Primtal - lär dig om dessa tal och hur du primtalsfaktoriserar

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 1 ABC

Primtal

Faktorisering

Video

Video, text & övningsfrågor av: Simon Rybrand

I den här genomgången går vi igenom vad ett primtal är för något och hur du kan primtalsfaktorisera ett tal med primtal.

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM


  • 500+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
  • 3500+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
PROVA FÖR 9 KR
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.
47 votes, average: 4,02 out of 547 votes, average: 4,02 out of 547 votes, average: 4,02 out of 547 votes, average: 4,02 out of 547 votes, average: 4,02 out of 5
47
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

14
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 10
  • 11
  • 12
  • 13
  • 14
MEDELPOÄNG
ALLA
7

Text

Exempel i videon

  • Primtalsfaktorisera talet $12$.
  • Primtalsfaktorisera talet $66$
  • Primtalsfaktorisera talet $224$ med hjälp av ett faktorträd.

Definitionen av ett Primtal och Sammansatta tal

Heltalen kan delas upp i primtal och sammansatta tal. De sammansatta talen är produkter av primtal i olika kombinationer och kan därför primtalsfaktorisras.

Primtal

Ett primtal är ett tal som är större än 1 och bara går att dela (och få ett heltal) med sig självt eller med 1. Alla primtal mellan 1 och 100 är

$ 2,\,3,\,5,\,7,\,11,\,13,\,17,$ $\,19,\,23,\,29,\,31,\,37,\,$ $41,\,43,\,47,\,53,\,59,\,61,\,$ $67,\,71,\,73,\,79,\,$ $83,\,89,\,97$

Ett tal $p$ är alltså ett primtal om $p>1$ och endast är delbart med $1$ eller $p$.

Sammansatta tal

Ett sammansatt tal är ett heltal större än $1$1, som för utom sig själ och talet ett, har ytterligare en delare.

Delaren som inte är talet själv eller ett, kallas för en äkta delare. En äkta delare $d$ddefinieras som delbart med något heltal, utöver talen  $\pm1$±1 och  $\pm d$±d , alltså talet självt och talet självt med ombytt tecken.

Det finns oändligt antal primtal men trots detta kan det vara svårt att hitta stora primtal då dessa tal inte följer något speciellt mönster. Detta har gjort att man har stor nytta av primtal inom exempelvis kryptering av datatrafik.

Man kan även fundera på hur många primtal det egentligen finns, här visade redan Euklides (född 325 f. Kr.) att det finns ett oändligt antal av dessa typer av tal.

Att Primtalsfaktorisera

När man faktoriserar ett tal så delar du upp det i så kallade faktorer. Exempelvis skulle vi kunna faktorisera $12 = 2\cdot6$. Då har vi delat upp siffran i faktorer, dock inte primtalsfaktorer då siffran 6 inte är ett primtal. Istället kallar man då 6 för ett sammansatt tal, d.v.s. ett heltal som inte är ett primtal. Istället får vi fortsätta att faktorisera $12 = 2\cdot2\cdot3 $så att det bara består av primtal.

Exempel

Primtalsfaktorisera talet 456.

Lösning:

Vi delar upp talet steg för steg till vi endast har faktorer som är primtal.
$456=2⋅228$
$\,\,\,\,\,\,\,\,\,=2⋅2⋅114$
$\,\,\,\,\,\,\,\,\,=2⋅2⋅2⋅57$
$\,\,\,\,\,\,\,\,\,=2⋅2⋅2⋅3⋅19$

Primtalsfaktorisera med faktorträd

Till hjälp för att primtalsfaktorisera tal kan så kallade faktorträd användas. Här delar man steg för steg upp ett tal i mindre och mindre faktorer tills det endast består av primtal. Alla heltal större än noll kan faktoriseras så att de endast består av primtal.

Exempel

Nedan används ett faktorträd för att dela upp talet $ 124 $ i primtalsfaktorer.

faktortrad-primtal

Delare och delbarhet

Begreppet delbarhet motsvarar att kvoten man får när man dividerar två heltal, också är ett heltal.  Som vi tidigare nämnde kan alla heltal delas upp i primtal och sammansatta tal. De har olika möjliga delare, men alla heltal är åtminstone delbara med sig själv och talet $1$. 

Heltalet $a$a är delbart med ett heltal $b\ne0$b0 om kvoten $\frac{a}{b}$ab  är ett heltal.

Man kan då säga att ”$b$ delar $a$” eller att ”$b$ är en delare till $a$”, vilket skrivs som $ b \, | \, a $.

Exempelvis delar talet $2$ talet $28$ då $ \frac{28}{2} = 14 $, eftersom att kvoten är ett heltal och vi säger att $ 2 \, | \, 28 $, som vi uttalar som ”$2$ delar $28$” eller ”$2$ är en delare till $28$”.

Det här gäller delbarhet för primtal och sammansatta tal.

Alla primtal är alltid delbara med sig själv och talet $1$.

Alla sammansatta tal är alltid delbara med sig själv och talet $1$, samt talets primtalsfaktorer och alla produkter som är möjliga att skapa genom att  kombinera primtalsfaktorerna.

Om vi exempelvis har talet  $6$6  så är detta tal delbart med $6$6 och $1$1, samt med talen $2$2 och $3$3 . Detta beror på att talet $6$ är ett så kallat sammansatt tal, vilket har primtalsfaktorerna  $6=2\cdot3$6=2·3 och är där med delbart med med sig själv och talet  $1$1, samt talets primtalsfaktorer.

När man ska primtalsfaktorisera och jobba med delare underlättar det om man har Delbarhetsreglerna klart för sig.

Delbarhetsregler

Talet är delbart med…

2      då talet är jämnt.
3      då talets siffersumma är delbar 3.
4      då det tal som bildas av de två sista siffrorna är delbart med 4.
5      då talets slutsiffra är 0 eller 5.
6      då villkoren för delbarhet med 2 och 3 är uppfyllda
8      då det tal som bildas av de tre sista siffrorna är delbart med 8.
9      då talets siffersumma är delbart med 9.
10    då talets slutsiffra är 0.
12    då villkoren för delbarhet med 3 och 4 är uppfyllda.

Eratosthenes såll

Nedan kan du med hjälp av ”Eratosthenes såll” leta primtal.  Det är en algoritm (ungefär samma sak som en metod) som uppfanns av greken Eratosthenes för att lista alla primtal. Du väljer här upp till vilket tal som du vill hitta primtal och trycker på ”Leta primtal”. Då används Eratosthenes algoritm för att undersöka vilka tal som är primtal upp till ditt valda tal. Nedanför sökverktyget ser du hur själva algoritmen fungerar.

  1. Gör en lista på alla tal från 2 till ett tal du väljer, vi kallar det för m.
  2. Ta bort alla jämna tal från listan som är större än 2. (Ett alternativ för oss som har datorer är att direkt göra en lista på alla udda tal större än 2).
  3. Det första talet i listan är nu ett primtal (talet 3 vid första iterationen).
  4. Ta nu bort alla tal som är delbara av det första primtalet. Dessa tal kan ju inte vara ett primtal.
  5. Upprepa nu steg 3 och 4 tills du har nått ett tal som är större än kvadratroten ur ditt maxtal m. D.v.s. genom att ta kvadratroten ur ditt tal så hittar du det största tal som kan vara en primtalsfaktor till ditt tal.
  6. De tal som blir kvar i listan är nu primtal.

Kommentarer

  1. De första primtalen är 2, 3, 5, 7 och 11. Ni har glömt 3

    bebesantos
  2. Tack för att du påpekade detta, detta skall vi ordna så snart som möjligt.

    Simon Rybrand
  3. utmärkt den här förklaring.

    Henda Bra
  4. Måste gnälla lite, varför ska det vara så svårt skriva klarspråk vad man är ute efter? Så vilseledande jämt i matten, då det är ganska lätt att lösa uppgifter om man förklarar lite mer ingående vad man är ute efter, denna uppgiften kan jag inte tolka till en talföljd.
    Tre tal, x+x+x, att man ska addera följande (1,2,3) med varje tal, var står det i uppgiften? Det står 3 heltal, dvs 4+6+12 som exempel, vilket = 22 / 3? = fail. Så tolkar jag frågan iaf, måste vara dum eller något, men var står det man ska addera 1,2,3 eller hur ska man tolka det ifrån ”om du adderar tre på varandra följande heltal” ?
    Vh Förvirrad.

    UPPGIFT 8.

    Bertil säger att om du adderar tre på varandra följande heltal får du ett sammansatt tal som har en primtalsfaktor som är 3. Stämmer detta?

    FÖRKLARING

    Vi kallar det första talet för X. Då får vi följande tal (X+1) och talet där efter (X+2). Summerar vi dessa tre får vi X+(X+1)+(X+2)= 3X+3= 3(X+1). Här ser vi att vi alltid kommer få en faktor 3 vilket värde vi än väljer på X. Prova själv genom att välja tre på varande följande heltal.

    Mattias HÅkansson
    1. Hej
      Det är förstås inte vår mening att förvirra i onödan utan att ställa frågor på ett sätt så att man får tänka till kring vad begreppen betyder och träna sin problemlösningsförmåga. Jag tror absolut inte att du är extra förvirrad 😉 utan det handlar nog mer om att när man träna på problem så kan det kännas lite förvirrande tills problemet har klarnat.
      Fortsatt lycka till!

      Simon Rybrand
      1. Skulle ni kunna förklara vad ni menar med sista frågan? Uppfattar frågan precis som Mattias.

        Tack

        Shahriar Norouzi
        1. ”..tre på varandra följande heltal..” betyder att det är just tre tal som kommer precis efter varandra i ordning. Tex 4, 5, 6 eller 63, 64, 65. Man kan alltså inte bara välja några heltal vilka som helst, utan det uppgiften säger att de måste uppfylla villkoret att de kommer i rad. Det ger att om det första talet är x måste nästa tal vara ett större, nämligen x+1. Talet där efter måste vara ett större än det före, alltså x+1+1=x+2.

          Anna Admin
  5. tackar så mycket 🙂

    Shahriar Norouzi
  6. Man får fel i fråga 6 när man skriver ”sammansattal” då ni har stavat det med 3 st T i följd -> sammansatttal. Tre st konsonanter i följd…

    Marie Nilsson
    1. Hej
      Vi ordnar detta, tack för att du sade till!

      Simon Rybrand
  7. Hej,
    Svarat rätt på fråga 6 dvs 1105 ändå får kryss även om det stämmer med facit, likadant med fråga 9 , där rätta svaret är 3.7.17 ändå får kryss vilket stämmer med facit.

    Susan Kamareji
    1. Hej!
      Vi fixar detta!

      Simon Rybrand
  8. Hej,
    På fråga 12 om 1157 är ett primtal eller inte så blir rätt svar fel.

    Jesper Andrén
    1. Hej
      Vi korrigerar den uppgiften.

      Simon Rybrand

Kommentarer är inaktiverade. Logga in för att felrapportera.

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: