...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Kongruensräkning

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Regler vid kongruensräkning


Det finns framförallt 3 stycken räkneregler som vi kan använda när vi jobbar med kongruenser.

Reglerna förutsätter att $a ≡ b\, (mod\, n)$ och $c ≡ d \,(mod\, n)$. Då gäller att

1. $a + c ≡ b + d \,(mod\, n)$
2. $ac ≡ bd\, (mod\, n)$
3. $a^t ≡ b^t\, (mod\, n)$ där $t$ är ett positivt heltal.

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Några exempel på användning av reglerna för kongruenser

Vi vet att $a ≡ 3 \,(mod \,4)$ och $b ≡ 6\,(mod \,4)$.

Då gäller att

1) $a + b ≡ 3 + 6\, (mod\, 4) = 9 \,(mod \,4) ≡ 1\,(mod\, 4)$

2) $ab ≡ 3⋅6 \,(mod \,4) = 18\, (mod \,4) ≡ 2\, (mod \,4)$

3) $a^4 ≡ 3^4\, (mod \,4) = 81\, (mod\, 4) ≡ 1\, (mod \,4)$

Exempel i videon

  • Bevis för att $a + c ≡ b + d \,(mod \,n)$ då $a ≡ b\, (mod\, n)$ och $c ≡ d\, (mod\, n)$.
  • $a ≡ 4\, (mod\, 8 )$ och $b ≡ 5\, (mod\, 8)$.
    Bestäm
    a) $a + b$
    b) $ab$
    c) $a^3$
  • Idag är det Torsdag. Bestäm vilken veckodag det är om 900 dagar.

Kommentarer

Benjamin Kwingwa Lidman

Hej!
Jag undrar om a^3 = 4^3 är rätt och om det inte ska vara ska vara a^3 = b^3(5^3) eftersom att räkneregeln säger a^t ”är kongruent med” b^t så därmed är a^3 kongruent med 5^3

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Vilken uppgift syftar du på här?

Maria Falah

Hej!
jag förstår inte varför?
30≡2 (mod 7) är kongruenta.
eller är det: att 30/7= 4 rest 2
och 2/7= 0 rest 2?
har jag förstått rätt?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Ett sätt att förstå det är att om du ”hoppar” med steglängden 7 från 30 och försöker komma så nära 0 som möjligt så hamnar du på 2.
    Dvs $ 30-4⋅7 = 2 $ (4 hopp med steglängden 7).
    Vi kan definiera kongruens som att två heltal a och b är kongruenta modulo n om de har samma rest vid division med heltalet n > 1. Det här säger samma sak som du nämner i ditt exempel, du har alltså förstått rätt 🙂

Mariam Hummadi

Hej hur beräknar man resten av, 3^100 mod 7 ?, och 15^100 mod 5?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    $ 15^{100} \bmod 5 ≡ 0^{100} \bmod 5 $ så där är resten 0. Tänk på att du kan räkna kongruensräkning för potenser.
    Ofta så använder man potensregeln $ (a^b)^c = a^{bc} $ när man söker efter sätt att skriva om uttryck med hjälp av reglerna för kongruensräkning.
    Ett sätt att skriva om det första uttrycket kan vara enligt följande:
    $3^{100} \bmod 7 = \left(3^2\right)^{50} \bmod 7 =$
    $9^{50} \bmod 7 ≡ 2^{50} \bmod 7 =$
    $(2^5)^{10} \bmod 7 = 32^{10} \bmod 7 ≡$
    $4^{10} \bmod 7 = (4^2)^5 \bmod 7$
    $16^{5} \bmod 7 ≡ (2)^5 \bmod 7 =$
    $32 \bmod 7 ≡ 4 \bmod 7$

    Det blev något långt här ovan, möjligtvis finns det sätt att göra det mer effektivt för att se att resten är 4.

Mariam Hummadi

20 mod(8), hur fick vi 4 mod(8)?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Vi får det för att 20 ≡ 4 (mod 8)
    Du kan tänka att
    20-2⋅8 = 4.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (4)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    $t ≡ 5$ (mod $10$) och $q ≡ 7$ (mod $10$). Bestäm $t + q$.

    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm det minsta positiva heltalet $q$ så att $ 11^5 ≡ q$ (mod $5$).

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm det minsta positiva heltalet $x$ så att $15x ≡ 21$ (mod $4$).

    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    Om klockan är $14.00$ nu, vad är klockan om $5^{400}$ timmar?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...

c-uppgifter (3)

  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilken rest fås då $26^{27}$ divideras med $8$?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    Med hjälp av en av reglerna för kongruensräkning kan den sista siffran i talet $ 222^{15} $ bestämmas. Vilken är denna siffra? (Tips: Räkna modulo $10$.)

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    $x ≡ 5$ (mod $6$) och $y ≡ 2$ (mod $6$). Bestäm $x^y$ (mod $6$).

    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/2)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Vilket av följande alternativ är korrekt?

    A) $2^{5n}+1$ är delbart med $2$ för alla udda heltal $n≥1$.
    B) $2^{5n}+1$ är delbart med $3$ för alla udda heltal $n≥1$.
    C) $2^{5n}+1$ är delbart med $4$ för alla udda heltal $n≥1$.

    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar