...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Prova för 9 kr Prova för 9 kr
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Geometriska talföljdens summa

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Den geometriska talföljdens summa

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Är du ny här? Så här funkar Premium
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Formeln för den geometriska summan kan se något besvärlig ut, men när man väl benat ut vad alla variabler står för så brukar det gå ganska lätt att räkna med.

Formeln för geometrisk summa

När du ska summera ett antal termer i en geometrisk summa, är det mycket effektivt att använda Geometriska summaformeln.

Summan för en geometrisk talföljd

 $S_n=$Sn=  $\frac{a_1(1-k^n)}{1-k}=\frac{a_1(k^n-1)}{k-1}$a1(1kn)1k =a1(kn1)k1   , där $k\ne1$k1

$S_n$Sn är summan av de $n$n första talen i den geometriska taljföljden
$a_1$a1 är det första talet i talföljden
$k$k är kvoten

När kan man använda den geometriska summaformeln?

En vanlig tillämpning av den geometriska talföljdens summa är att beräkna ett totalsaldo på ett konto efter ett antal lika stora insättningar där man även erhåller en viss räta på det redan insatta på kontot. Låt säga att du sparar tvåhundra kronor var månad på ditt konto. Efter tjugofyra månaders sparande och med en ränta på  $0,5\%$0,5% får du en summa på kontot som följer.

$s_{24}=200+200\cdot1,005$s24=200+200·1,005  $+200\cdot1,005^2+200\cdot1,005^3+…$+200·1,0052+200·1,0053+ $+200\cdot1,005^{22}+200\cdot1,005^{23}$+200·1,00522+200·1,00523

Här är summan skriven på allmän form. Observera att den sista termen har ett gradtal som är ett mindre än antalet termer. Det beror på att det första termen  $a$a kan ses som att den multipliceras med kvoten upphöjt till noll, eftersom att  $a=a\cdot1=a\cdot k^0$a=a·1=a·k0. Det kan vara en bra att lägga på minnet när man ska ange hur många termer en summa består av. Alltså ofta en term mer, än den sista termens gradtal.

De tre punkterna i mitten motsvarar matematiskt, att mönstret framför punkterna fortsätter att upprepa sig. Summan beräknas enklast med den geometriska summaformeln, där  $a_1=200$a1=200 , $k=1,005$k=1,005 och antalet termer som ska summeras  $24$24 st månader.

 $S_{24}=$S24= $\frac{a_1\left(k^n-1\right)}{k-1}=\frac{200\left(1,005^{24}-1\right)}{1,005-1}$a1(kn1)k1 =200(1,005241)1,0051   $\approx5086$5086  kronor.

Hur kan man bestämma ytterligare ett tal i talföljden om man inte har $a_1$?

I en geometrisk talföljd får vi hela tiden följande tal, även kallat element, genom att multiplicera det föregående elementen med det som i detta sammanhang kallas för kvoten $k$k.


Om man vill hitta det $n$n:te talet i en geometrisk talföljd, är det väldigt tidskrävande att utgå från  $a_1$a1 och sedan multiplicera gång på gång med kvoten. Dessutom kan det hända att du inte vet det första talet  $a_1$a1. Effektivare är att använda denna formel.

$a_n = a_m \cdot k^{n-m} $ ,  där $ a_n $ är det $n$:te talet, $ a_m $ är det $m$:te talet och $k$ är kvoten.

För detta behöver antingen kvoten vara känd, alternativt får du bestämma den själv med hjälp av två på varandra följande tal.

Formel för att bestämma kvoten  $k$k

 $k=$k= $\frac{a_{n+1}}{a_n}$an+1an        där  $a_n$an är talet precis framför talet  $a_{n+1}$an+1 i talföljden

Så om vi tex har talföljden $3,\, 6,\, 12,\,24, …$ så är kvoten $2$2 för kvoten av två på varandra följande tal är  $2$2. Tänk på att det första talet av de två ska vara i nämnaren och det senare i täljaren. Man kan även ta fram kvoten genom att undersöka vilket tal som man multiplicerar med för att få nästa.

Exempel i videon

  • Beräkna summan av de $10$ första talen i talföljden $ 1, \,3, \,9, \,27, \,81, \,243, \,… $.
  • Beräkna summan av de $7$ första talen i talföljden $ 5, \,25, \,125, \,625, \,… $

Kommentarer

Per Eriksson

Hej!
Kan man någon gång få en fråga som ber om ränta även för det sista året? Eller är frågor som ska besvaras med en geometrisk summa alltid utan det sista årets t ex ränta? Har sätt i läroboken att det sista året alltid saknar ränta (vilket verkar vara som upplagt för att använda denna formel). Försöker göra mig redo för nationella proven och vara förberedd på det mesta 🙂
Tack på förhand!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    När du räknar ut en geometrisk talföljds summa så får du summan till och med den sista insättningen.
    Om man sedan vill sluta att spara nya insättningar och bara låta pengarna växa så är det precis som du skriver en annan typ av beräkning.

Benjamin Larsson

Hej kan du se vad jag gör för fel i denna uppgift eller om det är fel i facit? Det skall bli 63736
http://www.bilddump.se/bilder/20161214170238-83.254.108.181.jpg

    Simon Rybrand (Moderator)

    Din uppställning ser lite fel ut, gör istället så här:
    $\frac{10000·(1,024^7-1)}{1,024-1}≈75247$

      Benjamin Larsson

      Tack! Har lite otur när jag tänker ibland ^_^

Benjamin Larsson

Hej!
Detta tillhör inte kursen men jag funderar på hur man beräknar kontinuerligt sparande med ränta på ränta effekten ifall man årligen ökar sina insättningar med antingen ett fast belopp eller en procentuell förändring.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Har tyvärr inget snabbt svar på detta 😉
    Jag hade nog försökt att simulera det i exempelvis ett kalkylark först.

Tim Fredell

Avgör om summan är geometrisk och i så fall beräkna den:

2368 – 1184 + … + 37

ser att det är en geometrisk talföljd och att k = -0.5 och får dessutom rätt svar när jag summerar elementen. Vet bara inte riktigt hur jag ska ställa upp det?

S7=2368(-0.5^7-1) / -0.5 -1 blir inte rätt iallafall

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Du har alltså talföljden
    $ 2368,-1184,592,-296,148,-74,37 $
    Summan blir då
    $ S_7=\frac{2368(1-(-0,5)^7)}{1-(-0,5)}=1591$
    Tänk på att vara noggrann med att sätta den negativa kvoten inom parentes i räknaren och att lika tecken blir plus i nämnaren.

Janina Carvajal

Hej!

Detta är Janina’s pojkvän (jag hjälper henne med matten). En sak har jag tycks ha glömt och nu i efterhand förstår jag inte:
Första uppgiften, formeln blir S(nedsänkt 8) = (1*(1-4^8)/(1-4)

Varför beräknar man inte 4^8 som (-4)^8, dvs talet i täljaren blir positivt?
4:an är trots allt ett negativt tal, inte positivt.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Det som är viktigt här är att först att exempelvis $-2^2=-4$ inte är samma sak som $ (-2)^2=4 $.
    I det första alternativet subtraherar vi med 2 upphöjt till 2 och i det andra alternativet så upphöjer vi minus 2 med 2.
    Hoppas att detta svarar på din fråga.

Lovisa Ekegren Scheffer

Hej! Tänkte bara fråga om skillnaden mellan rekursionsformeln och den slutna formeln då jag inte riktigt förstår när min bok tar upp det. Använder bara den slutna formeln som ni tar upp här, men antar att man måste kunna använda sig av den andra i vissa problem?

Hälsningar Lovisa

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Lovisa,
    En rekursionsformel använder alltid ett eller flera av de föregående talen i en talföljd för att ”hitta” det nästa talet.
    I en sluten formel så använder du istället ordningsföljden för att beskriva talet.
    Om du har ett exempel som du vill ha hjälp med som handlar om detta så skicka gärna in det här så tar vi det därifrån.

Simon Rybrand (Moderator)

Vad skall du ta reda på här? Förklara gärna lite mer vad du skall göra i uppgiften.

    Ailin Gottfridsson

    Avgör om summan är geometrisk och i så fall beräkna den.

      Simon Rybrand (Moderator)

      Det ser ut som om kvoten skulle vara $(-0,5)$ då
      $ 2368⋅(-0,5)=-1184 $
      samt att $ 2368*(-0.5)^6 = 37$
      Då har du
      $ a_1 = 2368 $
      $ k = -0,5 $
      $ n = 7 $

      Kanske du kan beräkna summan utifrån detta?

        Ailin Gottfridsson

        Hej igen,

        Hur får du fram 2368∗(−0.5)6=37 ?
        Hur räknar ut n ? Finns det någon funktion?

Alfred Kumbi

Hej,
På fråga #2 visar alternativ 1 som rätt svar men det är alternativ 2 som egentligen är rätt alltså 21845.
Bästa hälsningar
Alfred

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Alfred,
    Tack för att du uppmärksammade detta, det är korrigerat!

christopher

Hur löser man denna uppgift?

De tre första elementen i en geometrisk talföljd är $7x +1, 2x +2 och x – 1$

Bestäm de tre elementen!

Ska man bestämma själv värdet i respektive element?

Eller finns det något knep man gör här?

    christopher

    Löset det. (x-1)(7x+1)=(2x-2)(2x+2)

    Sen räknade jag ut det med pq-formel

    Fick 2 lösningar första satte jag in för att kolla så det var en talföljd sen satte jag in i a1,a2,a3 för att sedan bestämma elementen.

      Simon Rybrand (Moderator)

      Ok vad bra 🙂

        Athinas

        Varför ska man sätta det likamed varandra? Hur tänker man då?

          Simon Rybrand (Moderator)

          Det man vill göra i vissa fall är att ställa upp en ekvation för att på så vis kunna lösa ut något okänt som söks.

christopher

”Första fråga är svaret rätt men uträkningen fel”
Förklaring
Formeln för att beräkna geometriska talföljder är
$Sn=a1(1−k^n)/(1−k)$ där
$\text{n = antalet tal (i detta fall 8)}$
$\text{a1 = det första talet i talföljden (i detta fall 1)}$
$\text{k = kvoten (i detta fall 4)}$

Vi får därför summan
$S_8=1(1−4^5)/(1-4)=-1023/-3 = 341$

Men rätt svar ska väl vara:

$S8=1(1-4^8)/1-4=-65535/-3 = 21845 $

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, japp det stod fel i uträkningen, skall vara en 8:a och inte en 5:a i exponenten. Tack för att du kommenterade detta, det är fixat.

bollinas

på exemplet man ska räkna sedan får jag inte heller samma siffror hur jag än slår på miniräknaren! 1-4^8 blir på min räknare -6561. Medan du får det till -65535. Ganska står skillnad. Hur slår jag på miniräknaren för att det ska bli rätt??

    Simon Rybrand (Moderator)

    Är du säker på att du använder rätt knapp för upphöjt till här?
    Hur ser denna knapp ut?

      bollinas

      Ett upp och nervänt v. Och samma knapp som jag använt till upphöjt hela tiden och det har fungerat. Jag förstår inte vad jag gör för fel… suck och stön!

        Simon Rybrand (Moderator)

        Kan det vara någon parentes som krävs för att det skall bli rätt?

        bollinas

        Jag tror jag fick till det!=)

bollinas

I sista exemplet i videon får jag inte samma siffror som du hur jag än slår på miniräknaren!=)
-4^7=-16384. Du har fått det till 78124. Jag får inte siffrorna att gå i hop. Hur jag än vänder och vrider kan jag inte få samma summor som du. Slår jag fel på miniräknaren???

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej,
    Där har vi alltså $ 5^7 = 78125 $ (inte $ 4^7 $) och sedan beräknas
    1 – 78125 = -78124.
    Ibland kan det vara lurigt på räknaren att det finns en symbol som betecknar negativa tal och en för operationen minus.

kamilah89

hej!
i det här videoklippet visade du att använda geometriska formeln för talföljdens summa så här s index n = a 1(l-k ^n) /1-k. och i första exemplet ” k var = 3″ .men på in bok står att om k <1 används formeln s index n = a 1(l-k ^n) /1-k.
annars skriver man" s index n = a 1(k ^n-1) /k-1".
hur ska jag veta vilka av de två reglerna måste jag använda när jag löser en uppgift?
tack på förhand!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, man brukar skriva formeln för den geometriska talföljdens summa på två olika sätt. Det som är viktigt att veta är att dessa två skrivsätt beräknar samma sak, dvs att
    $ S_n = \frac{a_1(k^n-1)}{k-1} = \frac{a_1(1-k^n)}{1-k} $

AnnaMarcusson

Hur vet man att en talföljd är geometrisk? Kan man se det bara genom att titta på talen?

t.ex: 5, 8, 11, 14, 17 Varför är inte detta en geometrisk talföljd?

Tacksam för svar:)

    AnnaMarcusson

    Är det pga att kvoten inte är konstant? Är det så att kvoten mellan två intilliggande måste vara konstant?

      Simon Rybrand (Moderator)

      Hej! I en geometrisk talföljd så får du hela tiden nästa tal genom att multiplicera med det som kallas för kvoten. Du multiplicerar alltså med samma tal varje gång för att få nästa tal.

      Så i den geometriska talföljden 2, 4, 8, 16, 32, … så har du kvoten 2 för att du hela tiden multiplicerar med 2.

      I den talföljd du nämner här ovan så adderar du istället hela tiden med 3 för att få nästa tal. Då kallas detta för en aritmetisk talföljd.

maalwe

Angående frågan där uppe, varför blir inte svaret -21845? ett negativt upphöjt till 8 blir ju ett positivt tal. sen delat med -3? då kan ju inte talet bli positivt???!!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, summan av ett antal positiva tal måste bli positiv, det jag tror blir fel i ditt tankesätt är att

    $ (-4)^8 ≠ – 4^8 $

    Så vi får ändå ett negativt tal i täljaren. Jag gjorde så att jag ändrade om testet till den nyare varianten som vi har här på sajten med en längre förklaring. Jag hoppas att allt blir tydligare med hjälp av denna.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (4)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    En viss geometrisk talföljds summa kan uttryckas som  $s_8=\frac{12\cdot(1-2^8)}{1-2}$s8=12·(128)12 .
    Vilket är det första talet i talföljden?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilken är summan för de $8$8 första talen i talföljden? 

     $1,\text{ }4,\text{ }16,\text{ }64,\text{ }…$1, 4, 16, 64, … 

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna summan av de tio första talen i en geometrisk talföljd, där det första talet är $4$4 och kvoten $2$2.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Premium
    • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
    • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna summan av de sex första talen i den geometrisk talföljden   $3,\text{ }9,\text{ }27,\text{ }…$3, 9, 27, … 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...

c-uppgifter (4)

  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (0/3/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K1

    Beräkna  $5+15+45+135+…+295\text{ }245$5+15+45+135++295 245.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna summan av de sju första termerna i talföljden  $1,$1,  $\frac{1}{4},$14 ,  $\frac{1}{16}$116  …

    Svara med två decimalers noggrannhet.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/3/0)
    ECA
    B
    P
    PL2
    M
    R
    K1

    Lös ekvationen  $x+2x+4x+8x+…+8192x=5461$x+2x+4x+8x++8192x=5461 .

    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna $\sum_{i=3}^{10}$ $3^{i-1} $

     

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Premium
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.