Deriveringsregler Polynomfunktioner

Alla deriveringsregler kan härledas från derivatans definition. Det som är så bra med deriveringsregler är att det förenklar deriveringen, vilket gör räknandet mer tidseffektivt. Istället för långa, tidskrävande och krångliga beräkningar av ändringskvoters gränsvärden, kan man med dessa regler derivera både snabbt och enkelt. I denna lektion presenterar vi deriveringsregeln för polynomfunktionen.

Polynomfunktionen definieras som en summa av monom, med variabeln i basen och där alla exponenter tillhör de positiva heltalen.

Vi börjar med att ange hur man matematiskt betecknar deriveringsregeln för polynomfunktioner, innan vi går igenom steg för steg hur du ska göra med några exempel. I början brukar det vara lite ovant att jobba med reglerna, men med en del träning brukar dessa regler bli relativt lätta att tillämpa. 

Monom är ett polynom som består av endast en term.  Den är en sammansättning av följande två regler som kan bevisas med hjälp av derivatans definition.

Vi kan alltså bryta ut en konstant ur funktionsuttrycket innan vi använder deriveringsregeln för monomet. 

Lägger vi dessutom till följande regel kan vi derivera alla potensfunktioner. Eftersom att en polynomfunktion kan ha flera termer använder vi följande regler för att kunna derivera dem.

Skrivsättet $D$D är , som vi nämnt i tidigare lektion, en annan vanlig beteckning för derivatan. Regeln säger att derivatan för en summa är lika med summan av derivatan för var term. Det ger att vi deriverar en term i tagen enligt regeln för monom.

Innan vi tar ytterligare några exempel av hur man derivera med hjälp av reglerna, går vi igenom några saker som är bra att komma ihåg när man jobbar med dem.

Potensregeln $a^0=1$a⁰=1, som säger att alla tal upphöjt till noll bli ett, kan här vara bra att påminna sig om. Det är detta som gör det möjlig att förstå varför variabeln $x$x ser ut att ”försvinna” när man deriverar en förstagradsterm $kx$kx.

Förstgradstermen $x$x  har nämligt koefficienten ett och exponenten ett. Vi kan skriva om $x=1\cdot x^1$x=1·x¹. Enligt deriveringsreglerna är då derivatan

 $1\cdot1\cdot x^{1-1}=1\cdot x^0=1\cdot1=1$1·1·x¹⁻¹=1·x⁰=1·1=1 .

Man brukar sällan skriva ut det utan använder denna kunskap och säger bara att derivatan av $x$x är $1$1 eller att derivatan av $10x$10x är $10$10. Alltså derivatan av en förstagradsterm är lika med sin koefficient.

Egentligen är det bara två deriveringsregler du behöver lära dig. En för potensfunktionerna och en för exponentialfunktionerna. Men om man vill kan man lägga till några minnesregler, som vissa väljer att kalla för deriveringsregler, som gör det ännu lättare att derivera. 

Eftersom att en konstant $C$C kan skrivas som funktionen

 $f\left(x\right)=C=C\cdot1=C\cdot x^0$ƒ (x)=C=C·1=C·x⁰ 

kan med deriveringsreglerna konstatera att

 $f´\left(x\right)=0\cdot C\cdot x^{0-1}=0$ƒ ´(x)=0·C·x⁰⁻¹=0 

eftersom att om en faktor är noll, blir produkten alltid noll. Vi drar slutsatsen att derivatan av alla konstanttermer alltid är lika med noll. 

På liknande vis kan vi se att en förstagradsterm $kx$kx, kan skrivas som funktionen

 $f\left(x\right)=kx=k\cdot x^1$ƒ (x)=kx=k·x¹ 

kan med deriveringsreglerna konstatera att

 $f´\left(x\right)=1\cdot k\cdot x^{1-1}=k\cdot x^0=k\cdot1=k$ƒ ´(x)=1·k·x¹⁻¹=k·x⁰=k·1=k 

vilket ger att derivatan av alla förstagradstermer alltid är lika med koefficienten. 

Ett funktionsuttryck innehåller ofta en blandning av termer av olika slag. Termer med och utan variabler, men variablerna i basen eller exponenten, heltalsexponenter eller andra reella tal. När man deriverar deriverar man alltid en term i taget och tillämpar den regel som är lämpad för var term.

För att underlätta arbetet med deriveringsreglerna samman fattar vi följden av ovanstående text med följande saker.

Vi visar nu två exempel till på hur du ska derivera. Vi kommer att ha användning av det vi precis har lärt oss.

Alla polynomfunktioner deriveras enligt regeln ovan. Här har vi tagit fram derivatan för några potenstermer som alla har variabeln i basen och exponenter som tillhör de naturliga talen. Alltså termer som alla kan ingå i en polynomfunktion. 

• Bestäm derivatan för $ f(x)=2 $.
• Bestäm derivatan för $ f(x)=-2000 $.
• Bestäm derivatan för $ f(x)=x $, $f(x) = x^2$ och $ f(x)=3x^3 $.
• Bestäm derivatan för $ f(x)=2x^2+3x-10 $.
• Bestäm derivatan då $x=2$ om $ f(x)=3x^3+2x $.