Pythagoras sats (Geometri, Högstadiet, Matte 1, Matematikvideo)

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 2 ABC

Pythagoras Sats

Video

Video, text & övningsfrågor av: Simon Rybrand

Här lär du dig vad Pythagoras sats är och hur du räknar med satsen. Vi går igenom teorin om sambandet mellan rätvinkliga trianglars sidor, dvs mellan hypotenusan och kateterna i en rätvinklig triangel.De förkunskaper du behöver för att förstå den här lektionen är kunskap om kvadratrötter, kvadrater och olika typer av trianglar.

Pythagoras sats har en mängd olika användningsområden inom lantmäteri, byggteknik, fysik och andra matematiska områden som trigonometri och trigonometriska formler.

26 votes, average: 4,27 out of 526 votes, average: 4,27 out of 526 votes, average: 4,27 out of 526 votes, average: 4,27 out of 526 votes, average: 4,27 out of 5
26
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

8
FRÅGOR

Testa dina kunskaper

Gör gärna ett försök innan du sett videon och jämför med hur det går efteråt.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
MEDELPOÄNG
ALLA
4

Text

Vad säger Pythagoras sats?

Pythagoras sats är ett matematiskt samband för rätvinkliga trianglar, dvs. trianglar där en vinkel är 90 grader. Sambandet beskriver förhållandet mellan de två kateterna och hypotenusan i en rätvinklig triangel, dvs en triangel som ser ut enligt följande:

Pythagoras sats

Pythagoras sats

I en rätvinklig triangel gäller att

 $a^2+b^2=c^2$a2+b2=c2 

Med ord betyder detta att summan av de bägge kateterna i kvadrat är lika med hypotenusan i kvadrat. Vi kan då skriva det som $hypotenusa^2=katet^2+katet^2$hypotenusa2=katet2+katet2.

Att triangeln är rätvinklig innebär att en av triangelns vinklar är $90^{\circ}$90, detta beskriver vi med att göra en kvadrat vid den räta vinkeln.

I en rätvinklig triangel så är alltid hypotenusan den längsta sidan i triangeln.

Vinklarna i en rätvinklig triangel

Det som gäller för att en triangel skall vara rätvinklig är att en av triangelns vinklar är 90 grader. Endast en vinkel kan vara 90 grader i en triangel, annars är det inte en triangel (då blir vinkelsumman större än 180 grader). Ett exempel på en rätvinklig triangel skulle kunna vara en triangel som har vinklarna $30^{\circ}$30,  $60^{\circ}$60 och $90^{\circ}$90. Tillsammans har de vinkelsumman $30^{\circ}+60^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}$30+60+90=180.

Exempel 1 – Är triangeln rätvinklig?

Är triangeln med sidor som har längderna $5\text{ }cm$5 cm, $4\text{ }cm$4 cm och $3\text{ }cm$3 cm rätvinklig?

Lösning:

Enligt pythagoras sats kommer en triangel att vara rätvinklig om hypotenusan i kvadrat är lika med summan av varje katet i kvadrat.

Här bör sidan som är $5\text{ }cm$5 cm vara hypotenusan och $5^2=25$52=25.

Vi testar nu om summan av de bägge kateterna i kvadrat blir lika mycket.

 $3^2+4^2=9+16=25$32+42=9+16=25 

Alltså gäller att $5^2=3^2+4^2$52=32+42 så triangeln är rätvinklig.

Ett enkelt gif bilds bevis för pythagoras (det finns över 100 till)

Det finns hundratals bevis för att Pythagoras sats verkligen stämmer, här samlas exempelvis 102 av dessa bevis.

Ett lite enklare visuellt bevis visas nedan i animationen.

pythagoras sats bevis

Här är en rätvinklig triangel som har kateterna 4 och 3 och hypotenusan 5 där pythagoras ger att $ 3^2+4^2=5^2 $. I bilden visas hur kvadraterna av kateterna ritas (16 respektive 9 stycken) samtidigt som kvadraten av hypotenusan (16+9=25) ritas ut. Här ser vi att summan av kateternas kvadrater är lika med hypotenusans kvadrat. Vi kan om vi vill byta ut 3:an, 4:an eller 5:an mot andra värden i en rätvinklig triangel och det går då att rita upp samma typ av bevis för den triangeln.

Pythagoras sats och ekvationer med roten ur

Ibland är en av sidorna i en rätvinklig triangel okänd och beskriven med bokstaven $x$x eller någon annan bokstav. Då kan vi lösa den ekvation med hjälp av att räkna ut alla värden och använda oss av roten ur. När du har en sida som är okänd i en rätvinklig triangel så får du en så kallad andragradsekvation.  När man löser en andragradsekvation med roten ur får man oftast två lösningar. När vi jobbar med sträckor och längder i trianglar använder vi dock bara den positiva lösningen. En sträcka kan ju inte vara negativ.

Exempel 2 – Ta reda på hypotenusan i en rätvinklig triangel

rätvinklig triangel beräkna pythagoras

I en rätvinklig triangel är de bägge kateterna $12\text{ }cm$12 cm och $15\text{ }cm$15 cm. Bestäm längden på hypotenusan.

Lösning:

Vi vet från pythagoras sats att

$12^2+15^2=hypotenusa^2$122+152=hypotenusa2 

Vi får att $12^2+15^2=369$122+152=369

Detta är hypotenusan upphöjt till 2 så vi behöver ta roten ur här.

 $Hypotenusan=\sqrt{369}\approx19,2\text{ }cm$Hypotenusan=36919,2 cm 

Alltså gäller att Hypotenusan är 19,2 cm.

Viktigt här att känna till är att även $-\sqrt{369}$369 är en lösning till andragradsekvationen. Men då längden är en sträcka som inte kan vara negativ så utelämnas den lösningen. 

Exempel 3 – Ta reda på kateten

Vilken är längden på sidan x i figuren?
Exempeluppgift med pythagoras sats

Lösning:

Vi använder pythagoras sats och ställer upp ekvationen
 $12^2+x^2=13^2$122+x2=132 
 $144+x^2=169$144+x2=169 
 $x^2=169-144$x2=169144 
 $x^2=25$x2=25 
 $x=\sqrt{25}=5$x=25=5 

Svar:  $x=5$x=5 

Även här utelämnar vi den negativa lösningen $-5$5.

Pythagoreiska tripplar

Det finns speciella fall av rätvinkliga trianglar där alla sidor är heltal. Dessa trianglar kallas för pythagoreiska tripplar och sådana trianglar brukar vara smidiga att jobba med då vi slipper decimaltal (rationella tal) eller irrationella tal. Det finns oändligt antal sådana trianglar där några med lägst heltal finns i listan här nere. Vi skriver trianglarnas sidor inom parentesen enligt (katet1, katet 2, hypotenusa).

(3, 4, 5)
(5, 12, 13)
(8, 15, 17)
(7, 24, 25)
(20, 21, 29)
(12, 35, 37)
(9, 40, 41)
(28, 45, 53)

Beräkna avståndet mellan punkter med hjälp av pythagoras sats

Vi kan använda Pythagoras sats för att beräkna avståndet mellan två punkter $(x_1,y_1)$ och $(x_2,y_2)$ genom att använda att det går att rita ut dessa två punkter i en rätvinklig triangel där hypotenusans längd (om de inte ligger i linje lodrätt eller horisontellt) blir avståndet mellan punkterna. Metoden som används här, och grundar sig i Pythagoras sats, kallas för avståndsformeln och ger

$ d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

Exempel 4 – Avstånd mellan punkter

Bestäm avståndet mellan de två punkterna $(1,7)$ och $(5,9)$.

Lösning

Vi bestämmer avståndet $d$ genom avståndsformeln

$ d= \sqrt{(5-1)^2+(9-7)^2}$ $ = \sqrt{4^2+2^2}$ $=\sqrt{20}$

Om Matematikern Pythagoras

Pythagoras är en av historiens mest kända matematiker, mycket beroende på att Pythagoras sats är uppkallad efter honom. Han levde cirka 500 år f.Kr. och under sin livstid så startade han ett matematiskt sällskap i Crotone i Italien (Pythagoras var född på ön Samos, nuv. Grekland). Om det är just han som skapat Pythagoras sats är lite osäkert då källorna till hans liv är få och det är svårt att veta om de stämmer.

Exempel i videon

  • Du behöver gå upp på taket för att ställa in parabolen inför VM-finalen i fotboll men du har ingen stege. Hur lång stege behöver du minst ha om det är 4 meter upp till takkanten och stegen skall stå 1,5 meter från huset?
  • Beräkna avståndet mellan punkterna $\left(1,1\right)$(1,1) och $\left(4,3\right)$(4,3).

Kommentarer

  1. Bra med övningar till. 🙂

    nti_ma2
  2. När jag räknar ut den sista såsom rättningen beskriver får jag det till 3,535 vilket närmsta heltal blir 4 väl? Eller?

    nti_ma2
    1. Hej, nej det skall bli 4,99924 ≈ 5. Vi kan också skriva uträkningen på följande vis:
      $ x^2 + x^2 = 7,07^2 ⇔ $
      $ 2x^2= 49.9849 ⇔ $ (/2)
      $ x^2= 24.99245 ⇔ $ (roten ur)
      $ x = 4.99924 ≈ 5 $
      Du glömmer antagligen att ta 7,07 i kvadrat

      Simon Rybrand
  3. Tack att ni finns!!!! 😀

    carlitav
  4. Hej!
    Undrar vad som gäller i en rätvinklig triangel: kan summan av kateternas längd bli längre än hypotenusans längd? Jag har för mig att om summan av kateternas längd är längre än hypotenusans längd, så är det inte en rätvinklig triangel.

    Mikael144600
    1. Hej, summan av kateternas längd kan vara större än hypotenusans längd, exempelvis är triangeln med kateterna 3 cm, 4 cm och hypotenusan 5 cm rätvinklig. Däremot så gäller ju att
      $ 3^2+4^2=5^2 $ enligt pythagoras.

      Simon Rybrand
  5. UPPGIFT 2.
    En snickare skall skapa en rät vinkel mellan två plankor. Han mäter och spikar ihop dem, sedan mäter han igen. Den nedre plankan är 45cm, den andra plankan är 28cm, diagonalen (hypotenusan) emellan är 52cm. Är vinkeln rät? (svara ja eller nej med små bokstäver)

    Fel
    Rätt svar: nej
    Ditt svar: nej

    Robin Saetre
    1. Hej
      Ibland kan sådana ”exakta textsvar” vara lite känsliga för mellanslag och liknande. Vi har lagt lite möjligheter i den frågan så att det skall vara mindre känsligt, tack för att du kommenterade detta.

      Simon Rybrand
  6. Hej!

    Jag undrar hur man räkna pythagoras sats när man inte vet någon utav kateternas längd?

    Yulla
    1. Hej
      Har du ett konkret exempel på där du skall göra det? Lite enklare att utgå ifrån det.

      Simon Rybrand
      1. Jag ska räkna ut kateterna på en rätsidig triangel. Hypotenusan är 24m. Kateterna är X.

        Yulla
  7. Hej.
    Jag har fått följande fråga som jag inte lyckas lösa.

    Beräkna omkretsen av en rätvinklig triangel som har kateterna 4,7cm och 5,5 cm?

    Mariana Amaral
    1. Först så använder du pythagoras sats för att beräkna hypotenusan z:s längd:
      $ z^2 = 4,7^2+5,5^2 $
      $ z^2 = 52,34 $ (roten ur)
      $ z ≈ 7,235 $
      Nu summerar du kateterna med hypotenusan för att få omkretsen, kanske kommer du till slutet själv nu?

      Simon Rybrand
  8. Uppgift 2,

    Hur vet jag svaret på detta? Jag har kollat på videon men förstår inte hur jag skall applicera pythagoras sats på detta, hur vet jag vad som anses en rät vinkel?

    Tack!

    Willy
    1. Hej
      Eftersom Pythagoras sats kräver att vinkeln mellan kateterna skall vara 90° för att katet²+katet²=hypotenusa² så måste
      45² + 28² vara lika med hypotenusa². I detta fall stämmer det inte så tyvärr har snickaren inte en rätvinklig triangel.

      Simon Rybrand
  9. Hej.
    Detta kanske inte hör just hit men hittade ingen annan flik där det passar in.

    Triangeln har hörnen i punkterna A= (2,1) , B= (4,6) C= (-2,4)
    a) Bestäm mittpunkten D på sträckan AB och mittpunkten E på sträckan BC. Får då fram D = (3, 3,5 ) och E = (1, 5)
    b) Bestäm ekvationen för linjen genom DE. Och det får jag inte fram.. enligt facit skall svaret bli, y=-0,75+5,75 .. hjälp?!

    Axel Holmqvist
    1. Hej Axel
      Kika gärna på den här forumtråden om mittpunktsformeln. Tror att den kommer att hjälpa dig framåt angående att hitta mittpunkter.
      För att räkna ut ut linjens lutning förutsatt att dina punkter stämmer (det verkar dom göra) så får du lutningen av:
      $k=\frac{5-3,5}{1-3}=-0,75$
      m – värdet ges då av att sätta in lutning och en av punkternas koordinater i räta linjens ekvation $ y=kx+m $:
      $5=(-0,75)⋅1+m ⇔ m = 5,75 $
      Linjen ekvation är alltså $ y = -0,75x+5,75 $
      Kika gärna på en genomgång av räta linjens ekvation.

      Simon Rybrand
  10. Uppgift 4.

    Hur kan det vara så att man ska ta 7.07 i kvadrat? I själva uppgiften står det ju att hypotenusan är 7.07 cm. Då borde väl egentligen 7,07 vara svaret när man redan tagit kvadratroten ur svaret? Det är lite otydligt tycker jag. För så som jag försökte lösa uppgiften tänkte jag att jag först var tvungen att ta roten ur 7,07 för att sedan kunna ta reda på värdena för kateterna.

    Daniella Sundell
    1. Hej!
      Det är ju så att i pythagoras sats så är sambandet att hypotenusan i kvadrat är lika med summan av kateterna i kvadrat. Så det enklaste att tänka där kanske kan vara att
      $7,07^2 = k^2 + k^2⇔$
      $7,07^2 = 2k^2⇔$
      $49,9849 = 2k^2⇔$
      $24,99245 = k^2⇔$
      $k=\sqrt{24,99245}≈5$

      Simon Rybrand
  11. hur ska man veta när man ska ta roten ur?

    Perihan Yildiz Göker
    1. Hej, Lite osäker på hur du menar här? Är det när du löser en ekvation eller vill ta reda på en sidas längd? Ta gärna ett exempel på det som du funderar på så tar vi det därifrån.

      Simon Rybrand
  12. när jag löser en ekvation, det är där jag har problem?

    Perihan Yildiz Göker
    1. Hej, om du exempelvis söker en katets längd om du känner till att den andra katetens längd är 3 och hypotenusan är 5 så kan du ställa upp ekvationen
      $ x^2 + 3^2 = 5^2 $
      Subtrahera först med $3^2$
      $ x^2=5^2-3^2 $
      $ x^2=25-9 $
      $ x^2=16 $
      Nu har du $x^2$ ensamt på ena sidan av lihetstecknet och endast ett tal på den andra sidan, då kan du ta roten ur så att du får
      $ \sqrt{x^2}=\sqrt{16} $
      $ x=4 $
      Förenklat kan vi alltså säga att du kan ta roten ur när du har $x^2$ ensamt på ena sidan och endast ett tal på den andra sidan. Detta går dock att komplicera till en hel del men det kanske kan vara en första start.

      Simon Rybrand
  13. Hur ska man göra i det här fallet?

    ex
    Katet a= x
    Katet b= x+7.2
    Hypo=13.0

    Vad är x?

    marcus friede
    1. Du kan ställa upp och lösa ekvationen
      $x^2+\left(x+7,2\right)^2={13}^{2}$
      $x^2+x^2+14,4x+51,84={13}^{2}$
      $2x^2+14,4x-117,16=0$
      $x^2+7,2x-58,58=0$
      pq-formeln

      Simon Rybrand
  14. Uppgift 7 i att testa mina kunskaper måste vara fel, ni har gjort en uträkning om att hypotenusan är 150. Men det står att den är 120 under frågan?!

    johansson84@telia.com
    1. Hej
      i den uppgiften får du tänka på att bilden inte är skalenlig. Bilden luras nämligen litegrann för att vi vill testa att man har förstått sambandet med pythagoras sats.

      Simon Rybrand
      1. Tack.. då är jag med!

        johansson84@telia.com
  15. På förklaringen till uppgift 6 står det 12 där det ska stå 120.

    På samma frågade svarade jag 50 och fick fel. Rätt svar är 50 sekunder. Borde inte 50 vara rätt?
    / Anders

    Anders Hubertsson
    1. Hej
      Har rättat till uträkningen och även lagt till att det blir rätt om man skriver utan enhet.

      Simon Rybrand
  16. I uppgift 7 förstår jag inte vart en får fram att katetern är √5m?

    Vänligen utveckla.

    Olle Bergkvist
    1. Hej
      Hittar inte detta i uppgift 7, är det en annan uppgift som du menar?

      Simon Rybrand
  17. På frågan fem säger ni att den ena kateten är roten ur 5, vilket vi inte kan ta reda på utifrån informationen att sängens längsta sida är 3,1. Hur hade ni tänkt där? för annars var det lika bra att ge värdet på kateten i uppgiften. Förstår ni vad jag menar?

    Kevin Nahimana
    1. Hej Kevin.
      Den katet som i lösningen är roten ur fem motsvarar diagonalen på golvet i hissen. Den har beräknats med hjälp av måtten på hissen som du fått i uppgiften. För att hitta rymddiagonalen, vilket är den längsta sträckan i ett rätblock, behöver du göra två delberäkningar. Det är det som gör att denna uppgift motsvarar kunskapskraven på en högre betygsnivå. Först beräknar du diagonalen på hissgolvet för att sedan använda det som ena katetern för rymddiagonalen.

      Anna Admin
  18. Fråga 5: Hissens är 1m djup, 2 meter bred och 2,3 m hög.

    Hissens vad? Djup?

    David Ahlstrom
    1. Tanken är djupet in i hissen, dvs ena bredden kanske man kan säga 😉

      Simon Rybrand
  19. Alltså, det är ju löjligt att en får fel på en uppgift för att en inte skrivit det skrivna svaret precis som ni gjort. T. ex. i den sista uppgiften så valde jag att skriva 50 sekunder. men fick fel för att jag satte en punkt efter sekunder. Går det inte att lägga in flera olika formulerade rätta svar i rättningssystemet?

    Vänlig hälsning.

    Linus Jakobsson
    1. Hej
      Vi brukar försöka att täcka in allt, där har vi missat men ordnar det såklart, tack för att du sade till!

      Simon Rybrand

Kommentarer är inaktiverade. Logga in för att felrapportera.

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: