...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Deriveringsregler

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

I den här lektionen samlar vi de deriveringsregler som används i kurserna Matematik 3 och Matematik 4 på gymnasiet. Till varje regel anger vi i vilken kurs den introduceras.

Index över deriveringsreglerna

Polynomfunktioner
Potensfunktioner
Exponentialfunktioner
Den naturliga logaritmens derivata
Trigonometriska funktioner
Kedjeregeln
Produktregeln
Kvotregeln

Polynomfunktioner (Ma 3)

Ett polynom $f\left(x\right)=kx^n$ƒ (x)=kxn, där $k$k är en konstant har derivatan

 $f´\left(x\right)=n\cdot k\cdot x^{n-1}$ƒ ´(x)=n·k·xn1

Dessutom gäller att

  • Du får derivera term för term, d.v.s om vi har flera termer deriverar du varje term för sig.
  • Derivatan av en konstant, t.ex. 4, 5, 100, -10, är noll.

Exempel på att derivera polynomfunktioner

$ f(x) = x $ har derivatan $ f´(x) = 1 $

$ f(x) = x^3 $ har derivatan $ f´(x) = 3x^2 $

$ f(x) = 2x^4 + 3x + 10 $ har derivatan $ f´(x) = 8x^3 + 3 + 0 = 8x^3 + 3 $

Lektion om att derivera polynomfunktioner

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Potensfunktioner (Ma 3)

En potensfunktion kan innehålla andra exponenter än positiva heltal, exempelvis bråktal eller negativa tal. För potensfunktioner används ändå samma deriveringsregler som för polynomfunktioner.

En potensfunktion $f\left(x\right)=kx^n$ƒ (x)=kxn, där $k$k är en konstant har derivatan

 $f´\left(x\right)=n\cdot k\cdot x^{n-1}$ƒ ´(x)=n·k·xn1

Dessutom gäller att

  • Du får derivera term för term, d.v.s om vi har flera termer deriverar du varje term för sig.
  • Derivatan av en konstant, t.ex. 4, 5, 100, -10, är noll.

Ofta behöver potensfunktioner skrivas om med potensregler för att bli lättare att derivera. De potensregler som då används är:

1) $a^{-b}=\frac{1}{a^b}$ab=1ab 
2)  $\sqrt{x}=x^{1/2}$x=x1/2 

Exempel på att derivera potensfunktioner

$ f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2} $ har derivatan $ f´(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} $

$ f´(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2} $ har derivatan $ f´(x) = -2x^{-3} = \frac{-2}{x^3} $

Exponentialfunktioner (Ma 3)

För funktioner som har sin oberoende variabel i exponenten så brukar man särskilja mellan de funktioner som står på basen e och de som inte gör det.

 $f(x)=a^x$ƒ (x)=ax  där  $a>0$a>0  har derivatan $f´(x)=a^{kx}\cdot k\cdot lna$ƒ ´(x)=akx·k·lna 

 $f\left(x\right)=a\cdot e^{kx}$ƒ (x)=a·ekx har derivatan  $f´\left(x\right)k=\cdot a\cdot e^{kx}$ƒ ´(x)k=·a·ekx 

Exempel på att derivera exponentialfunktioner

$ f(x) = e^x $ har derivatan $ f´(x) = e^x $

$ f(x) = 2e^{3x} $ har derivatan $ f´(x) = 6e^{3x} $

$ f(x) = 2^x $ har derivatan  $f´(x)=2^x\cdot ln2$ƒ ´(x)=2x·ln2 

Derivatan av logaritmfunktionen ln x (Ma 4)

 $f\left(x\right)=k\cdot lnx$ƒ (x)=k·lnx där $x>0$x>0 har derivatan

 $f´\left(x\right)=\frac{k}{x}$ƒ ´(x)=kx  

Exempel på att derivera logaritmfunktionen ln x

Om $ f(x) = 2ln x $ så är $ f´(x) = \frac{2}{x} $

Trigonometriska funktioner (Ma 4)

För funktioner som innehåller trigonometriska element (sin, cos, tan) så gäller följande grundläggande regler.

$ f(x) = sinx $ har derivatan $f´(x) = cosx $

$ f(x) = cosx $ har derivatan $f´(x) = -sinx $

$ f(x) = tanx $ har derivatan $f´(x) = \frac{1}{cos^2x} $

Exempel på att derivera trigonometriska funktioner

$ f(x) = -2sinx $ har derivatan $ f´(x) = -2cosx $

$ f(x) = 3 + cosx $ har derivatan $ f´(x) = -sin x $

Kedjeregeln (Ma 4)

Sammansatta funktioner deriveras med hjälp av kvotregeln.

 $y=f\left(g\left(x\right)\right)$y=ƒ (g(x)) har derivatan

 $y´=f´\left(g\left(x\right)\right)\cdot g´\left(x\right)$y´=ƒ ´(g(x))·g´(x) 

  •  $f´\left(g\left(x\right)\right)$ƒ ´(g(x)) kallas för den yttre derivatan.
  •  $g´\left(x\right)$g´(x) kallas för den inre derivatan.

Exempel på att derivera med kedjeregeln

$ f(x) = sin^2x = (sinx)^2 $ har derivatan $ f´(x) = 2sinx \cdot cosx $

$ f(x) = cos(4x) $ har derivatan $ f´(x) = -4sin4x $

$ f(x) = (3+x^2)^3 $ har derivatan $ f´(x) = 3(3 + x^2)^2 \cdot (2x) $

Produktregeln (Ma 4)

När man har två funktioner multiplicerade med varandra så används produktregeln vid derivering.

 $y=f(x)\cdot g(x)$y=ƒ (x)·g(x)  har derivatan $y´=f´(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g´x)$y´=ƒ ´(x)·g(x)+ƒ (x)·g´x) 

Exempel på att derivera med produktregeln

$ f(x) = e^x \cdot sinx $ har derivatan $ f´(x) = e^xsinx + e^xcosx $

$ f(x) = x^2cosx $ har derivatan $ f´(x) = 2xcosx – x^2sinx $

Kvotregeln (Ma 4)

För funktioner skrivna som kvoter så tillämpas kvotregeln.

 $y=\frac{f(x)}{g(x)}$y=ƒ (x)g(x)  där $g\left(x\right)\ne0$g(x)0 har derivatan $y´=\frac{f´(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g´x)}{(g(x))^2}$y´=ƒ ´(x)·g(x)ƒ (x)·g´x)(g(x))2  

Exempel på att derivera med kvotregeln

$ f(x) = \frac{e^x \cdot x}{x^2} $ har derivatan $ \frac{e^x \cdot x – e^x}{x^4} $

Kommentarer


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (7)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Derivera  $f\left(x\right)=2x$ƒ (x)=2x 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Derivera  $f\left(x\right)=0,03$ƒ (x)=0,03 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

     $f\left(x\right)=3x^4+12x-102$ƒ (x)=3x4+12x102, bestäm funktionens derivata $f´\left(x\right)$ƒ ´(x).

    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Derivera  $f\left(x\right)=2\sqrt{x}$ƒ (x)=2x och förenkla.

    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Derivera  $f\left(x\right)=4e^{2x}$ƒ (x)=4e2x 

    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Derivera  $f\left(x\right)=lnx$ƒ (x)=lnx 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel

    Derivera $y=cos^2(x)+3x$.

    Rättar...

c-uppgifter (3)

  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna  $f´\left(1\right)$ƒ ´(1) om $f\left(x\right)=x^{\frac{3}{2}}$ƒ (x)=x32  

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Derivera $\frac{x^2}{e^x}$ och förenkla.

    Rättar...
  • 10. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Derivera $f(x)=3x^2sin(x)$

    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar