...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Likformighet

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand Anna Karp
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

I den här lektionen går vi igenom begreppet likformighet inom det matematiska området geometri. Vi lär oss vad likformighet är för något och hur du räknar med likformiga trianglar.

Vad innebär Likformighet?

Två likformiga figurer

Likformighet har använts inom en mängd olika områden historiskt. Alltifrån att göra kartor över landområden till att beskriva planeters storlek på ett papper. Likformighet betyder att man omvandlar en bild eller ett föremål så att storleken blir mindre/större, men formen är densamma.

Likformighet

Två figurer är likformiga om de har samma form men behöver inte ha samma storlek.

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Likformiga trianglar

Ett viktigt område inom matematiken är att kunna göra beräkningar kring likformiga trianglar. Två trianglar är likformiga om de har samma form och då gäller ett antal viktiga samband mellan längden på deras sidor och vinklar.

Två trianglar är likformiga om:

  • Förhållandet/kvoten/proportionen mellan motsvarande sidor är lika.
  • Trianglar är likformiga om två motsvarande vinklar är lika. Följden blir då att även den tredje blir lika stor som sin motsvarande vinkel.

Två likformiga trianglar

Då gäller att

 $\frac{a}{d}=\frac{c}{f}=\frac{b}{e}$ad =cƒ  =be  

Exempel 1

Exempel 1 likformiga trianglar

De två trianglar är likformiga, bestäm längden på sidan $x$x. (Figur ritad i enheten cm)

Lösning

Då de två trianglar är likformiga så kan vi ställa upp följande ekvation.

 $\frac{x}{4}=\frac{6}{3}$x4 =63  

6/3=2 så vi kan skriva ekvationen som

 $\frac{x}{4}=2$x4 =2 

Multiplicera bägge leden med 4.

 $\frac{4\cdot x}{4}=2\cdot4$4·x4 =2·4 

Förkorta med 4 i vänsterledet

 $x=2\cdot4=8$x=2·4=8 

Sidan är $8\text{ }cm$8 cm.

Exempel 2

Exempel vinklar likformiga trianglar

De två trianglarna är likformiga. Bestäm vinkeln $x$x.

Lösning

Vid likformiga trianglar så kommer motsvarande vinklar att vara lika stora.

Därför är  $x=50^{\circ}$x=50

Är trianglarna är likformiga?

Samma samband som används ovan kan också användas för att avgöra om två trianglar är likformiga. Då undersöker du om förhållandet mellan de motsvarande sidorna är samma. Dvs du undersöker att kvoterna mellan motsvarande sidor är lika. Nedan visas ett exempel på hur detta går till.

Exempel 3

Är trianglarna likformiga

Undersök om de två trianglarna är likformiga eller inte.

Lösning

Två ställer upp de två kvoterna mellan motsvarande sidor och undersöker om de är lika.

 $\frac{6,8}{4,25}=1,6$6,84,25 =1,6 

 $\frac{4,48}{2,8}=1,6$4,482,8 =1,6 

Kvoterna är lika med varandra och därmed är trianglarna likformiga.

Spegelvända och/eller roterade trianglar

Ibland kan det vara svårare att trianglarna är likformiga då de är spegelvända och/eller roterade. Då behöver man först rita om figurerna så att man ser vilja sidor som motsvarar varandra. Detta kan du göra genom att spegelvända och rotera dem.

Exempel 4

  

Trianglarna är likformiga, bestäm $x$x.

Lösning

Vi börjar med att spegelvända den mindre triangeln.

Nu ser vi bättre vilka sidor som motsvarar varandra. För att göra det ännu tydligare kan vi även rotera den mindre triangeln något.

Likformighet ger nu att

 $\frac{x}{3}=\frac{4}{2}$x3 =42  

Förläng med 4 ger

 $x=\frac{3\cdot4}{2}=\frac{12}{2}=6\text{ }cm$x=3·42 =122 =6 cm 

Exempel i videon

  • Två trianglar är likformiga. Beräkna längden av sidan x. (Ekvationen som skapas löses på två olika vis)

Kommentarer

Ger Dal

I exempel 4 ska det väl vara x/3= 4/2 och inte x/4= 3/2

    Simon Rybrand (Moderator)

    Japp, det har slunkit in ett fel där, vi har korrigerat detta!
    Tack för att du sade till!

Jag Vet Inte

I fråga 4 är frågan att bestämma vinklarna. Rätt svar borde då vara att ange vinklarnas storlek.

haggelito

Fick fel på första uppgiften för att jag svarade 80 cm när man enligt facit måste svara 80 cm. (med en punkt efteråt).

    Simon Rybrand (Moderator)

    Ja det var ett hårt facit det 😉
    Vi ordnar det så att cm är korrekt också.

Sofia Bergson Bjerle

Hej! Jag undrar varför du la till ett till X i din förklaring på uppgift 3? Om det bara är en okänd sida ska man väl bara ha med ett X, eller?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Är det uppgift 3 i videon, texten eller i övningarna?

Sofie Ovesen

Hej,
I förklaringen till fråga 4 står det att man ska multiplicera med (x+1), ska det inte vara (x+10)?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Jo det skall det stå, vi fixar det!

Too T

Förstår inte uppgift 3. Hur blir det 15x? Går det att få en utförligare förklaring?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Det är för att vi multiplicerar bägge leden med $15$. Har lagt till en längre förklaring till den uppgiften!

Patricia Olaya-Contreras

I uppgifterna 5 och 6, svar är Ja, trianglarna är likformiga. Även om man svarar 20 gånger Ja, svaret blir inte korrekt rättat. Kunde ni rätta svar på dessa två frågorna. Det blir lite förvirrande. MVH Patricia.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Vi fixar det!

Irma Cesko

Hej!

Jag försökte kolla på videon men den startar inte. Jag har försökt att logga ut och in igen, och även uppdaterat sidan men det går fortfarande inte att spela upp den.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hejsan! Får du något felmeddelande? Fungerar andra videos hos oss eller på andra videosajter?
    Testa gärna att pröva med en annan webbläsare också. Ibland kan det finnas en felaktig inställning i vissa webbläsare som kan skapa problem.
    Om inget av ovanstående fungerar så kontakta vår support på support@matematikvideo.se

Lisa Rahmani

Men hur kan de vara likformiga om 45° + 45° + 100° inte blir 180°?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, i vilket exempel/uppgift hittar du detta?

      Lisa Rahmani

      01.40!

        Simon Rybrand (Moderator)

        Där gäller att bägge trianglarna (där den ena har dubbelt så lång sidlängder) har två vinklar vardera som är $45°$ och $100°$.
        Den tredje vinkeln i vardera triangeln nämner jag inte alls där då det i det exemplet inte spelar någon roll i det här sammanhanget. Så länge två trianglar har två lika stora vinklar så är de likformiga.
        De två trianglarna har dock båda två en tredje vinkel som är $ 180°-100°-45°=35° $

B.E

Hej igen! Jag skriver många frågor nu men det är väl för att högskoleprovet är så tätt inpå, jag lovar att lugna ned mig i morgon kväll. Jag ser att det redan är några som har frågat om fråga 2 i kapitlet om likformighet. Men jag förstår faktiskt inte ändå. Är det så att det går lika bra att skriva DE/BC = AD/AB som att skriva AD/DE = AB/BC? Hur ska man veta när man ska använda vilket skrivsätt och vad betyder det sistnämnda skrivsättet? Hur ska jag skilja dem åt? Det blir väldigt förvirrande att du först går igenom det ena sättet i videon och så kommer en fråga som har ett annat tillvägagångssätt.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Förstår att detta kan förvirra något men sambanden för likformighet kan skrivas på lite olika sätt. Jag skall försöka att inte krångla till det mer i din inlärningsprocess men vilken ordning som du skriver det kan bero på hur du enklast får ut det du söker. Om du har en sida som är okänd som vi kallar för x så kan det vara bra att få detta i täljaren då ekvationen blir något enklare att lösa då. Hoppas att detta förklarar något av det som du funderar på.

Daniel U

Hej. Borde det inte i uppgift 2 facit stå att : 2/3 = (2+x)/3,5 då AB = 2 + x ?
I uppgift 3 står det ju i facit: x/x+10 ?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Du kan lösa uppgiften så också.
    $\frac{x+2}{3,5}=\frac23 ⇔$
    ${x}+{2}=3,5⋅\frac23 ⇔$
    ${x}+{2}=\frac72⋅\frac23 ⇔$
    ${x}+{2}=\frac{14}{6} ⇔$
    ${x}+{2}=\frac{7}{3} ⇔$
    $x=\frac{7}{3}-2 = \frac73-\frac63=\frac13$
    Då är AB
    $ 2+\frac13=2\frac13≈2,33 $

Jeppx

Hej! Förstår inte sista uppgiften trots alla kommentarer..
Du använder dig av topptriangelsatsen. Vilket ska vara DE/BC=AD/AB enligt lektionen. Men du verkar använda en annan version> AD/DE=AB/BC
Varför går det inte ställa upp med den du angav? Skulle isåfall vara x/x+10=11/15

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, Det går att ställa upp den på det viset också. Jag gjorde så att jag ändrade i uppgiftsförklaringen så att topptriangelsatsen används mer ”rakt av”. Hoppas att denna förklaring känns enklare att förstå.

      Jeppx

      Tack så mycket! Nu förstår jag 😀

fien88

Snurrar jag helt eller är inte fråga 2 i detta test fel?
Hur lång är sidan AB?
I uppgiften räknar man ut att x=2,33 som står för DB
Borde då inte AB som är hela den sidan vara 2,33+2 alltså 4,33? 🙂

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, i uppgiften luras man lite av att bilden inte är riktigt proportionerligt ritad samt att man faktiskt inte behöver addera AD = 2 cm till längden. Så det vi gör där är att sätta AB = x (som inkluderar de 2 cm) och ställa upp sambandet
    x/3,5 = 2/3

nti_ma1

Hej igen! Jag förstår inte varken första eller sista riktigt. Varför tar man inte motstående sida delat på motstående för som jag har lärt mig i boken att man Ska göra när det gäller likformiga trianglar. På den första har du tagit x/8=10/6, men 10 och 6 är väll inga riktiga sidor på den stora det är ju bara en del av sidorna.
Sen den sista när du tar den lilla triangelns sidor delat på varandra och lika med dem stora istället för att ta motstående delat på motstående.
Ursäkta för de virriga frågorna men skulle vilja förstå varför du har skrivit som du gjort.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, där används transversalsatsen istället. Den säger att om en linje (en parallelltransversal) delar triangeln så att sidorna får samma förhållande så kan man ställa upp sambandet på det viset vi gjort där. Viktigt är att linjen löper parallellt med en av sidorna i triangeln. Kika gärna i texten ovan där det även finns en bild på detta.

davidnorburg

Hej! Kan du förklara uppgift 3 mer utförligt?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Vilket steg är det som känns svårt där, så utgår vi ifrån det!

      davidnorburg

      Förstår inte hur de kan bli 15x=11x+110

        Simon Rybrand (Moderator)

        Ok, det vi gör är att vi förlänger (multiplicerar bägge leden) med 15 respektive 11 för att bli av med nämnarna i uttrycken. Om vi tar det steg för steg så ser det ut så här:

        $\frac{x}{11}=\frac{x+10}{15}⇔$
        förläng med 11
        $\frac{11x}{11}=\frac{11x+110}{15}⇔$
        $x=\frac{11x+110}{15}⇔$
        förläng med 15
        $15x=\frac{15(11x+110)}{15}⇔$
        $15x=11x+110⇔$
        $4x=110⇔$
        $x=27,5$

          davidnorburg

          Trög man e ibland! Tack

          competens

          varför förlänger man med 15?

            Simon Rybrand (Moderator)

            Det är för att du då kan förkorta (dividera) med 15 både i täljaren och i nämnaren och du därmed blir av med kvoten där. Blir lite enklare då att lösa ekvationen.

MAXI

Tycker bilden i uppgift 3 är ritad lite konstigt.

Med ögat så ser det helt orimligt ut att X skulle vara 27,5cm.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, ja bilden är inte proportionerlig så jag förstår att det kan kännas lite konstigt med 27,5 cm. Vi gör så att vi nämner detta i uppgiftsbeskrivningen.

fuat

Hej! på uppgift 3 så visar facit att man ska ta x/11 = x+10/15. Skulle du kunna berätta varför man gör så för jag satt och gjorde 11/15 = x/10 och fattade inte varför jag fick fel hela tiden…

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, anledningen till detta är att du vill ta hela den stora triangelns vänstra sida (x+10) delat med basen 15. Eftersom den mindre triangeln är inskriven i den större så är de likformiga och motsvarande förhållande gäller för den mindre triangeln, dvs x/11.

Williamjo

Jättebra förklaringar!
Skratta ihjäl mig ”kanske med Fuglesang”

lonninge

hej hej igen. I uppgift tre så har du antagit att AD/DE=AB/BC
eller är jag fel på det?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, ja precis så! (om man använder beteckningarna från figuren i texten ovan)

      Sackeus

      Skulle du kunna förklara varför man kan flyta om ordningen i Topptriangelsatsen och ändå få rätt svar.

      Topptriangelsatsen säger ju ”DE/BC=AD/AB”, men du löser talet 3 genom att sätta upp det så här ”AD/DE=AB/BC”. Jag förstår inte vad det är i Topptriangelsatsen som gör att man får göra så här.

      Berätta vilka ”regler” som finns för Topptriangelsatsen.

        Simon Rybrand (Moderator)

        Hej, det som är viktigt att känna till är att det skapas ett likformigt samband mellan sidorna/längderna när triangeln delas enligt detta vis. Så om förhållandet DE/BC = AD/AB gäller så gäller även BC/DE = AB/AD.
        Vi skulle kunna sätta siffror på detta också. 10/5 = 4/2 och 5/10 = 2/4.
        Anledningen till att jag vänder på det sedan i problemlösningen är för att snabbare kunna lösa ut x. Hoppas att detta svarar på dina frågor!

annab87

Hej, man ser inte bilderna=/

    Simon Rybrand (Moderator)

    Tack för att du kommenterade, testet är uppdaterat!

Alwisw

Hej!
Jag är nog trött i skallen, men just nu förstår jag inte skillnaden mellan sista och näst sista uppgiften -varför gör man på olika sätt när samma mått är givna?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Det beror på att vi söker olika längder fast i samma triangel. Då behöver vi använda olika metoder och det kan vara bra att träna på.

Simon Rybrand (Moderator)

Hej! I just det exemplet så är det enklare att inte använda AD (det blir en lång omväg i beräkningarna) då det är AC som vi söker.

Jag tror en helt ok metod som ofta fungerar då vi skall lösa liknande uppgifter är att utgå ifrån den triangelsidan vi söker och därefter se efter om det finns en känd sida till i samma triangel. Därefter tittar du på den andra och likformiga triangeln och letar reda på motsvarande sidor.

Reedee

Funderar lite över sista uppgiften. Hade en del problem så jag kollade din lösning i facit. I den står det att AD = 2 cm. Det framgår inte av figuren. Enligt figuren är BD = 2 cm.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Reedee och tack för din kommentar om uppgiften med likformighet. Vi uppdaterar den så att den blir tydligare.

NathalieHolm

Kul med lite humor 01.19-01.25 🙂 Annars vill jag bara säga att videon har fått mig förstå någon som jag kämpat med hur länge som helst. Tack!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Vad bra att videon hjälpte dig att förstå likformighet!


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (7)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilket av följande alternativ stämmer inte alltid för två likformiga trianglarna?

    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Övning likformiga trianglar

    Trianglarna är likformiga, bestäm $x.$x. 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M
    R1
    K

    Vinkeln $u=32^{\circ}$u=32. Är trianglarna likformiga? 

    Öva på att motivera ditt svar, men ange endast jag eller nej här.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Är trianglarna likformiga? Svara ja eller nej.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Är trianglarna likformiga? Svara ja eller nej.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Rachels morfar har gjort en exakt kopia av sin bil till henne, fast mycket mindre. Du kan se förhållandena på bilden. Hur lång är Rachels bil?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K


    Max står mitt ute i öknen och beundrar en pyramid som är $414$414 meter bort. -Den är hög, tänker han. Men hur hög? 

    Max står $18$18 m från en mindre pyramid som har höjden $6$6 m. Hjälp Max att beräkna hur hög den stora pyramiden är. Svara i antal meter.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar