Grafisk lösning av linjära ekvationssystem (Matte 2) - Matematikvideo

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 2

Grafisk lösning av linjära ekvationssystem

Video

Video, text & övningsfrågor av: Simon Rybrand

I den här lektionen lär du dig hur man med grafisk metod löser linjära ekvationssystem. Lösningen till ett linjärt ekvationssystem är koordinaterna för skärningspunkten mellan två eller flera linjer.

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM


  • 600+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
PROVA FÖR 9 kr
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.
5 votes, average: 4,40 out of 55 votes, average: 4,40 out of 55 votes, average: 4,40 out of 55 votes, average: 4,40 out of 55 votes, average: 4,40 out of 5
5
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

7
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
MEDELPOÄNG
ALLA
0

Text

Grafisk lösning av linjära ekvationssystem

Ett linjärt ekvationssystem består av ekvationer som kan ritas ut som räta linjer. Lösningen till det linjära ekvationssystem är koordinaterna för dessa linjers skärningspunkt. Då anger du både x-värdet och y-värdet i din lösning. För att lösa ekvationssystemet på detta sätt kan du antingen läsa av lösningen direkt eller rita ut linjerna och sedan läsa av lösningen.

Om linjerna skär varandra så finns det en lösning. Om de är parallella så kommer kommer du inte ha någon lösning alls. Om linjerna är samma linje, dvs de har samma k-värde och m-värde, så kommer ekvationssystemet att ha oändligt antal lösningar.

Metod för att lösa ekvationssystemet grafiskt

Nedan visar vi två sätt att lösa linjära ekvationssystem. I det första exemplet är linjerna redan utritade och vi behöver då bara läsa av lösningen. I det andra exemplet får vi först rita ut linjerna. Sedan läser vi av lösningen.

Exempel 1

$\begin{cases} y=3x-2,5 \quad (1) \\ y=-x+3,5 \quad (2) \end{cases}$

Graferna (linjerna) till ekvationssystemet är utritade i figuren nedan. Vilken är lösningen till ekvationssystemet?

Exempel 1 grafisk lösning

Lösning

Först kan vi notera koordinataxlarnas markering där vi ser att varje rutsteg representerar 0,5. Den röda linjen har ekvationen $y=3x-2,5$y=3x2,5 och den blå linjen har ekvationen $y=-x+3,5$y=x+3,5.

Vi läser av att linjerna skär varandra där $x=1,5$x=1,5 och $y=2$y=2.

Lösningen till ekvationssystemet är alltså

$\begin{cases} x=1,5 \\ y=2 \end{cases}$

Exempel 2

$\begin{cases} y-2x=1 \quad (1) \\ y-5=-2x \quad (2) \end{cases}$

Lös det linjära ekvationssystemet genom att rita ut linjerna och läsa av lösningen.

Lösning

Här börjar vi med att skriva om de bägge ekvationerna så att de står på formen $y=kx+m$y=kx+m.

Ekvation (1)
$y-2x=1$y2x=1 addera med 2x
$y=2x+1$y=2x+1
Linjen har lutningen k=2 och skär y-axeln i y=1

Ekvation (2)
 $y-5=-2x$y5=2x addera med 5
 $y=-2x+5$y=2x+5 
Linjen har lutningen k=-2 och skär y-axeln i y=5

Med denna information kan vi använda ett koordinatsystem, penna och linjal för att rita ut linjen.

Exempel 2 grafisk lösning

Här kan vi läsa av där linjerna skär varandra i $x=1$x=1 och $y=3$y=3. Lösningen till ekvationssystemet är alltså

$\begin{cases} x=1 \\ y=3 \end{cases}$

Rita en linje utifrån räta linjens ekvation y = kx+m

Nedan visas en metod för att rita ut en linje på egen hand.

Rita ut linjen y = 2x – 2

  1. Lutningen  $k=2$k=2 och m-värdet är $m=-2$m=2.
  2. Vi börjar med att använda oss av att $m=-2$m=2. Detta betyder att linjen skär y-axeln där $y=-2$y=2. Då får vi den röda punkten $\left(0,-2\right)$(0,2) nedan.
     
  3. Då lutningen är $2$2 gäller att för varje steg vi tar i x-led kommer vi två steg uppåt i y-led. Så tar vi ett steg från den röda punkten hamnar vi två steg uppåt i den gröna punkten $\left(1,0\right)$(1,0) i bilden nedan.
  4. Nu kan vi rita ut linjen genom att dra ett streck som går genom de bägge punkterna.

Använda grafräknare för att lösa ekvationssystemet

Nedan visar vi hur du kan använda en grafritande räknare för att lösa ett linjärt ekvationssystem. Vi använder i detta fall en Texas TI-83. Instruktionen att göra detta på är följande:

  1. Tryck på Y=
  2. Skriv i de bägge linjerna på formen kx+m (Y=står redan)
  3. Tryck på GRAPH för att rita ut linjerna
  4. Du kan direkt läsa av en lösning om du har ställt in inställningarna i WINDOW korrekt.
  5. Om du vill läsa av skärningspunkten mer exakt kan du trycka på 2nd > CALC och välja intersect

Inga lösningar

Som nämns i början av texten kan ett linjärt ekvationssystem ha inga lösningar då linjerna är parallella. Dvs då de har samma lutning men olika m-värden. Ett exempel på ett sådant är följande ekvationssystem.

$\begin{cases} y=3x+1 \quad (1) \\ y=3x-1 \quad (2) \end{cases}$

Parallella linjer, ingen lösning

Bägge linjerna i ekvationssystemet har koefficienten $3$3 framför x-termen och är skrivna på formen $y=kx+m$y=kx+m. De är därmed parallella och kommer aldrig att skära varandra i någon punkt.

När du löser ett ekvationssystem där linjerna är parallella med en algebraisk metod kommer du att få omöjliga ekvationer. Detta beror på att x-termerna tar ut varandra. Undersök då om de är parallella genom att rita ut dem.

Oändligt antal lösningar

Ett linjärt ekvationssystem kan också ha oändligt antal lösningar. Det har ekvationssystemet om de bägge ekvationerna representerar samma linje. Ibland kan man först behöva skriva om ekvationssystemet för att se att det är samma linje.

$\begin{cases} y-2x=1 \quad (1) \\ 3y-3=6x \quad (2) \end{cases}$

Vi kan undersöka om ekvation (2) som vi kan skriva om på följande vis.

$3y-3=6x$3y3=6x addera med 3
$3y=6x+3$3y=6x+3 Dela med 3
$y=2x+1$y=2x+1 

Ekvation (2) kan vi skriva om på följande vis

 $y-2x=1$y2x=1 addera med 2x
 $y=2x+1$y=2x+1 

Nu ser vi att de bägge ekvationerna egentligen beskriva samma linje. Ekvationssystemet kommer att ha oändligt antal lösningar.

När du löser ett ekvationssystem där du får samma linje med en algebraisk metod kommer du att få omöjliga ekvationer. Detta beror på att alla termer tar ut varandra. Rita då ut dem eller skriv om dem till formen $y=kx+m$y=kx+m.

Kommentarer

  1. Hej, jag har förstått allting med hur man räknar ut m och k-värde (på redan existerande linje t.ex), men jag undrar hur man tänker när man ritar ut linjerna själv, som i första exemplet ” Den röda linjen har ekvationen y=3x−2,5 och den blå linjen har ekvationen y=−x+3,5”

    Vad utgår man ifrån när man ritar linjerna?

    Viktoria Almberg
    1. Hej
      Det kan vara bra att du kikar igenom vår lektion om räta linjens ekvation om du är osäker på detta: https://matematikvideo.se/lektioner/rata-linjens-ekvation/
      Kortfattat (med exemplet y=3x−2,5) så brukar jag göra så här:

      • Jag börjar med att markera ut m-värdet -2,5 som är y-värdet där linjen skär y-axeln. Detta är alltså punkten (0; -2,5)
      • Sedan så är k-värdet 3 vilket betyder att för varje steg vi tar horisontellt i x-led så kommer vi 3 steg uppåt i y-led. Så om vi gör det kommer vi från m-värdet till punkten (1, 0,5).
      • Nu har vi två punkter och kan dra en linje mellan dem.

      Jag gör även så att jag skriver en liknande guide i texten här ovan ifall det är någon mer som funderar på detta.

      Simon Rybrand

Endast premiumkunder kan kommentera. Prova Premium!

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: