Logaritmlagarna och logaritmekvationer (Exponentialfunktioner, Matte 2)

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 2 BC

Logaritmlagarna och logaritmekvationer

Video

Video, text & övningsfrågor av: Simon Rybrand

I den här genomgången lär vi oss mer om logaritmlagarna och logaritmekvationer. Vi går igenom tre viktiga logaritmlagar och ser hur vi tillämpar dessa i några enkla exempel.

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM


  • 500+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
  • 3500+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
PROVA FÖR 9 KR
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.
17 votes, average: 4,12 out of 517 votes, average: 4,12 out of 517 votes, average: 4,12 out of 517 votes, average: 4,12 out of 517 votes, average: 4,12 out of 5
17
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

8
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
MEDELPOÄNG
ALLA
4

Text

Exempel i videon

  • Hur vi skriver om $ log2^x $
  • Hur vi skriver om $ log3 \cdot 9 $
  • Hur vi skriver om $ log\frac{5}{7} $
  • Lös ekvationen $ 0,5^x = 0,2 $
  • Lös ekvationen $log7+logx= log21$
  • Lös ekvationen $loga – log8= log64$

Vad ska vi ha logaritmlagarna till?

En logaritm kan man tänka sig ungefär som en motsatt operation till upphöjt till. Vi använder alltså logaritmen för att kunna lösa en ekvation där variabeln är i exponenten, en exponentialekvation.

Men ibland är ekvationerna vi ska lösa inte på formen av $a=b^x$a=bx , där  $a$a och $b$b är konstanter och $x$x vår variabel, utan kanske en summa eller differens av två logaritmer. Då kan vi med fördel använda logaritmlagarna, för att effektivisera våra beräkningar.

Logaritmlagar

När du jobbar med logaritmer så kan det vara bra att ha reglerna/lagarna för att räkna med logaritmer framför sig. Lagarna kommer från potensreglerna och kan bevisas med hjälp av dem.

Logaritmlagar

 

  •  $\text{lg }A+\text{lg }B=\text{lg }A\cdot B$lg A+lg B=lg A·B
  •  $\text{lg }A-\text{lg }B=\text{lg }\frac{A}{B}$lg Alg B=lg AB 
  •  $\text{lg }x\text{ }^p=p\cdot\text{lg }x$lg x p=p·lg x

Exempel på beräkning med hjälp av logaritmlagar

Här följer två exempel där logaritmlagarna används för att lösa ekvationer.

Exempel 1

Lös ekvationen  $\text{lg }1000+\text{lg }x=\text{lg }10$lg 1000+lg x=lg 10

$\text{lg }1000+\text{lg }x=\text{lg }10$lg 1000+lg x=lg 10               använd logaritmlagen för addition och skriv om VL
 $\text{lg }1000\cdot x=\text{lg }10$lg 1000·x=lg 10                      skriv om VL och HL på basen tio
$10^{\text{lg }1000\cdot x}=10^{\text{lg }10}$10lg 1000·x=10lg 10                       använd kunskapen att  $10^{\text{lg }a}=a$10lg a=a 

 $1000\cdot x=10$1000·x=10                               dividera båda leden med $1000$1000
$x=0,01$x=0,01

 Exempel 2

Lös ekvationen  $\text{lg }x^2-\text{lg }x=5$lg x2lg x=5

$\text{lg }x^2-\text{lg }x=5$lg x2lg x=5               använd logaritmlagen för subtraktion och skriv om VL
$\text{lg }\frac{x^2}{x}=5$lg x2x =5                           förenkla VL
$\text{lg }x=5$lg x=5                             skriv om VL och HL på basen tio 

$10^{\text{lg }x}=10^5$10lg x=105                      använd kunskapen att  $10^{\text{lg }a}=a$10lg a=a
 $x=100\text{ }000$x=100 000

Bevis av logaritmlagar

 

Med hjälp av vetskapen att  $x=10^{\text{lg }x}$x=10lg x kan vi skriva om VL till en tiopotens och HL till en produkt av två tiopotenser

$A\cdot B=A\cdot B$A·B=A·B   ⇔  $10^{\text{lg }A\cdot B}=10^{\text{lg }A}\cdot10^{\text{lg }B}$10lg A·B=10lg A·10lg B

Vi kan nu använda potensregeln  $a^x\cdot a^y=a^{x+y}$ax·ay=ax+y i HL och får att

$10^{\text{lg }A\cdot B}=10^{\text{lg }A}\cdot10^{\text{lg }B}$10lg A·B=10lg A·10lg B    ⇔   $10^{\text{lg }A\cdot B}=10^{\text{lg }A+\text{lg }B}$10lg A·B=10lg A+lg B

Då basen är den samma i VL och HL måste det råda likhet mellan exponenterna och vi får att   $\text{lg }A+\text{lg }B=\text{lg }A\cdot B$lg A+lg B=lg A·B

Med hjälp av vetskapen att  $x=10^{\text{lg }x}$x=10lg x kan vi skriva om VL till en tiopotens och HL till en produkt av två tiopotenser

$\frac{A}{B}=\frac{A}{B}$AB =AB    ⇔  $10^{\text{lg }\frac{A}{B}}=\frac{10^{\text{lg }A}}{10^{\text{lg }B}}$10lg AB =10lg A10lg B 

Vi kan nu använda potensregeln  $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y},(a\ne0)$axay =axy,(a0) i HL och får att

$10^{\text{lg }\frac{A}{B}}=\frac{10^{\text{lg }A}}{10^{\text{lg }B}}$10lg AB =10lg A10lg B       ⇔   $10^{\text{lg }\frac{A}{B}}=10^{\text{lg }A-\text{lg }B}$10lg AB =10lg Alg B

Då basen är den samma i VL och HL måste det råda likhet mellan exponenterna och vi får att $\text{lg }A-\text{lg }B=\text{lg }\frac{A}{B}$lg Alg B=lg AB 

Med hjälp av vetskapen att  $x=10^{\text{lg }x}$x=10lg x kan vi skriva om VL och HL till tiopotenser på två olika vis.

$\text{lg }x\text{ }^p=\text{lg }x^p$lg x p=lg xp  ⇔  $\left(10^{\text{lg }x}\right)^{^p}=10^{lg\left(x^{^p}\right)}$(10lg x)p=10lg(xp)

Vi kan nu använda potensregeln  $(a^x)^y=a^{x\cdot y}$(ax)y=ax·y i VL och får att

$\left(10^{\text{lg }x}\right)^{^p}=10^{\text{ }p\cdot\text{lg }x}$(10lg x)p=10 p·lg x

Då basen är den samma i VL och HL måste det råda likhet mellan exponenterna och vi får att  $\text{lg }x\text{ }^p=\text{lg }x^p$lg x p=lg xp 

Kommentarer

  1. Förstår inte denna riktigt, känns lite rörigt=/

    lgx-1=lg 2

    mvh

    annab87
    1. Man skulle kunna jobba med den ekvationen så här:
      lgx-1=lg 2 (+1)
      lgx = lg 2 + 1 (-lg2)
      lgx – lg 2 = 1 (logaritmlag 3 ovan)
      lg(x/2) = 1
      Här kan vi använda oss av att lg10 = 1 och då får vi att x = 20. Alternativt kan du ta ”baklängeslogaritm” på bägge leden och få fram att
      x/2 = 10
      x = 20

      Simon Rybrand
  2. Varför kan man ” logga ut”?

    matematikkontot
    1. Hejsan, När man ”loggar ut” så logaritmerar man helt enkelt baklänges. Tanken med logaritmer är att man skriver om en ekvation så att bägge leden står på basen 10 (om man skall använda tiologaritmen), det går därför bra att även gå tillbaka från denna form till där leden inte står på basen tio.

      Simon Rybrand
  3. Hej. Ett exempel jag håller på med är
    10^0,5x +10^3 = 10^4

    Svaret ska bli 7,91 men det får jag inte till 🙁
    Kan du visa?

    dontomas
    1. Hejsan, du har alltså ekvationen
      $ 10^{0,5x} +10^3 = 10^4 ⇔ $
      $ 10^{0,5x} + 1000 = 10000 ⇔ $ (-1000)
      $ 10^{0,5x} = 9000 ⇔ $ (logaritmera)
      $ lg 10^{0,5x} = lg 9000 ⇔ $
      $ 0,5x⋅lg 10 = lg 9000 ⇔ $ (lg10=1)
      $ 0,5x = 3,954 ⇔ $
      $ x = 3,954/0,5 = 7,9 $

      Hoppas att detta kan hjälpa dig på vägen och fortsatt lycka till!

      Simon Rybrand
      1. Tack!

        dontomas
      2. Hej, får jag bara fråga.
        Hur fick vi 0,5x⋅lg10=lg9000⇔0,5x⋅lg10=lg9000⇔ (lg10=1)
        till
        0,5x=3,954⇔
        ?
        Hoppade vi över ett steg eller vad missar jag här? Hur blev 9000 till 3.954?
        Tack på förhand

        Anna Svensson
        1. Hej
          Det är $log(9000)≈3,954$ och sedan kan vi bara ”ta bort” $log(10)$ då det är lika med $1$.

          Simon Rybrand
  4. hejsan
    hur löser man ekvationen (lgx)^2 – lgx^2 =99

    komvux_boras
    1. Hej, är det $ (lgx)^2 – lg(x^2) $ som du menar här? (parantes på andra termen..)

      Simon Rybrand
      1. ja

        komvux_boras
        1. Hej, här är det bra att substituera lgx = t så att vi får ekvationen
          $ t^2-2t=99 $
          $ t^2-2t-99=0 $ (pq)
          $ t = 1 ± \sqrt{1+99} $
          $ t = 1 ± \sqrt{100} $
          $ t = 1 ± 10 $
          Dvs vi har lösningarna
          $ t_1=11 $ och $ t_2 = -9 $

          Då kan vi med detta även lösa ut x
          lgx=11 vilket ger lösningen $ x = 10^{11} $
          lgx=-9 vilket ger lösningen $ x = 10^{-9} $

          Simon Rybrand
  5. Hej. Nu har jag sett dem här videorna gång på gång. Och kan fortfarande bara lösa de allra enklaste problemen.
    När det kommer till uppgifter så som:
    lg(4x)+lg(2x) -4 = 0

    Så står jag fortfarande handfallen och har nyss kuggat på en sån uppgift i ett delprov. Jag VILL verkligen förstå det här till det är dags med nationella provet om mindre än två veckor.

    Exempelvis så tas det inte upp hur man faktoriserar med dessa logaritmer vare sig i matteboken eller här, men ändå förväntas man kunna det på prov. Tycker är fullt med luckor vad gäller HUR och NÄR man använder sig av logaritmreglerna.

    I denna uppgift löste jag det så som nedan antecknat men det var tydligen fel:

    lg(4x)+lg(2x) -4 = 0
    logartimlag (multiplikation till addition):
    lg(4+x) +lg(2+x) = lg10000

    logartimlag (plus till gånger): (Här vet jag t ex inte när man ska sluta med att omvandla gånger till plus och vice versa)

    lg(4+x)(2+x) = lg10000

    Vilket blir:
    lg(8+4x+2x+x^2) = lg10000

    Samma bas, vi bör därmed kunna avlogaritmisera helt:
    x^2 +6x +8 = 10000
    x^2 +6x -9992
    x = 3 +- sqrt(9992+9)
    x ca 3 +- 100

    x1 = 103
    Fel, svar…. varför? 🙁

    dontomas
    1. Oj, nu råkade jag skriva fel i slutet.
      Skulle stå:
      x = -3 +- sqrt(9992+9)
      x1 = 97

      dontomas
      1. Hej! tack för dina tankar och funderingar här, kul att läsa att du verkligen vill förstå. Det är en mycket bra inställning.
        Jag hjälper dig gärna vidare med dessa typer av lite svårare logaritmekvationer. Men undrar först om det skulle vara ok att klistra in de uppgifter du jobbar med och vill ha hjälp med i vårt forum här.

        Då finns det lite mer plats att skriva förklaringar och fortsätta tråden allt eftersom vi går vidare!

        Simon Rybrand
        1. Kände inte till forumet men jag har nu fått hjälp med just denna uppgift. Återkommer om jag behöver hjälp med något mer 🙂 Tack ändå.

          dontomas
  6. Oj, min kritik var lite väl ensidig märkte jag 🙂 Du har ju även gjort ett fantastiskt arbete. Pedagogiskt lysande stundtals. Men det var just efter den här delen som jag kände att jag saknade lite verktyg att gå vidare med.

    dontomas
    1. Det är lugnt, jag hjälper dig som sagt här ovan gärna vidare i forumet, syns där hoppas jag 🙂

      Simon Rybrand
  7. Hej
    Kan du hjälpa med att läsa denna ekvation 321-10^x = 123
    Tack

    nti_ma2
    1. $ 321-10^x = 123 $ (-321)
      $ -10^x = -198 $
      $ 10^x = 198 $ (logaritmera)
      $ log10^x = log198 $ (logaritmlag)
      $ xlog10 = log198 $ (log10=1)
      $ x = log198 $ (log10=1)
      x = 2,297

      Simon Rybrand
  8. hej
    jag har här en ekvation

    5^5x⋅10^2x= 12500
    kan man lösa den så här

    log 50^5x = log 12500
    5x⋅log50 = log 12500
    5x = log12500/log 50
    5x= 2,41
    x=2.41/5
    x=0.48

    nti_ma2
    1. Hej, Här blir det lite fel när du förenklar vänsterledet, det kan nog vara bättre att du använder de olika logaritmlagarna noggrant enligt:
      $ 5^{5x}⋅10^{2x}=12500 ⇔ $
      $ log(5^{5x}⋅10^{2x})=log(12500) ⇔ $
      $ log(5^{5x}) + log(10^{2x})=log(12500) ⇔ $
      $ 5x⋅log(5) + 2x⋅log(10)=log(12500) $

      Härifrån fortsätter du att lösa ut x

      Simon Rybrand
  9. Hej.

    Enligt logaritmlagen ska man subtrahera vid division men ändå dividerar du i exemplet 2.45 i videon, varför?

    viktorrydberg
    1. Hej, det jag tror att du tänker på här är när man har följande
      $ lg(A/B) = lgA – lgB $

      I videon där har vi följande:
      $ \frac{lgA}{lgB} $
      och eftersom vi i videon känner till både A och B kan vi slå dessa logaritmer på en räknare och få ett svar.

      Simon Rybrand
  10. Hej hur löser man ut dessa två ekvationer:

    lg(2 + x) + lg(2-x) = lg 3

    2 lg x = lg 3x

    Sebastian
    1. Du behöver använda logaritmlagarna här, dvs de lagar som nämns ovan i video och text.

      $ lg(2+x) + lg(2-x) = lg 3 $ (logaritmlag)
      $ lg((2+x)(2-x)) = lg 3 $ (konjugatregeln)
      $ lg(4-x^2) = lg 3 $
      $ 4-x^2 = 3 $
      $ x^2 = 1 $
      $ x_1=1, x_2=-1 $

      Simon Rybrand
  11. hey jag har en uppgift och jag fattar inte hur jag ska lösa den..

    lg(1+x)-lg(1-x)=1

    HAYIR
    1. Här kan vi skriva 1 = lg 10 så att vi får ekvationen
      $ lg(1+x)-lg(1-x)= lg10 ⇔$ (Logaritmlag)
      $ lg\frac{1+x}{1-x}=lg10 ⇔$ (10^)
      $ \frac{1+x}{1-x}=10 ⇔$
      $ 1+x=10-10x ⇔$
      $ 11x=9 ⇔$
      $ x=9/11$

      Simon Rybrand
      1. tack 😀

        HAYIR
  12. Hej!

    Jag saknar info om hur man använder lagarna i kombination med andra baser än 10.
    frågan jag sitter på just nu är: Förenkla: 2lg50 – lg25, antar att jag ska använda den 3 lagen i filmen, men vet inte hur.
    Vet att det ska sluta med lg100 men vet inte hur jag ska komma dit. Förklaring tack!
    Mvh

    Christian Johansson
    1. Hej
      I det exempel som du nämner så är det logaritmer på basen 10 som används. Däremot håller jag med om att det även bör finnas videos på logaritmer där andra baser än $10$ och $e$ (naturliga logaritmen) används. Vi lägger till det på listan över videos som skall göras.

      I den förenklingen som du skall göra kan du kanske göra på följande vis:
      ${{2} \, {lg50}}-{lg25}=$ $ 2lg\left(\frac{100}{2}\right)-lg(\frac{100}{4}) =$
      ${2}(lg100-lg2)-(lg100-lg4) =$ ${{{{2} \, {lg100}}-{{2} \, {lg2}}}-{lg100}}+{lg2^{2}}=$
      ${{{{2} \, {lg100}}-{{2} \, {lg2}}}-{lg100}}+{{2} \, {lg2}}= $ $lg100=2$

      Simon Rybrand
  13. I regel nr 2 står det att logA*B=logA+logB vilket kan leda till missförstånd.
    Det är ju faktiskt så att logA*B=B*logA (kommutativa lagen) vilket inte avses här; Ett bättre skrivsätt vore
    log(A*B)=logA+logB
    så behöver regeln inte missförstås

    Ålands Lyceum
    1. Hej
      Tack för synpunkten och vi håller med om detta. Regeln skrivs så ibland i läroböcker så det är därifrån det kommer. Vi skriver upp att vi skall ändra detta i videon, i texten är det redan ordnat.

      Simon Rybrand
  14. När jag ska hitta ett närmevärde till lg80, hur går jag tillväga då?
    Jag vet att närmevärdet ska vara 1,9 och jag räknade till och med ut detta i förra veckan, nu är det helt borta… :/

    Caroline
    1. Hej
      Ett sätt att tänka där är att använda logaritmlagar och skriva om det som
      $ lg(80) = lg(8⋅10) = lg(8) + lg(10) $
      Eftersom att $ lg(10)=1 $ får du
      $ lg(8) + 1 $.
      Nu är frågan vad lg(8) har för närmevärde och här kan du tänka att det bör vara ett tal nära 1 då lg(10)=1. Här kan du också rita ut kurvan till $ y=10^x $ och läsa av det x som ger att $ 10^x = 8 $.

      Simon Rybrand
      1. Jag förstår fram tills lg(8) + 1.
        Hur vet jag vad lg(8) har för närmevärde liksom?

        Och måste man alltid rita ut en kurva? (Förstår inte mycket av kurvor fortfarande!) 🙁

        Caroline
        1. JAHA!! Nu förstod jag!!!!
          Om lg(10)=1 och då är lg(5) exempel, = 0,5.. Då är lg(8)=cirka 0,8
          Så lg(10) + lg(8) = cirka 1,9 då som var det närmaste talet!
          Tack Simon!!

          En till fråga dock:
          Ska man alltid skriva om logaritmlagen, alltså typ ”bryta ned” exempel lg(80) till = lg(8*10)?

          Caroline
          1. Nej det är svårt att säga att man skall alltid göra på det här viset. Denna uppgift är ju lite mer åt problemlösningshållet där du behöver hitta ett sätt att resonera dig fram till närmevärdet. Det är såklart möjligt att det kan komma liknande uppgifter men det är nog ingen generell regel att göra på detta vis.

            Simon Rybrand
  15. hur kan jag lösa 52=281 ⋅ 10^x
    sitter fast…

    Nadia Blomstrand
    1. $ 52=281⋅10^x$
      Dela först med 281
      $0,185=10^x$
      Logaritmera
      $lg(0,185)=lg(10^x)$
      Använd logaritmlagen $ lgA^y=y·lgA $
      $lg(0,185)=xlg(10)$
      lg10 = 1 så vi får då
      $ lg(0,185)=x $
      $x≈-0,7328$

      Simon Rybrand
  16. Hej, jag ska förenkla 2lg 5 + lg 4. Hur gör jag då?, svaret ska bli 2 men jag förstår inte hur. Jag tycker man borde ta 2 lg 5*4 men det blir bara fel 🙁

    Peter Söderholm
    1. Du kan förenkla det på följande vis med logaritmlagarna:
      $2\cdot\mathrm{lg5}+\mathrm{lg4}={\mathrm{lg5}}^{2}+\mathrm{lg4}=\mathrm{lg25}+\mathrm{lg4}=$
      $lg\left(25·4\right) =\mathrm{lg}\left(100\right)=2$

      Simon Rybrand
  17. Hej igen, uppgift 6 får jag till 9, e detta fel eller är det fel i facit som det är ibland, förstår inte i såfall hur svaret kan bli 3, tacksam för hjälp, mvh Hanna, ps tack än en gång för jättebra sida.

    Hanna Henriksson
    1. Det var fel i facit och vi har korrigerat detta!

      Simon Rybrand
  18. Hej!
    på fråga 3 har jag svarat x=3 men ändå fått fel
    och lika på fråga 4 där jag svarat x = 2.

    /Johanna

    Johanna Forslind
    1. Vi fixar det! tack för att du sade till!

      Simon Rybrand
  19. På uppgift 4 är svaret x=2, medans på uppgift 3 är svaret bara 3 och inte x=3?

    John Hörnvall
    1. Vi fixar det, tack för att du sade till!

      Simon Rybrand
  20. Logaritmekvationsregler mm. Är lite osäkert när ni kräver att man skriver lösningar på ekvationer som svar: x=2 .men ibland räcker det med svar:2. Har ni några regler ni förhåller er till? Om det är kodningen med att ta ut värden ur text rekommenderar jag att ni förklarar att endast siffror skall skrivas på svarsraden.

    Anders Glans
    1. Hej
      Vi försöker generellt skriva frågorna så att x=2 skall gälla. Dock finns det några lite äldre uppgifter där vi inte har hunnit ordna detta.
      Tack för att du påpekade detta.

      Simon Rybrand
  21. På Uppgift 4 står det ”subtrahera båda leden med 4” men det ser mer ut att man har subtraherat med x eller har jag missat nått?

    Jakob Nilsson
    1. Hej
      Det stod fel där, vi korrigerar det.

      Simon Rybrand

Kommentarer är inaktiverade. Logga in för att felrapportera.

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: