...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Interaktivt material Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /      ██████████████████████████

Grafisk lösning av linjära ekvationssystem

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

I den här lektionen lär du dig hur man med grafisk metod löser linjära ekvationssystem. Lösningen till ett linjärt ekvationssystem är koordinaterna för skärningspunkten mellan två eller flera linjer.

Grafisk lösning

Ett linjärt ekvationssystem kan tolkas grafiskt som räta linjer i ett koordinatsystem. Lösningen till det linjära ekvationssystem är koordinaterna för linjernas skärningspunkter. Du anger både $x$x -värdet och $y$y -värdet i din lösning. För att lösa ekvationssystemet på detta sätt kan du antingen läsa av lösningen direkt eller rita ut linjerna och sedan läsa av lösningen.

Antal lösningar till ekvationssystem

Om linjerna skär varandra så finns det en lösning. Om de är parallella så kommer kommer du inte ha någon lösning alls. Om linjerna är samma linje, dvs de har samma k-värde och m-värde, så kommer ekvationssystemet att ha oändligt antal lösningar.

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Metod för att lösa ekvationssystemet grafiskt

Nedan visar vi två sätt att lösa linjära ekvationssystem. I det första exemplet är linjerna redan utritade och vi behöver då bara läsa av lösningen.

Exempel 1

Lös ekvationssystemet $\begin{cases} y=3x-2,5 \quad (1) \\ y=-x+3,5 \quad (2) \end{cases}$

Graferna till ekvationssystemet är utritade i figuren nedan.

Exempel 1 grafisk lösning

Lösning

Först kan vi notera koordinataxlarnas markering där vi ser att varje rutsteg representerar  $0,5$0,5. Genom att avlas vilken av linjerna som har positiv respektive negativ lutning ser vi att den röda linjen har ekvationen $y=3x-2,5$y=3x2,5 och den blå linjen har ekvationen $y=-x+3,5$y=x+3,5.

Vi läser av att linjerna skär varandra där $x=1,5$x=1,5 och $y=2$y=2.

Lösningen till ekvationssystemet är därmed

$\begin{cases} x=1,5 \\ y=2 \end{cases}$

När vi inte får en färdig figur av graferna i ett koordinatsystem måste vi först rita ut linjerna. Sedan läser vi av lösningen.

Exempel 2

Lös det linjära ekvationssystemet grafiskt.

$\begin{cases} y-2x=1 \quad (1) \\ y-5=-2x \quad (2) \end{cases}$

Lösning

Vi börjar med att skriva om ekvationerna på formen $y=kx+m$y=kx+m.

Ekvation (1)
$y-2x=1$y2x=1 addera med 2x
$y=2x+1$y=2x+1
Linjen har lutningen $k=2$k=2  och skär y $y$y -axeln i $y=1$y=1

Ekvation (2)
$y-5=-2x$y5=2x addera med 5
$y=-2x+5$y=2x+5
Linjen har lutningen $k=-2$k=2 och skär  $y$y -axeln i $y=5$y=5

Med denna information kan vi använda ett koordinatsystem, penna och linjal för att rita ut linjen.

Exempel 2 grafisk lösning

Vi läser av linjernas skärningspunkt i $x=1$x=1 och $y=3$y=3. Lösningen till ekvationssystemet är därför

$\begin{cases} x=1 \\ y=3 \end{cases}$

Rita en linje utifrån räta linjens ekvation y = kx+m

Nedan visas en metod för att rita ut en linje på egen hand.

Rita ut linjen  $y=2x-2$y=2x2

  1. Lutningen  $k=2$k=2 och m-värdet är $m=-2$m=2.
  2. Vi börjar med att använda oss av att $m=-2$m=2. Detta betyder att linjen skär  $y$y -axeln där $y=-2$y=2. Då får vi den röda punkten $\left(0,-2\right)$(0,2) nedan.
  3. Då lutningen är $2$2 gäller att för varje steg vi tar i x-led kommer vi två steg uppåt i y-led. Så tar vi ett steg från den röda punkten hamnar vi två steg uppåt i den gröna punkten $\left(1,0\right)$(1,0) i bilden nedan.
  4. Nu kan vi rita ut linjen genom att dra ett streck som går genom de bägge punkterna.

Använda grafräknare för att lösa ekvationssystemet

Nedan visar vi hur du kan använda en grafritande räknare för att lösa ett linjärt ekvationssystem. Vi använder i detta fall en Texas TI-83. Instruktionen att göra detta på är följande:

  1. Tryck på Y=
  2. Skriv i de bägge linjerna på formen kx+m (Y=står redan)
  3. Tryck på GRAPH för att rita ut linjerna
  4. Du kan direkt läsa av en lösning om du har ställt in inställningarna i WINDOW korrekt.
  5. Om du vill läsa av skärningspunkten mer exakt kan du trycka på 2nd > CALC och välja intersect

Inga lösningar

Som nämns i början av lektionen kan ett linjärt ekvationssystem ha antingen inga, exakt en eller oändligt antal lösningar. Då linjerna är parallella har ekvationssystemet inga lösningar. Man säker att det saknar lösningar.

Detta inträffar då linjerna har samma lutning, men olika $m$m -värden.

Två linjer som är parallella skär aldrig varandra. Eftersom att lösningar till ett linjärt ekvationssystem infaller då linjerna skär varandra, blir följden att ett system med två parallella linjer saknar lösning.

Ett linjärt ekvationssystem vars ekvationer representerar två parallella linjer som inte sammanfaller, saknar lösningar.

Ett exempel på ett sådant är följande ekvationssystem.

Exempel 3

Hur många lösningar har ekvationssystemet?

$\begin{cases} y=3x+1 \quad (1) \\ y=3x-1 \quad (2) \end{cases}$

Lösning

Vi ritar upp graferna till ekvationerna.

Parallella linjer, ingen lösning

Bägge linjerna i ekvationssystemet har koefficienten $3$3 framför  $x$x -termen och är skrivna på formen $y=kx+m$y=kx+m. De är därmed parallella och kommer aldrig att skära varandra i någon punkt. Ekvationssystemet saknar lösningar.

När du löser ett ekvationssystem där linjerna är parallella med en algebraisk metod kommer du att få omöjliga ekvationer. Detta beror på att  $x$x -termerna tar ut varandra. Undersök då om de är parallella genom att rita ut dem.

Oändligt antal lösningar

Ett linjärt ekvationssystem kan också ha oändligt antal lösningar. Det har ekvationssystemet om de bägge ekvationerna representerar samma linje.

När man ritar ekvationssystemets två grafer kommer graferna att ”ligga på varandra”, alltså sammanfalla. Det gör att graferna skär varandra i oändligt många punkter, vilket medför att systemet har oändligt många lösningar, eftersom att alla varje skärningspunkt representerar en lösning till ekvationssystemet.

Ett linjärt ekvationssystem vars ekvationer representerar två parallella linjer som sammanfaller, har oändligt antal lösningar.

Ibland kan man först behöva skriva om ekvationssystemet för att se att det är samma linje.

Exempel 4

Hur många lösningar har ekvationssystemet?

$\begin{cases} y-2x=1 \quad (1) \\ 3y-3=6x \quad (2) \end{cases}$

Lösning

Vi skriver om ekvation (1) i  $k$k -form

$y-2x=1$y2x=1     addera båda leden med 2x
$y=2x+1$y=2x+1

Vi skriver om ekvation (2) i  $k$k -form.

$3y-3=6x$3y3=6x      addera båda leden med 3
$3y=6x+3$3y=6x+3      dividera båda leden med 3
$y=2x+1$y=2x+1

Nu ser vi att de bägge ekvationerna egentligen beskriva samma linje, vilket innebär att ekvationssystemet kommer att ha oändligt antal lösningar.

När du löser ett ekvationssystem där båda ekvationerna beskriver samma linje kommer du att få omöjlig ekvation att lösa algebraiskt. Detta beror på att alla termer tar ut varandra. Skriv då om dem till formen $y=kx+m$y=kx+m och lös det grafiskt.

Kommentarer

Viktoria Almberg

Hej, jag har förstått allting med hur man räknar ut m och k-värde (på redan existerande linje t.ex), men jag undrar hur man tänker när man ritar ut linjerna själv, som i första exemplet ” Den röda linjen har ekvationen y=3x−2,5 och den blå linjen har ekvationen y=−x+3,5”

Vad utgår man ifrån när man ritar linjerna?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Det kan vara bra att du kikar igenom vår lektion om räta linjens ekvation om du är osäker på detta: https://matematikvideo.se/lektioner/rata-linjens-ekvation/
    Kortfattat (med exemplet y=3x−2,5) så brukar jag göra så här:

    • Jag börjar med att markera ut m-värdet -2,5 som är y-värdet där linjen skär y-axeln. Detta är alltså punkten (0; -2,5)
    • Sedan så är k-värdet 3 vilket betyder att för varje steg vi tar horisontellt i x-led så kommer vi 3 steg uppåt i y-led. Så om vi gör det kommer vi från m-värdet till punkten (1, 0,5).
    • Nu har vi två punkter och kan dra en linje mellan dem.

    Jag gör även så att jag skriver en liknande guide i texten här ovan ifall det är någon mer som funderar på detta.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (7)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Figuren nedan beskriver graferna till ett ekvationssystem.

    Ange koordinaten till den punkt där man kan hitta lösningen till ekvationssystemet.

    Linjärt ekvationssystem

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    I figuren nedan beskriver graferna till ekvationssystemet $\begin{cases} y=x+3 \\ y=-2x+6 \end{cases}$ 

    Vilket alternativ är lösningen till ekvationssystemet?

    Linjärt ekvationssystem

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    I figuren nedan beskriver graferna till ekvationssystemet $\begin{cases} y=-x+2 \\ y=x+1 \end{cases}$ 

    Vilket alternativ är lösningen till ekvationssystemet?

    Linjärt ekvationssystem

    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilken linje är utritad i koordinatsystemet?

    Rät linje

    Svara på formen $y=kx+m$y=kx+m.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Har ekvationssystemet nedan noll, en eller oändligt antal lösningar?

    $\begin{cases} y=3x+2 \\ y=3x \end{cases}$

    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Har ekvationssystemet nedan noll, en eller oändligt antal lösningar?

    $\begin{cases} y=3x+2 \\ y=2x \end{cases}$

    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm koordinaterna för skärningspunkten mellan linjerna $y=2x-8$y=2x8 och $x+y=10$x+y=10.

    Rättar...

c-uppgifter (3)

  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M1
    R
    K

    Lös det linjära ekvationssystemet $\begin{cases} y+x=-1 \\ y+7=2x \end{cases}$

    grafiskt, alltså genom att rita ut linjerna och läsa av lösningen i koordinatsystemet.

    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M1
    R
    K

    Lös det linjära ekvationssystemet $\begin{cases} y+2x=6\\ 2y-2=x  \end{cases}$

    grafiskt.

    Rättar...
  • 10. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    Ekvationssystemet

    $\begin{cases} x+y=a \\ y+ax=1 \end{cases}$

    Har lösningen $x=-1$x=1 och $y=5$y=5

    Bestäm talet $a$a.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar