...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Nollställen och teckentabell

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Strategi för att undersöka nollställen med derivata

I den här genomgången tittar vi på en metod/strategi för hur du metodiskt kan undersöka hur en funktion växer och avtar eller där funktionen har ett nollställe och därmed en maxpunkt, minpunkt eller en terrasspunkt. Runt de olika typerna av nollställena så beter sig funktionen på följande vis:

  • Om det är en maxpunkt så växer funktionen innan punkten och avtar efter punkten.
  • Om det är en minpunkt så avtar funktionen innan och växer efter punkten.
  • Om det är en terrasspunkt så växer funktionen innan och efter alternativt avtar innan och efter punkten.

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

En strategi för att undersöka funktionen med derivata

Den strategi som presenteras i videon är följande:

  1. Börja med att derivera funktionen.
  2. Lös ekvationen f ’(x) = 0 för att på detta vis hitta x – värdena där derivatan är 0.
  3. Undersök f(x) i nollställena för att utifrån x – värdet ta reda på y – värdet i dessa punkter.
  4. Undersök derivatan mellan nollställena för att se hur funktionen rör sig mellan nollställena. Det vi då gör är att vi testar vad derivatan i en punkt innan/mellan/efter nollställena. Om derivatan är positiv växer funktionen där, är den negativ avtar den
  5. Skissa kurvan: Det sista steget är att skissa grafen till funktionen. Allt som vi undersökt hittills har vi nu fyllt i vårt teckenschema med så detta sista steg brukar vara ganska enkelt. Men det är ändå viktigt för att förstå hur funktionen ser ut.

Exempel i videon

  • Undersök funktionen $ f(x)=2x^2-4x $ med hjälp av ett teckenschema.
  • Skissa grafen till $ f(x)=2x^3-3x^2 $ med hjälp av derivata.

Kommentarer

Lisa Rahmani

Borde inte funktionen vid 04:13 ha två nollställen eftersom det är en andragradsfunktion? Vet att funktionerna inte måste ha detta utan kan ha UPP till två men hur vet man det? Varför svarade du inte t.ex. x = +-1 istället för bara 1?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    När vi har deriverat denna funktion så har vi en linjär funktion (derivata) som endast har ett nollställe.
    Dvs ekvationen $4x-4=0$ har en lösning $x=1$ och inte två.
    Hoppas att detta hjälper dig vidare!

      Lisa Rahmani

      Ok, så man kollar på derivatans funktion när man gör tabellen, inte funktionens. Tack!

Jonatan Wennberg

Ange koordinaterna för extrempunkterna till funktionen

f(x) = x^5 – 5x

Behöver hjälp med denna då jag hade prov idag och blev osäker på om jag svarade rätt..

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Där har du derivatan $f´(x)=5x^4-5$ och du söker då
    $ 5x^4-5=0 $
    Addera med 5
    $ 5x^4=5 $
    Dela med 5
    $ x^4=1 $
    Här har du de reella lösningarna $x_1=-1$ och $x_2=1$
    Sedan får du ta reda på y-värdena.
    Hjälper detta dig vidare?

Mattefreak

Jag försöker bestämma algebraisk lokala/globala extrempunkter till funktionen

f(x)=6x-x^3 på intervallet (-2 < x < 4)
Deriverar funktionen och får ut
6x-3x^2
x1= roten ur 2 & x2= negativ roten ur 2 är dessa lokala extrempunkter?

Får även fram att globala extrempunkterna bör vara 4;-40 och 1,5 stämmer detta? Vad är de lokala globala hur ska jag ställa upp detta korrekt?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Din derivata är fel där, tänk på att derivatan av $6x$ är $6$, blir det enklare att lösa då?

      Mattefreak

      skrev bara fel 6-3x^2 ska det vara, får ändå inte ihop det

        Simon Rybrand (Moderator)

        Här ingår inte intervallets ändpunkter i intervallet så dessa kan inte vara extrempunkter. Därmed har du de globala där derivatan är 0. Dvs det är både lokala och globala. Om ändpunkterna hade ingått så hade x=4 gett ett globalt minimum.

Elna Cornelia Karlsson

I filmen står det (4:36) att det är ett nollställe när x=1. Detta måste ju vara fel, y ska ju vid ett nolställe vara lika med noll och i detta fallet är jui y= -2. Det är väl snarare en extrempunkt i x=1 eller är det jag som är ute och cyklar?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Vi kan kalla detta för ett nollställe men vad som kanske borde vara tydligare är att det är ett nollställe för derivatan. Dvs i denna punkt gäller att derivatan noll. Hoppas att detta blir tydligare för dig nu, vi skall ta med oss denna fråga när vi uppdaterar och utvecklar denna och andra videos.

Lovisa Ekegren Scheffer

Hej! Tack för bra genomgångar, känner att jag förstår mycket mer än innan! Men har väldigt svårt för funktioner som har mer än en extrem/terasspunkt. Jag förstår att det är då derivatan = 0 som det är en sån punkt, men tycker det är svårt att räkna ut i uppgifterna. Ex:

f(x) = x^3 + 6x^2 – 10

f(x) = 2x^3 + 3x^2 – 12x

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej,
    Ett tips kan vara att först rita ut funktionerna i en grafritare eller i ett program. På det viset har du ju lite ”föraning” om var du kan hitta extrempunkterna.
    Jag kan visa den första funktionen och hur jag tänker kring den, kanske att det hjälper dig vidare.
    Här är derivatan $ f´(x) = 3x^2+12x $. Nu löser vi ekvationen
    $ f´(x)= 0 ⇔ $
    $ 3x^2+12x= 0 ⇔ $ (Bryt ut 3x i varje term i VL)
    $ 3x(x+4)= 0 ⇔ $ (Nollproduktmetoden)
    $ x_1=0 $ och $x_2=-4$
    Nu vet vi att vi har extrempunkter i $ x_1=0 $ och $x_2=-4$ så då återstår det att ta reda på om dessa är max eller minpunkter. Detta kan vi göra genom att göra ett teckenschema eller användning av andraderivatan. Här kan vi undersöka derivata innan, mellan och efter punkterna (dvs ett teckenschema).
    Om $x < -4$ så är derivatan positiv (sätt exempelvis in x = -5) Om $-4 < x < 0$ så är derivatan negativ (sätt exempelvis in x = -2) Om $x > 0$ så är derivatan positiv (sätt exempelvis in x = 1)
    Nu kan vi rita ut funktionen som bör se ut så här:

nti_ma3

Hej, i sista exemplet i videon så räknar du ut derivatan mellan de två max-min-punkterna. Var inte det onödigt, man kan väl anta att funktionen måste avta eftersom f(x) går från 0 till -1?

    Simon Rybrand (Moderator)

    I de allra flesta fall så är det så och i detta fall så måste ju funktionen som sagt ”ner” till nästa extrempunkt. Dock kan det vara bra att ha lite koll på om det är en terrasspunkt då derivatan beter sig lite annorlunda.

nti_ma3

Hej! Jag undrar över tal 4018c i exponent3b, hur deriverar man 1-4x^2-2x^3-x^4/4 , jag måste deriverat fel för jag fick helt fel svar till slut. Tack på förhand

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    $ f(x) = 1-4x^2-2x^3-\frac{x^4}{4} $
    $ f´(x) = -8x-6x^2-x^3 $

Ida

Hej!
I matematik C boken av Holström, uppgift 2120 så frågar dom efter i vilka punkter g'(x) är noll baserat på en bild på grafen g'(x).

Detta antar jag är när grafen visar k=0. Men de menar på att det är när kurvan skär i x-axeln. Jag trodde att det var fallet ifall dom skulle ha frågat efter g(x)=0, alltså inte derivatans nollställe utan funktionens. Vad är det jag inte förstått?

Vore väldigt tacksam ifall du hittar tid till detta. Tack på förhand!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, kika gärna på den här videon där detta koncept behandlas:
    https://matematikvideo.se/derivatans-graf-och-funktionens-graf/

    Kortfattat så är det så att om du ritar ut funktionens graf f(x) så hittar du derivatans f´(x) nollställen i de punkter där derivatan (tangentens lutning) är noll. Om du däremot har derivatans graf f´(x) utritad så anger grafen där derivatan är noll där grafen skär x – axeln, dvs där y=0. Om du på denna graf tar reda på där lutningen är noll så är det istället andraderivatan som är noll där.

      Ida

      Bra förklarat, nu förstår jag. Tack så mycket!

mikaelhagfeldt@gmail.com

Jag blev lite förvirrad av genomgången. Är inte nollställen där funktionen skär x-axeln, dvs där y=0? Hur kan en extrempunkt vara samma sak som ett nollställe? Eller är det skillnad på ett nollställe för en vanlig funktion och ett nollställe för en derivata? Jag vet att om f'(x)=0 så har funktionen nått en extrempunkt av något slag, men har vi f(x)=0 så har vi stött på funktionens rötter? Kan rötterna till en funktion vara samma sak som funktionens extrempunkter? Förstår knappt vad jag själv skriver men det slår runt i huvudet på mig.

Tack på förhand!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej! Ja, det är skillnad på funktionens och derivaitans nollställe. För att klargöra:

    Funktionens nollställe f(x) = 0 innebär att y-värdet är noll där och att funktionen där skär x-axeln.

    Derivatans nollställe f´(x) = 0 innebär att funktionen har en max, min eller terraspunkt i den punkten.

    Tänk på att en funktion kan ha derivatan noll i en punkt där den skär x-axeln och att både funktionens och derivatans värde då är noll.

    Hoppas att det blir tydligare!

      Grillska gymnasiet Uppsala

      Hej. Jo, du måste ändra teckentabellen så att det står maxpunkt och minpunkt där derivatans värde är noll. Det blir helt fel att kalla det för nollställen. Annars gör ni föredömliga genomgångar tycker jag.
      /Anders.

        Simon Rybrand (Moderator)

        Hej
        Vi fixar det framåt här, tack för att du sade till!

Denise 123

Hej jag undrar hur man bestämmer koordinaterna för -3x^5+5x^3?
Har problem efter att jag har deriverat Y’=-15x^4 + 15x^2
Hur gör man om det är upphöjt till 4 ??

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, du kan göra så att du bryter ut $ -15x^2 $
    $ -15x^4 + 15x^2 = 0 $
    $ -15x^2(x^2 – 1) = 0 $
    Här blir det enklare att se att din koordinater för nollställena kommer att vara:
    $ x_1 = 0, x_2 = 1, x_3 = -1$

carlitav

jag måste också säga att jag tycket videon vart helt genial! Super pedagogisk! Tack ska ni ha!!!

carlitav

åhhhhhh.. haha det klart! 🙂 ! tack!!!

carlitav

Hej!
Jag känner mig förvirrad på uppgift 3. Eftersom ekvationen har två x värden:
x₁=0 vilket ger y=f(0)=0
och
x₂=−2 vilket ger y=f(−2)=−8+12=4,
bör det inte finnas två minimi-eller maximipunkter?

Jag trodde nämligen att svaret var (0,0) (-2,4)
Jag förstår inte varför den bara en har minimipunkt som skär i (0.0).

Tack på förhand!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, den har alltså endast en minimipunkt (0, 0) då punkten (-2, 4) är en maximipunkt. Bägge är extrempunkter men endast en är en minimipunkt.

fatima94

Hej! kan du hjälpa med mig att lösa den här uppgiften:
bestäm funktionens extrempunkter mha teckenstudier.
funktionen är f(x)=x^3-12x

    Simon Rybrand (Moderator)

    Här har du derivatan
    $f´(x)=3x^2-12$

    Du löser sedan ekvationen $f´(x)=0$:
    $3x^2-12=0$ (/3)
    $x^2-4=0$ (+4)
    $x^2=4$
    $x_1 = 2$ och $x_2=-2$

    Sedan gör du så att du undersöker derivatan innan, mellan och efter nollställena för att sedan kunna skissa upp kurvan. Du gör precis på samma vis som i testa dig själv uppgift 3 här ovan, fråga annars vidare om detta inte hjälper!

yaijamal

hej!kan du hjälpa mig lösa funktionenf(x)=3x^2-4x^2 med derivatans definition.tack på förhand!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, du har alltså funktionen f(x) som du kan förenkla enligt:
    $ f(x) = 3x^2 – 4x^2 = -x^2 $
    och så använder du derivatans definition:
    $ \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $

    Du kan då först bestämma
    $ f(x+h) = -(x+h)^2 = -x^2-2xh-h^2 $
    och sätter in i kvoten $ \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $ så att vi får:
    $ \frac{-x^2-2xh-h^2-(-x^2)}{h} = \frac{-2xh-h^2}{h} = -2x-h $
    När h går mot noll ges derivatan f´(x) = -2x.

    Hoppas att detta hjälper dig framåt!

Lina

och denna
Vilken värdemängd har funktionen f(x) = 3 + x^2 ?
Tack på förhand!! 😀

    Simon Rybrand (Moderator)

    Värdemängden för en funktion är alla de y – värden som funktionen kan anta. Så för den funktionen så är det minsta y – värdet som antas y = 3. Så alla y – värden, eller värdemängden är, y ≥ 3.

      Lina

      Tacktacktack!!! 😀

Lina

Hej! Kan jag få hjälp med denna?? 🙂
Du har funktionen y = x^2 + 14x +20
Ange symmetrilinjen

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, Symmetrilinjen för en andragradsfunktion går genom max/min punkten så här gäller det att hitta där derivatan är noll och sedan gäller det att symmetrilinjen är lika med x – värdet där.
    Så om du har $ y = x^2 + 14x +20 $ ges
    $ y´ = 2x + 14 $
    $ y´ = 0 \Leftrightarrow $
    $ 0 = 2x + 14 \Leftrightarrow $
    $ 2x = -14 \Leftrightarrow $
    $ x = -7 $
    Så symmetrilinjen är x = -7

DelToro

Bestäm konstanten A i funktionen y = x2 -2Ax + A så att funktionen får endast ett nollställe. hur räknar jag ut denna?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Då söker du där ekvationen y = 0 endast har en lösning, dvs då
    $ x^2 -2ax + a = 0 $ endast ger en lösning.
    Här använder du pq formeln:
    $ x = 1 ± \sqrt{1 – a} $
    Om a = 1 kommer du endast få en lösning.

Scaleform2012

Hej har matte prov på måndag och har fastnat med ett tal: Undersök om punkten (0,0) är en maximi, minimi eller terrass punkt.
a) $ y = 2x^4 -x^2 $
b) $ y= 3x^2 $
Alltså ska jag derivera funktionen sen hitta noll ställerna och sedan göra ett teckenschema?
Kan visa hur jag ska räkna ut talet 🙂

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    På de uppgifterna gör du så att du deriverar och verifierar att (0, 0) är en extremvärdespunkt. Sedan undersöker du om derivatan är positiv eller negativ innan och efter den punkten. Du kommer du att veta om det är en maximi, minimi eller terrass punkt. Du kan självklart använda ett teckenschema för att strukturera detta tydligare eller om det tom står angivet i uppgiften att du skall göra det.

      Scaleform2012

      Tack ! 🙂

Scaleform2012

Sitter fast med ett tal.. Bestäm eventuella maxi,minimi och terrasspunkter till funktionerna. Funktionerna ska ej ritas.

a) $ y = 4x – x^2 $

b) $ y = x^2/2 + 3 $

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, här är det bra att känna till att om du har en $+x^2$ term så kommer kurvan se ut som en glad mun 🙂 och har du en $-x^2$ term som en ledsen mun 🙁

    Det vill säga om du hittar där derivatan är noll så kommer du att veta om det är en max eller minpunkt.

    Jag kan visa den första uppgiften så löser du säkert den andra själv:
    $ y = 4x – x^2 $
    Derivera:
    $ y’ = 4 – 2x $
    När är derivatan = 0?
    4 – 2x = 0
    2x = 4
    x = 2.

    Här har vi alltså en maximipunkt (ledsen mun..) där x = 2.

      Scaleform2012

      Tack så mycket ! 😀


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (6)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $ f´(x) = 0$ med hjälp av grafen i figuren nedan.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Studera teckentabellen nedan och ange för vilket $x$x -värde funktionen $f(x)$ƒ (x) har en lokal maximipunkt.

    Teckantabell

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Studera teckenschemat nedan och ange för vilket x-värde funktionen $f(x)$ har en lokal maximipunkt.

    drawit-diagram-39

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    För vilka $x$ gäller att $f´(x) ≤ 0$

    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Studera teckenschemat nedan och ange i vilket intervall funktionen  $f(x)$ƒ (x)  är avtagande.

    drawit-diagram-39

    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Studera teckenschemat nedan och ange i vilket intervall funktionen $f(x)$ är växande.

    drawit-diagram-41

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...

c-uppgifter (2)

  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R1
    K

    Undersök med hjälp av ett teckenschema koordinaterna till den/de minimipunkter som $ f(x) = x^3+3x^2 $ har.

    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/3/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R1
    K

    Studera teckenschemat nedan och välj, genom att göra egna teckenscheman till alternativen, vilken av funktionerna som schemat tillhör.

    drawit-diagram-42

     

    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/3)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K1

    Om $f´(a)=0$ och $f´(x)$ har teckenväxlingen $+0+$ eller $-0-$ vid $x=a$, så är $(a, f(a))$ en terrasspunkt.

    Låt $f(x)=x^3+kx^2+3x$ där $k$ är en konstant.

    För viket värde på $k$ har funktionen en terrasspunkt?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar