Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 3
/ Trigonometri
Cosinussatsen
Innehåll
Cosinussatsen beskriver förhållandet mellan en vinkel och triangelns sidor. Framförallt är detta samband bra att använda sig av när man vill få fram sidor eller vinklar som man inte kan få fram med hjälp av areasatsen och sinussatsen.
Dessutom kan du få använda dig av cosinussatsen tillsammans med någon av de andra två satserna för att lösa vissa problem.
Formeln för cosinussatsen
Cosinussatsen
För en triangel $ABC$ABC gäller att
$c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot\cos C$c2=a2+b2−2·a·b·cosC
där sidan $a$a är motstående vinkeln $A$A, sidan $b$b motstående vinkeln $B$B och sidan $c$c motstående vinkel $C$C.
Cosinussatsen är användbar vid följande situationer
- När du känner till tre sidor (fig 1)
- När du känner till en vinkel och två sidor (fig 2)
Även denna sats ger som följd av att triangeln har tre vinklar, tre fall.
Fall 1: $a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot\cos A$a2=b2+c2−2·b·c·cosA
Fall 2: $b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot\cos B$b2=a2+c2−2·a·c·cosB
Fall 3: $c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot\cos C$c2=a2+b2−2·a·b·cosC
Räkna ut vinkeln med cosinussatsen
Det går att skriva om formeln så att det snabbare går att räkna ut vinkeln. Då gör du på följande vis för att exempelvis lösa ut vinkeln $A$A.
$a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot\cos A$a2=b2+c2−2·b·c·cosA
Subtrahera med kvadraterna i högerledet
$a^2-b^2-c^2=-2\cdot b\cdot c\cdot\cos A$a2−b2−c2=−2·b·c·cosA
Dela med $-2\cdot b\cdot c$−2·b·c
$-\frac{a^2-b^2-c^2}{2\cdot b\cdot c}$−a2−b2−c22·b·c $=\cos A$=cosA
$A=\cos^{-1}$A=cos−1 $\left(-\frac{a^2-b^2-c^2}{2\cdot b\cdot c}\right)$(−a2−b2−c22·b·c )
Räkneexempel
Exempel 1
Använd figuren och cosinussatsen och bestäm längden på sidan x.
Lösning
Här har vi en okänd sida x som vi kan ta reda på genom att använda oss av vårt trigonometriska samband för cosinus. Därför får vi att
$x^2=10^2+12^2-2\cdot10\cdot12\cdot\cos38°$x2=102+122−2·10·12·cos38°
Om vi därefter beräknar högerledet får vi:
$x^2=54,877…$x2=54,877…
Slutligen tar vi roten ur bägge leden och får
$x\approx\pm7,4$x≈±7,4
Då vi söker en längd är endast $7,4$7,4 cm aktuellt som svar.
Exempel 2
Bestäm triangelns alla vinklar.
Lösning
Vi använder cosinussatsen för att beräkna två vinklar. Efter det ges den tredje av att vinkelsumman är $180\text{°}$180° i trianglar.
Först markerar vi ut vinklarna vi söker.
Därefter räknar vi ut vinkeln $a$a
$10^2=9^2+14^2-2\cdot9\cdot14\cdot\cos a$102=92+142−2·9·14·cosa
$100=81+196-252\cdot\cos a$100=81+196−252·cosa
$-177=-252\cdot\cos a$−177=−252·cosa
$\cos a=\frac{-177}{-252}$cosa=−177−252
$a=\cos^{-1}$a=cos−1 $\approx45,38…^{\circ}$≈45,38…∘
Efter det beräknar vi vinkeln $b$b på samma vis
$14^2=9^2+10^2-2\cdot9\cdot10\cdot\cos b$142=92+102−2·9·10·cosb
$196=81+100-280\cdot\cos b$196=81+100−280·cosb
$15=-280\cdot\cos b$15=−280·cosb
$\cos b=\frac{15}{-280}$cosb=15−280
$b=\cos^{-1}$b=cos−1 $\left(\frac{15}{-280}\right)$(15−280 ) $\approx93,07…^{\circ}$≈93,07…∘
Slutligen får vi den sista vinkeln genom $c=180^{\circ}-45,38…^{\circ}-93,07…^{\circ}\approx42^{\circ}$c=180∘−45,38…∘−93,07…∘≈42∘
Därför gäller att
$a\approx45^{\circ},\text{ }\text{ }b\approx93^{\circ},\text{ }\text{ }c\approx42^{\circ}$a≈45∘, b≈93∘, c≈42∘
Bevis av cosinussatsen
Cosinussatsen kan bevisas för fall både med spetsig och trubbig vinkel. Här nedan görs ett bevis för när triangeln är spetsig. Med andra ord när vinkeln som används är mindre än $90^{\circ}$90∘.
Beviset
Därefter använder vi pythagoras sats och ställer upp följande samband för den vänstra och den högra triangeln.
- Vänstra triangeln: $c^2=h^2+m^2\text{ }\Leftrightarrow\text{ }h^2=c^2-m^2$c2=h2+m2 ⇔ h2=c2−m2
- Högra triangeln: $a^2=h^2+\left(b-m\right)^2\text{ }\Leftrightarrow\text{ }h^2=a^2-\left(b-m\right)^2$a2=h2+(b−m)2 ⇔ h2=a2−(b−m)2
Då bägge sambanden innehåller $h^2$h2 så kan vi sätta dem lika med varandra.
$c^2-m^2=a^2-\left(b-m\right)^2$c2−m2=a2−(b−m)2
Vi utvecklar parentesen
$c^2-m^2=a^2-\left(b^2-2bm+m^2\right)$c2−m2=a2−(b2−2bm+m2)
$c^2-m^2=a^2-b^2+2bm-m^2$c2−m2=a2−b2+2bm−m2
Vi adderar med $m^2$m2 i bägge leden
$c^2=a^2-b^2+2bm$c2=a2−b2+2bm
Vi löser ut $a^2$a2
$a^2=b^2+c^2-2bm$a2=b2+c2−2bm
Nu är vi nästan klara. Det sista steget blir att skriva om $m$m med hjälp av cosinus. Från figuren ser vi att
$\cos A=\frac{m}{c}\Leftrightarrow m=c\cdot\cos A$cosA=mc ⇔m=c·cosA
Detta sätter vi in i sambandet
$a^2=b^2+c^2-2b\cdot c\cdot\cos A$a2=b2+c2−2b·c·cosA
Nu är vi klara och har visat vart cosinussatsen kommer ifrån. Du kan dessutom bevisa sambandet för de övriga vinklarna på samma sätt som visades här ovan.
Exempel i videon
- Beräkna längden $a$ i en triangel med cosinussatsen med ett antal kända sidor och vinklar (se bild i video).
- Över dörren till en butik sitter en flaggstång. Den hålls upp av ett stag med längden $1,0 \, m$. Butiksägaren skall flytta stagets väggfäste så att flaggstången bildar vinkeln $v=30°$ med väggen. Väggfästen placeras rakt ovanför punkten $P$ (se bild i video). Bestäm avståndet mellan $P$ och väggfästets nya läge.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (4)
-
1. Premium
Bestäm vinkeln $x$x i figuren.
Avrunda svaret till en decimal
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Cosinussatsen Matematik 3 trigonometriRättar...2. Premium
Bestäm sidan $x$x i figuren
Avrunda svaret till en decimal
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: CosinussatsenRättar...3. Premium
Ludwig använder cosinussatsen för att bestämma sidan $x$x i triangeln i figuren.
När han kollar facit så har det blivit fel. I vilket steg i uträkningen har han gjort fel?
Steg 1: $3^2=x^2+6^2-2\cdot3\cdot6\cdot\cos121,86^{\circ}$32=x2+62−2·3·6·cos121,86∘
Steg 2: $9=x^2+36-36\cdot\cos121,86^{\circ}$9=x2+36−36·cos121,86∘
Steg 3: $x^2=9-36+36\cdot\cos121,86^{\circ}$x2=9−36+36·cos121,86∘
Steg 4: $\sqrt{x^2}=\sqrt{9-36+36\cdot\cos121,86^{\circ}}$√x2=√9−36+36·cos121,86∘
Steg 5: $x\approx6,78$x≈6,78
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: CosinussatsenRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
En triangel har sidorna $13\text{ cm}$13 cm , $14\text{ cm}$14 cm och $15\text{ }\text{cm}$15 cm . Bestäm den största vinkeln i triangeln.
Avrunda svaret till en decimal.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Cosinussatsen triangelsatserna trigonometiRättar...c-uppgifter (3)
-
5. Premium
Bestäm arean för triangeln i figuren.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Cosinussatsen Matematik 3 trigonometriRättar...6. Premium
En bonde vill ta reda på arean för en triangulär fårhage där måtten på hagens sidor är $80$80 m, $36$36 m och $64$64 m.
Ange hagens area i hela kvadratmetrar.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Problemlösning Trigonometri trigonometriRättar...7. Premium
Anton och Anya vill veta avståndet mellan två platser, A och B, i skogen. Mellan dessa platser är det besvärligt att ta sig fram. Det är därför svårt för dem att mäta upp avståndet direkt.
Istället väljer de ut två platser C och D som tillsammans med B ligger längs samma linje. Sedan mäter Anton och Anya upp sträckorna AC, AD, BD och CD, se figur. Figuren är inte skalenlig.
Beräkna avståndet mellan A och B.
(NP Ma3 ht13)
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: CosinussatsenLiknande uppgifter: Cosinussatsen problemlösning trigonometriRättar...a-uppgifter (2)
-
8. Premium
Bestäm ett $c$c så att $A=30^{\circ}$A=30∘ .
Avrunda ditt svar till två decimaler
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: cosinusssatsenRättar...9. Premium
En kub har sidan $2$2 cm. Triangeln $ABC$ABC har hörn i mittpunkterna på kubens respektive sidor.
Bestäm vinkeln $A$A i triangeln $ABC$ABC.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: CosinussatsenRättar... -
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
-
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Vivi Coco
Nu kom jag på felet jag gjorde 🙂
Vivi Coco
Hej 🙂 Jag har fastnat i uppgift 4
A= cos^-1( – 15^2-13^2-14^2)/ 2x13x14)=67,4 grader
Jag har bränt några hjärnceller, i över 40 minuter :/ jag räknar ihop kan inte få samma resultat kan ni snälla beskriva steg för steg just till den biten man ska använda casino räknaren. Mvh Vivi
Tayzo569
I fråga 7. Borde det en av längden vara 38 och inte 36 som det står på lösningsförslaget? Jag får då till ett inkorrekt svar pga det.
Myrrha Stenmark
Kan ej se uträkningar.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej! Hör av dig till support@matematikvideo.se så hjälper vi dig gärna med detta!
amal dawood
Hej!
Jag vet inte när man räknar en längden eller två i en sida av en triangel Tack
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, förstår inte riktigt din fråga. Har du ett exempel som du kan skriva här så tar vi det utifrån det?
Elena Ardemo
Bortse min notering om Matematik 3 vs 4, för det var jag som tittade på fel ställe. Dock återstår frågan om additions- och substraktionsformler.
Tack.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej Elena
Tack för din kommentar.
Just nu har vi inte något för bevis av just dessa trigonometriska samband. Vi skall absolut titta på att lägga till dessa och jag lägger till detta i vår lista över videos som skall göras.
Elena Ardemo
Hejsan,
Denna video ingår i Matematik 4 trots att cosinussatsen tillhör Matematik 3 om jag minns rätt? Finner dock varken bevis på additions- och substraktionsformler för sinus och cosinus eller någon video relaterat till dessa formler. Skulle ni kunna hjälpa till att hitta dessa (just med additions- och substraktionsformler, videon om de andra formlerna hittade jag).
Tack!
wtfvnh
Hej!
Flagstångsuppgiften borde väl ha svaret/svaren:
x1= 1.84
x2= 0.24 (1.04-0.8)
Eller är jag ute och cyklar?
Tack annars för grymma guides =)
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, du är inte ute och cyklar, vi skall korrigera denna video så snart som möjligt.
Krille10
Hej, du har visat exempel där du vet 2 sidor av 3. Jag har fastnat på ett tal där jag bara vet höjden på en liksidig triangel och ska beräkna exakta värdet på arean.
Jag delar upp triangeln i 2 st rätvinkliga så jag har ena sidan som höjden. Men om jag bara vet ”a” men inte varken ”b” eller ”c” hur går jag vidare då? Något tips?
Tack
Simon Rybrand (Moderator)
Du nämner inte höjden i den liksidiga triangeln men om vi säger att höjden = h (och att vi vet dess värde) så kan du lösa ut sidan x genom att använda pythagoras sats enligt:
$ h^2+(\frac{x}{2})^2 = x^2 $
Där alltså $ \frac{x}{2} $ är halva sidan i den liksidiga triangeln.
jaalle
Tack! det hjälpte mycket. jag löste diagonalerna som 15 mm och 28 mm men kunde inte lösa den spetsiga vinkeln mellan diagonalerna.
Tack igen!
jaalle
Hej Simon!
jag har fasnat en fråga i boken M 3c (nr 1436) det handlar om alltså en parallellogram där två sidor är 12 mm, 19 mm och en mellanliggande vinkel som 52.
a) Beräkna vardera diagonalens länd.
b) Bestäm den spetsiga vinkeln mellan diagonalerna.
Kan du ge ledtråd?
Tack!
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, i en parallellogram så gäller följande:
– Vinkelsumman av innervinklarna är 360°
– Motstående sidor är lika lång
– Motstående vinklar är lika stora
– Diagonalerna som skär varandra delar varandra i mitten.
Eftersom du har en vinkel som är 56° och på vardera sidan om denna två sidor som är 12 resp 19 mm kan du med cosinussatsen ställa upp sambandet för ena diagonalens längd x:
$ x^2 = 12^2 + 19^2 – 2 \cdot 12 \cdot 19 \cdot cos56 $
Hoppas att detta hjälper dig på vägen (ger tillräckligt med ledtrådar 😉 )
oscar.bergman
Hej, jag förstår verkligen inte förklaringen för uppgift ett vid övningsexemplen. Vill du vara god och förklara?
Tack
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, kan du precisera lite mer var det är du fastnar och vad det är du tror att du inte förstår så tar vi det därifrån!
I princip så tillämpar vi bara cosinussatsen där direkt på triangeln och löser ekvationen.
backis
jag undrar en sak; i kapiteltestet grundläggande triginometri, fråga sju. Sista delen av uträkningen så skulle cosinussatsen enligt hur ni räknar där lyda : a^2=b^2+c^2+2*csinA ????? Har ni verkligen tittat på denna frågan och svaret?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, nej det är ett skrivfel i den uppgiften och det skall stå cos och inte sin där. Det är korrigerat, tack för att du gjorde oss uppmärksamma på detta!
robin@martinandersson.com
Jag undrar angående andrta exemplet i videon varför du inte sätter X^2= istället för 1^2? I första exemplet satte du den okända = och inte en konstant!
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, Det beror på vilka sidor som man känner till i triangeln. I det exempel som du frågar om så vet vi inte den mot x motstående längden och behöver därför jobba lite annorlunda med cosinussatsen. Här vet vi istället att den motstående längden mot vinkeln är lika med 1 och sätter vårt x till en av de andra längderna. Fråga gärna vidare om jag är otydlig kring detta!
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, det beror på att jag avrundar cos(52) till 2 decimaler i uträkningen för att inte göra för många beräkningar i ett svep. När man slår allt direkt på räknaren ges alltså ett något annorlunda (och lite mer korrekt) svar.
soulpat
Angående exemplet vid 05:00. När jag slår 2*6*7cos(52) får jag: 51,716. Väldigt nära ditt resultat, men fortfarande inte samma. vad kan detta bero på?
Endast Premium-användare kan kommentera.