...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Prova för 9 kr Prova för 9 kr
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Träna maximi- och minimiproblem med derivata

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Formler och begrepp som används i videon

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Är du ny här? Så här funkar Premium
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

En funktion anses vara växande då den ökar i värde i y – led och avtagande då den minskar i y – led. Om den varken växer eller avtar så befinner sig funktionen i ett så kallat extremvärde. Det här extremvärdet kan vara en minimipunkt, en maximipunkt eller en terrasspunkt.

För derivatan gäller följande i dessa fall:

Om funktionen $f$ växer så är $f ´(x) > 0$. Derivatan är positiv.

Om funktionen $f$ avtar så är $f ´(x) < 0$. Derivatan är negativ.

Om funktion $f$ varken växer eller avtar så gäller att $f ´(x) = 0$. Här gäller att vi kan ha en max, min eller en terrasspunkt.

Den strategi som vi använder oss av när vi löser dessa typer av problem är följande:

  1. Derivera funktionen
  2. Lös ekvationen $f’(x) = 0$ för att få fram x – värdena där derivatan är 0. I dessa punkter har vi en maximi- eller minimipunkt.
  3. Ta reda på y – värdena för x – värdena där derivatan är 0.
  4. Undersök maximi- och minimipunkterna med hjälp av andraderivatan för att ta reda på vilken typ av extrempunkt vi har.
  5. Kontrollera att du har gjort rätt med hjälp av en grafritande räknare eller med ett datorprogram

Exempel i videon

  • Skissa kurvan till funktionen $ f(x)=2x^3-3x^2 $ med hjälp av derivata.
  • En cylinderformad burk skall ha förhållandena enligt figuren (se video). Bestäm den maximala volymen utifrån dessa förutsättningar.

Kommentarer

LindaE

Hej!

Har kört fast med denna. Tacksam för hjälp!

Undersök om funktionen y= 10 lnx – x^2+8x har någon minimipunkt

    Simon Rybrand (Moderator)

    Där får du först undersöka om derivatan har några nollställen. Det gör du genom att derivera och sätta derivatan till 0, dvs
    $\mathrm{y}=10ln\left(x\right)-x^2+8x$
    $y´=\frac{10}{x}-2x+8$
    $\frac{10}{x}-2x+8=0$
    $10-2\cdot{\mathrm{x}}^{2}+8\cdot\mathrm{x}=0$
    $2\cdot{\mathrm{x}}^{2}-8\cdot\mathrm{x}-10=0$
    ${\mathrm{x}}^{2}-4\cdot\mathrm{x}-5=0$
    $\mathrm{x}=2 \pm \sqrt{4+5} = 2 \pm 3$
    $\mathrm{x}_{\mathrm{1}}=-1$
    $\mathrm{x}_{\mathrm{2}}=5$
    Här har du alltså två lösningar och du får nu undersöka om dessa punkter är max eller minpunkter. Viktigt här att tänka på är att $ln$ för ett negativt värde inte är definierat.

A.

På första uppgiften… Innebär det inte att om f”(0) = 4 att kurvan är konkav uppåt? Positiv = glad mun
Och f”(4/3) = -4 att kurvan är konkav nedåt. Negativ = ledsen mun

    thronell

    om andraderivatan är negativ blir det en ledsen mun, alltså så är maxpunkten högst upp där kurvan vänder. då är kurvan på väg uppåt innan den når maxpunkten.
    om andraderivatan blir positiv blir det en glad mun, alltså så är minpunkten längst ner där kurvan vänder. då är kurvan på väg nedåt innan den når minpunkten.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Ja det stämmer!

agholme

mera frågor skulle vara bra 🙂

    Simon Rybrand (Moderator)

    Det är på gång. Vi fyller hela tiden på med fler uppgifter!


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (2)

  • 1. Premium

    Rapportera fel

    Beskriv hur funktionen $f(x)=2x^2-x^3$ ser ut genom att använda derivata och undersöka när den är konkav uppåt/nedåt från vänster till höger.

    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel

    En cylinder har radien $r$ och höjden $10-3r$, bestäm den maximala volymen cylindern kan ha.

    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Premium
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.