...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Delbarhet, delare och faktor

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Delbarhet och delare – definitioner

Begreppet delbarhet motsvarar att kvoten man får när man dividerar två heltal, också är ett heltal

Heltalet $a$a är delbart med ett heltal $b\ne0$b0 om kvoten $\frac{a}{b}$ab  är ett heltal.

Man kan då säga att ” $b$b  delar  $a$a ” eller att ” $b$b  är en delare till $a$”, vilket skrivs som $ b \, | \, a $.

Olika tal har olika möjliga delare, men alla heltal är åtminstone delbara med sig själv och talet $1$. 

Om ett tal $b$ inte är en delare till $a$ skriver man istället $ b\nmid a $.

Exempel 1

Visa att $ 2 \nmid (2a +1)$ för alla $a$.

Lösning

Då $2a$2a alltid är ett jämt tal kommer $ 2a +1$ alltid vara ett udda tal. Inga udda tal är delbara med två. v.s.b.

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Äkta delare

Delare som inte är talet själv eller ett, kallas för en äkta delare. 

En äkta delare $d$ddefinieras som delbart med något heltal, utöver talen $\pm1$±1 och $\pm d$±d , alltså talet självt och talet självt med ombytt tecken.

Exampelvis är talen $2$2 och $3$3 äkta delare till talet $6$6. Talen $1$1 och $6$6 är också delare, men inte äkta.

Delbarhet som följd på delbarhet

Eftersom att att vi kan faktorisera tal kan vi utnyttja dess delbahetsegenskaper för att undersöka ett annat tal delbarhet.

Exempel 2

Visa att om $2|a$ och $2|b$, gäller det då även att $2|(a+b)$?

Lösning

Om $3|12$ och $12|24$ då gäller det också att $3|24$.

$2|a$ och $2|b$ ger att $a=2k$ och $b=2n$ där  $k$k och  $n$n  är heltal

Vi får då att

$a+b=2k+2n=2(k+n)$

Eftersom att $k$k och  $n$n  är heltal, är även summan av dem ett heltal, vilket leder till att $2|(a+b)$.

Primtal och Sammansatta tal

Alla heltal  $a>1$a>1 delas in i primtal och sammansatta tal. Ett positiv heltal som inte är ett primtal är ett sammansatt tal. Alla sammansatta tal kan skrivas som en entydig produkt av primtal. I lektionen om enligt aritmetikens fundametalsats går vi igenom detta mer ingående.

Alla heltal är alltid delbara med sig själv och talet $1$1. Är de sammansatta tal är de även delbara med talets primtalsfaktorer samt alla produkter som är möjliga att skapa genom att kombinera talets primtalsfaktorer.

Exempelvis delar talet $3$3 talet $21$21 då $\frac{21}{3}=$213 = $7$7. Detta eftersom att täljaren, nämnaren och kvoten alla är ett heltal.

Vi säger att $ 3 \, | \, 21 $, som vi uttalar som tre delar tjugoett eller tre är en delare till tjugo ett.

Om vi exempelvis har talet $24$24 så är detta tal delbart med $24$24 och $1$1, samt med talen $2,\text{ }3,\text{ }4,\text{ }6,\text{ }8$2, 3, 4, 6, 8 och $12$12 . Detta beror på att talet $24$ är ett så kallat sammansatt tal, vilket har primtalsfaktorerna  $24=2\cdot2\cdot2\cdot3$24=2·2·2·3 och är därmed delbart med med sig själv och talet $1$1, samt talets primtalsfaktorer och alla produkter som är möjliga att skapa genom att kombinera dem.

Eftersom att vi kan skriva talet tjugofyra som ett antal olika heltalsprodukter, så här

 $24=2\cdot2\cdot2\cdot3=4\cdot6=8\cdot3=2\cdot12=1\cdot24$24=2·2·2·3=4·6=8·3=2·12=1·24 

ser vi att talet har åtta möjliga delare.

Exempel 3

Ange alla heltalsvärden på $a$a och $b$b som uppfyller att  $2^7$27 |  $\left(2\cdot a^b\right)$(2·ab) 

Lösning

Om $2^7$27 ska vara en delare till $\left(2\cdot a^b\right)$(2·ab) innebär det att talet $2\cdot a^b$2·ab kan skriva om som en produkt $2^7\cdot k$27·k , där $k$k är ett heltal.

Då $2^7=2\cdot2^6$27=2·26 får vi en likhet med vårt tal $2\cdot a^b$2·ab om  $a^b=2^6$ab=26. Det innebär att $a$a och $b$b kan anta alla värden som uppfyller att $a^b=2^6=64$ab=26=64.

Vi primtalsfaktoriserar  $64$64 för att se vilka möjliga heltal som ger att potensena värde är  $64$64.

 $64=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2$64=2·2·2·2·2·2 

Nu kombinerar vi dessa till olika potenser.

 $64=2^6=4^3=8^2=64^1$64=26=43=82=641 

och får att  $a=$a=${2,\,4,\,8,\,64}$ och $b=$b= ${1,\,2,\,3,\,6}$

Delbarhetsregler

När man ska primtalsfaktorisera och jobba med delare underlättar det om man kan Delbarhetsreglerna utan till.

Delbarhetsregler

Talet är delbart med…

   $2$      då talet är jämnt.
   $3$      då talets siffersumma är delbar $3$.
   $4$      då det tal som bildas av de två sista siffrorna är delbart med $4$.
   $5$      då talets slutsiffra är $0$ eller $5$.
   $6$      då villkoren för delbarhet med $2$ och $3$ är uppfyllda
   $8$      då det tal som bildas av de tre sista siffrorna är delbart med $8$.
   $9$      då talets siffersumma är delbart med $9$.
   $10$    då talets slutsiffra är $0$.
   $12$    då villkoren för delbarhet med $3$ och $4$ är uppfyllda.

Känns det jobbit att lära alla utan till så börja med delbarhetsreglerna är $2,\text{ }3,\text{ }5$2, 3, 5 och $10$10. Kan du dessa är det lättare att även lära resten, då flera av dem är kombinationer eller utvecklingar av de fyra.

Exempel i videon

  • Är talet $12$ delbart med talet $3$?
  • Delar talet $2$ talet $28$ och hur kan vi faktorisera $28$?
  • Ange alla delare till talet $8$.
  • Ange ett värde på heltalet $x$ så att $3 \,|\, 11x$.
  • Visa att $a^2 – 1$ är delbart med $8$ om $a = 4m + 1$ där $m$ är ett heltal.

Kommentarer

Sanna Karlsson

Vad kommer 8m ifrån i sista exemplet? Ca. 3.30 in i videon

    Simon Rybrand (Moderator)

    Det är från
    $(4m+1)^2=(4m)^2+2·(4m)·1+1^2=16m^2+8m+1$


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (4)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilket tal förutom $1$1 och $9$9 delar talet  $9$9 ?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Om $3|a$ och $a|b$, gäller det då även att $3|b$?

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilket av alternativen är en korrekt faktorisering av talet $12$?

    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Ange $x$ så att $ x | 15 $ och $ x | 18 $ samt att $ x > 1 $.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...

c-uppgifter (3)

  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vad måste gälla för $x$x och  $y$y  för att påståendet ska vara korrekt?

    Ett heltal  $a$a  är delbart med ett heltal  $b$b  där $x\ne0$x0 , om kvoten  $\frac{a}{b}$ab  $=y$=y .

    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R1
    K

    Är $ (2a+1)^2 – 1 $ delbart med $4$ om $a$ är ett heltal och $a > 1$?

    Träna på att motivera ditt svar.

    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vad måste gälla för $a$ om $a|0$?

    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/2)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R1
    K

    Om $a|b$, gäller då även att $a^2|b^2$?
    Motivera ditt svar.

    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar