Primtal och primtalsfaktorisering - Matematikvideo

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 1 ABC

Primtal

Video

Video, text & övningsfrågor av: Simon Rybrand

I den här genomgången går vi igenom vad ett primtal är för något och hur du kan primtalsfaktorisera ett tal med primtal.

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM


  • 600+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
PROVA FÖR 9 kr
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.
54 votes, average: 4,04 out of 554 votes, average: 4,04 out of 554 votes, average: 4,04 out of 554 votes, average: 4,04 out of 554 votes, average: 4,04 out of 5
54
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

18
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 10
  • 11
  • 12
  • 13
  • 14
  • 15
  • 16
  • 17
  • 18
MEDELPOÄNG
ALLA
7

Text

Primtal

Primtalsfaktorisering

De positiva heltalen kan delas upp i primtal och sammansatta tal. De sammansatta talen är produkter av primtal i olika kombinationer och kan därför primtalsfaktorisras.

Ett primtal är ett heltal större än ett som endast är delbart med talet ett och sig självt. Med andra ord,

Primtal

Ett heltal $p$ är ett primtal om $p>1$ och endast är delbart med $1$ eller $p$.

Här är primtalen mellan $1$ och $100$.

$ 2,\,3,\,5,\,7,\,11,\,13,\,17,$ $\,19,\,23,\,29,\,31,\,37,\,$ $41,\,43,\,47,\,53,\,59,\,61,\,$ $67,\,71,\,73,\,79,\,$ $83,\,89,\,97$

Men det finns oändligt många fler primtal.

Matematikens legobitar

Ett sätt att förstå primtalen är att tänka dem som matematikens legobitar. En erfaren legobyggare ser på sin konstruktion som en sammansättning av olika bitar. Genom att kombinerar de olika bitarna på olika sätt kan man konstruera hur stora modeller som helst. Men konstruktionen består i sin helhet av olika mindre delar. Man kan plocka isär modellen i sina små beståndsdelar igen och genom att kombinera dem på ett nytt sätt få en annorlunda modell. På liknade vis ser en matematiker talet $30$30 som en produkt av en två, en trea och en femma. 

De positiva heltalen kan nämligen delas upp i primtal och sammansatta tal, där primtalen är de sammansatta talens mindre beståndsdelar. De sammansatta talen byggs upp av primtalsfaktorer

Primtalen har fascinerat och intresserat matematiker i många hundra år. Den grekiske matematikern Euklides (född $325$ f. Kr.) visade att det finns ett oändligt antal primtal. Men trots detta är det inte helt enkelt att hitta ett stort primtal bland en massa sammansatta tal. Detta då primtalen inte följer något speciellt mönster med vilka intervall de kommer på tallinjen. Denna oregelbundenhet har gjort att man har stor nytta av primtal inom exempelvis kryptering av datatrafik.

Definitionen av Sammansatta tal

Ett positiv heltal som inte är ett primtal är ett sammansatt tal. Talet är sammansatt av multiplikation mellan primtal. På grund at vetta kan man kan dela upp alla sammansatt tal i faktorer. man säger att man primtalsfaktorisera.

Sammansatta tal

Ett sammansatt tal är ett heltal större än $1$1, som för utom sig självt och talet $1$, har ytterligare en delare.

Delaren som inte är talet själv eller ett, kallas för en äkta delare. En äkta delare $d$ddefinieras som delbart med något heltal, utöver talen  $\pm1$±1 och  $\pm d$±d , alltså talet självt och talet självt med ombytt tecken.

Att Primtalsfaktorisera

När man faktoriserar ett tal så delar du upp det i så kallade faktorer. Exempelvis skulle vi kunna faktorisera $12 = 2\cdot6$. Då har vi delat upp siffran i faktorer, dock inte primtalsfaktorer då siffran 6 inte är ett primtal. Istället kallar man då 6 för ett sammansatt tal, d.v.s. ett heltal som inte är ett primtal. Istället får vi fortsätta att faktorisera $12 = 2\cdot2\cdot3 $så att det bara består av primtal.

Exempel 1

Primtalsfaktorisera talet $456$.

Lösning:

Vi delar upp talet steg för steg till vi endast har faktorer som är primtal.
$456=2⋅228$
$\,\,\,\,\,\,\,\,\,=2⋅2⋅114$
$\,\,\,\,\,\,\,\,\,=2⋅2⋅2⋅57$
$\,\,\,\,\,\,\,\,\,=2⋅2⋅2⋅3⋅19$

Primtalsfaktorisera med faktorträd

Till hjälp för att primtalsfaktorisera tal kan så kallade faktorträd användas. Här delar man steg för steg upp ett tal i mindre och mindre faktorer tills det endast består av primtal. Alla heltal större än noll kan faktoriseras så att de endast består av primtal.

Exempel 2

Faktorisera talet $124$124 med hjälp av ett faktor träd.

Lösning:

Nedan används ett faktorträd för att dela upp talet $ 124 $ i primtalsfaktorer.

Faktorträd

Delare och delbarhet

Begreppet delbarhet motsvarar att kvoten man får när man dividerar två heltal, också är ett heltal.  Som vi tidigare nämnde kan alla heltal delas upp i primtal och sammansatta tal. De har olika möjliga delare, men alla heltal är åtminstone delbara med sig själv och talet $1$. 

Heltalet $a$a är delbart med ett heltal $b\ne0$b0 om kvoten $\frac{a}{b}$ab  är ett heltal.

Man kan då säga att ”$b$ delar $a$” eller att ”$b$ är en delare till $a$”, vilket skrivs som $ b \, | \, a $.

Exempelvis delar talet $2$ talet $28$ då  $\frac{28}{2}=$282 =$14$14 , eftersom att kvoten är ett heltal och vi säger att $ 2 \, | \, 28 $, som vi uttalar som ”$2$ delar $28$” eller ”$2$ är en delare till $28$”.

Delbarhet för primtal och sammansatta tal

Alla primtal är alltid och endast delbara med sig själva och talet $1$.

Alla sammansatta tal är alltid delbara med sig själva och talet $1$, samt talets alla primtalsfaktorer och alla produkter som är möjliga att skapa genom att kombinera primtalsfaktorerna.

Om vi exempelvis har talet  $12$12  så är detta tal delbart med $12,\text{ }6,\text{ }3,\text{ }4,\text{ }2$12, 6, 3, 4, 2 och $1$1. Detta beror på att talet $6$ är ett så kallat sammansatt tal, vilket har primtalsfaktorerna $12=2\cdot2\cdot3$12=2·2·3. Där med är talet  $12$12 delbart med med sig själv och talet $1$1, talets primtalsfaktorer $2$2 och $3$3 samt alla möjlig kombinationer av dessa. Alltså $2\cdot2=4$2·2=4,  $2\cdot3=6$2·3=6 

Delbarhetsregler

När man ska primtalsfaktorisera och jobba med delare underlättar det om man har Delbarhetsreglerna klart för sig.

Delbarhetsregler

Talet är delbart med…

   $2$      då talet är jämnt.
   $3$      då talets siffersumma är delbar $3$.
   $4$      då det tal som bildas av de två sista siffrorna är delbart med $4$.
   $5$      då talets slutsiffra är $0$ eller $5$.
   $6$      då villkoren för delbarhet med $2$ och $3$ är uppfyllda
   $8$      då det tal som bildas av de tre sista siffrorna är delbart med $8$.
   $9$      då talets siffersumma är delbart med $9$.
   $10$    då talets slutsiffra är $0$.
   $12$    då villkoren för delbarhet med $3$ och $4$ är uppfyllda.

Eratosthenes såll

Nedan kan du med hjälp av ”Eratosthenes såll” leta primtal.  Det är en algoritm (ungefär samma sak som en metod) som uppfanns av greken Eratosthenes för att lista alla primtal. Du väljer här upp till vilket tal som du vill hitta primtal och trycker på ”Leta primtal”. Då används Eratosthenes algoritm för att undersöka vilka tal som är primtal upp till ditt valda tal. Nedanför sökverktyget ser du hur själva algoritmen fungerar.

  1. Gör en lista på alla tal från $2$ till ett tal du väljer, vi kallar det för $n$.
  2. Ta bort alla jämna tal från listan som är större än $2$. Ett alternativ för oss som har datorer är att direkt göra en lista på alla udda tal större än $2$.
  3. Det första talet i listan är nu ett primtal, nämligen talet $3$. 
  4. Behåll talet men ta bort alla andra tal som är delbara av det primtalet. Dessa tal kan ju inte vara ett primtal.
  5. Upprepa nu steg $3$ och $4$ tills du har nått ett tal som är större än kvadratroten ur ditt maxtal $n$. D.v.s. genom att ta kvadratroten ur ditt tal så hittar du det största tal som kan vara en primtalsfaktor till ditt tal.
  6. De tal som blir kvar i listan är endast primtal.

Exempel i videon

  • Primtalsfaktorisera talet $12$.
  • Primtalsfaktorisera talet $66$
  • Primtalsfaktorisera talet $224$ med hjälp av ett faktorträd.

Kommentarer

  1. Hej,
    På fråga 12 om 1157 är ett primtal eller inte så blir rätt svar fel.

    Jesper Andrén
    1. Hej
      Vi korrigerar den uppgiften.

      Simon Rybrand
  2. Hej,
    Svarat rätt på fråga 6 dvs 1105 ändå får kryss även om det stämmer med facit, likadant med fråga 9 , där rätta svaret är 3.7.17 ändå får kryss vilket stämmer med facit.

    Susan Kamareji
    1. Hej!
      Vi fixar detta!

      Simon Rybrand
  3. Man får fel i fråga 6 när man skriver ”sammansattal” då ni har stavat det med 3 st T i följd -> sammansatttal. Tre st konsonanter i följd…

    Marie Nilsson
    1. Hej
      Vi ordnar detta, tack för att du sade till!

      Simon Rybrand
  4. tackar så mycket 🙂

    Shahriar Norouzi
  5. Måste gnälla lite, varför ska det vara så svårt skriva klarspråk vad man är ute efter? Så vilseledande jämt i matten, då det är ganska lätt att lösa uppgifter om man förklarar lite mer ingående vad man är ute efter, denna uppgiften kan jag inte tolka till en talföljd.
    Tre tal, x+x+x, att man ska addera följande (1,2,3) med varje tal, var står det i uppgiften? Det står 3 heltal, dvs 4+6+12 som exempel, vilket = 22 / 3? = fail. Så tolkar jag frågan iaf, måste vara dum eller något, men var står det man ska addera 1,2,3 eller hur ska man tolka det ifrån ”om du adderar tre på varandra följande heltal” ?
    Vh Förvirrad.

    UPPGIFT 8.

    Bertil säger att om du adderar tre på varandra följande heltal får du ett sammansatt tal som har en primtalsfaktor som är 3. Stämmer detta?

    FÖRKLARING

    Vi kallar det första talet för X. Då får vi följande tal (X+1) och talet där efter (X+2). Summerar vi dessa tre får vi X+(X+1)+(X+2)= 3X+3= 3(X+1). Här ser vi att vi alltid kommer få en faktor 3 vilket värde vi än väljer på X. Prova själv genom att välja tre på varande följande heltal.

    Mattias HÅkansson
    1. Hej
      Det är förstås inte vår mening att förvirra i onödan utan att ställa frågor på ett sätt så att man får tänka till kring vad begreppen betyder och träna sin problemlösningsförmåga. Jag tror absolut inte att du är extra förvirrad 😉 utan det handlar nog mer om att när man träna på problem så kan det kännas lite förvirrande tills problemet har klarnat.
      Fortsatt lycka till!

      Simon Rybrand
      1. Skulle ni kunna förklara vad ni menar med sista frågan? Uppfattar frågan precis som Mattias.

        Tack

        Shahriar Norouzi
        1. ”..tre på varandra följande heltal..” betyder att det är just tre tal som kommer precis efter varandra i ordning. Tex 4, 5, 6 eller 63, 64, 65. Man kan alltså inte bara välja några heltal vilka som helst, utan det uppgiften säger att de måste uppfylla villkoret att de kommer i rad. Det ger att om det första talet är x måste nästa tal vara ett större, nämligen x+1. Talet där efter måste vara ett större än det före, alltså x+1+1=x+2.

          Anna Admin
  6. utmärkt den här förklaring.

    Henda Bra
  7. Tack för att du påpekade detta, detta skall vi ordna så snart som möjligt.

    Simon Rybrand
  8. De första primtalen är 2, 3, 5, 7 och 11. Ni har glömt 3

    bebesantos

Endast premiumkunder kan kommentera. Prova Premium!

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: