...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Kongruens

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Så fungerar kongruenta tal

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

När två stycken tal är kongruenta så finns det ett tal som du kan dividera dessa tal med så att du får samma rest. Då brukar man säga att dessa tal är kongruenta. Man kan likna kongruens vid något som återkommer om och om igen enligt ett visst mönster. I det här fallet är det tal som återkommer.

Om du tänker dig att du står på siffran 12 på en tallinje och hoppar hopp med steglängden 3 på denna tallinje så kommer du först att komma till siffran 9, sedan siffran 6 följt av 3 och sedan 0. Vi skulle då kunna säga att 12 är kongruent med 6 modulo 3 eller att 12 är kongruent med 3 modulo 3. Med matematiskt språk så skrivs detta enligt:

$12 ≡ 9 \, (mod \, 3)$
$12 ≡ 3 \,(mod \, 3)$

Tecknet $≡$ uttalas ”kongruent med” och ”mod” uttalas modulos.

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Definitionen av kongruens

Själva definitionen av kongruens är följande:

Två heltal $a$ och $b$ är kongruenta om de har samma rest vid division med heltalet $n > 1$. Då säger man att dessa tal är kongruenta modulo n vilket skrivs som $a ≡ b \, (mod \, n)$.

För att konkretisera definitionen kan vi ta ett exempel.

$34 ≡ 22 \, (mod \, 4)$ då

$ \frac{34}{4} = \text{8 rest 2} $ och $ \frac{22}{4} = \text{5 rest 2} $.

Dvs talen har samma rest vid division med 4.

Exempel i videon

  • Visar att både $30$ och $9$ får resten $2$ vid division med $7$ och att de därmed är kongruenta.
  • Vilket av följande tal är kongruent med 7 modulo 3? A: 21, B: 20, C: 19.
  • Bestäm heltalet $a$ om $20 ≤ a ≤ 40$ samt att $a ≡ 6 \, (mod \, 7)$ och $a ≡ 2\, (mod\, 8)$.

Kommentarer

Adam Johansson

Hej,
Jag har problem att riktigt förstå detta, finns det något annat sätt att förklara?
Adam

    Simon Rybrand (Moderator)

    Har du något exempel som du jobbar med som vi kan utgå ifrån?

Maria Falah

Hej!
hur blir det här frågan: 1^3+2^3+3^3+4^3…..+100^3 (mod4)?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Kika gärna på reglerna för kongruensräkning, där finns regeln
    $ a^t ≡ b^t\, (mod\, n) $ där t är ett positivt heltal.
    Med hjälp av denna kan du exempelvis skriva om
    $ 4^3 ≡ 0 \,(mod\, 4) $
    $ 5^3 ≡ 1^3 \,(mod\, 4) $
    $ 6^3 ≡ 2^3 \,(mod\, 4) $
    $ 7^3 ≡ 3^3 \,(mod\, 4) $
    $ 8^3 ≡ 0 \,(mod\, 4) $
    $ 9^3 ≡ 1^3 \,(mod\, 4) $
    osv…
    På detta vis kan du skriva om alla tal i summan och förenkla, kommer du vidare själv här?

      Maria Falah

      Tack så mycket för hjälpen!
      Men på facit det står ”summan av 1^3+2^3+3^3+4^3…..+100^3 (mod4) är kongruent med 25(1^3+2^3+3^3+4^3…..+100^3 (mod4))?

      Varför ifrån kommer 25?

        Simon Rybrand (Moderator)

        Det står inte att det är kongruent med $ 25(1^3+2^3+3^3+4^3)$? Eftersom att alla tal är kongruenta med dessa fyra potenser och eftersom att 100/4 = 25?
        (tänk också på att $ 1^3+2^3+3^3+4^3 = 100 $)


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (5)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilket av följande tal är kongruent med $22$ modulo $7$?

    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Ange ett heltal $x > 2$ så att $12 ≡ 2$ (mod $x$).

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilka två av följande fyra påståenden är ekvivalenta?

    A) $56 ≡ 11$ (mod $5$)
    B) $56 ≡ 2$ (mod $6$)
    C) $56$ och $11$ har samma rest vid division med talet $5$.
    D) $56$ och $2$ har samma rest vid division med heltalet $5$.

    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm talet $a$ så att $a ≡ 1$ (mod $5$) och $a ≡ 3$ (mod $7$), $20 ≤ a ≤ 40$.

    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vad innebär kongruensen $a ≡ 0$ (mod $11$)?

    Rättar...

c-uppgifter (2)

  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    För de positiva heltalen $a$, $b$ och $c$ gäller att $ \frac{a}{c} = \text{5 rest d} $ och $ \frac{b}{c} = \text{10 rest d} $. Vilket påstående stämmmer?

    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilket eller vilka av följande alternativ uttrycker ”samtliga helttal $x$ som är kongruenta med $2$ modulo $6$?

    A) $x=6n+2$, där $n$ är ett heltal
    B) $x+2=6n$, där $n$ är ett heltal 
    C) $x-2=6n$, där $n$ är ett heltal

    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/2)
    ECA
    B
    P
    PL1
    M1
    R
    K

    Ett visst år är den $1$ augusti en tisdag. Vilken veckodag infaller julafton samma år?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar