar vi i första hand med sannolikheter vars resultat är opåverkbara och där med motsvarar slumpförsök.

Utfall

Varje gång vi utför ett slumpförsök får vi ett resultat. Detta resultat kallas för att utfall. Alla möjliga utfall, alltså alla olika resultat som kan inträffa vid försöket, vid ett slumpförsök bildar tillsammans det som kallas för ett utfallsrum och brukar betecknas med $Ω$Ω.

Händelse

Ett utfall eller en samling av olika utfall efter ett slumpförsök motsvarar det man kallar för en händelse.

Sannolikhetslära

När man vill ange hur man beräknar sannolikhet används en del olika benämningar för beräkningen olika delar. Men den klassiska definitionen för sannolikhetslära uttrycks enligt rutan nedan.

Definition för sannolikhet

Värdet för sannolikheten för att en händelse A inträffar, motsvarar av kvoten

 $P(A)=$P(A)= $\frac{\text{Gynnsamma utfall}}{\text{Möjliga utfall}}$Gynnsamma utfallMöjliga utfall   

där $P$ kommer från franskans probabilité och motsvarar sannolikheten och $A$ är den händelse vi vill beräkna sannolikheten för. 

Begreppet gynnsamma utfall innebär detsamma som ”alla önskade resultat”, vilket är det vi vill beräkna sannolikheten för. 

Begreppet möjliga utfall innebär detsamma som ”alla möjliga resultat”, vilket är alla olika resultat som kan komma att inträffa vid slumpförsöket som vi ska beräkna sannolikheten för.

Exempel på beräkningar av sannolikheter

För att förtydliga definitionen av sannolikheter här ovan så kan vi tar vi tre exempel.

Exempel 1

Hur stor är sannolikheten att tärningen visar fyra när du kastar den?

Lösning

Det finns bara ett resultat som du önskar. Nämligen att tärningen ska visa en fyra. Det är detta vi kallar för det gynnsamma utfallet. Det finns alltså ett gynnsamt utfall.

De finns sex möjliga resultat, det vi kallar möjliga utfall. Det är resultaten att tärningen visar en etta, två trea fyra femma eller en sexa.

Sannolikheten blir då

 $P\left(\text{slå en fyra}\right)=$P(slå en fyra)= $\frac{\text{Önskad händelse}}{\text{Möjliga händelser}}=\frac{1}{6}$Önskad händelseMöjliga händelser =16   

Sannolikheten att slå en fyra är alltså $\frac{1}{6}$16  

Exempel 2

Beräkna sannolikheten att få ett hjärter när man drar ett kort slumpmässigt ur en kortlek med 52 kort.

Lösning

Här har vi sammanlagt $52$52 kort varav $13$13 av dessa är hjärter. Detta ger oss sannolikheten

$ P(\text{Dra ett hjärter})=$ $\frac{13}{52}=\frac{1}{4}$1352 =14  

Exempel 3

I en byrålåda ligger röda, vita och blå sockor. Totalt finns det 19 stycken sockor varav 10 stycken är vita. Det finns dubbelt så många röda som blå sockor. Vilken är sannolikheten att man får upp en blå socka om man slumpmässigt tar ur en socka ur lådan?

Lösning

Här har vi sammanlagt 19 sockor varav 10 är vita vilket innebär att antalet blåa+antalet röda = 9.

Eftersom att det finns dubbelt så många röda som blå gäller att det finns 3 blå och 6 röda.

Alltså gäller att

$ P(\text{Ta upp en blå socka})=$ $\frac{3}{19}$319  $ ≈ 0,16 = 16 \% $

Exempel i videon

  • Vad är sannolikheten att vi får en krona när vi kastar mynt?
  • Vad är en sannolikheten att få en dam när man slumpmässigt drar ett kort ur en kortlek?
  • Vad är sannolikheten att få summan fem när man kastar två stycken tärningar?

Kommentarer

Miranda Kokk Andersson

Alltså det är så irriterande med vissa av svaren på frågorna, när man inte vet hur ni vill att man ska svara, t.ex:

”Fråga: Finns det flest tvåkronor, femkronor eller tior i spargrisen?

Ditt svar: femkronor (fick fel)
Rätt svar: Femma.”

Och så får man fel, bara för att ni endast verkar ha ett rätt sätt som man kan svara på och det framgår aldrig exakt hur ni vill att man ska svara, väldigt dåligt utformat.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Vi försöker alltid att täcka in så många olika varianter som möjligt, här har vi uppenbarligen misslyckats med det.
    Vi ordnar denna fråga omgående.

Kevin Frostfeldt

Vi säger att jag har en kortlek på 52 kort. Hur räknar jag ut chansen att jag drar först 1 kung sen direkt efter ännu en kung. Alltså två kungar på raken från samma kortlek, utan att det är garanterat att de första kortet är en kung.
Mvh Kevin

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Kevin
    Kika på genomgången med sannolikheter i följd och träddiagram, där hittar du en sådan metod!

Kalle Carlsson

Ni kan väl vara lite mer tydliga och i vilken form man ska svara.
Ni gjorde mig frustrerad när jag svarade rätt och ändå fick fel. (3/51 var mitt svar på fråga 8)

    Simon Rybrand (Moderator)

    Vi ber om ursäkt för detta och korrigerar vad man får rätt för omedelbart.

Fanny Persson EK1B

Borde det inte läggas till information på fråga 6? Vad händer om du tar en lott, öppnar den, och den inte är vinst? Då blir sannolikheten att få en vinstlott på den andra lotten högre. Eller?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej och tack för din kommentar!
    Håller med och vi ändrar något i formuleringen och förklaringen till den frågan!

Rebecka

Hur tänker man på n sånhär kluring?:

En elev ska väljas slumpmässigt ur klassen. Sannolikheten att en pojke väljs är 2/3 av sannolikheten att en flicka väljs. Vad är kvoten mellan antalet pojkar och det totala antalet elever i klassen?

A 1/3
B 2/5
C2/3
D 3/5

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, vi kan kalla sannolikheten att en flicka väljs för x. Då gäller att
    $ x + \frac{2x}{3} = 1 ⇔ $
    $ \frac{5x}{3} = 1 ⇔ $
    $ x = \frac{3}{5} $

    Dvs kvoten för flickor är $\frac{3}{5} $ och kvoten för pojkar är därmed $ \frac{2}{5} $.

      mattias.ram@gmail.com

      Hmmm jag förstår inte riktigt din lösning, borde det inte vara x+(2/3*x)=1 i första steget? Sen förstår jag inte riktigt heller hur du får du det till 5x/3 = 1 i andra steget?

      Tack för en superbra sida!!!

        Simon Rybrand (Moderator)

        Hej
        Tänker du på att $ \frac23⋅x = \frac{2x}{3} $?
        Sedan så kan vi skriva ut hela additionen så här:
        $x + \frac{2x}{3} = \frac{3x}{3}+\frac{2x}{3} = $
        $\frac{3x+2x}{3} = \frac{5x}{3}$

Forsting1

Riktigt bra förklarat!!! 🙂

j.borga

Hej!

jag har till ex. en tärning. hur ska jag beräkna sannolikheten om jag slår en 6:a? tack.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, om du slår en tärning och vill få en sexa så gäller att sannolikheten = (antal av det du önskar)/(alla möjliga resultat) = 1/6.

Blindboyrun

Tjena!
Tack för en bra sajt!
En fundering bara; hur ska man tänka om det är 3 eller fler tärningar?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, det blir genast mycket mer krångligt att visualisera det som kallas utfallsrummet (alltså alla de kombinationer vi kan få) för 3 tärningar. Om man skulle vilja rita ut det i ett koordinatsystem så måste vi ju istället ha 3 stycken koordinataxlar vilket skapar en tredimensionell bild och det är inte helt lätt att göra helt enkelt.

    När man har tre tärningar finns det alltså $ 6 \cdot 6 \cdot 6 $ = 216 olika kombinationer och det blir mycket jobb att skriva ut alla dessa. Istället får man försöka tänka eller visualisera det på ett annat vis. Om du tex vill hitta sannolikheten att få summan 3 med tre tärningar så finns det ju ett av 216 alternativ, nämligen resultatet {1,1,1}. Så sannolikheten blir $ \frac{1}{216} $ för detta.

    Det är sällan som sannolikheter med tre tärningar kommer på tex nationella prov men visst är det bra att tänka till kring det!

Simon Rybrand (Moderator)

Hej, bra fråga!
Du kan självklart förenkla för dig själv genom att strunta i koordinataxlar och punkter och bara dra sex lodräta och sex horisontella streck som hjälp. Då går det i alla fall snabbare att rita ut figuren.
Vad tror du om den idén?

Avpanmo2

Hej! Finns det något annat sätt att räkna ut sannolikheten med de två tärningarna? På HP är man så tidspressad och det tar kanske lång tid att rita upp ett koordinatsystem?


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (8)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vad är sannolikheten att du får en trea när du kastar en tärning?

    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vad är sannolikheten att du får en blå boll när du slumpmässigt drar en boll ur en påse med fyra blå bollar, tre vita bollar och en röd boll?

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilken sannolikhet är det att du får ett par om du kastar två tärningar?

    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Premium
    • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
    • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Anta att du kastat en tärning tre gånger och fått en sexa varje gång.
    Hur påverkar det dina chanser att få en sexa när du kastar tärningen en fjärde gång?

    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    Du har lagt alla dina strumpor i en låda i garderoben. Tyvärr har lampan gått i sönder och du ser inte ett smack. Du vet att du har fem färgade par, sex svarta par och fyra vita par. Stumporna är buntade parvis.

    Hur stor är sannolikheten att du får ett färgat par om du tar ett par strumpor ur lådan i mörkret?

    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    En stor påse innehåller $90$90 st röda, gula, gröna och svarta godisfiskar. 

    Sannolikheten att få en röd fisk är $30\%$30%.
    Sannolikheten att få en gul fisk är $\frac{1}{5}$15  .
    Sannolikheten att få en grön fisk är en tiondel.

    Hur många svarta godisfiskar finns det i påsen?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M
    R1
    K

    Sid har en spargris full med tvåkronor, femkronor och tior.
    Sannolikheten att hon får en femma om hon tar ett slumpmässigt mynt är $\frac{21}{37}$2137  och att hon får en tvåkrona  $\frac{11}{37}$1137 .

    Finns det flest tvåkronor, femkronor eller tior i spargrisen?

    Träna på att motivera ditt svar.

    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Om du frågar en slumpmässigt vald person på stan vilken månad den fyller år, hur stor är sannolikheten att personen fyller år i december?

    Vi utgår från att det i snitt föds lika många personer varje dag på året.  Ange svaret i procentform med en decimal.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...

c-uppgifter (2)

  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    På ett lotteri finns det $100$100 lotter som är numrerade från $1$1 till $100$100. Vinst ges till de lotter som har minst en etta i lottnummret.

    Vad är sannolikheten att du får en vinstlott om du köper den första lotten?  

    Rättar...
  • 10. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    Du kastar ett mynt samt en åttasidig tärning numrerad från ett till åtta samtidigt.
    Hur stor är då sannolikheten  $P\text{(klave och jämnsiffra)}$P(klave och jämnsiffra) ?

    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Premium
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.