...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Prova för 9 kr Prova för 9 kr
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Primtal

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Definition av primtal

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Är du ny här? Så här funkar Premium
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Ett primtal är ett heltal som är större än 1 som endast är delbart med talet 1 och sig självt. Exempel på några primtal är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 och 23.

Primtalsfaktorisering

De positiva heltalen kan delas upp i primtal och sammansatta tal. De sammansatta talen är produkter av primtal i olika kombinationer och kan därför primtalsfaktoriseras.

Primtal

Ett heltal $p$ är ett primtal om $p>1$ och endast är delbart med $1$ eller $p$.

Här är primtalen mellan $1$ och $100$.

$ 2,\,3,\,5,\,7,\,11,\,13,\,17,$ $\,19,\,23,\,29,\,31,\,37,\,$ $41,\,43,\,47,\,53,\,59,\,61,\,$ $67,\,71,\,73,\,79,\,$ $83,\,89,\,97$

Men det finns oändligt många fler primtal.

Matematikens legobitar

Ett sätt att förstå primtalen är att tänka dem som matematikens legobitar. En erfaren legobyggare ser på sin konstruktion som en sammansättning av olika bitar. Genom att kombinerar de olika bitarna på olika sätt kan man konstruera hur stora modeller som helst.

Men konstruktionen består i sin helhet av olika mindre delar. Man kan plocka isär modellen i sina små beståndsdelar igen och genom att kombinera dem på ett nytt sätt få en annorlunda modell. På liknade sätt ser en matematiker talet $30$30 som en produkt av en tvåa, en trea och en femma. 

De positiva heltalen kan nämligen delas upp i primtal och sammansatta tal, där primtalen är de sammansatta talens mindre beståndsdelar. De sammansatta talen byggs upp av primtalsfaktorer

Primtalen har fascinerat och intresserat matematiker i många hundra år. Den grekiske matematikern Euklides (född $325$ f. Kr.) visade att det finns ett oändligt antal primtal. Men trots detta är det inte helt enkelt att hitta ett stort primtal bland en massa sammansatta tal. Detta då primtalen inte följer något speciellt mönster med vilka intervall de kommer på tallinjen. Denna oregelbundenhet har gjort att man har stor nytta av primtal inom exempelvis kryptering av datatrafik.

Definitionen av Sammansatta tal

Ett positiv heltal som inte är ett primtal är ett sammansatt tal. Talet är sammansatt av multiplikation mellan primtal. På grund av detta kan man kan dela upp alla sammansatt tal i faktorer. Man säger att man primtalsfaktoriserar.

Sammansatta tal

Ett sammansatt tal är ett heltal större än $1$1, som för utom sig självt och talet $1$, har ytterligare en delare.

Delaren som inte är talet själv eller ett, kallas för en äkta delare. En äkta delare $d$ddefinieras som delbart med något heltal, utöver talen  $\pm1$±1 och  $\pm d$±d , alltså talet självt och talet självt med ombytt tecken.

Att Primtalsfaktorisera

När man faktoriserar ett tal så delar du upp det i så kallade faktorer. Exempelvis skulle vi kunna faktorisera $12 = 2\cdot6$. Då har vi delat upp siffran i faktorer, dock inte primtalsfaktorer då siffran 6 inte är ett primtal. Istället kallar man då 6 för ett sammansatt tal, d.v.s. ett heltal som inte är ett primtal. Istället får vi fortsätta att faktorisera $12 = 2\cdot2\cdot3$ så att det bara består av primtal.

Exempel 1

Primtalsfaktorisera talet $456$.

Lösning

Vi delar upp talet steg för steg till vi endast har faktorer som är primtal.

$456=2⋅228$
$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=2⋅2⋅114$
$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=2⋅2⋅2⋅57$
$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=2⋅2⋅2⋅3⋅19$

Primtalsfaktorisera med faktorträd

Till hjälp för att primtalsfaktorisera tal kan så kallade faktorträd användas. Här delar man steg för steg upp ett tal i mindre och mindre faktorer tills det endast består av primtal. Alla heltal större än noll kan faktoriseras så att de endast består av primtal.

Exempel 2

Faktorisera talet $124$124 med hjälp av ett faktor träd.

Lösning

Nedan används ett faktorträd för att dela upp talet $ 124 $ i primtalsfaktorer.

Faktorträd

Delare och delbarhet

Begreppet delbarhet motsvarar att kvoten man får när man dividerar två heltal, också är ett heltal.  Som vi tidigare nämnde kan alla heltal delas upp i primtal och sammansatta tal. De har olika möjliga delare, men alla heltal är åtminstone delbara med sig själv och talet $1$. 

Heltalet $a$a är delbart med ett heltal $b\ne0$b0 om kvoten $\frac{a}{b}$ab  är ett heltal.

Man kan då säga att ”$b$ delar $a$” eller att ”$b$ är en delare till $a$”, vilket skrivs som $ b \, | \, a $.

Exempelvis delar talet $2$ talet $28$ då  $\frac{28}{2}=$282 =$14$14 , eftersom att kvoten är ett heltal och vi säger att $ 2 \, | \, 28 $, som vi uttalar som ”$2$ delar $28$” eller ”$2$ är en delare till $28$”.

Delbarhet för primtal och sammansatta tal

Alla primtal är alltid och endast delbara med sig själva och talet $1$.

Alla sammansatta tal är alltid delbara med sig själva och talet $1$, samt talets alla primtalsfaktorer och alla produkter som är möjliga att skapa genom att kombinera primtalsfaktorerna.

Om vi exempelvis har talet  $12$12  så är detta tal delbart med $12,\text{ }6,\text{ }3,\text{ }4,\text{ }2$12, 6, 3, 4, 2 och $1$1. Detta beror på att talet $6$ är ett så kallat sammansatt tal, vilket har primtalsfaktorerna $12=2\cdot2\cdot3$12=2·2·3. Där med är talet  $12$12 delbart med med sig själv och talet $1$1, talets primtalsfaktorer $2$2 och $3$3 samt alla möjlig kombinationer av dessa. Alltså $2\cdot2=4$2·2=4,  $2\cdot3=6$2·3=6 

Delbarhetsregler

När man ska primtalsfaktorisera och jobba med delare underlättar det om man har kan några Delbarhetsregler.

Delbarhetsregler

Talet är delbart med…

   $2$      då talet är jämnt.
   $3$      då talets siffersumma är delbar $3$. 
   $5$      då talets slutsiffra är $0$ eller $5$.
   $10$    då talets slutsiffra är $0$.

I kommande lektioner presenterar vi fler regler kring delbarhet att lära in utantill. Men de ovan är en bra start.

Kontrollera om talet är ett primtal

Eftersom att ett primtal bara är delbart med sig självt och talet  $1$1, kan vi undersöka om ett tal är ett primtal eller ej genom att dividera det med ett antal olika tal. För om talet är delbart med något annat tal än ett och sig självt är det inget primtal, utan ett sammansatt tal.

Vilka tal ska man då välja att dividera med? För att kontrollera talet $n$n, räcker det att man dividerar  $n$n med alla primtal mindre eller lika med  $\sqrt{n}$n.

Varför då? Jo, eftersom att om talet är sammansatt, kan det skrivas som en produkt av talen $a$a och $b$b.

Det i sin tur leder till att om $n=a\cdot b$n=a·b  måste  $a\le\sqrt{n}$an   eller  $b\le\sqrt{n}$bn,  eftersom att vi då får att  $a\cdot b\le\sqrt{n}\cdot\sqrt{n}=n$a·bn·n=n.  Och om då talet $n$n inte är delbart med talet $\sqrt{n}$n eller någon primtal mindre än det kommer det inte heller vara delbart med något annat tal.

Vi tar ett exempel för att förtydliga detta.

Exempel 3

Undersök om talet $211$211 är ett primtal.

Lösning

Om $211$211 inte är ett primtal kan det faktoriseras till en produkt , så här,  $211=a\cdot b$211=a·b , där  $a$a  eller  $b$b.  Talet $211$211 skulle eventuellt kunna delas upp i många fler faktorer än två, men den största möjliga faktor skulle i alla fall vara $\sqrt{211}$211.

Varför det? Jo, för att om vi skriver tvåhundraelva som produkten $a\cdot b$a·b, kan vi konstatera att om  $a\le\sqrt{211}$a211  måste  $b\ge\sqrt{211}$b211 och tvärt om.

Utifrån detta resonemang kan vi dra slutsatsen att den största möjliga heltalsfaktorn vi kan faktorisera talet $211$211 med är talet $15$15 eftersom att $\sqrt{211}\approx15$21115.

För om talet $211$211 inte är delbart med ett tal mindre än $15$15 kommer det inte heller vara delbart med ett annat tal än sig självt större än $211$211, eftersom att

 $211<15\cdot15$211<15·15.

Vi undersöker nu delbarheten med alla primtal $p\le15$p15. Vi behöver inte kolla talet  $15$15 eftersom att det är en produkt av talen  $3$3  och  $5$5  och de då redan kollats. Primtalen är  $2,\text{ }3,\text{ }5,\text{ }7$2, 3, 5, 7 och  $11$11.

Talet $2$ är inte en delare till $211$
Talet $3$ är inte en delare till $211$
Talet $5$ är inte en delare till $211$
Talet $7$ är inte en delare till $211$
Talet $11$ är inte en delare till $211$

Därmed är talet $211$211 ett primtal. Detta eftersom att det inte är delbart med något primtal mindre än roten ur sig självt.

Eratosthenes såll

Nedan kan du med hjälp av ”Eratosthenes såll” leta primtal.  Det är en algoritm (ungefär samma sak som en metod) som uppfanns av greken Eratosthenes för att lista alla primtal. Du väljer här upp till vilket tal som du vill hitta primtal och trycker på ”Leta primtal”. Då används Eratosthenes algoritm för att undersöka vilka tal som är primtal upp till ditt valda tal. Nedanför sökverktyget ser du hur själva algoritmen fungerar.

  1. Gör en lista på alla tal från $2$ till ett tal du väljer, vi kallar det för $n$.
  2. Ta bort alla jämna tal från listan som är större än $2$. Ett alternativ för oss som har datorer är att direkt göra en lista på alla udda tal större än $2$.
  3. Det första talet i listan är nu ett primtal, nämligen talet $3$. 
  4. Behåll talet men ta bort alla andra tal som är delbara av det primtalet. Dessa tal kan ju inte vara ett primtal.
  5. Upprepa nu steg $3$ och $4$ tills du har nått ett tal som är större än kvadratroten ur ditt maxtal $n$. D.v.s. genom att ta kvadratroten ur ditt tal så hittar du det största tal som kan vara en primtalsfaktor till ditt tal.
  6. De tal som blir kvar i listan är endast primtal.

Exempel i videon

  • Primtalsfaktorisera talet $12$.
  • Primtalsfaktorisera talet $66$
  • Primtalsfaktorisera talet $224$ med hjälp av ett faktorträd.

Kommentarer

Jennie Henriksson Smith

På fråga 15 står det i förklaringen att man ska börja med att beräkna roten ur 1157, som blir 34. Varför gör man det steget? Varför ska man bara kolla om talet är jämnt delbart med något primtal upp till just 34?

    Anna Admin (Moderator)

    Hej Jennie,
    Jag har försökt förtydliga i texten under avsnittet Kontrollera om talet är ett primtal i lektionen Primtal, men en förklaring och ett exempel. Hoppas det kan vara till hjälp.

    I korthet kan man säga att det beror på att eftersom att om talet är sammansatt, kan det skrivas som en produkt av talen $a$ och $b$.

    Det i sin tur leder till att om $n=a⋅b$ måste $a\le \sqrt{n} $ eller $b\le \sqrt{n}$, eftersom att vi då får att $a\cdot b\le \sqrt{n}\cdot \sqrt{n}$ . Och om då talet $n$ inte är delbart med talet $n$ eller någon primtal mindre än det kommer det inte heller vara delbart med något annat tal.
    Men se exemplet i texten så hoppas jag du ska förstå om detta var lite krångligt att hänga med på.
    Lycka till med dessa magiska tal, Primtalen!

Jesper Andrén

Hej,
På fråga 12 om 1157 är ett primtal eller inte så blir rätt svar fel.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Vi korrigerar den uppgiften.

Susan Kamareji

Hej,
Svarat rätt på fråga 6 dvs 1105 ändå får kryss även om det stämmer med facit, likadant med fråga 9 , där rätta svaret är 3.7.17 ändå får kryss vilket stämmer med facit.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej!
    Vi fixar detta!

Marie Nilsson

Man får fel i fråga 6 när man skriver ”sammansattal” då ni har stavat det med 3 st T i följd -> sammansatttal. Tre st konsonanter i följd…

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Vi ordnar detta, tack för att du sade till!

Shahriar Norouzi

tackar så mycket 🙂

Mattias HÅkansson

Måste gnälla lite, varför ska det vara så svårt skriva klarspråk vad man är ute efter? Så vilseledande jämt i matten, då det är ganska lätt att lösa uppgifter om man förklarar lite mer ingående vad man är ute efter, denna uppgiften kan jag inte tolka till en talföljd.
Tre tal, x+x+x, att man ska addera följande (1,2,3) med varje tal, var står det i uppgiften? Det står 3 heltal, dvs 4+6+12 som exempel, vilket = 22 / 3? = fail. Så tolkar jag frågan iaf, måste vara dum eller något, men var står det man ska addera 1,2,3 eller hur ska man tolka det ifrån ”om du adderar tre på varandra följande heltal” ?
Vh Förvirrad.

UPPGIFT 8.

Bertil säger att om du adderar tre på varandra följande heltal får du ett sammansatt tal som har en primtalsfaktor som är 3. Stämmer detta?

FÖRKLARING

Vi kallar det första talet för X. Då får vi följande tal (X+1) och talet där efter (X+2). Summerar vi dessa tre får vi X+(X+1)+(X+2)= 3X+3= 3(X+1). Här ser vi att vi alltid kommer få en faktor 3 vilket värde vi än väljer på X. Prova själv genom att välja tre på varande följande heltal.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Det är förstås inte vår mening att förvirra i onödan utan att ställa frågor på ett sätt så att man får tänka till kring vad begreppen betyder och träna sin problemlösningsförmåga. Jag tror absolut inte att du är extra förvirrad 😉 utan det handlar nog mer om att när man träna på problem så kan det kännas lite förvirrande tills problemet har klarnat.
    Fortsatt lycka till!

      Shahriar Norouzi

      Skulle ni kunna förklara vad ni menar med sista frågan? Uppfattar frågan precis som Mattias.

      Tack

        Anna Admin (Moderator)

        ”..tre på varandra följande heltal..” betyder att det är just tre tal som kommer precis efter varandra i ordning. Tex 4, 5, 6 eller 63, 64, 65. Man kan alltså inte bara välja några heltal vilka som helst, utan det uppgiften säger att de måste uppfylla villkoret att de kommer i rad. Det ger att om det första talet är x måste nästa tal vara ett större, nämligen x+1. Talet där efter måste vara ett större än det före, alltså x+1+1=x+2.

Henda Bra

utmärkt den här förklaring.

Simon Rybrand (Moderator)

Tack för att du påpekade detta, detta skall vi ordna så snart som möjligt.

bebesantos

De första primtalen är 2, 3, 5, 7 och 11. Ni har glömt 3


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (14)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilket tal är det enda jämna primtalet?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vad kallas de tal som är en produkt av primtal, till exempel talet $350$350 ?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilket tal saknas i faktorträdet?

    Faktorträd

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Premium
    • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
    • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilket tal saknas i faktorträdet?

    Faktorträd

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilket av följande tal är ett primtal?

    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilket alternativ motsvarar en primtalsfaktorisering av talet $70$70 

    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilket är det sammansatta talet som är en produkt av primtalsfaktorerna  $2,\text{ }5,\text{ }11$2, 5, 11 ?

    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilket tal har primtalsfaktorerna $5$5 , $13$13 och $17$17 ?

    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilket alternativ motsvarar en primtalsfaktorisering av talet $56$56    ?

    Rättar...
  • 10. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilket alternativ motsvarar en primtalsfaktorisering av talet $104$104 ?

    Rättar...
  • 11. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilket alternativ motsvarar en primtalsfaktorisering av talet $357$357?

    Rättar...
  • 12. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Är $149$149 ett primtal?

    Rättar...
  • 13. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Är $255$255 ett primtal?

    Rättar...
  • 14. Premium

    Rapportera fel
    (1/3/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M1
    R1
    K1

    Bertil säger att om du adderar tre på varandra följande heltal får du ett sammansatt tal som har en primtalsfaktor som är $3$3 . Stämmer detta alltid?

    Träna på att motivera ditt svar.

    Rättar...

c-uppgifter (3)

  • 15. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R1
    K

    Är $1157$1157 ett primtal?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 16. Premium

    Rapportera fel
    (0/3/0)
    ECA
    B
    P
    PL1
    M
    R1
    K1

    Alva säger att summan av två primtal alltid är delbart med $2$2 .
    Ellen säger att det alltid stämmer förutom för ett primtal.

    Vem har rätt?

    Träna på att motivera ditt svar.

    Rättar...
  • 17. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/2)
    ECA
    B
    P
    PL11
    M
    R1
    K

    Ange det minsta möjliga tal som är delbart med samtliga av talen $3,\text{ }5,\text{ }7$3, 5, 7 och $9$9.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 18. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/2)
    ECA
    B
    P
    PL1
    M
    R1
    K

     $p$p och $q$q är två positiva heltal. 

    Ange det minsta möjlig värdet på $p$p som uppfyller likheten  $q^2=90p$q2=90p 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Premium
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.