...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Ange andragradsfunktionen utifrån nollställen och en punkt

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

I den här lektionen visar vi en metod för att ta fram andragradsfunktionens funktionsuttryck utifrån nollställen och en annan punkt.

Att konstruera funktionsuttryck till en graf

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Om vi känner till funktionens nollställen samt ytterligare en punkt på grafen, kan vi ta fram funktionens formel.

Faktorform

I faktorform se polynomfunktionens formel ut på följande vis.

Polynomfunktion i faktorform

 $f\left(x\right)=k\left(x-x_1\right)\cdot\left(x-x_2\right)\cdot…\cdot\left(x-x_n\right)$ƒ (x)=k(xx1)·(xx2)··(xxn) 

där $x_1$x1,  $x_2$x2 och  $x_n$xn är nollställenas  $x$x -värden. Konstanten $k$k motsvarar koefficienten framför termen med högst grad.

Detta ger att alla andragradsfunktioner  $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ƒ (x)=ax2+bx+c, med nollställena $x_1$x1 och  $x_2$x2  i faktorform kan skrivas som

 $f\left(x\right)=k\left(x-x_1\right)\cdot\left(x-x_2\right)$ƒ (x)=k(xx1)·(xx2) 

där  $k=a$k=a. Med andra ord motsvarar $k$k andragradstermens koefficient. 

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Nollställen och faktorer

Funktionens nollställen är där grafen skär $x$x -axeln. Dessa punkter har alla gemensamt, att deras  $y$y -värde är lika med noll. 

En förutsättning för att vi skall förstå metoden som presenteras i videon, är att vi känner till följande koppling mellan nollställen och faktorerna då funktionen skrivs i faktorform.

Om funktionen har ett nollställe då $x=a$x=a, så innebär det att funktionen i faktorform har en faktor $\left(x-a\right)$(xa), som ger att funktionsvärdet blir noll.

Man kan säga att vi använder nollproduktmetoden baklänges. Nollproduktmetoden ger oss nollställena, genom att då en faktor antar värdet noll, blir hela produkten lika med noll. Nollställena kan vi få fram genom att vi beräknar de värden på $x$x, som ger att faktor efter faktor blir lika med noll.

Om en funktion har två nollställen och dessa återfinns i $x=2$x=2  och  $x=-5$x=5, så innebär det att denna funktion består av faktorerna $\left(x-2\right)$(x2) och $\left(x+5\right)$(x+5) . Vi kan då skriva funktionen i faktorform som $f\left(x\right)=k\left(x-2\right)\left(x+5\right)$ƒ (x)=k(x2)(x+5). Konstanten $k$k kan vi bestämma om vi känner till ytterligare en punkt på grafen.

Hur gör jag för att hitta nollställena?

Är grafen given kan vi läsa av nollställena. De motsvarar  $x$x -värdena för de punkter där funktionen skär $x$x -axeln.

Har vi inte tillgång till grafen kan vi beräkna nollställena genom att sätta funktionsuttrycket lika med noll. Sedan löser vi ekvationen och får på så vis fram dem.

Vilken annan punkt ska jag välja?

Vilken punkt som helst, som tillhör funktionen och inte är ett nollställe går bra att använda. Antingen läser vi av ytterligare en punkt i grafen, om vi nu har den. Alternativt tar vi fram en punkt till, genom att sätta in ett valfritt (definierat) värde på $x$x och beräkna det tillhörande funktionsvärdet ( $y$y  -värdet). 

Som sagt är fungerar alla punkter som inte är nollställen, så länge de är definierade för funktionen. Men en punkt som gör det extra enkelt att räkna med, är punkten där grafen skär $y$y -axeln. För denna punkt är $x=0$x=0. Om vi kallar den för $\left(0,\text{ }y_0\right)$(0, y0) får vi att

 $y_0=k\left(0-x_1\right)\cdot\left(0-x_2\right)\cdot…\cdot\left(0-x_n\right)=k\cdot x_1\cdot x_2\cdot…\cdot x_n$y0=k(0x1)·(0x2)··(0xn)=k·x1·x2··xn

Alltså $k$k gånger alla nollställen. För denna punkt slipper du beräkna alla parentesers värde innan du multiplicerar dem. Du får fram värdet på $k$k direkt genom att dividera  $y$y -värdet med alla nollställen.

 $k=$k=  $\frac{y_0}{x_1\cdot x_2\cdot…\cdot x_n}$y0x1·x2··xn  

Nu testar vi metoden i ett exempel.

Exempel 1

En andragradsfunktion har nollställena  $\left(6,0\right)$(6,0) och  $\left(-3,0\right)$(3,0) och skär $y$y -axeln i  $y=-36$y=36. Bestäm andragradsfunktionen.

Lösning:

Vi skriver funktionen i faktorform med hjälp av nollställena.

$f\left(x\right)=k\left(x-6\right)\left(x+3\right)$ƒ (x)=k(x6)(x+3)

Om  $x=0$x=0 så gäller att  $y=-36$y=36 . Vi sätter in värdena i funktionsuttrycket för att beräkna  $k$k .

 $-36=k\left(0-6\right)\left(0+3\right)$36=k(06)(0+3) 

 $-36=k\left(-6\right)\left(3\right)$36=k(6)(3) 

 $-36=-18k$36=18k 

 $k=2$k=2 

Nu känner vi till $k$k och kan skriva ut hela funktionen i faktorform.

 $f\left(x\right)=2\cdot\left(x-6\right)\left(x+3\right)$ƒ (x)=2·(x6)(x+3) 

Vill vi svara i utvecklad form får vi att

 $f\left(x\right)=2x^2-6x-36$ƒ (x)=2x26x36

eftersom att 

 $f\left(x\right)=2\cdot\left(x-6\right)\left(x+3\right)=2\left(x^2-3x-18\right)=$ƒ (x)=2·(x6)(x+3)=2(x23x18)= $2x^2-6x-36$2x26x36  

Observera att konstanten i funktionsuttryckets utvecklade form, alltid är densamma som $y$y -värdet för punkten där grafen skär $y$y -axeln. Alltså där  $x=0$x=0.

Detta är förhoppningsvis bekant för dig från den linjära funktionen samt andragradsfunktionen, där $m$m -värdet respektive $c$c -värdet läses av vid grafens skärningspunkt med $y$y  -axeln.

Exempel i videon

Ange den utritade andragradsfunktionens formel. Se bild i video.

Kommentarer

Sofia Lilja

Hej. Ang uppgift 5. Får att 2x^2 – 18 är fel trots att det ska vara rätt?

    David Admin (Moderator)

    f(Hej Sofia,

    Kan det vara så att du missat att skriva med $f(x)$ i svaret? I så fall får du tyvärr fel, även om ditt funktionsuttryck är korrekt.

    Om du svarat fel på någon uppgift kan du alltid klicka på facit och då kommer det upp en möjlighet att klicka fram ”korrekta varianter”.

    Hoppas detta var förklaring på din fråga.
    Lycka till!

Linus Jakobsson

Samma för sig som för Rasmus. Jag skriver svaret som det står att det ska skrivas men det blir ändå inte ”rätt”:

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej! Vi byter format på den uppgiften så att det skall bli enklare att få den korrekt. Tack för era kommentarer om detta.

Rasmus Mononen

Mitt svar är fel men ändå rättså nått sätt..?
Ditt svar: f(x)=-4x^2+16x-12
Rätt svar: f(x)=−4×2+16x−12

    Simon Rybrand (Moderator)

    Det är flera olika sätt att skriva uttrycket på som är korrekt i uppgiften. Vi skriver dock svaret i utvecklad form och med matematiska formler så det kan se lite olika ut från ditt svar.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (2)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilka är andragradsfunktionens nollställen då $f\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x+4\right)$ƒ (x)=(x2)(x+4)?

    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilka är andragradsfunktionens nollställen då $f\left(x\right)=\left(13-x\right)\left(x+7\right)$ƒ (x)=(13x)(x+7)?

    Rättar...

c-uppgifter (6)

  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M
    R1
    K

    Punkterna $\left(5,0\right)$(5,0) och $\left(-4,0\right)$(4,0) tillhör funktionen $f\left(x\right)$ƒ (x). Bestäm $a$a för andragradsfunktionen $f\left(x\right)=\left(x-a\right)\left(x+4\right)$ƒ (x)=(xa)(x+4).

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (0/3/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K1

    Ange andragradsfunktionen $f\left(x\right)$ƒ (x) som har nollställena $x_1=1$x1=1 och $x_2=3$x2=3 och går genom punkten $\left(4,-12\right)$(4,12)

    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (0/3/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K1

    Ange andragradsfunktionen $f\left(x\right)$ƒ (x) som går genom punkten $(-3,0)$(3,0) och  $\left(3,0\right)$(3,0) och har minsta funktionsvärdet i punkten $\left(0,-18\right)$(0,18)

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    Figuren visar andragradsfunktionen $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ƒ (x)=ax2+bx+c.

    Bestäm konstanterna $a$a ,  $b$b  och  $c$c.

    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Ange andragradsfunktionen $f\left(x\right)$ƒ (x) som bara har ett nollställe vid $x=2$x=2 och som går genom punkten $\left(6,10\right)$(6,10)

    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    Andragradsfunktionen $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ƒ (x)=ax2+bx+c har endast ett nollställe samt går genom punkten $\left(3,27\right)$(3,27) och symmetrilinjens ekvation är $x_{sym}=0$xsym=0. Bestäm konstanterna  $a$a$b$b  och  $c$c.

    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar