Problemlösning - Geometriska talföljder – Matematikvideo

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 3 B

Problemlösning – Geometriska talföljder

Video

Video, text & övningsfrågor av: Simon Rybrand

I den här videon tittar vi på några olika typer av exempel där vi använder oss av geometriska talföljders summa. Bland annat två problem med tillämpning inom ekonomi.

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM


  • 500+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
  • 3500+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
PROVA FÖR 9 KR
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.
12 votes, average: 4,25 out of 512 votes, average: 4,25 out of 512 votes, average: 4,25 out of 512 votes, average: 4,25 out of 512 votes, average: 4,25 out of 5
12
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

7
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
MEDELPOÄNG
ALLA
4

Text

Exempel i videon

  • Morgan sparar $7000 \, kr$ per år med räntan $10 \, \%$. Hur mycket har han efter 4 år?
  • Morgan sparar $7000 \, kr$ per år med räntan $10 \, \%$. Hur mycket har han efter 25 år?

Formler och begrepp som används i video och övningar

Formeln för det n:te talet

$ a_n = a_1 \cdot k^{n-1} $

$ a_n $ är det n:te talet.
$ a_1 $ är det första talet i talföljden
k är kvoten

Summan för en geometrisk taljföljd

$ S_n = \frac{a_1(1-k^n)}{1-k} = \frac{a_1(k^n-1)}{k-1} $

$ S_n $ är summan av de n första talen i en geometrisk taljföljd.
$ a_1 $ är det första talet i talföljden
k är kvoten

Kommentarer

  1. Men vart finns förklaringar till talföljder och aritmetisk talföljd samt summa. Det är en viktig del av kapitlet i matteboken och här är det endast om geometrisk summa…. Man behöver ju förklaringar på dem andra också!

    FilMY
    1. Hej Filmy, I kursplanen till matematik c står följande: ”kunna använda matematiska modeller av olika slag, däribland även sådana som bygger på summan av en geometrisk talföljd”.

      Dvs egentligen är det bara geometriska talföljders summa som du behöver kunna i den här kursen och inte den aritmetiska summan. Men visst kan vi lägga till någon uppgift där vi även jobbar med den aritmetiska talföljdens summa.

      Simon Rybrand
  2. Hej Simon!
    Vill bara tacka för fina genomgångar. Lyckades kamma hem ett MVG ikväll på min distans kurs. Ska varmt rekommendera Matematikvideo till vänner och bekanta!
    Mvh
    //Marcus.

    MrMarcus
    1. Hej Marcus och stort Grattis!
      Kul att höra att det gick så bra! Lycka till i fortsättningen. /Simon

      Simon Rybrand
  3. Om man inte får reda på kvoten i uppgiften. Hur räknar man då ut den? (kvoten alltså)

    Jonte
    1. Det blir som att ställa upp och lösa en vanlig ekvation. Jag antar att du har fått summan för talföljden i problembeskrivningen så då skall du helt enkelt kunna lösa ut kvoten. Om du har problem med en specifik uppgift så går det bra att posta den i vår QnA (se länk i sidopanel).

      Simon Rybrand
  4. Hej, hur kommer det sig att det är 26 insättningar på 25 år? Eller ska man bara acceptera att det alltid är en till utöver den angivna tidsperioden, exempelvis att det på 5 år är 6 insättningar, 8 år är 9 insättningar etc?

    Grym sida förövrigt!!

    anla2099
    1. Hej, det beror på att du gör en insättning år 0 och även det 25:e året.

      Dvs om du gör insättningar år 0, 1, 2, …, 25 så kommer du att totalt sett göra 26 st. insättningar.

      Simon Rybrand
      1. Det är väldigt ologiskt för mig att det blir fem insättningar i exemplet i videon. Om år 1 består av dag 1-365, år 2: dag 366-730, år 3: dag 731-1095, år 4: dag 1096-1460. Vilka dagar gör man insättningarna i exemplet i videon med Morgan? Hur jag än vrider och vänder på det så blir det 2 dagar under något av åren som man måste göra 2 insättningar för att få ihop det till fem insättningar? Ditt svar med år 0 ovan gör mig förvirrad, kan du förklara med en verklighetsförankring, typ, Morgan går till banken och gör den första insättningen…Tack för en grymt bra sida, var fanns ni när jag gick i gymnasiet på slutet av 90-talet? 🙂

        Henrik Appelblom
        1. Är det enklare att förstå om man tänker så här:
          Det sista året man gör en insättning görs bara en insättning den första dagen det året och sedan mäts ”rikedomarna”. Därmed kommer det med en sista femte insättning det året.

          Simon Rybrand
          1. Ok, jag överför det till min tidslinje ovanför: Om år 1 består av dag 1-365, år 2: dag 366-730, år 3: dag 731-1095, år 4: dag 1096-1460. Det du/formeln säger är därmed att man gör den första insättningen dag 1, den andra dag 366, den tredje dag 731, den fjärde dag 1096 och den femte första dagen det femte året, dvs dag 1461? Det betyder alltså följande: eftersom vi bara är en dag ifrån att hinna med en till insättning så får vi en bonusdag på oss att göra en femte insättning? Har jag förstått det på rätt sätt?

            Henrik Appelblom
          2. Kunde inte sluta grubbla på det här. I verkligheten gör man enligt mig 4 insättningar i Morganexemplet, så som det är formulerat i videon, låt mig förklara hur jag tänker. Hela räntan får man på insättningen när året har gått. Då blir den geometriska talföljden A1=7200*1,1(räntan då ett år har gått) + A2=7200*1,1^2 (räntan då två år har gått) + A3=7200*1,1^3 (räntan då tre år har gått) + A4=7200*1,1^4 (räntan då fyra år har gått). Om A1 är 7200 som i videon betyder det ju i praktiken att man inte får någon ränta för den insättningen. Om det ska bli logiskt och verklighetsförankrat behöver frågan omformuleras tycker jag, annars skapar det förvirring, precis som för mig och andra. Mitt förslag är följande: Morgan sätter in 7200kr i början av varje år under fem år. Den årliga räntan är 10%. Hur mycket pengar har han precis efter den femte insättningen? (I Exponent 5 uppgift 2067 kan du se ett exempel på en sådan formulering.)

            Henrik Appelblom
          3. När uppgifter kring geometriska talföljder formuleras så är det lätt att vara otydlig, det är därför det ofta står att man ”mäter” summan den första dagen (efter sista insättningen) så att man är exakt med antalet insättningar. Verkligheten är förstås mycket mera komplex än ett sådan här matematikuppgift.

            Simon Rybrand
  5. I Nationella provet från vt 2002 står det i fråga 3 att det i formeln ska vara ”kvoten – 1”, och inte ”1 – kvoten”. Vad är rätt? Eller är det samma sak?

    anla2099
    1. Hej, det är samma sak. Viktigt är dock att du noterar att det är olika i både nämnare och täljare i formlerna.

      Simon Rybrand
  6. Borde inte Morgan i ex. 1 ha 43960kr och inte 43957kr efter 4 år?

    AndreasSvensson
    1. Hej, det kan ha att göra lite med hur man avrundar i beräkningen. När jag testar den igen här så får jag
      43956,72 ≈ 43957

      Simon Rybrand
  7. Har problem med en uppgift: ”bestäm summan av de 10 första elementen i den geometriska talföljd där det första elementet är 2x/5 och det fjärde är 2x/54, (ska vara en liten 4, alltså 5 upphöjt i 4)

    nti_ma3
    1. Hej,
      Det kanske kan vara så att kvoten då är $\frac15$ då det fjärde talet är $\frac{2x}{5^4}$. Dvs du får hela tiden nästa tal genom att multiplicera föregående tal med $\frac15$. Då kan du ställa upp summan enligt:

      $S_{10} = \frac{\frac{2x}{5}((\frac15)^{10}-1)}{\frac{1}{5}-1}$

      Simon Rybrand
  8. Tjena Simon! Det är helt otroligt hur användbara dessa videos är, hade inte trott det innan men jag är sjukt imponerad. Har hur som helst en fråga på en uppgift som lyder som följer:
    Hur många element innehåller en geometrisk talföljd som har första element 5, kvoten 4 och summan 109225?
    Kommer fram till:
    x lg 4 = lg 65536
    x = 7.99999, Svaret är ju 8 element och mitt svar är väl relativt nära men jag trodde att jag skulle komma fram till det exakta svaret om jag gör rätt. Finns det någon enkel logisk förklaring till varför jag inte kommer fram till det exakta svaret, jag tänker eftersom en talföljd aldrig har ungefär 8 tal i sig utan exakt 8 tal?

    Jacob Carlquist
  9. Oj glöm kommentaren ovan, hade skrivit 65535 på miniräknaren. Ber om ursäkt om du läste ovan först.

    Jacob Carlquist
    1. Hej
      Inget fara alls, kul att du gillar sajten och våra lektioner!

      Simon Rybrand
  10. Hej! förstod inte det där med förändringsfaktorn.
    Hur fick du fram det?

    vitti
    1. Hej, vilken uppgift (i video eller övningar) tänker du på? Förändringsfaktorn är ett sätt att beskriva procentuell förändring på ett mer effektivt vis när det gäller att beräkna hur saker ökar eller minskar.
      Om exempelvis ett pris ökar med 10 % då kan du får det nya priset genom att beräkna $ pris \cdot 1,1 $.
      Då är förändringsfaktorn 1,1.

      Simon Rybrand
  11. Måste bara tacka!
    Har precis börjat läsa matte 3 på komvux, och jag förstår inte mycket när min lärare förklarar, samt att hon förväntar sig att man ska komma ihåg allt från matte 2, när jag gick ut gymnasiet för flera år sedan!

    Hänger med direkt när du gör det, och matte blir enkelt haha!

    Emelie Hagsmyr
    1. Kul att höra att det hjälper dig, fortsatt lycka till med pluggandet!

      Simon Rybrand
  12. hej jag har problem med ett tal där jag ska beräkna summan av de åtta första elementen i en geometrisk talföljd där a4= 108 och a8= 8748 och K>0
    jag förstår inte ens hur jag ska börja räkna på detta?

    Oskar Jansson
    1. Du kan här använda formeln för det n:te talet och ställa upp ekvationen:
      $ a_8 = a_4⋅k^4 ⇔ $
      $ 8748 = 108⋅k^4 ⇔ $
      $ k = \sqrt[4]{\frac{8748}{108}} = \sqrt[4]{81} = 3 $
      Då vet du k och du kan nu ta reda på $ a_1 $ genom formeln för det n:te talet (se texten här ovan).
      Sedan använder du formeln för att beräkna den geometriska talföljdens summa.
      Hoppas att detta hjälper dig vidare!

      Simon Rybrand
  13. Hej Simon!
    Dina genomgångar är jättebra. Jag använder mig av boken matematik 5000 och i kapitlet om geometrisk summa och linjär optimering i den ”inledande aktiviteten” så finns det inget facit. Men uppgiften är ”finn en formel för det n:te talet i talföljden: 2,5, 10, 17, 26..” Men jag kan inte lyckas klura ut ifall det är en aritmetisk, geometrisk eller fibonaccis talföljd för jag lyckas inte hitta något samband mellan talen i talföljden. Kan du hitta ett samband så jag kan räkna ut vad kvoten är så jag kan ställa upp en formel för detta?

    Mvh
    Andrea

    Andrea Olsson
    1. Hej
      Differensen mellan talen ökar med 2 för varje tal, dvs skillnaden mellan de första två talen är 3, mellan tal två och tre är det 5 osv. Det är därför varken en geometrisk eller aritmetisk talföljd.
      Man skulle kunna skriva det det n:te talet som
      $a_n =a_{n-1}+2(n-1)+1=a_{n-1}+2n-1$
      Går det att förstå?

      Simon Rybrand
  14. Hej,
    Kan ni inte lägga ut en video på hur man räknar med summantecknet när man beräknar den geometriska summan? (Se Matematik origo 3b s.217)

    Vänligen Sonia

    sonia
    1. Hej
      Vi skall ta med oss detta i framtida utveckling, tack för att du tyckte till! Om det är något som du vill ha hjälp med direkt så går det också bra att ställa frågor i vårt forum.

      Simon Rybrand
  15. Hej, jag har fastnat på en uppgift och behöver hjälp.
    Geometrisk talföljd gäller att a3=100 och a5=225. Beräkna summan s8. Hur går jag tillväga här? Är det rätt att k=1.5 eller måste jag tänka om även där?

    Sanna Olsson
    1. $k=1,5$ verkar stämma så $a_2=100/1,5$ och $a_1=(100/1,5)/1,5$. Då har du alla delar som du behöver för att beräkna summan av de åtta första talen.

      Simon Rybrand
  16. Hur många kuber behövs för att skapa den 25:e figuren?

    Från start har vi fyra figurer. a1=5, a2=13, a3=25 och a4=41.

    Hur går jag tillväga för att hitta en formel?

    Mvh

    taggar: Matte 3b frågades 2016-06-03

    Andreas Axelsson
    1. n^2+n^2+2n+1 får jag fram. Är det en fullgod formel eller går den att skriva på ett bättre sätt?

      Andreas Axelsson
      1. Hej
        Svårt att svara på utan att ha en figur, var ställs denna fråga?

        Simon Rybrand
  17. Förstår inte alls hur jag ska göra om min fråga säger: Martin sparar 600 kr om året med 5 % ränta. Hur många år måste han spara för att det samlade startkapitalet ska bli 5000 kr?
    Jag förstår absolut denna lektion men i mitt fall är det inte som i videon utan lite annorlunda. Ska jag räkna på samma sätt eller hur gör man?

    Mvh Julia

    Julia Ojeda Ottosson
    1. Hej Julia
      Här skall du istället ställa upp en ekvation där du söker antalet insättningar som Martin behöver göra. Så du kan sätta $x=n$ och ställa upp ekvationen
      $\frac{600\left(1,05^n-1\right)}{1,05-1}=5000$
      Kommer du vidare utifrån detta?

      Simon Rybrand
  18. Hej! Skulle behöva hjälp med denna uppgift: Maja har lovat att betala 800 kr till kajakföreningen Salta stänk varje år under 5 år. Men hon vill istället betala ett engångsbelopp vid första inbetalningen. Hur mycket bör hon då betala om man räknar med räntesatsen 4,0 %? Hur går man tillväga… 🙁

    Marcelina Sakr

Kommentarer är inaktiverade. Logga in för att felrapportera.

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: