...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Interaktivt material Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Pythagoras Sats

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Pythagoras sats har en mängd olika användningsområden inom lantmäteri, byggteknik, fysik och andra matematiska områden som trigonometri och trigonometriska formler.

Vad säger Pythagoras sats?

Pythagoras sats är ett matematiskt samband för rätvinkliga trianglar, dvs. trianglar där en vinkel är $90$ grader. Sambandet beskriver förhållandet mellan de två kateterna och hypotenusan i en rätvinklig triangel, dvs en triangel som ser ut enligt följande.

Pythagoras sats

Pythagoras sats säger att kvadraten på hypotenusan är lika med summan av kvadraterna på kateterna.

Rätvinklig triangel

I en rätvinklig triangel gäller därför Pythagoras ekvation  $a^2+b^2=c^2$a2+b2=c2 

Med ord betyder detta att summan av de bägge kateterna i kvadrat är lika med hypotenusan i kvadrat. Vi kan då skriva det som $hypotenusa^2=katet^2+katet^2$hypotenusa2=katet2+katet2.

Att triangeln är rätvinklig innebär att en av triangelns vinklar är $90^{\circ}$90, detta beskriver vi med att göra en kvadrat vid den räta vinkeln.

I en rätvinklig triangel så är alltid hypotenusan den längsta sidan i triangeln.

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Vinklarna i en rätvinklig triangel

Det som gäller för att en triangel skall vara rätvinklig är att en av triangelns vinklar är $90$ grader. Endast en vinkel kan vara $90$ grader i en triangel, annars är det inte en triangel (då blir vinkelsumman större än $180$ grader). Ett exempel på en rätvinklig triangel skulle kunna vara en triangel som har vinklarna $30^{\circ}$30,  $60^{\circ}$60 och $90^{\circ}$90. Tillsammans har de vinkelsumman $30^{\circ}+60^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}$30+60+90=180.

Exempel 1 – Är triangeln rätvinklig?

Är triangeln med sidor som har längderna $5\text{ }cm$5 cm, $4\text{ }cm$4 cm och $3\text{ }cm$3 cm rätvinklig?

Lösning

Enligt Pythagoras sats kommer en triangel att vara rätvinklig om hypotenusan i kvadrat är lika med summan av varje katet i kvadrat.

Här bör sidan som är $5\text{ }cm$5 cm vara hypotenusan och $5^2=25$52=25.

Vi testar nu om summan av de bägge kateterna i kvadrat blir lika mycket.

 $3^2+4^2=9+16=25$32+42=9+16=25 

Alltså gäller att $5^2=3^2+4^2$52=32+42 så triangeln är rätvinklig.

Ett enkelt gif bilds bevis för Pythagoras (det finns över 100 till)

Det finns hundratals bevis för att Pythagoras sats verkligen stämmer, här samlas exempelvis 102 av dessa bevis.

Ett lite enklare visuellt bevis visas nedan i animationen.

pythagoras sats bevis

Här är en rätvinklig triangel som har kateterna 4 och 3 och hypotenusan 5 där pythagoras ger att $ 3^2+4^2=5^2 $. I bilden visas hur kvadraterna av kateterna ritas (16 respektive 9 stycken) samtidigt som kvadraten av hypotenusan (16+9=25) ritas ut. Här ser vi att summan av kateternas kvadrater är lika med hypotenusans kvadrat. Vi kan om vi vill byta ut 3:an, 4:an eller 5:an mot andra värden i en rätvinklig triangel och det går då att rita upp samma typ av bevis för den triangeln.

Pythagoras sats och ekvationer med roten ur

Ibland är en av sidorna i en rätvinklig triangel okänd och beskriven med bokstaven $x$x eller någon annan bokstav. Då kan vi lösa den ekvation med hjälp av att räkna ut alla värden och använda oss av roten ur. När du har en sida som är okänd i en rätvinklig triangel så får du en så kallad andragradsekvation.  När man löser en andragradsekvation med roten ur får man oftast två lösningar. När vi jobbar med sträckor och längder i trianglar använder vi dock bara den positiva lösningen. En sträcka kan ju inte vara negativ.

Exempel 2 – Ta reda på hypotenusan i en rätvinklig triangel

rätvinklig triangel beräkna pythagoras

I en rätvinklig triangel är de bägge kateterna $12\text{ }cm$12 cm och $15\text{ }cm$15 cm. Bestäm längden på hypotenusan.

Lösning

Vi vet från pythagoras sats att

$12^2+15^2=hypotenusa^2$122+152=hypotenusa2 

Vi får att $12^2+15^2=369$122+152=369

Detta är hypotenusan upphöjt till 2 så vi behöver ta roten ur här.

 $Hypotenusan=\sqrt{369}\approx19,2\text{ }cm$Hypotenusan=36919,2 cm 

Alltså gäller att Hypotenusan är 19,2 cm.

Viktigt här att känna till är att även $-\sqrt{369}$369 är en lösning till andragradsekvationen. Men då längden är en sträcka som inte kan vara negativ så utelämnas den lösningen. 

Exempel 3 – Ta reda på kateten

Vilken är längden på sidan $x$ i figuren?
Exempeluppgift med pythagoras sats

Lösning

Vi använder Pythagoras sats och ställer upp ekvationen

 $12^2+x^2=13^2$122+x2=132 
 $144+x^2=169$144+x2=169 
 $x^2=169-144$x2=169144 
 $x^2=25$x2=25 
 $x=\sqrt{25}=5$x=25=5 

Svar:  $x=5$x=5 

Även här utelämnar vi den negativa lösningen $-5$5  eftersom att svaret vi söker motsvarar en läng.

Pythagoreiska tripplar

Det finns speciella fall av rätvinkliga trianglar där alla sidor är heltal. Dessa trianglar kallas för pythagoreiska tripplar och sådana trianglar brukar vara smidiga att jobba med då vi slipper decimaltal (rationella tal) eller irrationella tal. Det finns oändligt antal sådana trianglar där några med lägst heltal finns i listan här nere. Vi skriver trianglarnas sidor inom parentesen enligt (katet1, katet 2, hypotenusa).

(3, 4, 5)
(5, 12, 13)
(8, 15, 17)
(7, 24, 25)
(20, 21, 29)
(12, 35, 37)
(9, 40, 41)
(28, 45, 53)

Beräkna avståndet mellan punkter med hjälp av pythagoras sats

Vi kan använda Pythagoras sats för att beräkna avståndet mellan två punkter $(x_1,y_1)$ och $(x_2,y_2)$ genom att använda att det går att rita ut dessa två punkter i en rätvinklig triangel där hypotenusans längd (om de inte ligger i linje lodrätt eller horisontellt) blir avståndet mellan punkterna. Metoden som används här, och grundar sig i Pythagoras sats, kallas för avståndsformeln och ger

$ d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

Exempel 4 – Avstånd mellan punkter

Bestäm avståndet mellan de två punkterna $(1,7)$ och $(5,9)$.

Lösning

Vi bestämmer avståndet $d$ genom avståndsformeln

$ d= \sqrt{(5-1)^2+(9-7)^2}$ $ = \sqrt{4^2+2^2}$ $=\sqrt{20}$

Om Matematikern Pythagoras

Pythagoras är en av historiens mest kända matematiker, mycket beroende på att Pythagoras sats är uppkallad efter honom. Han levde cirka 500 år f.Kr. och under sin livstid så startade han ett matematiskt sällskap i Crotone i Italien (Pythagoras var född på ön Samos, nuv. Grekland). Om det är just han som skapat Pythagoras sats är lite osäkert då källorna till hans liv är få och det är svårt att veta om de stämmer.

Exempel i videon

  • Du behöver gå upp på taket för att ställa in parabolen inför VM-finalen i fotboll men du har ingen stege. Hur lång stege behöver du minst ha om det är 4 meter upp till takkanten och stegen skall stå 1,5 meter från huset?
  • Beräkna avståndet mellan punkterna $\left(1,1\right)$(1,1) och $\left(4,3\right)$(4,3).

Kommentarer

Linus Jakobsson

Alltså, det är ju löjligt att en får fel på en uppgift för att en inte skrivit det skrivna svaret precis som ni gjort. T. ex. i den sista uppgiften så valde jag att skriva 50 sekunder. men fick fel för att jag satte en punkt efter sekunder. Går det inte att lägga in flera olika formulerade rätta svar i rättningssystemet?

Vänlig hälsning.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Vi brukar försöka att täcka in allt, där har vi missat men ordnar det såklart, tack för att du sade till!

David Ahlstrom

Fråga 5: Hissens är 1m djup, 2 meter bred och 2,3 m hög.

Hissens vad? Djup?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Tanken är djupet in i hissen, dvs ena bredden kanske man kan säga 😉

Kevin Nahimana

På frågan fem säger ni att den ena kateten är roten ur 5, vilket vi inte kan ta reda på utifrån informationen att sängens längsta sida är 3,1. Hur hade ni tänkt där? för annars var det lika bra att ge värdet på kateten i uppgiften. Förstår ni vad jag menar?

    Anna Admin (Moderator)

    Hej Kevin.
    Den katet som i lösningen är roten ur fem motsvarar diagonalen på golvet i hissen. Den har beräknats med hjälp av måtten på hissen som du fått i uppgiften. För att hitta rymddiagonalen, vilket är den längsta sträckan i ett rätblock, behöver du göra två delberäkningar. Det är det som gör att denna uppgift motsvarar kunskapskraven på en högre betygsnivå. Först beräknar du diagonalen på hissgolvet för att sedan använda det som ena katetern för rymddiagonalen.

Olle Bergkvist

I uppgift 7 förstår jag inte vart en får fram att katetern är √5m?

Vänligen utveckla.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Hittar inte detta i uppgift 7, är det en annan uppgift som du menar?

Anders Hubertsson

På förklaringen till uppgift 6 står det 12 där det ska stå 120.

På samma frågade svarade jag 50 och fick fel. Rätt svar är 50 sekunder. Borde inte 50 vara rätt?
/ Anders

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Har rättat till uträkningen och även lagt till att det blir rätt om man skriver utan enhet.

johansson84@telia.com

Uppgift 7 i att testa mina kunskaper måste vara fel, ni har gjort en uträkning om att hypotenusan är 150. Men det står att den är 120 under frågan?!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    i den uppgiften får du tänka på att bilden inte är skalenlig. Bilden luras nämligen litegrann för att vi vill testa att man har förstått sambandet med pythagoras sats.

      johansson84@telia.com

      Tack.. då är jag med!

marcus friede

Hur ska man göra i det här fallet?

ex
Katet a= x
Katet b= x+7.2
Hypo=13.0

Vad är x?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Du kan ställa upp och lösa ekvationen
    $x^2+\left(x+7,2\right)^2={13}^{2}$
    $x^2+x^2+14,4x+51,84={13}^{2}$
    $2x^2+14,4x-117,16=0$
    $x^2+7,2x-58,58=0$
    pq-formeln

Perihan Yildiz Göker

när jag löser en ekvation, det är där jag har problem?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, om du exempelvis söker en katets längd om du känner till att den andra katetens längd är 3 och hypotenusan är 5 så kan du ställa upp ekvationen
    $ x^2 + 3^2 = 5^2 $
    Subtrahera först med $3^2$
    $ x^2=5^2-3^2 $
    $ x^2=25-9 $
    $ x^2=16 $
    Nu har du $x^2$ ensamt på ena sidan av lihetstecknet och endast ett tal på den andra sidan, då kan du ta roten ur så att du får
    $ \sqrt{x^2}=\sqrt{16} $
    $ x=4 $
    Förenklat kan vi alltså säga att du kan ta roten ur när du har $x^2$ ensamt på ena sidan och endast ett tal på den andra sidan. Detta går dock att komplicera till en hel del men det kanske kan vara en första start.

Perihan Yildiz Göker

hur ska man veta när man ska ta roten ur?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, Lite osäker på hur du menar här? Är det när du löser en ekvation eller vill ta reda på en sidas längd? Ta gärna ett exempel på det som du funderar på så tar vi det därifrån.

Daniella Sundell

Uppgift 4.

Hur kan det vara så att man ska ta 7.07 i kvadrat? I själva uppgiften står det ju att hypotenusan är 7.07 cm. Då borde väl egentligen 7,07 vara svaret när man redan tagit kvadratroten ur svaret? Det är lite otydligt tycker jag. För så som jag försökte lösa uppgiften tänkte jag att jag först var tvungen att ta roten ur 7,07 för att sedan kunna ta reda på värdena för kateterna.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej!
    Det är ju så att i pythagoras sats så är sambandet att hypotenusan i kvadrat är lika med summan av kateterna i kvadrat. Så det enklaste att tänka där kanske kan vara att
    $7,07^2 = k^2 + k^2⇔$
    $7,07^2 = 2k^2⇔$
    $49,9849 = 2k^2⇔$
    $24,99245 = k^2⇔$
    $k=\sqrt{24,99245}≈5$

Axel Holmqvist

Hej.
Detta kanske inte hör just hit men hittade ingen annan flik där det passar in.

Triangeln har hörnen i punkterna A= (2,1) , B= (4,6) C= (-2,4)
a) Bestäm mittpunkten D på sträckan AB och mittpunkten E på sträckan BC. Får då fram D = (3, 3,5 ) och E = (1, 5)
b) Bestäm ekvationen för linjen genom DE. Och det får jag inte fram.. enligt facit skall svaret bli, y=-0,75+5,75 .. hjälp?!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Axel
    För att räkna ut ut linjens lutning förutsatt att dina punkter stämmer (det verkar dom göra) så får du lutningen av:
    $k=\frac{5-3,5}{1-3}=-0,75$
    m – värdet ges då av att sätta in lutning och en av punkternas koordinater i räta linjens ekvation $ y=kx+m $:
    $5=(-0,75)⋅1+m ⇔ m = 5,75 $
    Linjen ekvation är alltså $ y = -0,75x+5,75 $
    Kika gärna på en genomgång av räta linjens ekvation.

Willy

Uppgift 2,

Hur vet jag svaret på detta? Jag har kollat på videon men förstår inte hur jag skall applicera pythagoras sats på detta, hur vet jag vad som anses en rät vinkel?

Tack!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Eftersom Pythagoras sats kräver att vinkeln mellan kateterna skall vara 90° för att katet²+katet²=hypotenusa² så måste
    45² + 28² vara lika med hypotenusa². I detta fall stämmer det inte så tyvärr har snickaren inte en rätvinklig triangel.

Mariana Amaral

Hej.
Jag har fått följande fråga som jag inte lyckas lösa.

Beräkna omkretsen av en rätvinklig triangel som har kateterna 4,7cm och 5,5 cm?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Först så använder du pythagoras sats för att beräkna hypotenusan z:s längd:
    $ z^2 = 4,7^2+5,5^2 $
    $ z^2 = 52,34 $ (roten ur)
    $ z ≈ 7,235 $
    Nu summerar du kateterna med hypotenusan för att få omkretsen, kanske kommer du till slutet själv nu?

Yulla

Hej!

Jag undrar hur man räkna pythagoras sats när man inte vet någon utav kateternas längd?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Har du ett konkret exempel på där du skall göra det? Lite enklare att utgå ifrån det.

      Yulla

      Jag ska räkna ut kateterna på en rätsidig triangel. Hypotenusan är 24m. Kateterna är X.

Robin Saetre

UPPGIFT 2.
En snickare skall skapa en rät vinkel mellan två plankor. Han mäter och spikar ihop dem, sedan mäter han igen. Den nedre plankan är 45cm, den andra plankan är 28cm, diagonalen (hypotenusan) emellan är 52cm. Är vinkeln rät? (svara ja eller nej med små bokstäver)

Fel
Rätt svar: nej
Ditt svar: nej

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Ibland kan sådana ”exakta textsvar” vara lite känsliga för mellanslag och liknande. Vi har lagt lite möjligheter i den frågan så att det skall vara mindre känsligt, tack för att du kommenterade detta.

Mikael144600

Hej!
Undrar vad som gäller i en rätvinklig triangel: kan summan av kateternas längd bli längre än hypotenusans längd? Jag har för mig att om summan av kateternas längd är längre än hypotenusans längd, så är det inte en rätvinklig triangel.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, summan av kateternas längd kan vara större än hypotenusans längd, exempelvis är triangeln med kateterna 3 cm, 4 cm och hypotenusan 5 cm rätvinklig. Däremot så gäller ju att
    $ 3^2+4^2=5^2 $ enligt pythagoras.

carlitav

Tack att ni finns!!!! 😀

nti_ma2

När jag räknar ut den sista såsom rättningen beskriver får jag det till 3,535 vilket närmsta heltal blir 4 väl? Eller?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, nej det skall bli 4,99924 ≈ 5. Vi kan också skriva uträkningen på följande vis:
    $ x^2 + x^2 = 7,07^2 ⇔ $
    $ 2x^2= 49.9849 ⇔ $ (/2)
    $ x^2= 24.99245 ⇔ $ (roten ur)
    $ x = 4.99924 ≈ 5 $
    Du glömmer antagligen att ta 7,07 i kvadrat

nti_ma2

Bra med övningar till. 🙂


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (6)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M
    R1
    K


    En snickare skall skapa en rät vinkel mellan två plankor.
    Han mäter och spikar ihop dem, sedan mäter han igen.
    Den nedre plankan är $45$45 cm, den andra plankan är $28$28 cm, diagonalen (hypotenusan) emellan är $52$52 cm.
    Är vinkeln rät?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    I en rätvinklig triangel är den ena kateten $5$5 cm och den andra kateten $12$12 cm.
    Hur lång är hypotenusan?

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Ena kateten i en rätvinklig triangel är $40$40 cm och hypotenusan är $41$41 cm. Hur lång är den andra katetern?

    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    I en rätvinklig triangel så är hypotenusan $7,07$7,07 cm. Kateterna är lika långa, hur långa är de?

    Avrunda svaret till heltal.

    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Ratvinklig_triangel

    Är triangeln rätvinklig? 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    Bestäm längden $x$x.

    Ratvinklig_triangel-okand-katet2

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...

c-uppgifter (2)

  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/2)
    ECA
    B
    P
    PL11
    M
    R
    K1

    Sam och Alex har köpt en våningssäng där de längsta delarna är $3,1$3,1 m långa. De diskuterar om de kommer att få plats i hissen, så de slipper ta trappan. Hissen är $1$1 m djup, $2$2 meter bred och $2,3$2,3 m hög.

    Sam säger att det går om de lutar reglarna på ett speciellt sätt.  Alex säger att delarna är för långa.

    Vad tror du? 

    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/3/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K1

    Olle bor precis i hörnet av en fotbolls plan med måtten $90×120$90x120 m.
    Hans kompis Max bor i ett hus som ligger vid det motsatta hörnet, alltså diagonalt över fotbollsplanen i förhållande till Olles hus. Längs med kanten på en fotbollsplan går en gångstig.

    Hur många sekunder tjänar Olle på att snedda över fotbollsplanen i stället för att gå på gångstigen längs kanten?

    Han går med en hastighet på $1,2m/s$1,2m/s .

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar