...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Primitiva Funktioner med villkor

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand Anna Karp
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Den primitiva funktionen och konstanten C 

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

När man ska bestämma alla, eller som man brukar säga, samtliga primitiv funktion till en given funktion lägger man till en konstant. Ofta betecknas den med bokstaven $C$C i samband med primitiva funktioner. 

Konstanten C och primitiva funktioner

Derivatan av en konstant är alltid lika med noll. Därför, när vi söker samtliga primitiva funktioner, lägger vi alltid till en konstant $C$C. Detta eftersom att vi när vi deriverar $F\left(x\right)$F(x), alltid kommer få $f\left(x\right)$ƒ (x) oavsett värdet på konstanten, eftersom att den försvinner vid derivering.

Primitiva funktioner

Man skiljer alltså på uppgiften att ta fram en primitiv funktion, där konstanten  $C$C  ges ett värde, och på samtliga primitiva funktioner, där du behåller variabeln  $C$C som konstant. Det är dock bra att lägga till sig vanan att alltid sätta dit ett $C$C, så att du slipper avdrag när du missar den.

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Hur påverkar en konstant grafen?

En konstant förskjuter grafen i höjdled uppåt och nedåt. Ingenting i sidled. Eftersom att derivatan motsvarar tangentens lutning i en punkt kommer derivatan vara identisk eftersom att tangentens lutning är den samma oavsett om hela kurvan förskjuts uppåt eller neråt.

Förskjutning av kurva i höjdled

Det är därför de funktioner som beskrivs av uttryck som är lika, förutom med en skillnad på kontanttermen, har samma derivata. Det i sin tur leder till att vi får samtliga primitiva funktioner genom att lägga till en konstant  $C$C i uttrycket.

Vad är ett villkor?

Ett villkor är något som ska gälla. I samband med primitiva funktioner handlar det ofta om att du ska bestämma konstanten $C$C så att funktionen går i genom en given punkt eller har någon tangent med en bestämt lutning i en punkt.

Metod för att ta fram primitiva funktion med villkor

Idén med att beräkna primitiva funktioner med villkor är att bestämma konstanten  $C$C. Detta kan vara en metod att följa.

  1. Ta fram en primitiv funktion.
  2. Lägg till en konstant $C$C.
  3. Använd villkoret för ställa upp en ekvation för att bestämma konstanten.
  4. Ange den fullständiga primitiva funktionen med den beräknade konstanten.

Exempel 1

Bestäm $F\left(x\right)$F(x) då  $f(x)=2x$ƒ (x)=2x  och  $F\left(2\right)=3$F(2)=3 

Lösning:

Enligt regeln ska vi addera exponenten med ett och sedan dividera med den nya exponenten. Till sist adderar vi en konstant. Vi får att den primitiva funktionen är

 $F(x)=x^2+C$F(x)=x2+C 

Vi sätter nu in villkoret  $F\left(2\right)=3$F(2)=3 för att bestämma  $C$C.

 $3=2^2+C$3=22+C 
 $3=4+C$3=4+C 
 $C=-1$C=1 

Vår sökta funktion är  $F\left(x\right)=x^2-1$F(x)=x21 

Exempel 2

Bestäm $F\left(x\right)$F(x) då $f(x)=3x^2$ƒ (x)=3x2 och $F\left(2\right)=10$F(2)=10 

Lösning:

Vi börjar med att bestämma samtliga primitiva funktioner.

  $F(x)=x^3+C$F(x)=x3+C 

Genom att sätta in punkten $\left(2,\text{ }10\right)$(2, 10) i uttrycket kan vi bestämma  $C$C.

 $10=2^3+C$10=23+C 
 $10=8+C$10=8+C 
 $C=2$C=2 

Den primitiva funktion $F\left(x\right)$F(x) som uppfyller villkoret $F\left(2\right)=10$F(2)=10  är $F\left(x\right)=x^3+2$F(x)=x3+2 

I kommande lektioner ska vi använda oss av dessa primitiva funktioner för att bestämma areor under kurvor. Dessa areor motsvarar olika saker i tillämpningen, tex hur långt en bil kört eller hur mycket man tjänat under en viss tidsperiod. Men mer om detta i kommande lektioner.

Exempel i videon

  • Bestäm den primitiva funktion till $ f(x)=2x^2+2 $ som uppfyller villkoret att $ F(1)=10 $.
  • Bestäm den primitiva funktionen till $ f(x)=sinx+3cosx $ som uppfyller villkoret att $F(0)=\pi$.

Kommentarer

Simon Rajak

Hej!
Jag har en fråga angående fråga 9?
Ni får att C = -8
Men hur det möjligt?
8 = 32 + C
C = -24
Den primitiva funktion skall väll vara?
F(x) = 2x^4-24
Eller har jag fel?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Definitivt fel i slutet av den uträkningen, vi ordnar detta. Tack för att du sade till!

Rasmus Mononen

Uppgift 5 och uppgift 8:

Svaret i uppgift 5 står idag som f(x), men det är en primitiv funktion som söks, och i genomgång skrivs primitiv funktion som F(x). Sen får man fel om man skriver x^1/2 istället för rotenurx.

I uppgift 8 är funktionen v(2)=25 given, men i funktionen är siffran 5 instoppad, vilket ger -85 istället för -7 som man får om man stoppar in siffran 2 i funktionen.

// Rasmus

Henning Wennberg

Hej, har fastnat på två uppgifter som jag hoppas ni kan hjälpa mig med.

1.Bestäm den primitiva funktionen F(x) till f(x)= (2x+1/2)^2?

2 .Bestäm den primitiva funktion F(x) till f (x) = 2 − e^-x som uppfyller villkoret F(0) = −1.

Tack på förhand!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, kan dessa tips hjälpa dig vidare?
    1. Utveckla först kvadraten, dvs räkna ut vad du får när du har upphöjt till 2.
    2. Den primitiva funktion är $ F(x)=2x+e^{-x} $ och lös sedan ekvationen $ F(0)=-1 $

sofia_becklund@hotmail.com

Men vart kommer fyran ifrån i 4+C= 10?
Haha fattar inte 🙂
Och vad menar du med ”det andra villkoret”?

Mvh

    Pedro Veenekamp

    Villkoret säger att f(2)=10m då sätter vi x=2 i funktionen f(x)=2x+C

    Alltså f(2)=2*2+C=4+C som blir då 10 -> 10= 4+C

    Andra villkoret är att primitiva funktionen av f(x) som representeras F(x) är lika med 20 när x=5 -> F(5)=20

sofia_becklund@hotmail.com

Hej!
Jag har fastnat på en uppgift som ser ut såhär:
Om en funktion f vet man följande: f´(x)=2, f(2)= 10 och F(5)=20. Bestäm F.
Hur ska jag bestämma F?

Mvh

    Simon Rybrand (Moderator)

    Eftersom att du vet derivatan så kan du ta primitiv funktion och få fram att
    $ f(x)=2x+C ⇔$
    Använd nu villkoret att f(2)=10 och ställ upp ekvationen
    $ 4+C=10 ⇔$
    $ C=6 $
    Då får vi att $ f(x)= 2x+6$
    Sedan tar du primitiv funktion på detta igen och använder det andra villkoret, säg till om du behöver mer hjälp med detta.

Simon Lundblad Roth

Hej, har problem med denna. Skulle jag kunna få lite vägledning.

Bestäm den primitiva funktion F(x) till funktionen f(x)=x+x^3/3, som uppfyller villkoret F(-1)=1

    Simon Rybrand (Moderator)

    Primitiv funktion:
    $f\left(x\right)={x}+{\frac{x^{3}}{3}}$
    $F\left({{x}}\right)={{\frac{x^{2}}{2}}+{\frac{x^{4}}{12}}}+{C}$

    Ta reda på konstanten C
    $F\left({{-1}}\right)=1 ⇔$
    ${{\frac{1}{2}}+{\frac{1}{12}}}+{C}=1⇔$
    ${{\frac{6}{12}}+{\frac{1}{12}}}+{C}=1⇔$
    ${\frac{7}{12}}+{C}=1$
    $C={1}-{\frac{7}{12}}={\frac{12}{12}}-{\frac{7}{12}}=\frac{5}{12}$

    Den primitiva funktionen blir
    $F\left({{X}}\right)={{\frac{x^{2}}{2}}+{\frac{x^{4}}{12}}}+{\frac{5}{12}}$

Gitte Timan

Exemplen med primitiva funktionen till sinx och cosx hör inte hemma i Ma3c

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, vi skall kika på att plocka bort trigonometriska funktioner ur denna video, det är en kvarleva från Matematik D.

yussuf

Bra video, men sista exemplet är inte uppdaterat med trean så det blir F(x)= – cos x + 3 sin x + pi +1. Jag fastnade lite och funderade på detta så därför detta påpekande:)

    Simon Rybrand (Moderator)

    Bra att du sade till, vi har missat detta! Videon är uppdaterad och förnyad.

nti_ma3

Hej varför blir det F(x)= -cos x + sin x + pi + 1, borde det inte var 3 sin x, eftersom f(x)=sin x + 3 cos x?

MvH Fredrik

    nti_ma3

    Nu var jag otydlig, menar alltså F(x)= – cos x + 3 sin x + pi +1.

      Simon Rybrand (Moderator)

      Hej, jepp det stämmer som du säger, vi har missat att ta med 3:an där i slutet. Vi uppdaterar videon så fort som möjligt. Tack för att du påpekade detta!

Cressell

Hej,
på testa dig själv-delen undrar jag varför primitiva funktionen av sin(2x) blir -cos 2x/2 och inte bara -cos2x? Varför ska man även dela det med konstanten framför variabeln, ifall det finns en sådan?

    Cressell

    Hittade svaret när jag såg videon om Kedjeregeln 🙂

      Simon Rybrand (Moderator)

      Bra att höra! 🙂

soulpat

03:40 in i videon. Blir inte -cos(pi)=1? Det står -1 i videon.
Jag tänker såhär: -(-1)=1

    soulpat

    Nu tänkte jag helt fel. Glöm min fråga 🙂

BE

Hej! Jag undrar vart 3an framför sin försvinner?
/ BE

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej BE, om det är från uppgiften i videon som du ställer frågan så försvinner trean framför sinus genom att sin0 = 0. Dvs för att när du multiplicerar 3 med 0 så får du 0. Var det så du menade?

      BE

      Alright, nu hänger jag med! Tack! 🙂


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (6)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilket värde på $C$C uppfyller villkoret att  $F(3)=7$F(3)=7  då  $F(x)=x^2+C$F(x)=x2+C ?

    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm den primitiva funktion till  $f(x)=2x+3x^2$ƒ (x)=2x+3x2 som uppfyller villkoret att  $F(1)=-2$F(1)=2

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilket värde på $C$C uppfyller villkoret att  $F\left(0\right)=$F(0)= $\frac{5}{4}$54   då  $F(x)=e^x+C$F(x)=ex+C?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm den primitiva funktion till  $f(x)=e^{2x}$ƒ (x)=e2x  som uppfyller villkoret  $F(0)=10$F(0)=10 

    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm den primitiva funktion till  $f(x)=$ƒ (x)=$\frac{4}{\sqrt{x}}$4x   som uppfyller villkoret  $F(4)=16$F(4)=16 

    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (1/1/0)
    ECA
    B
    P11
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm den primitiva funktion till  $f(x)=12x^3+4x$ƒ (x)=12x3+4x  som går genom punkten $(1,\text{ }0)$(1, 0).

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...

c-uppgifter (1)

  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P
    PL1
    M1
    R
    K

    Mellan åren $2005$2005 och $2015$2015 ökade befolkningen i en stad exponentiellt enligt funktionen  $N'(t)=18e^{-0,18t}$N’(t)=18e0,18t ,  $t$t år efter  $2005$2005. År $2005$2005 bodde det $18\text{ }000$18 000  invånare i staden.

    Vilket uttryck nedan ger dig möjligheten att beräkna folkmängden år $2010$2010?

    Träna på att själv ta fram modellen utan att kolla på alternativen.

    Rättar...

a-uppgifter (2)

  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/4)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M1
    R1
    K

    Accelerationen $a(t)$a(t) m/s² för ett flygplan kan under tidsintervallet $2\le t\le5$2t5 beskrivas med funktionen  $a(t)=12+4t$a(t)=12+4t där $t$t motsvarar antalet sekunder efter start.

    Bestäm med hjälp av följande information en funktion som beskriver planets höjd $h(t)$h(t) över marken efter $t$t sekunder.

                $v(2)=25$v(2)=25  m/s där $v(t)$v(t) är planets hastighet efter $t$t sekunder.
                $h(0)=0$h(0)=0 m/s där $h(t)$h(t) är planets höjd över marken efter $t$t sekunder.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/4)
    ECA
    B1
    P1
    PL1
    M
    R
    K1

    Linjen $y=64x-120$y=64x120 är en tangent till funktionen $F\left(x\right)$F(x). Bestäm  $F\left(x\right)$F(x) då funktionen  $F\left(x\right)$F(x) även är en primitiv funktion till $f\left(x\right)=8x^3$ƒ (x)=8x3 .

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar