...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Prova för 9 kr Prova för 9 kr
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Deriveringsregler Polynomfunktioner

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Deriveringsregeln för polynomfunktioner

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Är du ny här? Så här funkar Premium
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Alla deriveringsregler kan härledas från derivatans definition. Det som är så bra med deriveringsregler är att det förenklar deriveringen, vilket gör räknandet mer tidseffektivt. Istället för långa, tidskrävande och krångliga beräkningar av ändringskvoters gränsvärden, kan man med dessa regler derivera både snabbt och enkelt. I denna lektion presenterar vi deriveringsregeln för polynomfunktionen.

Deriveringsregeln för polynomfunktioner

Polynomfunktionen är en av flera potensfunktioner. Polynomfunktionen definieras som en summa av termer, med variabeln i basen och där alla exponenter tillhör de naturliga talen.

I början brukar det vara lite ovant att jobba med reglerna, men med en del träning brukar dessa regler bli lätta att tillämpa. Vi går först igenom några saker som är bra att komma ihåg när man jobbar med derivatan för att sedan visa exempel på hur man deriverar.

Viktigt att tänka på när man använder deriveringsreglerna

För att underlätta arbetet med deriveringsreglerna är det bra att tänka på följande saker.

Tre bra kom ihåg när du deriverar potensfunktioner

  1. Du deriverar alltid ett uttryck ”term för term”.
  2. Derivatan av en konstant är alltid lika med noll.
  3. Derivatan av en förstagradsterm är alltid lika med koefficienten.

Potensregel som är viktig att känna till

Potensregeln $a^0=1$a0=1, som säger att alla tal upphöjt till noll bli ett, kan här vara bra att påminna sig om. Det är detta som gör det möjlig att förstå varför variabeln $x$x ser ut att ”försvinna” när man deriverar en förstagradsterm $kx$kx.

Förstgradstermen $x$x  har nämligt koefficienten ett och exponenten ett. Vi kan skriva om $x=1\cdot x^1$x=1·x1. Enligt deriveringsreglerna är då derivatan  $1\cdot1\cdot x^{1-1}=1\cdot x^0=1\cdot1=1$1·1·x11=1·x0=1·1=1 . Man brukar sällan skriva ut det utan använder denna kunskap och säger bara att derivatan av $x$x är $1$1 eller att derivatan av $10x$10x är $10$10. Alltså derivatan av en förstagradsterm är lika med sin koefficient.

Hur många olika deriveringsregler finns det?

Egentligen är det bara två deriveringsregler du behöver lära dig. En för potensfunktionerna och en för exponentialfunktionerna. Men om man vill kan man lägga till några minnesregler, som vissa väljer att kalla för deriveringsregler, som gör det ännu lättare att derivera. 

Eftersom att en konstant $C$C kan skrivas som funktionen

 $f\left(x\right)=C=C\cdot1=C\cdot x^0$ƒ (x)=C=C·1=C·x0 

kan med deriveringsreglerna konstatera att

 $f’\left(x\right)=0\cdot C\cdot x^{0-1}=0$ƒ (x)=0·C·x01=0

eftersom att om en faktor är noll, blir produkten alltid noll. Vi drar slutsatsen att derivatan av alla konstanttermer alltid är lika med noll. 

På liknande vis kan vi se att en förstagradsterm $kx$kx, kan skrivas som funktionen

 $f\left(x\right)=kx=k\cdot x^1$ƒ (x)=kx=k·x1 

kan med deriveringsreglerna konstatera att

 $f’\left(x\right)=1\cdot k\cdot x^{1-1}=k\cdot x^0=k\cdot1=k$ƒ (x)=1·k·x11=k·x0=k·1=k 

vilket ger att derivatan av alla förstagradstermer alltid är lika med koefficienten. 

Ett funktionsuttryck innehåller ofta en blandning av termer av olika slag. Termer med och utan variabler, men variablerna i basen eller exponenten, heltalsexponenter eller andra reella tal. När man deriverar deriverar man alltid en term i taget och tillämpar den regel som är lämpad för var term.

Hur gör man när man deriverar med deriveringsreglerna?

Vi visar nu exempel på hur du ska derivera. Vi kommer att ha användning av det vi precis har lärt oss.

Exempel 1

Derivera följande funktion med hjälp av deriveringsregeln.

 $f(x)=10+x$ƒ (x)=10+x 

Lösning:

Vi deriverar term för term och då första termen är en konstant är dess derivatan noll. Andra termen är en förstagradsterm, vars koefficient är lika med ett. Det ger oss att derivatan för denna term är lika med ett. Vi får att

 $f(x)=10+x\text{ }\text{ }\text{⇒}$ƒ (x)=10+x    $f´\left(x\right)=0+1=1$ƒ ´(x)=0+1=1 

Vi kan också använda oss strikt av deriveringsregeln då $10=10\cdot x^0$10=10·x0 och $x=1\cdot x^1$x=1·x1. Om vi skriver ut derivatan med hjälp av deriveringsregeln får vi att

 $f(x)=10x^0+1\cdot x^1\text{ }\text{ }\text{⇒}$ƒ (x)=10x0+1·x1      $f’\left(x\right)=0\cdot10x^{0-1}+1\cdot1\cdot x^{1-1}=0+1$ƒ (x)=0·10x01+1·1·x11=0+1 

Exempel 2

Derivera följande funktion med hjälp av deriveringsregeln.

 $f(x)=x^2+4x$ƒ (x)=x2+4x 

Lösning:

Vi deriverar term för term och då uttrycket är ett polynom, deriverar vi med deriveringsregeln för polynom.

 $f(x)=x^2+4x$ƒ (x)=x2+4x      ⇒      $f´\left(x\right)=2x+4$ƒ ´(x)=2x+4 

Hur fick vi nu fram detta? Vi går nu igenom sakta steg för steg.

Deriveringsregeln säger, att derivatan är lika med  $f'(x)=n\cdot kx^{n-1}$ƒ ’(x)=n·kxn1.  

Detta läser vi ut som att ”Derivatan av f av x är lika med exponenten multiplicerad med koefficienten, multiplicerad med variabeln, som upphöjs till exponenten minus ett.”

Den första termen är en andragradsterm. Derivatan av första termen blir enligt regeln en grad lägre, alltså en förstagradsterm. Koefficienten, som är en osynlig etta, multipliceras med exponenten, som var en tvåa. Derivatan av den första termen blir därför $2x$2x .

Andra termen är en förstagradsterm, vars koefficient är lika med fyra. Det ger oss att derivatan för denna term är lika med fyra. Vi får att

 $f(x)=x^2+4x$ƒ (x)=x2+4x      ⇒      $f´\left(x\right)=2x+4$ƒ ´(x)=2x+4 

Vill vi skriva ut regeln mer tydligt kan använda oss av att $x^2=1\cdot x^2$x2=1·x2 och $4x=4\cdot x^1$4x=4·x1 . Om vi skriver ut derivatan med hjälp av deriveringsregeln får vi att

 $f(x)=1\cdot x^2+4\cdot x^1\text{ }\text{ }\text{⇒}$ƒ (x)=1·x2+4·x1      $f’\left(x\right)=2\cdot1\cdot x^{2-1}+1\cdot4\cdot x^{1-1}=$ƒ (x)=2·1·x21+1·4·x11= $2\cdot x^1+4\cdot x^0=2\cdot x+4\cdot1=2x+4$2·x1+4·x0=2·x+4·1=2x+4  

Några olika derivator att lägga på minnet

Alla polynomfunktioner deriveras enligt regeln ovan. Här har vi tagit fram derivatan för några potenstermer som alla har variabeln i basen och exponenter som tillhör de naturliga talen. Alltså termer som alla kan ingå i en polynomfunktion. 

  $f\left(x\right)=C\text{ }\text{ }\text{⇒}$ƒ (x)=C    $f´\left(x\right)=0$ƒ ´(x)=0    där $C$C är en konstant 
  $f\left(x\right)=4\text{ }\text{ }\text{⇒}$ƒ (x)=4    $f’\left(x\right)=0$ƒ (x)=0 
  $f\left(x\right)=x^n\text{ }\text{ }\text{⇒}$ƒ (x)=xn   $f’\left(x\right)=n\cdot x^{n-1}$ƒ (x)=n·xn1 
  $f\left(x\right)=x\text{ }\text{ ⇒}$ƒ (x)=x    $f’\left(x\right)=1$ƒ (x)=1 
  $f\left(x\right)=x^2\text{ }\text{ }\text{⇒}$ƒ (x)=x2    $f’\left(x\right)=2x$ƒ (x)=2x 
  $f\left(x\right)=x^3\text{ }\text{ }\text{⇒}$ƒ (x)=x3    $f’\left(x\right)=3x^2$ƒ (x)=3x2 
  $f\left(x\right)=x^4\text{ }\text{ }\text{⇒}$ƒ (x)=x4    $f’\left(x\right)=4x^3$ƒ (x)=4x3 
 … 
 $f\left(x\right)=kx^n\text{ }\text{ }\text{⇒}$ƒ (x)=kxn   $f’\left(x\right)=n\cdot k\cdot x^{n-1}$ƒ (x)=n·k·xn1 
 $f\left(x\right)=3x^2\text{ }\text{ }\text{⇒}$ƒ (x)=3x2   $f’\left(x\right)=6x$ƒ (x)=6x 
 $f\left(x\right)=7x^3\text{ }\text{ }\text{⇒}$ƒ (x)=7x3   $f’\left(x\right)=21x^2$ƒ (x)=21x2 

Exempel i videon

  • Bestäm derivatan för $ f(x)=2 $.
  • Bestäm derivatan för $ f(x)=-2000 $.
  • Bestäm derivatan för $ f(x)=x $, $f(x) = x^2$ och $ f(x)=3x^3 $.
  • Bestäm derivatan för $ f(x)=2x^2+3x-10 $.
  • Bestäm derivatan då $x=2$ om $ f(x)=3x^3+2x $.

Kommentarer

Per Eriksson

Hej Simon,
Grymma videor som har hjälpt mig mycket. Det enda jag har en kommentar på är i slutet på denna video, där jag tycker att det är enklare att bara derivera täljaren istf omskrivningen som du gör i videon.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Det blir säkerligen snabbare så, håller med. Vi vill dock gärna visa så att man förstår varför detta fungerar som det gör.

Elin Larsdotter

Hej, i förklaringen till fråga 13 står det att svaret är x+(1/4) men det är inte ett av svarsalternativen. Mvh Elin

Viktor Blomberg

Vad tokigt man får svara här. Lätt att skriva på papper men tydligen fel tecken när man skriver i datorn eller handhållen enhet..
Fick fel för hittade inte rätt tecken för ”prim”.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Vi kikar på om det går att göra så att det är lättare att få rätt!

Sebastian Gren

Hur gör man med dirvatan till.
2/3x+3x/2
Detta är det jag tyckt var svårast att lära mej under matte 3c

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Du kan se hur du deriverar detta i denna videolektion till nationella provet i matematik 3c.

Simon Rybrand (Moderator)

Om du har $f(x)=2x³-\frac{12x}{3}=2x^3-4x$ så är derivatan
$f´(x)=6x^2-4$

Om du istället menar $f(x)=\frac{2x³-12x}{3}=\frac23x^3-\frac{12}{3}x$ så är derivatan
$f´(x) = 3⋅\frac23x^2-\frac{12}{3}=2x^2-4$

Dimitrios Sria

Det låter lite dumt men hur deriverar man ett rationellt uttryck liksom
2x³-12x/3?

Mvh

Cissi

Hej igen,

ja jag har kollat på den, och den första delen av talet blir väl 2e^2x men 3*4^5x vet jag inte hur man deriverar.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, Där har du en inre derivata (5x som har derivatan 5) du behöver ta hänsyn till. Du får då derivatan
    $y=3⋅4^{5x}$
    $y’=3⋅4^{5x}⋅ln4⋅5=15⋅4^{5x}⋅ln4$

    Hoppas att det här hjälper dig vidare.

Cissi

Hej!

Jag har en uppgift som jag tycker är svår där man ska derivera funktionen f(x)= e^2x+3*4^5x. Hur går man tillväga här när det är upphöjt med x?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, har du kikat igenom videon om att derivera exponentialfunktioner? Du hittar den här i länken ovan. Där förklaras detta, säg till annars om du ändå inte förstår.

nti_ma3

På lösningen till uppgift 4 står sista raden av uträkningen lite konstigt.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Tack för att du kommenterade detta, det är fixat, fel i formelhanteringen..

sundsvall_komvux

Detta var ett ganska så enkelt test, men det är bra att det ibland inte är för svårt för då skapas en känsla av att man kan; vilket ökar motivationen!/Christian.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, grundtanken med alla våra test till genomgångarna är att dom skall vara enkla och hjälpa att få en bredare bild kring det området. Sedan finns även kapiteltesten där vi har lite svårare uppgifter också.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (15)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilket alternativ nedan stämmer kring derivatan av en konstantterm?

    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilket alternativ nedan stämmer kring derivatan av en förstagradsterm?

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilket alternativ nedan är derivatan av funktionen $f(x)=x^2-5x$ƒ (x)=x25x ?

    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Premium
    • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
    • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Betrakta funktionen $f(x) = 3x^2 + x – 2$. Bestäm funktionens derivata, $f'(x)$.

    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M
    R1
    K

    Berra har räknat fel på en uppgift, vad är det som har gått snett?

    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm derivatan av $f(x)=12x$ƒ (x)=12x 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm derivatan av  $f(x)=-7x$ƒ (x)=7x 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm derivatan av  $f(x)=30x+4$ƒ (x)=30x+4 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm derivatan av  $f(x)=3-x$ƒ (x)=3x 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 10. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm derivatan av  $f(x)=5$ƒ (x)=5 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 11. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilket alternativ nedan är derivatan av funktionen $f(x)=4x^2+3x-5$ƒ (x)=4x2+3x5 ?

    Rättar...
  • 12. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm derivatan av  $f(x)=3x^5+4x^2+7x$ƒ (x)=3x5+4x2+7x 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 13. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm derivatan av  $f(x)=-2x^4+3x^2-x+5$ƒ (x)=2x4+3x2x+5 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 14. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna derivatan då  $x=10$x=10  då  $f(x)=3x^2+10x$ƒ (x)=3x2+10x 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 15. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna derivatan då  $x=-2$x=2  då  $f(x)=4x^3+2x^2-3x$ƒ (x)=4x3+2x23x 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...

c-uppgifter (3)

  • 16. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P
    PL1
    M
    R1
    K

    Vilken funktion uppfyller villkoren nedan?

    $\begin{cases}  f(2) = 21 \\ f´(0) = 3  \end{cases}$

    Rättar...
  • 17. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilket alternativ nedan är derivatan av funktionen $f(x)=$ƒ (x)= $\frac{x^2}{2}+\frac{x}{4}+\frac{1}{2}$x22 +x4 +12 ?

    Rättar...
  • 18. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm derivatan av  $f(x)=$ƒ (x)= $\frac{3x^6}{2}-\frac{x^4}{2}$3x62 x42   

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 19. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/3)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R1
    K1

    Bestäm värdet på $a$a som uppfyller att  $f´(1)=10$ƒ ´(1)=10  då  $f(x)=$ƒ (x)=  $\frac{3x^2+ax-9}{2}$3x2+ax92  

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Premium
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.