...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Prova för 9 kr Prova för 9 kr
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Problemlösning - Geometriska talföljder

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Exempel i videon

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Är du ny här? Så här funkar Premium
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
  • Morgan sparar $7000 \, kr$ per år med räntan $10 \, \%$. Hur mycket har han efter 4 år?
  • Morgan sparar $7000 \, kr$ per år med räntan $10 \, \%$. Hur mycket har han efter 25 år?

Formler och begrepp som används i video och övningar

Formeln för det n:te talet

$ a_n = a_1 \cdot k^{n-1} $

$ a_n $ är det n:te talet.
$ a_1 $ är det första talet i talföljden
k är kvoten

Summan för en geometrisk taljföljd

$ S_n = \frac{a_1(1-k^n)}{1-k} = \frac{a_1(k^n-1)}{k-1} $

$ S_n $ är summan av de n första talen i en geometrisk taljföljd.
$ a_1 $ är det första talet i talföljden
k är kvoten

Kommentarer

Marcelina Sakr

Hej! Skulle behöva hjälp med denna uppgift: Maja har lovat att betala 800 kr till kajakföreningen Salta stänk varje år under 5 år. Men hon vill istället betala ett engångsbelopp vid första inbetalningen. Hur mycket bör hon då betala om man räknar med räntesatsen 4,0 %? Hur går man tillväga… 🙁

Julia Ojeda Ottosson

Förstår inte alls hur jag ska göra om min fråga säger: Martin sparar 600 kr om året med 5 % ränta. Hur många år måste han spara för att det samlade startkapitalet ska bli 5000 kr?
Jag förstår absolut denna lektion men i mitt fall är det inte som i videon utan lite annorlunda. Ska jag räkna på samma sätt eller hur gör man?

Mvh Julia

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Julia
    Här skall du istället ställa upp en ekvation där du söker antalet insättningar som Martin behöver göra. Så du kan sätta $x=n$ och ställa upp ekvationen
    $\frac{600\left(1,05^n-1\right)}{1,05-1}=5000$
    Kommer du vidare utifrån detta?

Andreas Axelsson

Hur många kuber behövs för att skapa den 25:e figuren?

Från start har vi fyra figurer. a1=5, a2=13, a3=25 och a4=41.

Hur går jag tillväga för att hitta en formel?

Mvh

taggar: Matte 3b frågades 2016-06-03

    Andreas Axelsson

    n^2+n^2+2n+1 får jag fram. Är det en fullgod formel eller går den att skriva på ett bättre sätt?

      Simon Rybrand (Moderator)

      Hej
      Svårt att svara på utan att ha en figur, var ställs denna fråga?

Sanna Olsson

Hej, jag har fastnat på en uppgift och behöver hjälp.
Geometrisk talföljd gäller att a3=100 och a5=225. Beräkna summan s8. Hur går jag tillväga här? Är det rätt att k=1.5 eller måste jag tänka om även där?

    Simon Rybrand (Moderator)

    $k=1,5$ verkar stämma så $a_2=100/1,5$ och $a_1=(100/1,5)/1,5$. Då har du alla delar som du behöver för att beräkna summan av de åtta första talen.

Andrea Olsson

Hej Simon!
Dina genomgångar är jättebra. Jag använder mig av boken matematik 5000 och i kapitlet om geometrisk summa och linjär optimering i den ”inledande aktiviteten” så finns det inget facit. Men uppgiften är ”finn en formel för det n:te talet i talföljden: 2,5, 10, 17, 26..” Men jag kan inte lyckas klura ut ifall det är en aritmetisk, geometrisk eller fibonaccis talföljd för jag lyckas inte hitta något samband mellan talen i talföljden. Kan du hitta ett samband så jag kan räkna ut vad kvoten är så jag kan ställa upp en formel för detta?

Mvh
Andrea

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Differensen mellan talen ökar med 2 för varje tal, dvs skillnaden mellan de första två talen är 3, mellan tal två och tre är det 5 osv. Det är därför varken en geometrisk eller aritmetisk talföljd.
    Man skulle kunna skriva det det n:te talet som
    $a_n =a_{n-1}+2(n-1)+1=a_{n-1}+2n-1$
    Går det att förstå?

Oskar Jansson

hej jag har problem med ett tal där jag ska beräkna summan av de åtta första elementen i en geometrisk talföljd där a4= 108 och a8= 8748 och K>0
jag förstår inte ens hur jag ska börja räkna på detta?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Du kan här använda formeln för det n:te talet och ställa upp ekvationen:
    $ a_8 = a_4⋅k^4 ⇔ $
    $ 8748 = 108⋅k^4 ⇔ $
    $ k = \sqrt[4]{\frac{8748}{108}} = \sqrt[4]{81} = 3 $
    Då vet du k och du kan nu ta reda på $ a_1 $ genom formeln för det n:te talet (se texten här ovan).
    Sedan använder du formeln för att beräkna den geometriska talföljdens summa.
    Hoppas att detta hjälper dig vidare!

Emelie Hagsmyr

Måste bara tacka!
Har precis börjat läsa matte 3 på komvux, och jag förstår inte mycket när min lärare förklarar, samt att hon förväntar sig att man ska komma ihåg allt från matte 2, när jag gick ut gymnasiet för flera år sedan!

Hänger med direkt när du gör det, och matte blir enkelt haha!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Kul att höra att det hjälper dig, fortsatt lycka till med pluggandet!

vitti

Hej! förstod inte det där med förändringsfaktorn.
Hur fick du fram det?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, vilken uppgift (i video eller övningar) tänker du på? Förändringsfaktorn är ett sätt att beskriva procentuell förändring på ett mer effektivt vis när det gäller att beräkna hur saker ökar eller minskar.
    Om exempelvis ett pris ökar med 10 % då kan du får det nya priset genom att beräkna $ pris \cdot 1,1 $.
    Då är förändringsfaktorn 1,1.

Jacob Carlquist

Oj glöm kommentaren ovan, hade skrivit 65535 på miniräknaren. Ber om ursäkt om du läste ovan först.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Inget fara alls, kul att du gillar sajten och våra lektioner!

Jacob Carlquist

Tjena Simon! Det är helt otroligt hur användbara dessa videos är, hade inte trott det innan men jag är sjukt imponerad. Har hur som helst en fråga på en uppgift som lyder som följer:
Hur många element innehåller en geometrisk talföljd som har första element 5, kvoten 4 och summan 109225?
Kommer fram till:
x lg 4 = lg 65536
x = 7.99999, Svaret är ju 8 element och mitt svar är väl relativt nära men jag trodde att jag skulle komma fram till det exakta svaret om jag gör rätt. Finns det någon enkel logisk förklaring till varför jag inte kommer fram till det exakta svaret, jag tänker eftersom en talföljd aldrig har ungefär 8 tal i sig utan exakt 8 tal?

nti_ma3

Har problem med en uppgift: ”bestäm summan av de 10 första elementen i den geometriska talföljd där det första elementet är 2x/5 och det fjärde är 2x/54, (ska vara en liten 4, alltså 5 upphöjt i 4)

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej,
    Det kanske kan vara så att kvoten då är $\frac15$ då det fjärde talet är $\frac{2x}{5^4}$. Dvs du får hela tiden nästa tal genom att multiplicera föregående tal med $\frac15$. Då kan du ställa upp summan enligt:

    $S_{10} = \frac{\frac{2x}{5}((\frac15)^{10}-1)}{\frac{1}{5}-1}$

AndreasSvensson

Borde inte Morgan i ex. 1 ha 43960kr och inte 43957kr efter 4 år?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, det kan ha att göra lite med hur man avrundar i beräkningen. När jag testar den igen här så får jag
    43956,72 ≈ 43957

anla2099

I Nationella provet från vt 2002 står det i fråga 3 att det i formeln ska vara ”kvoten – 1”, och inte ”1 – kvoten”. Vad är rätt? Eller är det samma sak?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, det är samma sak. Viktigt är dock att du noterar att det är olika i både nämnare och täljare i formlerna.

anla2099

Hej, hur kommer det sig att det är 26 insättningar på 25 år? Eller ska man bara acceptera att det alltid är en till utöver den angivna tidsperioden, exempelvis att det på 5 år är 6 insättningar, 8 år är 9 insättningar etc?

Grym sida förövrigt!!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, det beror på att du gör en insättning år 0 och även det 25:e året.

    Dvs om du gör insättningar år 0, 1, 2, …, 25 så kommer du att totalt sett göra 26 st. insättningar.

      Henrik Appelblom

      Det är väldigt ologiskt för mig att det blir fem insättningar i exemplet i videon. Om år 1 består av dag 1-365, år 2: dag 366-730, år 3: dag 731-1095, år 4: dag 1096-1460. Vilka dagar gör man insättningarna i exemplet i videon med Morgan? Hur jag än vrider och vänder på det så blir det 2 dagar under något av åren som man måste göra 2 insättningar för att få ihop det till fem insättningar? Ditt svar med år 0 ovan gör mig förvirrad, kan du förklara med en verklighetsförankring, typ, Morgan går till banken och gör den första insättningen…Tack för en grymt bra sida, var fanns ni när jag gick i gymnasiet på slutet av 90-talet? 🙂

        Simon Rybrand (Moderator)

        Är det enklare att förstå om man tänker så här:
        Det sista året man gör en insättning görs bara en insättning den första dagen det året och sedan mäts ”rikedomarna”. Därmed kommer det med en sista femte insättning det året.

          Henrik Appelblom

          Ok, jag överför det till min tidslinje ovanför: Om år 1 består av dag 1-365, år 2: dag 366-730, år 3: dag 731-1095, år 4: dag 1096-1460. Det du/formeln säger är därmed att man gör den första insättningen dag 1, den andra dag 366, den tredje dag 731, den fjärde dag 1096 och den femte första dagen det femte året, dvs dag 1461? Det betyder alltså följande: eftersom vi bara är en dag ifrån att hinna med en till insättning så får vi en bonusdag på oss att göra en femte insättning? Har jag förstått det på rätt sätt?

          Henrik Appelblom

          Kunde inte sluta grubbla på det här. I verkligheten gör man enligt mig 4 insättningar i Morganexemplet, så som det är formulerat i videon, låt mig förklara hur jag tänker. Hela räntan får man på insättningen när året har gått. Då blir den geometriska talföljden A1=7200*1,1(räntan då ett år har gått) + A2=7200*1,1^2 (räntan då två år har gått) + A3=7200*1,1^3 (räntan då tre år har gått) + A4=7200*1,1^4 (räntan då fyra år har gått). Om A1 är 7200 som i videon betyder det ju i praktiken att man inte får någon ränta för den insättningen. Om det ska bli logiskt och verklighetsförankrat behöver frågan omformuleras tycker jag, annars skapar det förvirring, precis som för mig och andra. Mitt förslag är följande: Morgan sätter in 7200kr i början av varje år under fem år. Den årliga räntan är 10%. Hur mycket pengar har han precis efter den femte insättningen? (I Exponent 5 uppgift 2067 kan du se ett exempel på en sådan formulering.)

            Simon Rybrand (Moderator)

            När uppgifter kring geometriska talföljder formuleras så är det lätt att vara otydlig, det är därför det ofta står att man ”mäter” summan den första dagen (efter sista insättningen) så att man är exakt med antalet insättningar. Verkligheten är förstås mycket mera komplex än ett sådan här matematikuppgift.

Jonte

Om man inte får reda på kvoten i uppgiften. Hur räknar man då ut den? (kvoten alltså)

    Simon Rybrand (Moderator)

    Det blir som att ställa upp och lösa en vanlig ekvation. Jag antar att du har fått summan för talföljden i problembeskrivningen så då skall du helt enkelt kunna lösa ut kvoten. Om du har problem med en specifik uppgift så går det bra att posta den i vår QnA (se länk i sidopanel).

MrMarcus

Hej Simon!
Vill bara tacka för fina genomgångar. Lyckades kamma hem ett MVG ikväll på min distans kurs. Ska varmt rekommendera Matematikvideo till vänner och bekanta!
Mvh
//Marcus.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Marcus och stort Grattis!
    Kul att höra att det gick så bra! Lycka till i fortsättningen. /Simon

FilMY

Men vart finns förklaringar till talföljder och aritmetisk talföljd samt summa. Det är en viktig del av kapitlet i matteboken och här är det endast om geometrisk summa…. Man behöver ju förklaringar på dem andra också!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Filmy, I kursplanen till matematik c står följande: ”kunna använda matematiska modeller av olika slag, däribland även sådana som bygger på summan av en geometrisk talföljd”.

    Dvs egentligen är det bara geometriska talföljders summa som du behöver kunna i den här kursen och inte den aritmetiska summan. Men visst kan vi lägga till någon uppgift där vi även jobbar med den aritmetiska talföljdens summa.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (3)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M1
    R
    K

      

    Om du satte in $2000$2000 kr på ett sparkonto i slutet av $2017$2017 och fortsätter göra en ny insättning i slutet av varje år fram till och med år $2025$2025. Hur mycket pengar kommer du då att ha på ditt konto omedelbart efter den sista insättningen?

    Svara i hela kronor.

    Räkna med en årlig ränta på $1,2$1,2 % och avrunda till hela kronor.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    Bestäm det $15$15 :e talet i den geometriska talföljden  $3,9,27,…$3,9,27,… .

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K


    Per-Albin sparar $5000$5000 kronor varje år på ett bankkonto med räntan $2\%$2%.

    Hur mycket har han på kontot efter tio insättningar?

    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Premium
    • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
    • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

c-uppgifter (3)

  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P
    PL1
    M
    R
    K

    Mellan januari år $2002$ och januari år $2010$ sparade Yvonne $12\,000$ kronor varje år på ett bankkonto med räntan $3,2$ %. Hur mycket fick hon ihop under perioden?

    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (0/3/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    Enligt legenden lovade den Persiske kungen att schackspelets uppfinnare fick begära vad han ville som belöning för sitt underbara spel.

    När kungen hörde hans begäran tyckte han till en början att det lät som en blygsam önskan. Uppfinnaren bad nämligen om, att få ett riskorn för schackbrädets första ruta, två riskorn för den andra rutan, fyra för den tredje, åtta för den fjärde och så vidare. Kungen sa genast ja utan en närmre eftertanke.

    Nu är din uppgift att beräkna, hur mycket säd uppfinnaren egentligen bad om att få i ersättning.

    Schackbrädet har $64$64 rutor. Vi räknar med att $100\text{ }000$100 000 korn väger ungefär $3$3 kg. på senare tid motsvarar den genomsnittliga världsproduktionen varje år uppskattningsvis $2$2 miljarder ton säd.

    Hur många år tar det innan man lyckats producera all den säd uppfinnaren begärde?

    Avrunda till en värdesiffra.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (0/4/0)
    ECA
    B
    P
    PL3
    M
    R
    K1

    Din vän tog ett lån på $800\text{ }000$800 000 kronor i början av januari  $2015$2015. Beloppet ska vara återbetalt i början av januari år $2023$2023. Lånet är ett annuitetslån och ska alltså återbetalas med lika stora belopp en gång om året, varje år tills allt är återbetalt.

    Den första annuiteten ska betalas i början av januari $2016$2016. Hur stor är annuiteterna, om räntesatsen är $5,2\%$5,2% hela perioden?

    Ange svaret i hela kronor.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/3)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M1
    R
    K

     $x-8$x8 ,  $x$x och  $2x+12$2x+12  är tre på varandra följande tal i en geometrisk talföljd.

    Vilka är talen?

    Ange talen i storleksordning med kommatecken emellan.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Premium
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.