...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Logik och Bevisföring

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

I den här lektionen går vi igenom grunderna i logik och lär oss hantera begreppen Sats, definition, bevis, implikation och ekvivalens.

Matematisk logik

Matematiker har i alla tider sökt sanningen. Eller i alla fall sätt att motivera och beskriva det man anser vara sant. För att nya matematiska upptäckter och ideér skulle, och ska, accepteras måste de vara, vad man kallar, logiska

Logik är i grunden studien om vad som gör vissa argument och resonemang giltiga eller inte. Ett matematiskt påstående är alltid antingen sant eller falskt. För att besluta vilket använder man sig av så kallade logiska resonemang

I mattematiken utgår vi ständigt från dessa logiska resonemang för att göra beräkningar och uppskattningar av verkligheten. 

I denna lektion ska vi titta och öva på hur man genomför dessa resonemang. Med för att förtydliga och underlätta detta arbete behövs, som vanligt, ett antal begrepp införas och förtydligas.

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Definitioner

För att kunna göra beräkningar som alla vågar lita på är sanna och korrekta, har man genom logiska resonemang och ett otaligt antal beräkningar över tid kommit överens om olika ”matematiska sanningar”. Dessa sanningar kallas definitioner.

Definition

En definition är en bestämning och/eller avgränsning av ett språkligt uttrycks betydelse.

Som komplement till definitionerna finns ett antal grundsatser som kallas för axiom. Det är matematiska påståenden som vi genom historien hålls som sanningar. Definitionerna och axiomen lägger i sin tur grunden för nya satser och påståenden som väntar på att bli sanningsförklarade.

Axiomen och definitionerna gäller alltid och behöver inte bevisa var gång man gör en uträkning eller löser ett problem. Definitioner kan hänvisas till och på så vis utgöra motiveringen till problemlösningens resultat.

Ett exempel på en definition är följande.

Exempel 1

Alla heltal  $p$ om $p>1$p>1 som endast är delbara med $1$1 och sig självt, definieras som primtal.

Satser

Utifrån olika axiom och definitioner kan man teckna samband och påståenden. När dessa påståenden visats som gällande kallas de för satser. Förvandlingen från påstående till sats sker genom logisk argumentation om varför påståendet stämmer. Det vi kallas för ett bevis.

Sats

Ett påstående som formellt kan bevisas kallas för en sats.

En sats som uttrycker ett enkelt resultat som främst används vid bevis av andra satser kallas även för lemma. Och ett resultat som man enkelt kan får utifrån en annan sats kallas för en följdsats.

Exempel 2

Satsen som säger att det för en rätvinklig triangels sidor gäller att kvadraten på hypotenusan är lika med summan av kvadraterna på kateterna, kallas för Pythagoras sats.

Påståendet har i nuläget cirka fyra hundra olika bevis. Så satsen är väl bevisad. Vill du se ett av alla hittar du det i lektionen om Pythagoras sats.

Bevis

Ett matematiskt bevis är en följd av ett antal slutledningar. Det bygger på logiska resonemang utan luckor. Dessa görs utifrån olika bestämda axiom och givna premisser och leder fram till en slutsats som alltid blir den samma och stämmer. 

Bevis

Ett eller flera logiska argument som visar att ett påståendet stämmer kallas för ett bevis.

Ett påstående, som är obevisat, kallas för en förmodan. Ett bevis gäller så länge ingen har kunnat ger ett logiskt argument som motbevisar påståendet. Historiskt sett har det hänt att fel upptäckts i publicerade bevisförsök för satser, som tidigare betraktats som giltiga. 

Det kan vara bra att notera att matematiska bevis är inte fullt jämförbara med betydelsen av bevis i andra vetenskaper. 

Implikation och ekvivalens

För att effektivt och tydligt kunna genomföra bevis har man, som man ofta gör i matematiken, ersatt meningar och betygelser med symboler. Detta görs för att minska mängden tecken som krävs för att få fram önskad information. Syftet med teckna är även att minska tolkningsmöjligheterna på vad som menas. Vid bevisföring är två flitigt använda tecken  ⇒  och ⇔.

Implikation

En implikation visar att då ett påstående gäller, leder det till att även ett annat påstående gäller. För att teckna en implikation används symbolen ⇒ eller →.

Tecknet för implikationen ska tolkas som ”Om påståendet till vänster om implikationen gäller, gäller även påståendet till höger.”

Exempel 3

Gräsmattan har en kvadratisk form   ⇒   Gräsmattans fyra sidor är lika långa

Vi utläser implikationen som ”Om en gräsmatta har en kvadratisk form, gäller att gräsmattans fyra sidor är lika långa.

Ekvivalens

En ekvivalens motsvarar implikation i båda ritningar. För att teckna en ekvivalens används symbolen ⇔ eller $\leftrightarrow$.

Exempel 4

Figuren har fyra räta vinklar och fyra lika långa sidor   ⇔   Figuren är en kvadrat

Vi utläser ekvivalensen som ”Om en figur har fyra räta vinklar och fyra lika långa sidor, gäller att figuren är en kvadrat. Och är figuren en kvadrat, gäller även att figuren har fyra räta vinklar och fyra lika långa sidor.” Implikationen gäller i båda riktningarna.

Motbevis

En implikation eller ekvivalens anses som giltig, då man inte kan hitta några motbevis. Motbevis är en väl använd metod för att formulera satser och definitioner.

Motbevis

Ett exempel som visas att ett påstående inte gäller kallas för ett motbevis.

Vi undersöker om påståendet i exempel 3 är en ekvivalens.

Exempel 5

Gäller även ekvivalens mellan påståendena nedan?

Gräsmattan har en kvadratisk form   ⇒   Gräsmattans fyra sidor är lika långa

Lösning

Om det är en ekvivalens mellan påståendena ska även följande påstående gälla.

Om gräsmattans fyra sidor är lika långa, gäller att gräsmattan måste ha en kvadratisk form.

Men eftersom att en gräsmatta vars fyra sidor är lika långa inte måste vara kvadratisk, utan lika gärna kan har formen av en romb, har vi ett motbevis som ger att det inte är en ekvivalens.

Till en början kan det kännas lite trögt att genomföra olika bevis men med en del träning, som med allt annat, brukar det fungera!

Exempel i videon

Stämmer resonemanget: ”Simon köper en pizza. $⇒$ Han köper en kebabpizza”?

$3x+1=10 \,\, \Box \,\, x = 3 $, vilken symbol skall användas i rutan $\Box$?

$x>2 \,\, \Box \,\, \text{x är större än 2} $, vilken symbol skall användas i rutan $\Box$?

Bevisa att yttervinkelsatsen stämmer.

Kommentarer

Michel Tosu

Förklaringarna till uppgift 7 & 8 är samma. Uppgift 8 har ingen egen förklaring.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Tack för att du sade till om detta, vi kikar på det.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (8)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vad kallas  en matematiska regler som är bevisad?

    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M
    R1
    K

    Vilket tecken döljer sig bakom fingret?

    Implikation och ekvivalens1-01

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilket alternativ motsvarar vad matematisk ekvivalens står för?

    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilken implikation är inte sann?

    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R1
    K

    Vilken implikation är sann?

    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M
    R1
    K

    $x<10$x<10    [     ]   $x$x är positivt.

    Vad skall det stå i hakparentesen?

    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilken ekvivalens är inte sann?

    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

     $a+b=b+a$a+b=b+a  [      ] Du kan byta inbördes ordning på termerna utan att ändra summan.

    Vad skall det stå i hakparentesen?

    Rättar...

c-uppgifter (2)

  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M
    R1
    K

    Någon har försökt att bevisa att vinkelsumman i figur B, som är en fyrhörning, är 720°. Följ beviset och avgör i vilket steg det blir fel.

    Steg 1: Alla månghörningar kan delas upp i trianglar.

    Steg 2:

    Bevis-geometriska figurer-01-01

    Steg 3: Vinkelsumman i en triangel är 180° ⇒ Summan av vinklarna i tre trianglar är 3⋅180°=540° ⇒ Vinkelsumman i en femhörning är 540° 

    Steg 4: Vinkelsumman i en triangel är 180° ⇒ Summan av vinklarna i fyra trianglar är 4⋅180°=720°  v.s.b

    Rättar...
  • 10. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M
    R1
    K

    Någon har försökt att bevisa att vinkelsumman i en månghörning är  $(n-2)\cdot180°$(n2)·180° , där $n$n motsvarar antalet hörn i månghörningen.
    Följ beviset och avgör vad du tycker om det.

    Bevis-geometriska figurer-3-01

    Vinkelsumman i en sexhörning är $720°⇒720°=4\cdot180°=(6-2)\cdot180°$720°⇒720°=4·180°=(62)·180° ⇒

    Vinkelsumman i en månghörning är $(n-2)\cdot180°$(n2)·180° där n motsvarar antalet hörn i månghörningen ⇒

    Summan av vinklarna i fyra trianglar är $4\cdot180°=720°$4·180°=720° ⇒

    Vinkelsumman i en triangel är $180°$180° ⇒

    Man kan dela upp alla månghörningar i ett antal trianglar.  v.s.b.

    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar