Cosinussatsen - Trigonometri (Ma 3) - Matematikvideo

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 3 C

Cosinussatsen

Trigonometri

Video

Video, text & övningsfrågor av: Simon Rybrand

I den här genomgången lär du dig hur cosinussatsen är uppbyggd och hur du kan använda den för att lösa problem inom trigonometrin.

13 votes, average: 3,38 out of 513 votes, average: 3,38 out of 513 votes, average: 3,38 out of 513 votes, average: 3,38 out of 513 votes, average: 3,38 out of 5
13
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

2
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
MEDELPOÄNG
ALLA
1

Text

Exempel i videon

  • Beräkna längden $a$ i en triangel med cosinussatsen med ett antal kända sidor och vinklar (se bild i video).
  • Över dörren till en butik sitter en flaggstång. Den hålls upp av ett stag med längden $1,0 \, m$. Butiksägaren skall flytta stagets väggfäste så att flaggstången bildar vinkeln $v=30°$ med väggen. Väggfästen placeras rakt ovanför punkten $P$ (se bild i video). Bestäm avståndet mellan $P$ och väggfästets nya läge.

Formeln för cosinussatsen

Cosinussatsen är en av de tre triangelsatserna tillsammans med areasatsen och sinussatsen i trigonometrin. Detta geometriska samband beskriver förhållanden mellan en vinkel och triangelns sidor.

Cosinussatsen

triangel-sinussatsen

 

$ a^2 = b^2 + c^2 – 2 \cdot b \cdot c \cdot cosA $

Om vi använder beteckningarna från figuren här ovan kan cosinussatsen även skrivas som
$ b^2 = a^2 + c^2 – 2 \cdot a \cdot c \cdot cosB $

och

$ c^2 = a^2 + b^2 – 2 \cdot a \cdot b \cdot cosC $

Framförallt är detta samband bra att använda sig av när man vill få fram sidor eller vinklar som man inte kan få fram med hjälp av areasatsen och sinussatsen. I vissa geometriska problem kan man även få använda sig av cosinussatsen tillsammans med någon av de andra två satserna för att lösa ett problem.

Ett exempel som vi löser med cosinussatsen

Exempel Cosinussatsen

Använd figuren och cosinussatsen och bestäm längden på sidan x.

Här har vi en okänd sida x som vi kan ta reda på genomg att använda oss av vårt trigonometriska samband för cosinus, vi får därför att
$ x^2 = 10^2 + 12^2 – 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot cos 38° $
Om vi beräknar högerledet får vi:
$ x^2 = 54,88 $
$ x = \sqrt{54,88} = 7,4 $ cm

Kommentarer

  1. Angående exemplet vid 05:00. När jag slår 2*6*7cos(52) får jag: 51,716. Väldigt nära ditt resultat, men fortfarande inte samma. vad kan detta bero på?

    soulpat
  2. Hej, det beror på att jag avrundar cos(52) till 2 decimaler i uträkningen för att inte göra för många beräkningar i ett svep. När man slår allt direkt på räknaren ges alltså ett något annorlunda (och lite mer korrekt) svar.

    Simon Rybrand
  3. Jag undrar angående andrta exemplet i videon varför du inte sätter X^2= istället för 1^2? I första exemplet satte du den okända = och inte en konstant!

    robin@martinandersson.com
    1. Hej, Det beror på vilka sidor som man känner till i triangeln. I det exempel som du frågar om så vet vi inte den mot x motstående längden och behöver därför jobba lite annorlunda med cosinussatsen. Här vet vi istället att den motstående längden mot vinkeln är lika med 1 och sätter vårt x till en av de andra längderna. Fråga gärna vidare om jag är otydlig kring detta!

      Simon Rybrand
  4. jag undrar en sak; i kapiteltestet grundläggande triginometri, fråga sju. Sista delen av uträkningen så skulle cosinussatsen enligt hur ni räknar där lyda : a^2=b^2+c^2+2*csinA ????? Har ni verkligen tittat på denna frågan och svaret?

    backis
    1. Hej, nej det är ett skrivfel i den uppgiften och det skall stå cos och inte sin där. Det är korrigerat, tack för att du gjorde oss uppmärksamma på detta!

      Simon Rybrand
  5. Hej, jag förstår verkligen inte förklaringen för uppgift ett vid övningsexemplen. Vill du vara god och förklara?
    Tack

    oscar.bergman
    1. Hej, kan du precisera lite mer var det är du fastnar och vad det är du tror att du inte förstår så tar vi det därifrån!

      I princip så tillämpar vi bara cosinussatsen där direkt på triangeln och löser ekvationen.

      Simon Rybrand
  6. Hej Simon!
    jag har fasnat en fråga i boken M 3c (nr 1436) det handlar om alltså en parallellogram där två sidor är 12 mm, 19 mm och en mellanliggande vinkel som 52.
    a) Beräkna vardera diagonalens länd.
    b) Bestäm den spetsiga vinkeln mellan diagonalerna.
    Kan du ge ledtråd?
    Tack!

    jaalle
    1. Hej, i en parallellogram så gäller följande:
      – Vinkelsumman av innervinklarna är 360°
      – Motstående sidor är lika lång
      – Motstående vinklar är lika stora
      – Diagonalerna som skär varandra delar varandra i mitten.

      Eftersom du har en vinkel som är 56° och på vardera sidan om denna två sidor som är 12 resp 19 mm kan du med cosinussatsen ställa upp sambandet för ena diagonalens längd x:

      $ x^2 = 12^2 + 19^2 – 2 \cdot 12 \cdot 19 \cdot cos56 $

      Hoppas att detta hjälper dig på vägen (ger tillräckligt med ledtrådar 😉 )

      Simon Rybrand
  7. Tack! det hjälpte mycket. jag löste diagonalerna som 15 mm och 28 mm men kunde inte lösa den spetsiga vinkeln mellan diagonalerna.
    Tack igen!

    jaalle
  8. Hej, du har visat exempel där du vet 2 sidor av 3. Jag har fastnat på ett tal där jag bara vet höjden på en liksidig triangel och ska beräkna exakta värdet på arean.
    Jag delar upp triangeln i 2 st rätvinkliga så jag har ena sidan som höjden. Men om jag bara vet ”a” men inte varken ”b” eller ”c” hur går jag vidare då? Något tips?
    Tack

    Krille10
    1. Du nämner inte höjden i den liksidiga triangeln men om vi säger att höjden = h (och att vi vet dess värde) så kan du lösa ut sidan x genom att använda pythagoras sats enligt:
      $ h^2+(\frac{x}{2})^2 = x^2 $

      Där alltså $ \frac{x}{2} $ är halva sidan i den liksidiga triangeln.

      Simon Rybrand
  9. Hej!
    Flagstångsuppgiften borde väl ha svaret/svaren:
    x1= 1.84
    x2= 0.24 (1.04-0.8)

    Eller är jag ute och cyklar?
    Tack annars för grymma guides =)

    wtfvnh
    1. Hej, du är inte ute och cyklar, vi skall korrigera denna video så snart som möjligt.

      Simon Rybrand
  10. Hejsan,

    Denna video ingår i Matematik 4 trots att cosinussatsen tillhör Matematik 3 om jag minns rätt? Finner dock varken bevis på additions- och substraktionsformler för sinus och cosinus eller någon video relaterat till dessa formler. Skulle ni kunna hjälpa till att hitta dessa (just med additions- och substraktionsformler, videon om de andra formlerna hittade jag).

    Tack!

    Elena Ardemo
  11. Bortse min notering om Matematik 3 vs 4, för det var jag som tittade på fel ställe. Dock återstår frågan om additions- och substraktionsformler.
    Tack.

    Elena Ardemo
    1. Hej Elena
      Tack för din kommentar.
      Just nu har vi inte något för bevis av just dessa trigonometriska samband. Vi skall absolut titta på att lägga till dessa och jag lägger till detta i vår lista över videos som skall göras.

      Simon Rybrand
  12. Hej!
    Jag vet inte när man räknar en längden eller två i en sida av en triangel Tack

    amal dawood
    1. Hej, förstår inte riktigt din fråga. Har du ett exempel som du kan skriva här så tar vi det utifrån det?

      Simon Rybrand
  13. Kan ej se uträkningar.

    Myrrha Stenmark
    1. Hej! Hör av dig till support@matematikvideo.se så hjälper vi dig gärna med detta!

      Simon Rybrand

Kommentarer är inaktiverade. Logga in för att felrapportera.

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: