Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 3
/ Trigonometri
Repetition av sin, cos och tan
Innehåll
I den här lektionen repeterar vi de grunder om trigonometri i rätvinkliga trianglar. Du tränar på hantering av sinus, cosinus och tangens och att lösa enklare trigonometriska ekvationer.
För fler uppgifter på grundnivå kan du återvända till lektionen om sinus, cosinus och tangens.
Trigonometri i Ma3c
Det område, som i matematiken kallas för trigonometri handlar om samband mellan vinklar och sidor i en triangel.
Det finns många tillämpningsområden. I tidigare kurser har vi introducerat sambanden i rätvinkliga trianglar. I denna kurs ska vi utvidga användning av sinus, cosinus och tangens till att beräkna areor och sidor i alla godtyckliga trianglar, alltså i vilken triangel som helst, även de som inte är rätvinkliga.
Det kommer vi göra med hjälp av det som fått namnet triangelsatserna. Vi kommer titta på areasatsen, sinussatsen och cosinussatsen.
I denna kurs kommer vi även introducera cirkelns ekvation och enhetscirkeln. Men mer om det i kommande lektioner. Först repeterar vi.
De trigonometriska samband i rätvinkliga trianglar som du behöver känna till är följande.
Trigonometriska samband
I triangeln nedan kallas $a$a motstående katet och $b$b för närliggande katet och $c$c för hypotenusan i förhållande till vinkel $v$v.
Då gäller att
$\sin v=$sinv= $\frac{a}{c}$ac
$\cos v=$cosv=$\frac{b}{c}$bc
$\tan v=$tanv=$\frac{a}{b}$ab
Utifrån dessa definitioner kan vi bestämma vinklar och längder i rätvinkliga trianglar.
Från vinkel till kvot
Beroende på vilken vinkel och sida som är känd på triangeln väljer du lämplig trigonometriskt samband för att bestämma en okänd sida.
Exempel 1
Bestäm längden av triangelns sida $x$x.
Ange med en decimals noggrannhet.
Lösning
Enligt definitionen för cosinus får vi att
$\cos36^{\circ}=$cos36∘= $\frac{5}{x}$5x Multiplicera med $x$x
$x\cdot\cos36^{\circ}=5$x·cos36∘=5 Dividera båda leden med $\cos36^{\circ}$cos36∘
$x=$x= $\frac{5}{\cos36^{\circ}}$5cos36∘ $\approx6,18\text{ }$≈6,18
Triangelns sida är $x=6,2$x=6,2 cm.
Från kvot till vinkel
Tidigare har vi även visat att du med hjälp av sinusinvers, cosinusinvers och tangensinvers kan bestämma en vinkel om du känner till två sidor i en rätvinklig triangel. Inverserna kan betecknas på två olika vis.
- Sinusinvers betecknas $\sin^{-1}$sin−1 eller $\arcsin$arcsin
- Cosinusinvers betecknas $\cos^{-1}$cos−1 eller $\arccos$arccos
- Tangensinvers betecknas $\tan^{-1}$tan−1 eller $\arctan$arctan
Även vid bestämmandet av en okänd vinkels storlek väljer du lämplig trigonometriskt samband utifrån vilka sidor som är kända på triangeln.
Följande samband gäller.
$\sin v=$sinv= $\frac{a}{c}$ac ger att $v=\sin^{-1}$v=sin−1 $\left(\frac{a}{c}\right)$(ac )
$\cos v=$cosv= $\frac{b}{c}$bc ger att $v=\cos^{-1}$v=cos−1 $\left(\frac{b}{c}\right)$(bc )
$\tan v=$tanv= $\frac{a}{b}$ab ger att $v=\tan^{-1}$v=tan−1 $\left(\frac{a}{b}\right)$(ab )
Vi visar nu hur man utifrån två sidor på en rätvinklig triangel kan bestämma en vinkel.
Exempel 2
Bestäm vinkeln $v$v.
Lösning
Vi ställer upp sambandet
$\tan v=$tanv= $\frac{7}{5}$75 Invers av tangens
$v=\tan^{-1}\left(\frac{7}{5}\right)\approx54,46^{\circ}$v=tan−1(75 )≈54,46∘
Utifrån dessa samband ska vi i kommande lektioner utvidga kunskapen till att kunna beräkna sambandet mellan triangelns area, sidor och vinklar.
Två speciella trianglar
Det finns två trianglar som genom tiderna fått en särskild uppmärksamhet när de gäller att göra trigonometriska beräkningar.
Det är en likbent triangel som motsvarar en halv kvadrat med sidan $1$1 samt den triangel som uppstår när man dela en liksidig triangel med sidan $2$2 på mitten.
För dessa båda kan teckna följande snygga exakta samband.
Halv kvadrat med sidan $1$1
Figuren ger de trigonometriska sambanden
$\sin45^{\circ}=$sin45∘= $\frac{1}{\sqrt{2}}$1√2
$\cos45^{\circ}=$cos45∘=$\frac{1}{\sqrt{2}}$1√2
$\tan45^{\circ}=1$tan45∘=1
Halv liksidig triangel med sidan $2$2
Figuren ger de trigonometriska sambanden
$\sin30^{\circ}=$sin30∘= $\frac{1}{2}$12
$\cos30^{\circ}=$cos30∘= $\frac{\sqrt{3}}{2}$√32
$\tan30^{\circ}=$tan30∘= $\frac{1}{\sqrt{3}}$1√3
$\sin60^{\circ}=$sin60∘= $\frac{\sqrt{3}}{2}$√32
$\cos60^{\circ}=$cos60∘= $\frac{1}{2}$12
$\tan60^{\circ}=\sqrt{3}$tan60∘=√3
Dessa samband finns i formelsamlingen och är kraftfulla att använda när man ska lösa ekvationer eller bestämma vinklar utan digitala hjälpmedel.
Exempel 3
Bestäm det exakta värdet av $\sin60^{\circ}+\cos30^{\circ}$sin60∘+cos30∘ utan räknare men med hjälp av följande figur.
Lösning
Vi läser av sambanden i figuren och får att
$\sin60^{\circ}+\cos30^{\circ}=$sin60∘+cos30∘= $\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2\cdot\sqrt{3}}{2}=$√32 +√32 =2·√32 = $\sqrt{3}$√3
Tänk på att du själv kan skapa trianglar och vinklar i figurer genom dra olika radier och räta linjer i de givna figurerna. På så sätt kan du lösa uppgifter som till en början verka olösbara.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (11)
-
1. Premium
Hur definieras sinus för vinkeln $v$v i en rätvinklig triangel?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Sin, cos och tanLiknande uppgifter: cos definitionen cosinus hypotenusa katet sin tan trigonometri trigonometriska sambandRättar... -
2. Premium
Bestäm den kvot som motsvarar värdet för $\sin v$sinv i triangeln nedan.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: cos hypotenusa katet motstående närliggande sin sinus tan trigonometriRättar...3. Premium
Lös ekvationen $\cos x=0,9$cosx=0,9
Ange svaret med en decimals noggrannhet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: arccos cos cosinus cosinusinversen trigonometri trigonometrisk ekvationRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Vilket alternativ anger rätt värde på $v$v ?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: arccos cosinus cosinusinversen definition trigonometri trigonometriska sambandRättar...5. Premium
Beräkna sidan $a$a i triangeln.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Sin, cos och tanLiknande uppgifter: cosinus Geometri Matematik 1 Matematik 2 trigonometri Trigonometri och Vektorer Vad är TrigonometriRättar...6. Premium
Beräkna vinkeln $v$v.
Svara med en decimals noggrannhet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Sin, cos och tanLiknande uppgifter: arcsinus okänd vinkel sinus sinusinversen trigonometriRättar...7. Premium
Beräkna vinkeln $v$v.
Svara med en decimals noggrannhet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: arctan okänd vinkel tangens tangens inversen trigonometriRättar...8. Premium
Beräkna kraften $\vec{F}$ då $\vec{F}_x=200$ N.
Avrunda till hela Newton.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: arcsinus okänd vinkel sinus sinusinversen trigonometriRättar...9. Premium
Bestäm tangens för vinkeln $v$v i en rätvinklig triangel, om dess närliggande katet har längden $5$5 och dess motstående katet har längden $15$15.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Sin, cos och tanLiknande uppgifter: Geometri tangens trigonometriRättar...10. Premium
Bestäm det exakta värdet av $\left(\sin45^{\circ}\right)^2+\tan45^{\circ}$(sin45∘)2+tan45∘ utan räknare men med hjälp av följande figur.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: trigonometri trigonometriska ekvationer trigonometriska sambandRättar...11. Premium
Bestäm det exakta värdet av $\cos60^{\circ}+\sin30^{\circ}$cos60∘+sin30∘ utan räknare men med hjälp av följande figur.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: trigonometri trigonometriska ekvationer trigonometriska sambandRättar...c-uppgifter (7)
-
12. Premium
Bestäm $\tan u$tanu då $\tan v=$tanv= $\frac{7}{11}$711
Ange exakt svar.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Sin, cos och tanLiknande uppgifter: Geometri tangens trigonometriRättar...13. Premium
I en rätvinklig triangel är $\sin v=$sinv=$\frac{\sqrt{3}}{2}$√32 . Bestäm $\cos v$cosv.
Ange exakt värde.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: cosinus rätvinklig triangel sinus trigonometriRättar...14. Premium
En liksidig triangel med sidan $6$6 l.e har delats på mitten till två lika dana räta trianglar.
Bestäm längden av den längsta kateten i de räta trianglarna.
Ange exakt värde.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: cosinus rätvinklig triangel sinus trigonometriRättar...15. Premium
Din vän påstår att i rätvinkliga trianglar gäller att $\cos v>\sin v$cosv>sinv för alla vinklar $v$v som är större än $45^{\circ}$45∘.
Håller du med?
Ange ditt svar med Ja eller Nej, men träna även på att motivera det.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Bevis cosinus sinus trigonometriRättar...16. Premium
Beräkna arean av en liksidig triangel med sidan $\sqrt{3}$√3 l.e.
Lös uppgiften utan räknare och svara exakt.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Geometri liksidig triangel trianglar trigonometriRättar...17. Premium
Triangeln $\bigtriangleup ABC$△ABC är likbent. Bestäm triangelns omkrets då $\tan x=1$tanx=1 och den längsta sidan på triangeln är $\sqrt{6}$√6 l.e.
Ange svaret med en decimals noggrannhet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Enkla Trigonometriska ekvationerLiknande uppgifter: Enkla Trigonometriska ekvationer Matematik 1 Trigonometri och VektorerRättar...18. Premium
Din vän bor i ett höghus och har gått ut på balkongen för att vinka till dig.
Du står $30$30 meter från foten av det hus där din vän bor och uppskattar därifrån vinkeln mellan marken och högsta punkten på höghuset till $53^{\circ}$53∘.
Din vän vet att hans balkong sitter på en höjd som motsvarar $\frac{7}{10}$710 av hela husets höjd.
Beräkna, utifrån de uppskattade värdena, hur stor vinkeln mellan marken och undersidan av balkongen är utifrån den plats du står på.
Ange svaret avrundat till hela grader.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Träna mera TrigonometriRättar...a-uppgifter (2)
-
19. Premium
Ni har fått i uppgift att bestämma längden på en tredje okänd sida i en triangel, där de två kända sidorna är $4$4 och $6$6 cm långa, och vinkeln motstående mot sidan $4$4 är $40^{\circ}$40∘.
Dina två vänner har fått olika resultat. Kan båda ha rätt?
Träna på att motivera ditt svar, men ange här endast svaret Ja eller Nej.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Cirkelns ekvationLiknande uppgifter: Geometri resonemang triangel med flera vinklarRättar...20. Premium
Din vän håller på att konstruera ett fönster med formen av en halvcirkel. Figuren visar en ritning av fönstret.
Bestäm längden $x$x.
Ange svaret i hela centimeter.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: problemlösning trigonometriRättar... -
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Redigera uppgift Stäng Lägg till uppgift Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Namnet måste vara 4-60 tecken långt. Rapportera fel Lektion
{[{lessonData.title}]}
Kategori
{[{reportType}]}
ID
{[{reportId}]}
Beskriv med minst 10 tecken. Byt kurs Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Köp Premium Avbryt Din skolas prenumeration har gått ut!Övningsuppgifter ej tillgängliga!Stäng Din skolas prenumeration har gått ut!Exempel i videon. 
Logga in
viaeller medGör om alla uppgifter All svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Radera Avbryt Genom att använda den här sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies. -
Eva Boström
Hej, svaret uppgift 17 står det
Definitionen för tangens är sinv = Hypotenusan Motsta˚ende katet och ger oss att…
Menar ni definitionen för sin eller också definitionen för tanges är a/b
eftersom just nu så verkar det som att definitionen inte är korrekt eller också titeln för definitionen är feltitulerad..
Eva Boström
Hej,
vad är basen i fråga 16? enligt den så är basen roten ur 3???
Leon Stenberg Wadstrom
Hej, på uppgift 16 förstår jag inte hur man omvandlar sin60 till roten ur 3 delat på 2.
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej Leon,
om du tittar i din formelsamling så får du hjälp med omvandlingen i tabellen.
DU kan även ta en till på figuren i texten här ovan och se att det är just definitionen av sin och förhållandet i en liksidig triangeln som ger detta.
Johan Hereora Hummerhielm
Varför kan inte uppgiften ta emot v = 64,2? Man ska väl inte behöva göra grader-tecknet? Det gå inte att göra det på min laptop eller stationära dator.
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej Johan,
du kan skriva ”grader” med bokstäver om du vill. Men det är som du undrar, systemet vill ha med ett gradtecken eller ordet ”grader” för att ge korrekt svar.
Man kan tycka att det är onödigt med i kommande kurser så kommer vi introducera ett nytt vinkel mått, radianer, och då är det avgörande om man skriver med gradtecknet eller ej. Därför vill vi redan nu påminna om viken av detta.
Om du inte vill skriva ut det kan du rätta uppgiften manuellt genom att klicka på FACIT och klicka i ”rätt svar” själv.
Hoppas du ska tycka det fungerar!
Hadar Herlin
Jag skriver rätt svar (det som facit skriver) men det blir endå fel
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Kan det vara att du glömmer skriva med x= ?
Om du klickar på FACIT och sedan Korrekta varianter så ser du alla olika varianter systemet ger rätt för.
Kontakta oss gärna igen om det fortfarande inte fungerar.
Erik Cairns
Finns flera svar på uppgift 4
Både cos(-x) och cos(x) är rätt.
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej Erik,
det stämmer. Men i denna kursen nöjer vi oss med den positiva roten och återkommer till det i Ma4
Alexander Y
enligt er
Alexander Y
hej det verkar vara fel på 3. 25,8° ska tydligen vara ett inkorrekt svar
Simon Strindberg
Uppgift 7. Är inte den motstående kateten 12,7 och närliggande 6,1?
Dvs vinkeln borde vara Tan(12,7/6,1)?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, tänk där på att vinkeln inte ligger nere till vänster som det ofta ser ut i tex formelblad och böcker.
Endast Premium-användare kan kommentera.