Andraderivata - Derivata (Ma 3) - Matematikvideo

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 3 BC

Andraderivata

Video

Video, text & övningsfrågor av: Simon Rybrand

Här tittar vi på innebörden av andraderivata och dess betydelse för att tolka grafer. Vi tränar också i några konkreta exempel på att ta fram denna.

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM


  • 600+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
PROVA FÖR 9 kr
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.
22 votes, average: 4,55 out of 522 votes, average: 4,55 out of 522 votes, average: 4,55 out of 522 votes, average: 4,55 out of 522 votes, average: 4,55 out of 5
22
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

10
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 10
MEDELPOÄNG
ALLA
3

Text

Andraderivata – derivatans derivata

När man deriverar en derivata, får man något som kallas för andraderivatan. Den betecknas på många sätt. Några ser du här.

$ y´´ $      $ f´´(x) $        $ \frac{d^2y}{dx^2}$

Skrivsättet $´´$ uttalas ”bis”.

Andraderivatan motsvarar förändringshastigheten av förändringshastigheten. Andraderivatan till en funktion fås genom att man deriverar funktionen två gånger efter varandra.

Ett vanligt exempel på detta är då funktion $h(x)$ beskriver sträckan en bil kört kommer förstaderivatan $h´(x) = \text{hastigheten vid en tidpunkt} = v(x)$ och andraderivatan $h´´(x) = \text{accelerationen vid samma tidpunkt} = a(x)$

Ett annat känt exempel är att då funktion $N(t)$ beskriver befolkningsmängden kommer förstaderivatan $N´(t) = \text{tillväxthastigheten vid en tidpunkt} $ och andraderivatan $N´´(T) = \text{förändringen av tillväxthastigheten vid samma tidpunkt} $

Så tar du fram Andraderivata

Exakt samma deriveringsregler används som för förstaderivata. Du deriverar helt enkelt två gånger efter varandra.

Exempel 1

Bestäm andraderivatan till  $f(x)=4x^3$ƒ (x)=4x3

Lösning:

När vi deriverar  $f(x)$ƒ (x)  två gånger får vi andraderivatan  $f”\left(x\right)$ƒ (x).

Vi använder deriveringsregeln för polynomfunktioner

$f\left(x\right)=kx^n$ƒ (x)=kxn   ⇒     $f’\left(x\right)=n\cdot k\cdot x^{n-1}$ƒ (x)=n·k·xn1

Vi får att

$f(x)=4x^3$ƒ (x)=4x3  ⇒

$f'(x)=12x^2$ƒ ’(x)=12x2    ⇒

$f”(x)=24x$ƒ ”(x)=24x

Exempel 2

Bestäm  $y”$y  till  $y=2e^{4x}$y=2e4x

Lösning:

När vi deriverar $y$y två gånger får vi andraderivatan $y”$y.

Vi använder deriveringsregeln för exponentialfunktioner

$f\left(x\right)=Ca^{kx}$ƒ (x)=Cakx   ⇒     $f’\left(x\right)=Ca^{kx}\cdot k\cdot\ln a$ƒ (x)=Cakx·k·lna

Vi får att

$y=2e^{4x}$y=2e4x  ⇒

$y=8e^{4x}$y=8e4x  ⇒

$y=32e^{4x}$y=32e4x

Andraderivatan och extrempunkters karaktär

Den huvudsakliga användningen av andraderivatan i denna kurs, är att vi med den mycket effektivt kan bestämma extrempunkternas karaktär. Vi kan undersöka hur en graf beter sig för olika $x$x -värden.

Det är nämligen så att om andraderivata är negativ för $x$x -värdet som motsvarar första derivatans nollställe, så säger man att kurvan är konkav nedåt. 

Andraderivatan och maximipunkter

Förstaderivatans är avtagande runt maxpunkten, den går från positiv till negativ via värdet noll. Det ger att andraderivatan är negativ i maxpunkten. 

Om andraderivata däremot är positiv för $x$x -värdet som motsvarar första derivatans nollställe, så säger man att kurvan är konkav uppåt.  

Andraderivatan och minimipunkter

Förstaderivatans är växande runt minimipunkten, den går från negativ till positiv via värdet noll. Det ger att andraderivatan är positiv i minimipunkten.

Man kan på detta sätt undersöka förstaderivatans nollställen med hjälp av andraderivatan och snabbt bestämma om man hittat en max- eller minpunkt.

Exempel 3

Bestäm minimipunkten till funktionen  $f(x)=2x^3-6x^2$ƒ (x)=2x36x2.

Lösning:

Minimipunkten återfinns där derivatan är lika med noll. Vi börjar med att ta fram derivatan

$f(x)=2x^3-6x^2$ƒ (x)=2x36x2     ⇒   $f\left(x\right)’=6x^2-12x$ƒ (x)=6x212x

och sätter derivatan lika med noll för att bestämma extrempunkternas $x$x -värden

$6x^2-12x=0$6x212x=0                   Bryt ut $6x$6x i VL 
$6x\left(x-2\right)=0$6x(x2)=0                    nollproduktmetoden
$6x=0$6x=0  ger   $x_1=0$x1=0    
$x-2=0$x2=0  ger   $x_2=2$x2=2

Nu vet vi vid vilka $x$x-värden vars tangenters lutningen är lika med noll, alltså extrempunkternas $x$x -värden. Nu ska vi bestämma karaktären av dessa punkter, d.v.s. om det är maximi-, minimi- eller terasspunkter. Denna gång väljer vi andraderivata för att undersöka detta.

När vi deriverar  $f(x)$ƒ (x)  två gånger får vi andraderivatan  $f”\left(x\right)$ƒ (x).

$f´\left(x\right)=6x^2-12x$ƒ ´(x)=6x212x  ger att   $f´´\left(x\right)=12x-12$ƒ ´´(x)=12x12                      

Sätter in våra $x$x-värden i funktionen

  $f´´\left(0\right)=12\cdot0-12=-12$ƒ ´´(0)=12·012=12        En negativ andraderivata innebär en maximipunkt

  $f´´\left(2\right)=12\cdot2-12=12$ƒ ´´(2)=12·212=12            En positiv andraderivata innebär en minimipunkt

Vi ser att  $x=2$x=2 ger minimipunkten. Vi behöver nu $y$y-värdet för att få fram punkten. Det gör vi genom att sätta in $x=2$x=2 i vår ursprungliga funktion.

$f(2)=2\cdot2^3-6\cdot2^2=16-24=-8$ƒ (2)=2·236·22=1624=8

Vi har alltså en minimipunkt i $\left(2,-8\right)$(2,8).

 Om andraderivatan lika med noll

Om andraderivatan blir lika med noll måste du bestämma karaktären på ett annat sätt, tex med hjälp av en teckentabell.

Exempel i videon

  • Exemplifiering hur andraderivatan beter sig utmed en funktion vars graf är utritad.
  • Bestäm andraderivatan till $ f(x)= 3x^4+4x^2+x$.
  • Bestäm andraderivatan till $ f(x)= 2x^{-0,5}$.
  • Bestäm andraderivatan till $ f(x)=2e^{2x} $.
  • Bestäm andraderivatan till $ f(x)=\frac13x^3+\frac23+2 $.

Kommentarer

  1. Hej!
    Man kan tolka texten väldigt fel i uppgift 3. När f(x)=0 kan man tro att derivatansfunktion är 0 vilket medför att det är en linjär funktion från början. Det framgår inte att det är i punkten X som derivatan är 0.

    Linnea Johansson
    1. Hej Linnea.

      Jag har nu försökt formulera om frågan och hoppas att du tycker den blev tydligare. Lycka till med derivatan!

      Anna Admin
  2. Bilden laddar inte i uppgift 7, varken i Firefox eller Internet explorer utan tillägg.

    Clockwork Cadaver
    1. Tack för kommentar, det är fixat!

      Simon Rybrand
  3. Skumma svar i uppgift 5 och 7.

    // Rasmus

    Rasmus Mononen
  4. I uppgift 7 står det i facit följande: f´´(C)=f´(F)
    stämmer inte då andraderivatan för C positiv och första derivatan för F negativ

    Vad jag kan se i grafen så är F”(C) en maximipunkt och måste väl där med ha negativ andra derivata?

    I uppgift 8 står funktionen f(x) = x^3 + 2x^2
    Men svaret i facit är beräknat utifrån f(x) = x^3 + 6x^2…..

    Sebastian Sollerman
    1. Hej
      Vi kikar på detta.

      Simon Rybrand
  5. Ange koordinaterna för extrempunkterna till funktionen

    f(x) = x5 – 5x

    Hej skulle behöva hjälp med denna då jag sitter fast..

    Jonatan Wennberg
  6. Hej, i min fråga står det: För funktionen f gäller att f(x)=2/x^2 + 2x
    Men jag förstår inte hur man gör i division. Och vad innebär f’=0 ? Jag har enbart sett beskrivningar i min mattebok och här på hemsidan om y´=0 men ingen f´=0.

    Mvh Julia

    Julia Ojeda Ottosson
  7. Hej!
    Jag har en fråga gällande uppgift 4: Beräkna y″ för y=−2sin(2x).
    Mellan första derivatan och andra derivatan har basen 4 bytt tecken (från negativ till positiv), varför då?

    Mikael144600
    1. Hej
      Det beror på att derivatan för cos(x) är -sin(x). Du deriverar ju först så att du får cos som den yttre derivatan. Nästa gång vi deriverar för att få andraderivatan så deriverar du cos till sin.

      Simon Rybrand
  8. Hej!
    Jag har en fråga gällande uppgift 4: Beräkna y″ för y=−2sin(2x)
    Vilken regel använder ni er av då? Och hur vet man när man inte skall derivera med produktregel eller kedjeregel? Jag fick att y prim blev -4cos. Vad gör jag fel då?

    Tack på förhand!

    /Förvirrad derivata

    Hélèna Osseyran
    1. Hej, i den funktionen så behöver vi tänka på att vi har en inre funktion $2x$ (i parentesen) så då används kedjeregeln för att derivera detta.
      Jag gjorde så att jag uppdaterade förklaringen och gjorde den mer utförlig så kika gärna på den igen så hoppas jag att det blir tydligare!

      Simon Rybrand
  9. Har inte än vaknat … en försök till:

    ”Om jag inte har det fel så är f´´(x) = 0 om f´(x) = a”

    Pedro Veenekamp
  10. Ny ser jag att jag skrev nåt fel … det skulle stå:
    ”Om jag inte har det fel så är f´´(x)= = om f´(x) = a ”
    där a är ett realtal.

    Pedro Veenekamp
  11. Hej!

    Kan du förklara hur f´´(x) > 0 om f´(x) = 0 (frågan 3)
    Om jag inte har det fel så är f´´(x) = 0 om f´(x) = 0
    f´(x) är lika med noll när f(x) är en rätt linje, eller hur?

    Tack för hjälpen!

    Pedro Veenekamp
  12. Hej! Om man har f”(x)=0 ?
    Vad betyder det?

    Falah
    1. Det skulle kunna betyda (troligtvis är det så) att du har hittat en terrasspunkt.

      Simon Rybrand
  13. Hej!
    Jag har problem med denna uppgiften, jag kan stegen men lyckas inte få det till cirka 259.

    Beräkna f”(1) om
    f(x)=5^2x + x

    qwert
    1. Funktionen blir enklare att derivera om du skriver om den på följande vis:
      $f(x)=5^{2x}+x=25^x+x$
      Då får du
      $f´(x)=ln25⋅25^x+1$
      $f´´(x)=(ln25)^2⋅25^x$
      och
      $f´´(1)=(ln25)^2⋅25^1=259$

      Simon Rybrand
  14. Hej!
    Jag har alltid lärt mig att när en funktion går uppåt runt en punkt(en minimipunkt) så heter det att den är konvex, inte konkav uppåt. Sen när den går neråt runt en punkt(maximipunkt) så heter det att grafen är konkav. Har jag lärt mig fel?

    nti_ma4
    1. // Jerry Skarp

      nti_ma4
    2. Hej,
      Egentligen så är det lite lurigt att använda konkav (buktar inåt) och konvex (buktar utåt) när funktioner beskrivs då man ofta använder begreppen när linser beskrivs. I en konkav lins buktar bägge sidor inåt vilket är svårt att likna vid en funktion på samma vis. Jag brukar använda begreppet konkav uppåt när vi har en minimipunkt och konkav nedåt när vi har en maximipunkt.
      Säg till om detta fortfarande är oklart på något vis!

      Simon Rybrand
      1. Konkav = har min punkt
        Konvex = har max punkt

        Annat verkar tokigt, och att blanda in linser i leken gör knappast saken tydligare.

        Jeremy Barnes
  15. Hej!
    Jag har ett tal som ser ut så här 2x^1/2 + x^-1/2 bestäm f'(4).
    jag förstår inte genom videon hur jag ska göra, kan du förklara?

    Jakob Carlsson
    1. Hejsan Jakob, det här är en så kallad potensfunktion och det kan vara bra att kika på genomgångarna om derivata för potensfunktioner så kommer du säkert att förstå mer kring detta. I just detta fall gäller att:
      $ f(x) = 2x^{1/2} + x^{-1/2} $
      $ f´(x) = x^{-1/2} – \frac{1}{2} x^{-3/2} = \frac{1}{x^{1/2}} – \frac{1}{2x^{3/2}} $

      Simon Rybrand

Endast premiumkunder kan kommentera. Prova Premium!

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: