Stämmer det att 0,999… = 1?
2015-09-23 Av Simon Rybrand 1 kommentar
FrÃ¥gan ovan har jag ibland fÃ¥tt frÃ¥n elever i klassrummet och även via mail här via Matematikvideo.se. Ofta sÃ¥ har personen som frÃ¥gar detta hittat detta pÃ¥stÃ¥ende pÃ¥ nätet och undrar om det verkligen kan stämma? Det finns ju även anledningar att ibland ifrÃ¥gasätta information som ”hittas” pÃ¥ nätet, självklart stämmer inte allt men i det här fallet sÃ¥ stämmer det faktiskt!
I det här blogginlägget tänkte jag att vi faktiskt reder ut varför det stämmer.
0,999… och oändligheten
En av orsakerna till att det kan vara lite svårt att få tankarna på rätt plats när det gäller det här påståendet är att det är ganska jobbigt får våra hjärnor att förstå begreppet oändlighet. Det går ju inte att visuellt tänka hur oändligheten möjligtvis kan se ut. Jag klarar i alla fall inte av det 😉
Med de tre punkterna pÃ¥ slutet av 0,999… sÃ¥ menar vi att niorna i decimalutvecklingen fortsätter i all oändlighet. Ju fler nio det är desto närmre kommer vi att vara talet 1 och och när det är oändligt antal nior och det finns ingen skillnad kvar.
TvÃ¥ bevis för att visa att 0,999… = 1
$ x = 0,999… $
$ 10x = 9,999…Â $
$ 10x-x = 9,999… – 0,999…Â $
$ 9x = 9Â $
$ x = 1 $
dvs $ 1 = 0,999…. $
Vi kan även göra beviset på följande vis:
$ \frac13=0,333… $
$ 3â‹…\frac13=3â‹…0,333… $
$ 1=0,999… $
Tycker du att bevisen här är svåra att förstå? Kommentera gärna så kan vi fortsätta diskussionen om detta lite svårgripbara påstående.
Försök göra beviset så att x=999/1000 i stället för 0,999!