Andraderivata - Lär dig förstå hur den fungerar och tolkas

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 3 BC

Andraderivata

Video

Här tittar vi på innebörden av andraderivata och dess betydelse för att tolka grafer. Vi tränar också i några konkreta exempel på att ta fram denna.

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM


  • 500+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
  • 3500+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
PROVA FÖR 9 KR
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.

Vad tycker du om videon?

18 votes, average: 4,44 out of 518 votes, average: 4,44 out of 518 votes, average: 4,44 out of 518 votes, average: 4,44 out of 518 votes, average: 4,44 out of 5
18
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

8
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
MEDELPOÄNG
ALLA
3

Text

Exempel i videon

  • Exemplifiering hur andraderivatan beter sig utmed en funktion vars graf är utritad.
  • Bestäm andraderivatan till $ f(x)= 3x^4+4x^2+x$.
  • Bestäm andraderivatan till $ f(x)= 2x^{-0,5}$.
  • Bestäm andraderivatan till $ f(x)=2e^{2x} $.
  • Bestäm andraderivatan till $ f(x)=\frac13x^3+\frac23+2 $.

Så tar du fram Andraderivata

Att ta fram denna derivata innebär att derivera den deriverade funktionen en gång till. När man tar fram andraderivatan används exakt samma deriveringsregler som du gör vid förstaderivata. Det enda vi gör är alltså att derivera ännu en gång. Vi kan då tänka oss att vi får förändringshastigheten av förändringshastigheten.

Andraderivata betecknas som

$ y´´ = f´´(x) = \frac{d^2y}{dx^2}$ där $´´$ uttalas ”bis”.

 

Ett konkret exempel på detta kan vara att om vi har en funktion h(x) som beskriver sträckan en bil kört kommer

  • $h´(x) = \text{hastigheten vid en tidpunkt} = v(x)$
  • $h´´(x) = \text{accelerationen vid samma tidpunkt} = a(x)$
I detta fall får vi alltså hastigheten när vi deriverar en sträckfunktion. När sedan denna deriveras en gång till får vi accelerationen eller ”förändringshastigheten av förändringshastigheten.

Att tolka andraderivata

Själva nyttan med att beräkna den andra derivatan är oftast att kunna undersöka hur en graf beter sig vid vissa värden. Det är nämligen så att om denna derivata är negativ så är kurvan konkav nedåt och därmed är f” positiv så är kurvan konkav uppåt. Man kan därför undersöka ett nollställe för derivatan med hjälp av f” och ta reda på om man hittat en max- eller minpunkt. För att lättare se detta framför sig kan man ha följande bild framför sig för att komma ihåg hur andraderivatan beter sig vid max-, min- punkter.

konkav-nedat
Här ovan är kurvan konkav nedåt, Andraderivatan är negativ, dvs $f´´ < 0$. Vi har en maximipunkt där också $f´(x) = 0$, dvs förstaderivatan är i denna punkt är 0.

konkav-uppat
Här ovan är kurvan konkav uppåt, Andraderivatan är positiv, dvs $f´´ > 0$. Vi har en minimipunkt där också $f´(x) = 0$, dvs förstaderivatan är också i denna punkt 0.

Kommentarer

  1. Hej!
    Jag har ett tal som ser ut så här 2x^1/2 + x^-1/2 bestäm f'(4).
    jag förstår inte genom videon hur jag ska göra, kan du förklara?

    Jakob Carlsson
    1. Hejsan Jakob, det här är en så kallad potensfunktion och det kan vara bra att kika på genomgångarna om derivata för potensfunktioner så kommer du säkert att förstå mer kring detta. I just detta fall gäller att:
      $ f(x) = 2x^{1/2} + x^{-1/2} $
      $ f´(x) = x^{-1/2} – \frac{1}{2} x^{-3/2} = \frac{1}{x^{1/2}} – \frac{1}{2x^{3/2}} $

      Simon Rybrand
  2. Hej!
    Jag har alltid lärt mig att när en funktion går uppåt runt en punkt(en minimipunkt) så heter det att den är konvex, inte konkav uppåt. Sen när den går neråt runt en punkt(maximipunkt) så heter det att grafen är konkav. Har jag lärt mig fel?

    nti_ma4
    1. // Jerry Skarp

      nti_ma4
    2. Hej,
      Egentligen så är det lite lurigt att använda konkav (buktar inåt) och konvex (buktar utåt) när funktioner beskrivs då man ofta använder begreppen när linser beskrivs. I en konkav lins buktar bägge sidor inåt vilket är svårt att likna vid en funktion på samma vis. Jag brukar använda begreppet konkav uppåt när vi har en minimipunkt och konkav nedåt när vi har en maximipunkt.
      Säg till om detta fortfarande är oklart på något vis!

      Simon Rybrand
      1. Konkav = har min punkt
        Konvex = har max punkt

        Annat verkar tokigt, och att blanda in linser i leken gör knappast saken tydligare.

        Jeremy Barnes
  3. Hej!
    Jag har problem med denna uppgiften, jag kan stegen men lyckas inte få det till cirka 259.

    Beräkna f”(1) om
    f(x)=5^2x + x

    qwert
    1. Funktionen blir enklare att derivera om du skriver om den på följande vis:
      $f(x)=5^{2x}+x=25^x+x$
      Då får du
      $f´(x)=ln25⋅25^x+1$
      $f´´(x)=(ln25)^2⋅25^x$
      och
      $f´´(1)=(ln25)^2⋅25^1=259$

      Simon Rybrand
  4. Hej! Om man har f”(x)=0 ?
    Vad betyder det?

    Falah
    1. Det skulle kunna betyda (troligtvis är det så) att du har hittat en terrasspunkt.

      Simon Rybrand
  5. Hej!

    Kan du förklara hur f´´(x) > 0 om f´(x) = 0 (frågan 3)
    Om jag inte har det fel så är f´´(x) = 0 om f´(x) = 0
    f´(x) är lika med noll när f(x) är en rätt linje, eller hur?

    Tack för hjälpen!

    Pedro Veenekamp
  6. Ny ser jag att jag skrev nåt fel … det skulle stå:
    ”Om jag inte har det fel så är f´´(x)= = om f´(x) = a ”
    där a är ett realtal.

    Pedro Veenekamp
  7. Har inte än vaknat … en försök till:

    ”Om jag inte har det fel så är f´´(x) = 0 om f´(x) = a”

    Pedro Veenekamp
  8. Hej!
    Jag har en fråga gällande uppgift 4: Beräkna y″ för y=−2sin(2x)
    Vilken regel använder ni er av då? Och hur vet man när man inte skall derivera med produktregel eller kedjeregel? Jag fick att y prim blev -4cos. Vad gör jag fel då?

    Tack på förhand!

    /Förvirrad derivata

    Hélèna Osseyran
    1. Hej, i den funktionen så behöver vi tänka på att vi har en inre funktion $2x$ (i parentesen) så då används kedjeregeln för att derivera detta.
      Jag gjorde så att jag uppdaterade förklaringen och gjorde den mer utförlig så kika gärna på den igen så hoppas jag att det blir tydligare!

      Simon Rybrand
  9. Hej!
    Jag har en fråga gällande uppgift 4: Beräkna y″ för y=−2sin(2x).
    Mellan första derivatan och andra derivatan har basen 4 bytt tecken (från negativ till positiv), varför då?

    Mikael144600
    1. Hej
      Det beror på att derivatan för cos(x) är -sin(x). Du deriverar ju först så att du får cos som den yttre derivatan. Nästa gång vi deriverar för att få andraderivatan så deriverar du cos till sin.

      Simon Rybrand
  10. Hej, i min fråga står det: För funktionen f gäller att f(x)=2/x^2 + 2x
    Men jag förstår inte hur man gör i division. Och vad innebär f’=0 ? Jag har enbart sett beskrivningar i min mattebok och här på hemsidan om y´=0 men ingen f´=0.

    Mvh Julia

    Julia Ojeda Ottosson
  11. Ange koordinaterna för extrempunkterna till funktionen

    f(x) = x5 – 5x

    Hej skulle behöva hjälp med denna då jag sitter fast..

    Jonatan Wennberg
  12. I uppgift 7 står det i facit följande: f´´(C)=f´(F)
    stämmer inte då andraderivatan för C positiv och första derivatan för F negativ

    Vad jag kan se i grafen så är F”(C) en maximipunkt och måste väl där med ha negativ andra derivata?

    I uppgift 8 står funktionen f(x) = x^3 + 2x^2
    Men svaret i facit är beräknat utifrån f(x) = x^3 + 6x^2…..

    Sebastian Sollerman
    1. Hej
      Vi kikar på detta.

      Simon Rybrand
  13. Skumma svar i uppgift 5 och 7.

    // Rasmus

    Rasmus Mononen
  14. Bilden laddar inte i uppgift 7, varken i Firefox eller Internet explorer utan tillägg.

    Clockwork Cadaver
    1. Tack för kommentar, det är fixat!

      Simon Rybrand

Kommentarer är inaktiverade. Logga in för att felrapportera.

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: