Likformighet och Likformiga trianglar - Geometri - Matematikvideo

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 2 ABC

Likformighet

Video

Video & text av: Simon Rybrand Övningsuppgifter av: Anna Karp

I den här videon går vi igenom begreppet likformighet inom det matematiska området geometri. Vi lär oss vad likformighet är för något och hur du räknar med likformiga trianglar.

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM


  • 600+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
PROVA FÖR 9 kr
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.
26 votes, average: 4,42 out of 526 votes, average: 4,42 out of 526 votes, average: 4,42 out of 526 votes, average: 4,42 out of 526 votes, average: 4,42 out of 5
26
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

7
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
MEDELPOÄNG
ALLA
4

Text

Vad innebär Likformighet?

Två likformiga figurer

Likformighet har använts inom en mängd olika områden historiskt. Alltifrån att göra kartor över landområden till att beskriva planeters storlek på ett papper. Likformighet betyder att man omvandlar en bild eller ett föremål så att storleken blir mindre/större, men formen är densamma.

Likformighet

Två figurer är likformiga om de har samma form men behöver inte ha samma storlek.

Likformiga trianglar

Ett viktigt område inom matematiken är att kunna göra beräkningar kring likformiga trianglar. Två trianglar är likformiga om de har samma form och då gäller ett antal viktiga samband mellan längden på deras sidor och vinklar.

Två trianglar är likformiga om:

  • Förhållandet/kvoten/proportionen mellan motsvarande sidor är lika.
  • Trianglar är likformiga om två motsvarande vinklar är lika. Följden blir då att även den tredje blir lika stor som sin motsvarande vinkel.

Två likformiga trianglar

Då gäller att

 $\frac{a}{d}=\frac{c}{f}=\frac{b}{e}$ad =cƒ  =be  

Exempel 1

Exempel 1 likformiga trianglar

De två trianglar är likformiga, bestäm längden på sidan $x$x. (Figur ritad i enheten cm)

Lösning

Då de två trianglar är likformiga så kan vi ställa upp följande ekvation.

 $\frac{x}{4}=\frac{6}{3}$x4 =63  

6/3=2 så vi kan skriva ekvationen som

 $\frac{x}{4}=2$x4 =2 

Multiplicera bägge leden med 4.

 $\frac{4\cdot x}{4}=2\cdot4$4·x4 =2·4 

Förkorta med 4 i vänsterledet

 $x=2\cdot4=8$x=2·4=8 

Sidan är $8\text{ }cm$8 cm.

Exempel 2

Exempel vinklar likformiga trianglar

De två trianglarna är likformiga. Bestäm vinkeln $x$x.

Lösning

Vid likformiga trianglar så kommer motsvarande vinklar att vara lika stora.

Därför är  $x=50^{\circ}$x=50

Är trianglarna är likformiga?

Samma samband som används ovan kan också användas för att avgöra om två trianglar är likformiga. Då undersöker du om förhållandet mellan de motsvarande sidorna är samma. Dvs du undersöker att kvoterna mellan motsvarande sidor är lika. Nedan visas ett exempel på hur detta går till.

Exempel 3

Är trianglarna likformiga

Undersök om de två trianglarna är likformiga eller inte.

Lösning

Två ställer upp de två kvoterna mellan motsvarande sidor och undersöker om de är lika.

 $\frac{6,8}{4,25}=1,6$6,84,25 =1,6 

 $\frac{4,48}{2,8}=1,6$4,482,8 =1,6 

Kvoterna är lika med varandra och därmed är trianglarna likformiga.

Spegelvända och/eller roterade trianglar

Ibland kan det vara svårare att trianglarna är likformiga då de är spegelvända och/eller roterade. Då behöver man först rita om figurerna så att man ser vilja sidor som motsvarar varandra. Detta kan du göra genom att spegelvända och rotera dem.

Exempel 4

  

Trianglarna är likformiga, bestäm $x$x.

Lösning

Vi börjar med att spegelvända den mindre triangeln.

Nu ser vi bättre vilka sidor som motsvarar varandra. För att göra det ännu tydligare kan vi även rotera den mindre triangeln något.

Likformighet ger nu att

 $\frac{x}{3}=\frac{4}{2}$x3 =42  

Förläng med 4 ger

 $x=\frac{3\cdot4}{2}=\frac{12}{2}=6\text{ }cm$x=3·42 =122 =6 cm 

Exempel i videon

  • Två trianglar är likformiga. Beräkna längden av sidan x. (Ekvationen som skapas löses på två olika vis)

Kommentarer

  1. I exempel 4 ska det väl vara x/3= 4/2 och inte x/4= 3/2

    Ger Dal
    1. Japp, det har slunkit in ett fel där, vi har korrigerat detta!
      Tack för att du sade till!

      Simon Rybrand
  2. I fråga 4 är frågan att bestämma vinklarna. Rätt svar borde då vara att ange vinklarnas storlek.

    Jag Vet Inte
  3. Fick fel på första uppgiften för att jag svarade 80 cm när man enligt facit måste svara 80 cm. (med en punkt efteråt).

    haggelito
    1. Ja det var ett hårt facit det 😉
      Vi ordnar det så att cm är korrekt också.

      Simon Rybrand
  4. Hej! Jag undrar varför du la till ett till X i din förklaring på uppgift 3? Om det bara är en okänd sida ska man väl bara ha med ett X, eller?

    Sofia Bergson Bjerle
    1. Hej
      Är det uppgift 3 i videon, texten eller i övningarna?

      Simon Rybrand
  5. Hej,
    I förklaringen till fråga 4 står det att man ska multiplicera med (x+1), ska det inte vara (x+10)?

    Sofie Ovesen
    1. Jo det skall det stå, vi fixar det!

      Simon Rybrand
  6. Förstår inte uppgift 3. Hur blir det 15x? Går det att få en utförligare förklaring?

    Too T
    1. Det är för att vi multiplicerar bägge leden med $15$. Har lagt till en längre förklaring till den uppgiften!

      Simon Rybrand
  7. I uppgifterna 5 och 6, svar är Ja, trianglarna är likformiga. Även om man svarar 20 gånger Ja, svaret blir inte korrekt rättat. Kunde ni rätta svar på dessa två frågorna. Det blir lite förvirrande. MVH Patricia.

    Patricia Olaya-Contreras
    1. Vi fixar det!

      Simon Rybrand
  8. Hej!

    Jag försökte kolla på videon men den startar inte. Jag har försökt att logga ut och in igen, och även uppdaterat sidan men det går fortfarande inte att spela upp den.

    Irma Cesko
    1. Hejsan! Får du något felmeddelande? Fungerar andra videos hos oss eller på andra videosajter?
      Testa gärna att pröva med en annan webbläsare också. Ibland kan det finnas en felaktig inställning i vissa webbläsare som kan skapa problem.
      Om inget av ovanstående fungerar så kontakta vår support på support@matematikvideo.se

      Simon Rybrand
  9. Men hur kan de vara likformiga om 45° + 45° + 100° inte blir 180°?

    Lisa Rahmani
    1. Hej, i vilket exempel/uppgift hittar du detta?

      Simon Rybrand
      1. 01.40!

        Lisa Rahmani
        1. Där gäller att bägge trianglarna (där den ena har dubbelt så lång sidlängder) har två vinklar vardera som är $45°$ och $100°$.
          Den tredje vinkeln i vardera triangeln nämner jag inte alls där då det i det exemplet inte spelar någon roll i det här sammanhanget. Så länge två trianglar har två lika stora vinklar så är de likformiga.
          De två trianglarna har dock båda två en tredje vinkel som är $ 180°-100°-45°=35° $

          Simon Rybrand
  10. Hej igen! Jag skriver många frågor nu men det är väl för att högskoleprovet är så tätt inpå, jag lovar att lugna ned mig i morgon kväll. Jag ser att det redan är några som har frågat om fråga 2 i kapitlet om likformighet. Men jag förstår faktiskt inte ändå. Är det så att det går lika bra att skriva DE/BC = AD/AB som att skriva AD/DE = AB/BC? Hur ska man veta när man ska använda vilket skrivsätt och vad betyder det sistnämnda skrivsättet? Hur ska jag skilja dem åt? Det blir väldigt förvirrande att du först går igenom det ena sättet i videon och så kommer en fråga som har ett annat tillvägagångssätt.

    B.E
    1. Hej
      Förstår att detta kan förvirra något men sambanden för likformighet kan skrivas på lite olika sätt. Jag skall försöka att inte krångla till det mer i din inlärningsprocess men vilken ordning som du skriver det kan bero på hur du enklast får ut det du söker. Om du har en sida som är okänd som vi kallar för x så kan det vara bra att få detta i täljaren då ekvationen blir något enklare att lösa då. Hoppas att detta förklarar något av det som du funderar på.

      Simon Rybrand
  11. Hej. Borde det inte i uppgift 2 facit stå att : 2/3 = (2+x)/3,5 då AB = 2 + x ?
    I uppgift 3 står det ju i facit: x/x+10 ?

    Daniel U
    1. Hej
      Du kan lösa uppgiften så också.
      $\frac{x+2}{3,5}=\frac23 ⇔$
      ${x}+{2}=3,5⋅\frac23 ⇔$
      ${x}+{2}=\frac72⋅\frac23 ⇔$
      ${x}+{2}=\frac{14}{6} ⇔$
      ${x}+{2}=\frac{7}{3} ⇔$
      $x=\frac{7}{3}-2 = \frac73-\frac63=\frac13$
      Då är AB
      $ 2+\frac13=2\frac13≈2,33 $

      Simon Rybrand
  12. Hej! Förstår inte sista uppgiften trots alla kommentarer..
    Du använder dig av topptriangelsatsen. Vilket ska vara DE/BC=AD/AB enligt lektionen. Men du verkar använda en annan version> AD/DE=AB/BC
    Varför går det inte ställa upp med den du angav? Skulle isåfall vara x/x+10=11/15

    Jeppx
    1. Hej, Det går att ställa upp den på det viset också. Jag gjorde så att jag ändrade i uppgiftsförklaringen så att topptriangelsatsen används mer ”rakt av”. Hoppas att denna förklaring känns enklare att förstå.

      Simon Rybrand
      1. Tack så mycket! Nu förstår jag 😀

        Jeppx
  13. Snurrar jag helt eller är inte fråga 2 i detta test fel?
    Hur lång är sidan AB?
    I uppgiften räknar man ut att x=2,33 som står för DB
    Borde då inte AB som är hela den sidan vara 2,33+2 alltså 4,33? 🙂

    fien88
    1. Hej, i uppgiften luras man lite av att bilden inte är riktigt proportionerligt ritad samt att man faktiskt inte behöver addera AD = 2 cm till längden. Så det vi gör där är att sätta AB = x (som inkluderar de 2 cm) och ställa upp sambandet
      x/3,5 = 2/3

      Simon Rybrand
  14. Hej igen! Jag förstår inte varken första eller sista riktigt. Varför tar man inte motstående sida delat på motstående för som jag har lärt mig i boken att man Ska göra när det gäller likformiga trianglar. På den första har du tagit x/8=10/6, men 10 och 6 är väll inga riktiga sidor på den stora det är ju bara en del av sidorna.
    Sen den sista när du tar den lilla triangelns sidor delat på varandra och lika med dem stora istället för att ta motstående delat på motstående.
    Ursäkta för de virriga frågorna men skulle vilja förstå varför du har skrivit som du gjort.

    nti_ma1
    1. Hej, där används transversalsatsen istället. Den säger att om en linje (en parallelltransversal) delar triangeln så att sidorna får samma förhållande så kan man ställa upp sambandet på det viset vi gjort där. Viktigt är att linjen löper parallellt med en av sidorna i triangeln. Kika gärna i texten ovan där det även finns en bild på detta.

      Simon Rybrand
  15. Hej! Kan du förklara uppgift 3 mer utförligt?

    davidnorburg
    1. Vilket steg är det som känns svårt där, så utgår vi ifrån det!

      Simon Rybrand
      1. Förstår inte hur de kan bli 15x=11x+110

        davidnorburg
        1. Ok, det vi gör är att vi förlänger (multiplicerar bägge leden) med 15 respektive 11 för att bli av med nämnarna i uttrycken. Om vi tar det steg för steg så ser det ut så här:

          $\frac{x}{11}=\frac{x+10}{15}⇔$
          förläng med 11
          $\frac{11x}{11}=\frac{11x+110}{15}⇔$
          $x=\frac{11x+110}{15}⇔$
          förläng med 15
          $15x=\frac{15(11x+110)}{15}⇔$
          $15x=11x+110⇔$
          $4x=110⇔$
          $x=27,5$

          Simon Rybrand
          1. Trög man e ibland! Tack

            davidnorburg
          2. varför förlänger man med 15?

            competens
          3. Det är för att du då kan förkorta (dividera) med 15 både i täljaren och i nämnaren och du därmed blir av med kvoten där. Blir lite enklare då att lösa ekvationen.

            Simon Rybrand
  16. Tycker bilden i uppgift 3 är ritad lite konstigt.

    Med ögat så ser det helt orimligt ut att X skulle vara 27,5cm.

    MAXI
    1. Hej, ja bilden är inte proportionerlig så jag förstår att det kan kännas lite konstigt med 27,5 cm. Vi gör så att vi nämner detta i uppgiftsbeskrivningen.

      Simon Rybrand
  17. Hej! på uppgift 3 så visar facit att man ska ta x/11 = x+10/15. Skulle du kunna berätta varför man gör så för jag satt och gjorde 11/15 = x/10 och fattade inte varför jag fick fel hela tiden…

    fuat
    1. Hej, anledningen till detta är att du vill ta hela den stora triangelns vänstra sida (x+10) delat med basen 15. Eftersom den mindre triangeln är inskriven i den större så är de likformiga och motsvarande förhållande gäller för den mindre triangeln, dvs x/11.

      Simon Rybrand
  18. Jättebra förklaringar!
    Skratta ihjäl mig ”kanske med Fuglesang”

    Williamjo
  19. hej hej igen. I uppgift tre så har du antagit att AD/DE=AB/BC
    eller är jag fel på det?

    lonninge
    1. Hej, ja precis så! (om man använder beteckningarna från figuren i texten ovan)

      Simon Rybrand
      1. Skulle du kunna förklara varför man kan flyta om ordningen i Topptriangelsatsen och ändå få rätt svar.

        Topptriangelsatsen säger ju ”DE/BC=AD/AB”, men du löser talet 3 genom att sätta upp det så här ”AD/DE=AB/BC”. Jag förstår inte vad det är i Topptriangelsatsen som gör att man får göra så här.

        Berätta vilka ”regler” som finns för Topptriangelsatsen.

        Sackeus
        1. Hej, det som är viktigt att känna till är att det skapas ett likformigt samband mellan sidorna/längderna när triangeln delas enligt detta vis. Så om förhållandet DE/BC = AD/AB gäller så gäller även BC/DE = AB/AD.
          Vi skulle kunna sätta siffror på detta också. 10/5 = 4/2 och 5/10 = 2/4.
          Anledningen till att jag vänder på det sedan i problemlösningen är för att snabbare kunna lösa ut x. Hoppas att detta svarar på dina frågor!

          Simon Rybrand
  20. Hej, man ser inte bilderna=/

    annab87
    1. Tack för att du kommenterade, testet är uppdaterat!

      Simon Rybrand
  21. Hej!
    Jag är nog trött i skallen, men just nu förstår jag inte skillnaden mellan sista och näst sista uppgiften -varför gör man på olika sätt när samma mått är givna?

    Alwisw
    1. Det beror på att vi söker olika längder fast i samma triangel. Då behöver vi använda olika metoder och det kan vara bra att träna på.

      Simon Rybrand
  22. Hej Simon tankte om du kunde hjalpa mej lite, har valdigt svart for uppgift 2
    varfor anvands inte AD i rakningen?
    ser inte vad det star under 4:an, star det x upphojt till 3?
    Varför delar man DE med BC?
    Tack för svar!

    provhajen
    1. Hej! I just det exemplet så är det enklare att inte använda AD (det blir en lång omväg i beräkningarna) då det är AC som vi söker.

      Jag tror en helt ok metod som ofta fungerar då vi skall lösa liknande uppgifter är att utgå ifrån den triangelsidan vi söker och därefter se efter om det finns en känd sida till i samma triangel. Därefter tittar du på den andra och likformiga triangeln och letar reda på motsvarande sidor.

      Fråga gärna mer om du har fler frågor, tex i vårt forum

      Simon Rybrand
  23. Funderar lite över sista uppgiften. Hade en del problem så jag kollade din lösning i facit. I den står det att AD = 2 cm. Det framgår inte av figuren. Enligt figuren är BD = 2 cm.

    Reedee
    1. Hej Reedee och tack för din kommentar om uppgiften med likformighet. Vi uppdaterar den så att den blir tydligare.

      Simon Rybrand
  24. Kul med lite humor 01.19-01.25 🙂 Annars vill jag bara säga att videon har fått mig förstå någon som jag kämpat med hur länge som helst. Tack!

    NathalieHolm
    1. Vad bra att videon hjälpte dig att förstå likformighet!

      Simon Rybrand

Endast premiumkunder kan kommentera. Prova Premium!

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: