Ange andragradsfunktionen utifrån nollställen och en punkt - (Ma 2) - Matematikvideo

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 2 BC

Ange andragradsfunktionen utifrån nollställen och en punkt

Andragradsfunktioner

Video

Video, text & övningsfrågor av: Simon Rybrand

I den här videon visar vi en metod för att ta fram andragradsfunktionens funktionsuttryck utifrån nollställen och en annan punkt.

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM


  • 600+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
PROVA FÖR 9 kr
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.
11 votes, average: 3,91 out of 511 votes, average: 3,91 out of 511 votes, average: 3,91 out of 511 votes, average: 3,91 out of 511 votes, average: 3,91 out of 5
11
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

8
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
MEDELPOÄNG
ALLA
2

Text

Att konstruera funktionsuttryck till en graf

Om vi känner till funktionens nollställen samt ytterligare en punkt på grafen, kan vi ta fram funktionens formel.

Faktorform

I faktorform se polynomfunktionens formel ut på följande vis.

Polynomfunktion i faktorform

 $f\left(x\right)=k\left(x-x_1\right)\cdot\left(x-x_2\right)\cdot…\cdot\left(x-x_n\right)$ƒ (x)=k(xx1)·(xx2)··(xxn) 

där $x_1$x1,  $x_2$x2 och  $x_n$xn är nollställenas  $x$x -värden. Konstanten $k$k motsvarar koefficienten framför termen med högst grad.

Detta ger att alla andragradsfunktioner  $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ƒ (x)=ax2+bx+c, med nollställena $x_1$x1 och  $x_2$x2  i faktorform kan skrivas som

 $f\left(x\right)=k\left(x-x_1\right)\cdot\left(x-x_2\right)$ƒ (x)=k(xx1)·(xx2) 

där  $k=a$k=a. Med andra ord motsvarar $k$k andragradstermens koefficient. 

Nollställen och faktorer

Funktionens nollställen är där grafen skär $x$x -axeln. Dessa punkter har alla gemensamt, att deras  $y$y -värde är lika med noll. 

En förutsättning för att vi skall förstå metoden som presenteras i videon, är att vi känner till följande koppling mellan nollställen och faktorerna då funktionen skrivs i faktorform.

Om funktionen har ett nollställe då $x=a$x=a, så innebär det att funktionen i faktorform har en faktor $\left(x-a\right)$(xa), som ger att funktionsvärdet blir noll.

Man kan säga att vi använder nollproduktmetoden baklänges. Nollproduktmetoden ger oss nollställena, genom att då en faktor antar värdet noll, blir hela produkten lika med noll. Nollställena kan vi få fram genom att vi beräknar de värden på $x$x, som ger att faktor efter faktor blir lika med noll.

Om en funktion har två nollställen och dessa återfinns i $x=2$x=2  och  $x=-5$x=5, så innebär det att denna funktion består av faktorerna $\left(x-2\right)$(x2) och $\left(x+5\right)$(x+5) . Vi kan då skriva funktionen i faktorform som $f\left(x\right)=k\left(x-2\right)\left(x+5\right)$ƒ (x)=k(x2)(x+5). Konstanten $k$k kan vi bestämma om vi känner till ytterligare en punkt på grafen.

Hur gör jag för att hitta nollställena?

Är grafen given kan vi läsa av nollställena. De motsvarar  $x$x -värdena för de punkter där funktionen skär $x$x -axeln.

Har vi inte tillgång till grafen kan vi beräkna nollställena genom att sätta funktionsuttrycket lika med noll. Sedan löser vi ekvationen och får på så vis fram dem.

Vilken annan punkt ska jag välja?

Vilken punkt som helst, som tillhör funktionen och inte är ett nollställe går bra att använda. Antingen läser vi av ytterligare en punkt i grafen, om vi nu har den. Alternativt tar vi fram en punkt till, genom att sätta in ett valfritt (definierat) värde på $x$x och beräkna det tillhörande funktionsvärdet ( $y$y  -värdet). 

Som sagt är fungerar alla punkter som inte är nollställen, så länge de är definierade för funktionen. Men en punkt som gör det extra enkelt att räkna med, är punkten där grafen skär $y$y -axeln. För denna punkt är $x=0$x=0. Om vi kallar den för $\left(0,\text{ }y_0\right)$(0, y0) får vi att

 $y_0=k\left(0-x_1\right)\cdot\left(0-x_2\right)\cdot…\cdot\left(0-x_n\right)=k\cdot x_1\cdot x_2\cdot…\cdot x_n$y0=k(0x1)·(0x2)··(0xn)=k·x1·x2··xn

Alltså $k$k gånger alla nollställen. För denna punkt slipper du beräkna alla parentesers värde innan du multiplicerar dem. Du får fram värdet på $k$k direkt genom att dividera  $y$y -värdet med alla nollställen.

 $k=$k=  $\frac{y_0}{x_1\cdot x_2\cdot…\cdot x_n}$y0x1·x2··xn  

Nu testar vi metoden i ett exempel.

Exempel 1

En andragradsfunktion har nollställena  $\left(6,0\right)$(6,0) och  $\left(-3,0\right)$(3,0) och skär $y$y -axeln i  $y=-36$y=36. Bestäm andragradsfunktionen.

Lösning:

Vi skriver funktionen i faktorform med hjälp av nollställena.

$f\left(x\right)=k\left(x-6\right)\left(x+3\right)$ƒ (x)=k(x6)(x+3)

Om  $x=0$x=0 så gäller att  $y=-36$y=36 . Vi sätter in värdena i funktionsuttrycket för att beräkna  $k$k .

 $-36=k\left(0-6\right)\left(0+3\right)$36=k(06)(0+3) 

 $-36=k\left(-6\right)\left(3\right)$36=k(6)(3) 

 $-36=-18k$36=18k 

 $k=2$k=2 

Nu känner vi till $k$k och kan skriva ut hela funktionen i faktorform.

 $f\left(x\right)=2\cdot\left(x-6\right)\left(x+3\right)$ƒ (x)=2·(x6)(x+3) 

Vill vi svara i utvecklad form får vi att

 $f\left(x\right)=2x^2-6x-36$ƒ (x)=2x26x36

eftersom att 

 $f\left(x\right)=2\cdot\left(x-6\right)\left(x+3\right)=2\left(x^2-3x-18\right)=$ƒ (x)=2·(x6)(x+3)=2(x23x18)= $2x^2-6x-36$2x26x36  

Observera att konstanten i funktionsuttryckets utvecklade form, alltid är densamma som $y$y -värdet för punkten där grafen skär $y$y -axeln. Alltså där  $x=0$x=0.

Detta är förhoppningsvis bekant för dig från den linjära funktionen samt andragradsfunktionen, där $m$m -värdet respektive $c$c -värdet läses av vid grafens skärningspunkt med $y$y  -axeln.

Exempel i videon

Ange den utritade andragradsfunktionens formel. Se bild i video.

Kommentarer

  1. Samma för sig som för Rasmus. Jag skriver svaret som det står att det ska skrivas men det blir ändå inte ”rätt”:

    Linus Jakobsson
    1. Hej! Vi byter format på den uppgiften så att det skall bli enklare att få den korrekt. Tack för era kommentarer om detta.

      Simon Rybrand
  2. Mitt svar är fel men ändå rättså nått sätt..?
    Ditt svar: f(x)=-4x^2+16x-12
    Rätt svar: f(x)=−4×2+16x−12

    Rasmus Mononen
    1. Det är flera olika sätt att skriva uttrycket på som är korrekt i uppgiften. Vi skriver dock svaret i utvecklad form och med matematiska formler så det kan se lite olika ut från ditt svar.

      Simon Rybrand

Endast premiumkunder kan kommentera. Prova Premium!

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: