Deriveringsregler (Derivata, Matte 3, Matte 4) - Matematikvideo

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 4

Deriveringsregler

Video

Video, text & övningsfrågor av: Simon Rybrand

I den här lektioner går vi igenom alla deriveringsregler i kurserna Matematik 3 och Matematik 4. De deriveringsregler som vi visar är för polynomfunktioner, potensfunktioner, exponentialfunktioner, logaritmfunktioner, trigonometriska funktioner, kedjeregeln, produktregeln och kvotregeln.

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM


  • 600+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
PROVA FÖR 9 kr
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.
1 vote, average: 5,00 out of 51 vote, average: 5,00 out of 51 vote, average: 5,00 out of 51 vote, average: 5,00 out of 51 vote, average: 5,00 out of 5
1
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

10
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 10
MEDELPOÄNG
ALLA
0

Text

I den här lektionen samlar vi de deriveringsregler som används i kurserna Matematik 3 och Matematik 4 på gymnasiet. Till varje regel anger vi i vilken kurs den introduceras.

Index över deriveringsreglerna

Polynomfunktioner
Potensfunktioner
Exponentialfunktioner
Den naturliga logaritmens derivata
Trigonometriska funktioner
Kedjeregeln
Produktregeln
Kvotregeln

Polynomfunktioner (Ma 3)

Ett polynom $f\left(x\right)=kx^n$ƒ (x)=kxn, där $k$k är en konstant har derivatan

 $f´\left(x\right)=n\cdot k\cdot x^{n-1}$ƒ ´(x)=n·k·xn1

Dessutom gäller att

  • Du får derivera term för term, d.v.s om vi har flera termer deriverar du varje term för sig.
  • Derivatan av en konstant, t.ex. 4, 5, 100, -10, är noll.

Exempel på att derivera polynomfunktioner

$ f(x) = x $ har derivatan $ f´(x) = 1 $

$ f(x) = x^3 $ har derivatan $ f´(x) = 3x^2 $

$ f(x) = 2x^4 + 3x + 10 $ har derivatan $ f´(x) = 8x^3 + 3 + 0 = 8x^3 + 3 $

Lektion om att derivera polynomfunktioner

Potensfunktioner (Ma 3)

En potensfunktion kan innehålla andra exponenter än positiva heltal, exempelvis bråktal eller negativa tal. För potensfunktioner används ändå samma deriveringsregler som för polynomfunktioner.

En potensfunktion $f\left(x\right)=kx^n$ƒ (x)=kxn, där $k$k är en konstant har derivatan

 $f´\left(x\right)=n\cdot k\cdot x^{n-1}$ƒ ´(x)=n·k·xn1

Dessutom gäller att

  • Du får derivera term för term, d.v.s om vi har flera termer deriverar du varje term för sig.
  • Derivatan av en konstant, t.ex. 4, 5, 100, -10, är noll.

Ofta behöver potensfunktioner skrivas om med potensregler för att bli lättare att derivera. De potensregler som då används är:

1) $a^{-b}=\frac{1}{a^b}$ab=1ab 
2)  $\sqrt{x}=x^{1/2}$x=x1/2 

Exempel på att derivera potensfunktioner

$ f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2} $ har derivatan $ f´(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} $

$ f´(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2} $ har derivatan $ f´(x) = -2x^{-3} = \frac{-2}{x^3} $

Exponentialfunktioner (Ma 3)

För funktioner som har sin oberoende variabel i exponenten så brukar man särskilja mellan de funktioner som står på basen e och de som inte gör det.

 $f(x)=a^x$ƒ (x)=ax  där  $a>0$a>0  har derivatan $f´(x)=a^{kx}\cdot k\cdot lna$ƒ ´(x)=akx·k·lna 

 $f\left(x\right)=a\cdot e^{kx}$ƒ (x)=a·ekx har derivatan  $f´\left(x\right)k=\cdot a\cdot e^{kx}$ƒ ´(x)k=·a·ekx 

Exempel på att derivera exponentialfunktioner

$ f(x) = e^x $ har derivatan $ f´(x) = e^x $

$ f(x) = 2e^{3x} $ har derivatan $ f´(x) = 6e^{3x} $

$ f(x) = 2^x $ har derivatan  $f´(x)=2^x\cdot ln2$ƒ ´(x)=2x·ln2 

Derivatan av logaritmfunktionen ln x (Ma 4)

 $f\left(x\right)=k\cdot lnx$ƒ (x)=k·lnx där $x>0$x>0 har derivatan

 $f´\left(x\right)=\frac{k}{x}$ƒ ´(x)=kx  

Exempel på att derivera logaritmfunktionen ln x

Om $ f(x) = 2ln x $ så är $ f´(x) = \frac{2}{x} $

Trigonometriska funktioner (Ma 4)

För funktioner som innehåller trigonometriska element (sin, cos, tan) så gäller följande grundläggande regler.

$ f(x) = sinx $ har derivatan $f´(x) = cosx $

$ f(x) = cosx $ har derivatan $f´(x) = -sinx $

$ f(x) = tanx $ har derivatan $f´(x) = \frac{1}{cos^2x} $

Exempel på att derivera trigonometriska funktioner

$ f(x) = -2sinx $ har derivatan $ f´(x) = -2cosx $

$ f(x) = 3 + cosx $ har derivatan $ f´(x) = -sin x $

Kedjeregeln (Ma 4)

Sammansatta funktioner deriveras med hjälp av kvotregeln.

 $y=f\left(g\left(x\right)\right)$y=ƒ (g(x)) har derivatan

 $y´=f´\left(g\left(x\right)\right)\cdot g´\left(x\right)$y´=ƒ ´(g(x))·g´(x) 

  •  $f´\left(g\left(x\right)\right)$ƒ ´(g(x)) kallas för den yttre derivatan.
  •  $g´\left(x\right)$g´(x) kallas för den inre derivatan.

Exempel på att derivera med kedjeregeln

$ f(x) = sin^2x = (sinx)^2 $ har derivatan $ f´(x) = 2sinx \cdot cosx $

$ f(x) = cos(4x) $ har derivatan $ f´(x) = -4sin4x $

$ f(x) = (3+x^2)^3 $ har derivatan $ f´(x) = 3(3 + x^2)^2 \cdot (2x) $

Produktregeln (Ma 4)

När man har två funktioner multiplicerade med varandra så används produktregeln vid derivering.

 $y=f(x)\cdot g(x)$y=ƒ (x)·g(x)  har derivatan $y´=f´(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g´x)$y´=ƒ ´(x)·g(x)+ƒ (x)·g´x) 

Exempel på att derivera med produktregeln

$ f(x) = e^x \cdot sinx $ har derivatan $ f´(x) = e^xsinx + e^xcosx $

$ f(x) = x^2cosx $ har derivatan $ f´(x) = 2xcosx – x^2sinx $

Kvotregeln (Ma 4)

För funktioner skrivna som kvoter så tillämpas kvotregeln.

 $y=\frac{f(x)}{g(x)}$y=ƒ (x)g(x)  där $g\left(x\right)\ne0$g(x)0 har derivatan $y´=\frac{f´(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g´x)}{(g(x))^2}$y´=ƒ ´(x)·g(x)ƒ (x)·g´x)(g(x))2  

Exempel på att derivera med kvotregeln

$ f(x) = \frac{e^x \cdot x}{x^2} $ har derivatan $ \frac{e^x \cdot x – e^x}{x^4} $

Endast premiumkunder kan kommentera. Prova Premium!

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: