...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Interaktivt material Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /      ██████████████████████████

Logaritmlagarna och logaritmekvationer

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

I den här lektionen lär vi oss mer om logaritmlagarna och logaritmekvationer. Vi går igenom tre viktiga logaritmlagar och ser hur vi tillämpar dessa i några enkla exempel.

Vad ska vi ha logaritmlagarna till?

En logaritm kan man tänka sig ungefär som en motsatt operation till upphöjt till. Vi använder alltså logaritmen för att kunna lösa en ekvation där variabeln är i exponenten, en exponentialekvation.

Men ibland är ekvationerna vi ska lösa inte på formen av $a=b^x$a=bx , där  $a$a och $b$b är konstanter och $x$x vår variabel, utan kanske en summa eller differens av två logaritmer. Då kan vi med fördel använda logaritmlagarna, för att effektivisera våra beräkningar.

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Logaritmlagar

När du jobbar med logaritmer så kan det vara bra att ha reglerna/lagarna för att räkna med logaritmer framför sig. Lagarna kommer från potensreglerna och kan bevisas med hjälp av dem.

Logaritmlagar

  •  $\text{lg }A+\text{lg }B=\text{lg }A\cdot B$lg A+lg B=lg A·B
  •  $\text{lg }A-\text{lg }B=\text{lg }\frac{A}{B}$lg Alg B=lg AB 
  •  $\text{lg }x\text{ }^p=p\cdot\text{lg }x$lg x p=p·lg x

Exempel på beräkning med hjälp av logaritmlagar

Här följer två exempel där logaritmlagarna används för att lösa ekvationer.

Exempel 1

Lös ekvationen  $\text{lg }1000+\text{lg }x=\text{lg }10$lg 1000+lg x=lg 10

$\text{lg }1000+\text{lg }x=\text{lg }10$lg 1000+lg x=lg 10               använd logaritmlagen för addition och skriv om VL
 $\text{lg }1000\cdot x=\text{lg }10$lg 1000·x=lg 10                      skriv om VL och HL på basen tio
$10^{\text{lg }1000\cdot x}=10^{\text{lg }10}$10lg 1000·x=10lg 10                       använd kunskapen att  $10^{\text{lg }a}=a$10lg a=a 

 $1000\cdot x=10$1000·x=10                               dividera båda leden med $1000$1000
$x=0,01$x=0,01

 Exempel 2

Lös ekvationen  $\text{lg }x^2-\text{lg }x=5$lg x2lg x=5

$\text{lg }x^2-\text{lg }x=5$lg x2lg x=5               använd logaritmlagen för subtraktion och skriv om VL
$\text{lg }\frac{x^2}{x}=5$lg x2x =5                           förenkla VL
$\text{lg }x=5$lg x=5                             skriv om VL och HL på basen tio 

$10^{\text{lg }x}=10^5$10lg x=105                      använd kunskapen att  $10^{\text{lg }a}=a$10lg a=a
 $x=100\text{ }000$x=100 000

Bevis av logaritmlagar

Med hjälp av vetskapen att  $x=10^{\text{lg }x}$x=10lg x kan vi skriva om VL till en tiopotens och HL till en produkt av två tiopotenser

$A\cdot B=A\cdot B$A·B=A·B   ⇔  $10^{\text{lg }A\cdot B}=10^{\text{lg }A}\cdot10^{\text{lg }B}$10lg A·B=10lg A·10lg B

Vi kan nu använda potensregeln  $a^x\cdot a^y=a^{x+y}$ax·ay=ax+y i HL och får att

$10^{\text{lg }A\cdot B}=10^{\text{lg }A}\cdot10^{\text{lg }B}$10lg A·B=10lg A·10lg B    ⇔   $10^{\text{lg }A\cdot B}=10^{\text{lg }A+\text{lg }B}$10lg A·B=10lg A+lg B

Då basen är den samma i VL och HL måste det råda likhet mellan exponenterna och vi får att   $\text{lg }A+\text{lg }B=\text{lg }A\cdot B$lg A+lg B=lg A·B

Med hjälp av vetskapen att  $x=10^{\text{lg }x}$x=10lg x kan vi skriva om VL till en tiopotens och HL till en produkt av två tiopotenser

$\frac{A}{B}=\frac{A}{B}$AB =AB    ⇔  $10^{\text{lg }\frac{A}{B}}=\frac{10^{\text{lg }A}}{10^{\text{lg }B}}$10lg AB =10lg A10lg B 

Vi kan nu använda potensregeln  $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y},(a\ne0)$axay =axy,(a0) i HL och får att

$10^{\text{lg }\frac{A}{B}}=\frac{10^{\text{lg }A}}{10^{\text{lg }B}}$10lg AB =10lg A10lg B       ⇔   $10^{\text{lg }\frac{A}{B}}=10^{\text{lg }A-\text{lg }B}$10lg AB =10lg Alg B

Då basen är den samma i VL och HL måste det råda likhet mellan exponenterna och vi får att $\text{lg }A-\text{lg }B=\text{lg }\frac{A}{B}$lg Alg B=lg AB 

Med hjälp av vetskapen att  $x=10^{\text{lg }x}$x=10lg x kan vi skriva om VL och HL till tiopotenser på två olika vis.

$\text{lg }x\text{ }^p=\text{lg }x^p$lg x p=lg xp  ⇔  $\left(10^{\text{lg }x}\right)^{^p}=10^{lg\left(x^{^p}\right)}$(10lg x)p=10lg(xp)

Vi kan nu använda potensregeln  $(a^x)^y=a^{x\cdot y}$(ax)y=ax·y i VL och får att

$\left(10^{\text{lg }x}\right)^{^p}=10^{\text{ }p\cdot\text{lg }x}$(10lg x)p=10 p·lg x

Då basen är den samma i VL och HL måste det råda likhet mellan exponenterna och vi får att  $\text{lg }x\text{ }^p=\text{lg }x^p$lg x p=lg xp 

Exempel i videon

  • Hur vi skriver om $ log2^x $
  • Hur vi skriver om $ log3 \cdot 9 $
  • Hur vi skriver om $ log\frac{5}{7} $
  • Lös ekvationen $ 0,5^x = 0,2 $
  • Lös ekvationen $log7+logx= log21$
  • Lös ekvationen $loga – log8= log64$

Kommentarer

Christin Andersson

Hej!
Tror ni borde titta på fråga 2, när man rättar står det att man svarat fel och inte vilket alternativ som ska vara rätt. I er förklaring skriver ni: ”D.v.s log 32−log 2=log (322)=log 16(≈1,2)”
Men eftersom svarsalternativen bara visade ex. log 16, log 30 etc, borde väl log 16 anser vara rätt svar på denna frågan?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Tack för din synpunkt där, vi ändrar lite i förklaringen där för att förtydliga detta!

Jakob Nilsson

På Uppgift 4 står det ”subtrahera båda leden med 4” men det ser mer ut att man har subtraherat med x eller har jag missat nått?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Det stod fel där, vi korrigerar det.

Anders Glans

Logaritmekvationsregler mm. Är lite osäkert när ni kräver att man skriver lösningar på ekvationer som svar: x=2 .men ibland räcker det med svar:2. Har ni några regler ni förhåller er till? Om det är kodningen med att ta ut värden ur text rekommenderar jag att ni förklarar att endast siffror skall skrivas på svarsraden.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Vi försöker generellt skriva frågorna så att x=2 skall gälla. Dock finns det några lite äldre uppgifter där vi inte har hunnit ordna detta.
    Tack för att du påpekade detta.

John Hörnvall

På uppgift 4 är svaret x=2, medans på uppgift 3 är svaret bara 3 och inte x=3?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Vi fixar det, tack för att du sade till!

Johanna Forslind

Hej!
på fråga 3 har jag svarat x=3 men ändå fått fel
och lika på fråga 4 där jag svarat x = 2.

/Johanna

    Simon Rybrand (Moderator)

    Vi fixar det! tack för att du sade till!

Hanna Henriksson

Hej igen, uppgift 6 får jag till 9, e detta fel eller är det fel i facit som det är ibland, förstår inte i såfall hur svaret kan bli 3, tacksam för hjälp, mvh Hanna, ps tack än en gång för jättebra sida.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Det var fel i facit och vi har korrigerat detta!

Peter Söderholm

Hej, jag ska förenkla 2lg 5 + lg 4. Hur gör jag då?, svaret ska bli 2 men jag förstår inte hur. Jag tycker man borde ta 2 lg 5*4 men det blir bara fel 🙁

    Simon Rybrand (Moderator)

    Du kan förenkla det på följande vis med logaritmlagarna:
    $2\cdot\mathrm{lg5}+\mathrm{lg4}={\mathrm{lg5}}^{2}+\mathrm{lg4}=\mathrm{lg25}+\mathrm{lg4}=$
    $lg\left(25·4\right) =\mathrm{lg}\left(100\right)=2$

Nadia Blomstrand

hur kan jag lösa 52=281 ⋅ 10^x
sitter fast…

    Simon Rybrand (Moderator)

    $ 52=281⋅10^x$
    Dela först med 281
    $0,185=10^x$
    Logaritmera
    $lg(0,185)=lg(10^x)$
    Använd logaritmlagen $ lgA^y=y·lgA $
    $lg(0,185)=xlg(10)$
    lg10 = 1 så vi får då
    $ lg(0,185)=x $
    $x≈-0,7328$

Ålands Lyceum

I regel nr 2 står det att logA*B=logA+logB vilket kan leda till missförstånd.
Det är ju faktiskt så att logA*B=B*logA (kommutativa lagen) vilket inte avses här; Ett bättre skrivsätt vore
log(A*B)=logA+logB
så behöver regeln inte missförstås

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Tack för synpunkten och vi håller med om detta. Regeln skrivs så ibland i läroböcker så det är därifrån det kommer. Vi skriver upp att vi skall ändra detta i videon, i texten är det redan ordnat.

Christian Johansson

Hej!

Jag saknar info om hur man använder lagarna i kombination med andra baser än 10.
frågan jag sitter på just nu är: Förenkla: 2lg50 – lg25, antar att jag ska använda den 3 lagen i filmen, men vet inte hur.
Vet att det ska sluta med lg100 men vet inte hur jag ska komma dit. Förklaring tack!
Mvh

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    I det exempel som du nämner så är det logaritmer på basen 10 som används. Däremot håller jag med om att det även bör finnas videos på logaritmer där andra baser än $10$ och $e$ (naturliga logaritmen) används. Vi lägger till det på listan över videos som skall göras.

    I den förenklingen som du skall göra kan du kanske göra på följande vis:
    ${{2} \, {lg50}}-{lg25}=$ $ 2lg\left(\frac{100}{2}\right)-lg(\frac{100}{4}) =$
    ${2}(lg100-lg2)-(lg100-lg4) =$ ${{{{2} \, {lg100}}-{{2} \, {lg2}}}-{lg100}}+{lg2^{2}}=$
    ${{{{2} \, {lg100}}-{{2} \, {lg2}}}-{lg100}}+{{2} \, {lg2}}= $ $lg100=2$

HAYIR

hey jag har en uppgift och jag fattar inte hur jag ska lösa den..

lg(1+x)-lg(1-x)=1

    Simon Rybrand (Moderator)

    Här kan vi skriva 1 = lg 10 så att vi får ekvationen
    $ lg(1+x)-lg(1-x)= lg10 ⇔$ (Logaritmlag)
    $ lg\frac{1+x}{1-x}=lg10 ⇔$ (10^)
    $ \frac{1+x}{1-x}=10 ⇔$
    $ 1+x=10-10x ⇔$
    $ 11x=9 ⇔$
    $ x=9/11$

      HAYIR

      tack 😀

Sebastian

Hej hur löser man ut dessa två ekvationer:

lg(2 + x) + lg(2-x) = lg 3

2 lg x = lg 3x

    Simon Rybrand (Moderator)

    Du behöver använda logaritmlagarna här, dvs de lagar som nämns ovan i video och text.

    $ lg(2+x) + lg(2-x) = lg 3 $ (logaritmlag)
    $ lg((2+x)(2-x)) = lg 3 $ (konjugatregeln)
    $ lg(4-x^2) = lg 3 $
    $ 4-x^2 = 3 $
    $ x^2 = 1 $
    $ x_1=1, x_2=-1 $

viktorrydberg

Hej.

Enligt logaritmlagen ska man subtrahera vid division men ändå dividerar du i exemplet 2.45 i videon, varför?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, det jag tror att du tänker på här är när man har följande
    $ lg(A/B) = lgA – lgB $

    I videon där har vi följande:
    $ \frac{lgA}{lgB} $
    och eftersom vi i videon känner till både A och B kan vi slå dessa logaritmer på en räknare och få ett svar.

nti_ma2

hej
jag har här en ekvation

5^5x⋅10^2x= 12500
kan man lösa den så här

log 50^5x = log 12500
5x⋅log50 = log 12500
5x = log12500/log 50
5x= 2,41
x=2.41/5
x=0.48

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, Här blir det lite fel när du förenklar vänsterledet, det kan nog vara bättre att du använder de olika logaritmlagarna noggrant enligt:
    $ 5^{5x}⋅10^{2x}=12500 ⇔ $
    $ log(5^{5x}⋅10^{2x})=log(12500) ⇔ $
    $ log(5^{5x}) + log(10^{2x})=log(12500) ⇔ $
    $ 5x⋅log(5) + 2x⋅log(10)=log(12500) $

    Härifrån fortsätter du att lösa ut x

nti_ma2

Hej
Kan du hjälpa med att läsa denna ekvation 321-10^x = 123
Tack

    Simon Rybrand (Moderator)

    $ 321-10^x = 123 $ (-321)
    $ -10^x = -198 $
    $ 10^x = 198 $ (logaritmera)
    $ log10^x = log198 $ (logaritmlag)
    $ xlog10 = log198 $ (log10=1)
    $ x = log198 $ (log10=1)
    x = 2,297

dontomas

Oj, min kritik var lite väl ensidig märkte jag 🙂 Du har ju även gjort ett fantastiskt arbete. Pedagogiskt lysande stundtals. Men det var just efter den här delen som jag kände att jag saknade lite verktyg att gå vidare med.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Det är lugnt 🙂

dontomas

Oj, nu råkade jag skriva fel i slutet.
Skulle stå:
x = -3 +- sqrt(9992+9)
x1 = 97

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej! tack för dina tankar och funderingar här, kul att läsa att du verkligen vill förstå. Det är en mycket bra inställning.
    Jag hjälper dig gärna vidare med dessa typer av lite svårare logaritmekvationer. Men undrar först om det skulle vara ok att klistra in de uppgifter du jobbar med och vill ha hjälp med i vårt forum här.

    Då finns det lite mer plats att skriva förklaringar och fortsätta tråden allt eftersom vi går vidare!

      dontomas

      Kände inte till forumet men jag har nu fått hjälp med just denna uppgift. Återkommer om jag behöver hjälp med något mer 🙂 Tack ändå.

komvux_boras

hejsan
hur löser man ekvationen (lgx)^2 – lgx^2 =99

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, är det $ (lgx)^2 – lg(x^2) $ som du menar här? (parantes på andra termen..)

      komvux_boras

      ja

        Simon Rybrand (Moderator)

        Hej, här är det bra att substituera lgx = t så att vi får ekvationen
        $ t^2-2t=99 $
        $ t^2-2t-99=0 $ (pq)
        $ t = 1 ± \sqrt{1+99} $
        $ t = 1 ± \sqrt{100} $
        $ t = 1 ± 10 $
        Dvs vi har lösningarna
        $ t_1=11 $ och $ t_2 = -9 $

        Då kan vi med detta även lösa ut x
        lgx=11 vilket ger lösningen $ x = 10^{11} $
        lgx=-9 vilket ger lösningen $ x = 10^{-9} $

dontomas

Hej. Ett exempel jag håller på med är
10^0,5x +10^3 = 10^4

Svaret ska bli 7,91 men det får jag inte till 🙁
Kan du visa?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hejsan, du har alltså ekvationen
    $ 10^{0,5x} +10^3 = 10^4 ⇔ $
    $ 10^{0,5x} + 1000 = 10000 ⇔ $ (-1000)
    $ 10^{0,5x} = 9000 ⇔ $ (logaritmera)
    $ lg 10^{0,5x} = lg 9000 ⇔ $
    $ 0,5x⋅lg 10 = lg 9000 ⇔ $ (lg10=1)
    $ 0,5x = 3,954 ⇔ $
    $ x = 3,954/0,5 = 7,9 $

    Hoppas att detta kan hjälpa dig på vägen och fortsatt lycka till!

      dontomas

      Tack!

      Anna Svensson

      Hej, får jag bara fråga.
      Hur fick vi 0,5x⋅lg10=lg9000⇔0,5x⋅lg10=lg9000⇔ (lg10=1)
      till
      0,5x=3,954⇔
      ?
      Hoppade vi över ett steg eller vad missar jag här? Hur blev 9000 till 3.954?
      Tack på förhand

        Simon Rybrand (Moderator)

        Hej
        Det är $log(9000)≈3,954$ och sedan kan vi bara ”ta bort” $log(10)$ då det är lika med $1$.

matematikkontot

Varför kan man ” logga ut”?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hejsan, När man ”loggar ut” så logaritmerar man helt enkelt baklänges. Tanken med logaritmer är att man skriver om en ekvation så att bägge leden står på basen 10 (om man skall använda tiologaritmen), det går därför bra att även gå tillbaka från denna form till där leden inte står på basen tio.

annab87

Förstår inte denna riktigt, känns lite rörigt=/

lgx-1=lg 2

mvh

    Simon Rybrand (Moderator)

    Man skulle kunna jobba med den ekvationen så här:
    lgx-1=lg 2 (+1)
    lgx = lg 2 + 1 (-lg2)
    lgx – lg 2 = 1 (logaritmlag 3 ovan)
    lg(x/2) = 1
    Här kan vi använda oss av att lg10 = 1 och då får vi att x = 20. Alternativt kan du ta ”baklängeslogaritm” på bägge leden och få fram att
    x/2 = 10
    x = 20


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (6)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna, utan räknare, $\text{lg }2+\text{lg }5$lg 2+lg 5.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna $\text{lg }32-\text{lg }2$lg 32lg 2.

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $\text{lg }a-\text{lg }100=\text{lg }50$lg alg 100=lg 50 

    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $66=7^x\cdot10$66=7x·10 

    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $\text{log }x+\text{log }9=\text{log }27$log x+log 9=log 27 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $\text{log }(9x)-\text{log }(3)=\text{log }(x+4)$log (9x)log (3)=log (x+4) 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...

c-uppgifter (4)

  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M
    R1
    K

    Du och dina två kompisar har fått i uppgift att lösa ekvationen $6\cdot3^x=72$6·3x=72 utan räknare.  Detta är är era tre lösningar.

    Lösning 1:   $x=\text{lg }4$x=lg 4  

    Lösning 2:   $x=\frac{\text{lg }12}{\text{lg }3}$x=lg 12lg 3  

    Lösning3:   $x=\frac{\text{lg }72}{\text{lg }18}$x=lg 72lg 18  

    Lös själv ekvationen och välj vilket svarsalternativ nedan du anser är korrekt.

    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna utan räknare $\text{lg }49000-\text{lg }490+\text{lg }\sqrt{100}$lg 49000lg 490+lg 100 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna värdet av $x$x utan räknare $\text{lg }x^5+\text{lg }81=\text{ lg }x^7$lg x5+lg 81= lg x7 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 10. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M1
    R
    K

    Lös ut $x$x ur $a=b-\text{lg }x$a=blg x  

    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar