Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 4
/ Derivata
Träna maximi- och minimiproblem med derivata
Växande och avtagande
En funktion anses vara växande då den ökar i värde i $y$y-led då $x$x -värde blir större.
Funktionen är avtagande då den minskar i $y$y -led samtidigt som $x$x -värde blir större.
Om den varken är växande eller avtagande så befinner sig funktionen i ett så kallat extremvärde. Det här extremvärdet kan vara en minimipunkt, en maximipunkt. Det finns även en möjlighet att det är en terrasspunkt.
För derivatan gäller följande i dessa fall.
Växande och avtagande
Om funktionen $f$ƒ är deriverabar på intervallet $a<$a< $x<$x< $b$b gäller att
$f$ är växande i intervallet om och endast om $f´(x)\ge0$ƒ ´(x)≥0 för alla $x$x i intervallet.
$f$ är strängt växande i intervallet om $x_1<$x1< $x_2$x2 leder till att $f\left(x_1\right)<$ƒ (x1)< $f\left(x_2\right)$ƒ (x2) för alla $x$x i intervallet.
$f$ är avtagande i intervallet om och endast om $f´(x)\le0$ƒ ´(x)≤0 för alla $x$x i intervallet.
$f$ är strängt avtagande i intervallet om $x_1<$x1< $x_2$x2 leder till att $f\left(x_1\right)>$ƒ (x1)> $f\left(x_2\right)$ƒ (x2) för alla $x$x i intervallet.
Om funktion $f$ varken är strängt växande eller strängt avtagande gäller att $f ´(x) = 0$. Det inträffar där funktionen har en extrempunkt.
Man kan förenklat tänka att $f$ är strängt växande i intervallet om $f´(x)>0$ƒ ´(x)>0 för alla $x$x i intervallet och $f$ är strängt avtagande i intervallet om $f´(x)<0$ƒ ´(x)<0 för alla $x$x i intervallet. Men det ett intervall kan alltså även vara strängt växande eller avtagande om derivatan är lika med noll i någon/några punkter med sedan fortsätter varar positiv/negativ.
Strategi för max- och minproblem
Den strategi som vi använder oss av när vi löser dessa typer av problem är följande:
- Derivera funktionen
- Lös ekvationen $f’(x) = 0$ för att få fram x – värdena där derivatan är 0. I dessa punkter har vi en maximi- eller minimipunkt.
- Ta reda på y – värdena för x – värdena där derivatan är 0.
- Undersök maximi- och minimipunkterna med hjälp av andraderivatan för att ta reda på vilken typ av extrempunkt vi har.
- Kontrollera att du har gjort rätt med hjälp av en grafritande räknare eller med ett datorprogram
Exempel i videon
- Skissa kurvan till funktionen $ f(x)=2x^3-3x^2 $ med hjälp av derivata.
- En cylinderformad burk skall ha förhållandena enligt figuren (se video). Bestäm den maximala volymen utifrån dessa förutsättningar.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (1)
-
1. Premium
Beskriv hur funktionen $f(x)=2x^2-x^3$ƒ (x)=2x2−x3 ser ut genom att använda derivata och undersöka när den är konkav uppåt/nedåt från vänster till höger.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata Matematik 4 Träna maximi- och minimiproblem med derivataRättar...
c-uppgifter (1)
-
2. Premium
En cylinder har radien $r$ och höjden $10-3r$.
Bestäm den maximala volymen cylindern kan ha.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata Matematik 4 Träna maximi- och minimiproblem med derivataRättar... -
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Hannes
Uppgift 1 lösningsförslag är lite konstigt, står följande:
′
(x)=4x−3x
$4x-3x^2=0 \Leftrightarrow x(4-3x)=0 \Leftrightarrow x_₁=0, x_₂=\frac{4}{3}$
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Fixat. Tack för din kommentar.
LindaE
Hej!
Har kört fast med denna. Tacksam för hjälp!
Undersök om funktionen y= 10 lnx – x^2+8x har någon minimipunkt
Simon Rybrand (Moderator)
Där får du först undersöka om derivatan har några nollställen. Det gör du genom att derivera och sätta derivatan till 0, dvs
$\mathrm{y}=10ln\left(x\right)-x^2+8x$
$y´=\frac{10}{x}-2x+8$
$\frac{10}{x}-2x+8=0$
$10-2\cdot{\mathrm{x}}^{2}+8\cdot\mathrm{x}=0$
$2\cdot{\mathrm{x}}^{2}-8\cdot\mathrm{x}-10=0$
${\mathrm{x}}^{2}-4\cdot\mathrm{x}-5=0$
$\mathrm{x}=2 \pm \sqrt{4+5} = 2 \pm 3$
$\mathrm{x}_{\mathrm{1}}=-1$
$\mathrm{x}_{\mathrm{2}}=5$
Här har du alltså två lösningar och du får nu undersöka om dessa punkter är max eller minpunkter. Viktigt här att tänka på är att $ln$ för ett negativt värde inte är definierat.
A.
På första uppgiften… Innebär det inte att om f”(0) = 4 att kurvan är konkav uppåt? Positiv = glad mun
Och f”(4/3) = -4 att kurvan är konkav nedåt. Negativ = ledsen mun
thronell
om andraderivatan är negativ blir det en ledsen mun, alltså så är maxpunkten högst upp där kurvan vänder. då är kurvan på väg uppåt innan den når maxpunkten.
om andraderivatan blir positiv blir det en glad mun, alltså så är minpunkten längst ner där kurvan vänder. då är kurvan på väg nedåt innan den når minpunkten.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Ja det stämmer!
agholme
mera frågor skulle vara bra 🙂
Simon Rybrand (Moderator)
Det är på gång. Vi fyller hela tiden på med fler uppgifter!
Endast Premium-användare kan kommentera.