Primitiva Funktioner med villkor - Integraler (Ma 3) - Matematikvideo

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 3 BC

Primitiva Funktioner med villkor

Video

Video & text av: Simon Rybrand Övningsuppgifter av: Anna Karp

I den här genomgång lär vi oss mer om primitva funktioner och framförallt primitiva funktioner med villkor. Du lär dig att förstå hur man kan ta fram ett värde för en konstant genom att använda dig av ett givet villkor.

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM


  • 600+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
PROVA FÖR 9 kr
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.
12 votes, average: 4,50 out of 512 votes, average: 4,50 out of 512 votes, average: 4,50 out of 512 votes, average: 4,50 out of 512 votes, average: 4,50 out of 5
12
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

9
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
MEDELPOÄNG
ALLA
2

Text

Den primitiva funktionen och konstanten C 

När man ska bestämma alla, eller som man brukar säga, samtliga primitiv funktion till en given funktion lägger man till en konstant. Ofta betecknas den med bokstaven $C$C i samband med primitiva funktioner. 

Konstanten C och primitiva funktioner

Derivatan av en konstant är alltid lika med noll. Därför, när vi söker samtliga primitiva funktioner, lägger vi alltid till en konstant $C$C. Detta eftersom att vi när vi deriverar $F\left(x\right)$F(x), alltid kommer få $f\left(x\right)$ƒ (x) oavsett värdet på konstanten, eftersom att den försvinner vid derivering.

Primitiva funktioner

Man skiljer alltså på uppgiften att ta fram en primitiv funktion, där konstanten  $C$C  ges ett värde, och på samtliga primitiva funktioner, där du behåller variabeln  $C$C som konstant. Det är dock bra att lägga till sig vanan att alltid sätta dit ett $C$C, så att du slipper avdrag när du missar den.

Hur påverkar en konstant grafen?

En konstant förskjuter grafen i höjdled uppåt och nedåt. Ingenting i sidled. Eftersom att derivatan motsvarar tangentens lutning i en punkt kommer derivatan vara identisk eftersom att tangentens lutning är den samma oavsett om hela kurvan förskjuts uppåt eller neråt.

Förskjutning av kurva i höjdled

Det är därför de funktioner som beskrivs av uttryck som är lika, förutom med en skillnad på kontanttermen, har samma derivata. Det i sin tur leder till att vi får samtliga primitiva funktioner genom att lägga till en konstant  $C$C i uttrycket.

Vad är ett villkor?

Ett villkor är något som ska gälla. I samband med primitiva funktioner handlar det ofta om att du ska bestämma konstanten $C$C så att funktionen går i genom en given punkt eller har någon tangent med en bestämt lutning i en punkt.

Metod för att ta fram primitiva funktion med villkor

Idén med att beräkna primitiva funktioner med villkor är att bestämma konstanten  $C$C. Detta kan vara en metod att följa.

  1. Ta fram en primitiv funktion.
  2. Lägg till en konstant $C$C.
  3. Använd villkoret för ställa upp en ekvation för att bestämma konstanten.
  4. Ange den fullständiga primitiva funktionen med den beräknade konstanten.

Exempel 1

Bestäm $F\left(x\right)$F(x) då  $f(x)=2x$ƒ (x)=2x  och  $F\left(2\right)=3$F(2)=3 

Lösning:

Enligt regeln ska vi addera exponenten med ett och sedan dividera med den nya exponenten. Till sist adderar vi en konstant. Vi får att den primitiva funktionen är

 $F(x)=x^2+C$F(x)=x2+C 

Vi sätter nu in villkoret  $F\left(2\right)=3$F(2)=3 för att bestämma  $C$C.

 $3=2^2+C$3=22+C 
 $3=4+C$3=4+C 
 $C=-1$C=1 

Vår sökta funktion är  $F\left(x\right)=x^2-1$F(x)=x21 

Exempel 2

Bestäm $F\left(x\right)$F(x) då $f(x)=3x^2$ƒ (x)=3x2 och $F\left(2\right)=10$F(2)=10 

Lösning:

Vi börjar med att bestämma samtliga primitiva funktioner.

  $F(x)=x^3+C$F(x)=x3+C 

Genom att sätta in punkten $\left(2,\text{ }10\right)$(2, 10) i uttrycket kan vi bestämma  $C$C.

 $10=2^3+C$10=23+C 
 $10=8+C$10=8+C 
 $C=2$C=2 

Den primitiva funktion $F\left(x\right)$F(x) som uppfyller villkoret $F\left(2\right)=10$F(2)=10  är $F\left(x\right)=x^3+2$F(x)=x3+2 

I kommande lektioner ska vi använda oss av dessa primitiva funktioner för att bestämma areor under kurvor. Dessa areor motsvarar olika saker i tillämpningen, tex hur långt en bil kört eller hur mycket man tjänat under en viss tidsperiod. Men mer om detta i kommande lektioner.

Exempel i videon

  • Bestäm den primitiva funktion till $ f(x)=2x^2+2 $ som uppfyller villkoret att $ F(1)=10 $.
  • Bestäm den primitiva funktionen till $ f(x)=sinx+3cosx $ som uppfyller villkoret att $F(0)=\pi$.

Kommentarer

  1. Hej!
    Jag har en fråga angående fråga 9?
    Ni får att C = -8
    Men hur det möjligt?
    8 = 32 + C
    C = -24
    Den primitiva funktion skall väll vara?
    F(x) = 2x^4-24
    Eller har jag fel?

    Simon Rajak
    1. Hej
      Definitivt fel i slutet av den uträkningen, vi ordnar detta. Tack för att du sade till!

      Simon Rybrand
  2. Uppgift 5 och uppgift 8:

    Svaret i uppgift 5 står idag som f(x), men det är en primitiv funktion som söks, och i genomgång skrivs primitiv funktion som F(x). Sen får man fel om man skriver x^1/2 istället för rotenurx.

    I uppgift 8 är funktionen v(2)=25 given, men i funktionen är siffran 5 instoppad, vilket ger -85 istället för -7 som man får om man stoppar in siffran 2 i funktionen.

    // Rasmus

    Rasmus Mononen
  3. Hej, har fastnat på två uppgifter som jag hoppas ni kan hjälpa mig med.

    1.Bestäm den primitiva funktionen F(x) till f(x)= (2x+1/2)^2?

    2 .Bestäm den primitiva funktion F(x) till f (x) = 2 − e^-x som uppfyller villkoret F(0) = −1.

    Tack på förhand!

    Henning Wennberg
    1. Hej, kan dessa tips hjälpa dig vidare?
      1. Utveckla först kvadraten, dvs räkna ut vad du får när du har upphöjt till 2.
      2. Den primitiva funktion är $ F(x)=2x+e^{-x} $ och lös sedan ekvationen $ F(0)=-1 $

      Simon Rybrand
  4. Men vart kommer fyran ifrån i 4+C= 10?
    Haha fattar inte 🙂
    Och vad menar du med ”det andra villkoret”?

    Mvh

    sofia_becklund@hotmail.com
    1. Villkoret säger att f(2)=10m då sätter vi x=2 i funktionen f(x)=2x+C

      Alltså f(2)=2*2+C=4+C som blir då 10 -> 10= 4+C

      Andra villkoret är att primitiva funktionen av f(x) som representeras F(x) är lika med 20 när x=5 -> F(5)=20

      Pedro Veenekamp
  5. Hej!
    Jag har fastnat på en uppgift som ser ut såhär:
    Om en funktion f vet man följande: f´(x)=2, f(2)= 10 och F(5)=20. Bestäm F.
    Hur ska jag bestämma F?

    Mvh

    sofia_becklund@hotmail.com
    1. Eftersom att du vet derivatan så kan du ta primitiv funktion och få fram att
      $ f(x)=2x+C ⇔$
      Använd nu villkoret att f(2)=10 och ställ upp ekvationen
      $ 4+C=10 ⇔$
      $ C=6 $
      Då får vi att $ f(x)= 2x+6$
      Sedan tar du primitiv funktion på detta igen och använder det andra villkoret, säg till om du behöver mer hjälp med detta.

      Simon Rybrand
  6. Hej, har problem med denna. Skulle jag kunna få lite vägledning.

    Bestäm den primitiva funktion F(x) till funktionen f(x)=x+x^3/3, som uppfyller villkoret F(-1)=1

    Simon Lundblad Roth
    1. Primitiv funktion:
      $f\left(x\right)={x}+{\frac{x^{3}}{3}}$
      $F\left({{x}}\right)={{\frac{x^{2}}{2}}+{\frac{x^{4}}{12}}}+{C}$

      Ta reda på konstanten C
      $F\left({{-1}}\right)=1 ⇔$
      ${{\frac{1}{2}}+{\frac{1}{12}}}+{C}=1⇔$
      ${{\frac{6}{12}}+{\frac{1}{12}}}+{C}=1⇔$
      ${\frac{7}{12}}+{C}=1$
      $C={1}-{\frac{7}{12}}={\frac{12}{12}}-{\frac{7}{12}}=\frac{5}{12}$

      Den primitiva funktionen blir
      $F\left({{X}}\right)={{\frac{x^{2}}{2}}+{\frac{x^{4}}{12}}}+{\frac{5}{12}}$

      Simon Rybrand
  7. Exemplen med primitiva funktionen till sinx och cosx hör inte hemma i Ma3c

    Gitte Timan
    1. Hej, vi skall kika på att plocka bort trigonometriska funktioner ur denna video, det är en kvarleva från Matematik D.

      Simon Rybrand
  8. Bra video, men sista exemplet är inte uppdaterat med trean så det blir F(x)= – cos x + 3 sin x + pi +1. Jag fastnade lite och funderade på detta så därför detta påpekande:)

    yussuf
    1. Bra att du sade till, vi har missat detta! Videon är uppdaterad och förnyad.

      Simon Rybrand
  9. Hej varför blir det F(x)= -cos x + sin x + pi + 1, borde det inte var 3 sin x, eftersom f(x)=sin x + 3 cos x?

    MvH Fredrik

    nti_ma3
    1. Nu var jag otydlig, menar alltså F(x)= – cos x + 3 sin x + pi +1.

      nti_ma3
      1. Hej, jepp det stämmer som du säger, vi har missat att ta med 3:an där i slutet. Vi uppdaterar videon så fort som möjligt. Tack för att du påpekade detta!

        Simon Rybrand
  10. Hej,
    på testa dig själv-delen undrar jag varför primitiva funktionen av sin(2x) blir -cos 2x/2 och inte bara -cos2x? Varför ska man även dela det med konstanten framför variabeln, ifall det finns en sådan?

    Cressell
    1. Hittade svaret när jag såg videon om Kedjeregeln 🙂

      Cressell
      1. Bra att höra! 🙂

        Simon Rybrand
  11. 03:40 in i videon. Blir inte -cos(pi)=1? Det står -1 i videon.
    Jag tänker såhär: -(-1)=1

    soulpat
    1. Nu tänkte jag helt fel. Glöm min fråga 🙂

      soulpat
  12. Hej! Jag undrar vart 3an framför sin försvinner?
    / BE

    BE
    1. Hej BE, om det är från uppgiften i videon som du ställer frågan så försvinner trean framför sinus genom att sin0 = 0. Dvs för att när du multiplicerar 3 med 0 så får du 0. Var det så du menade?

      Simon Rybrand
      1. Alright, nu hänger jag med! Tack! 🙂

        BE

Endast premiumkunder kan kommentera. Prova Premium!

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: