...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Prova för 9 kr Prova för 9 kr
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Komplexa talplanet

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Absolutbelopp – Längden på vektorn

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Är du ny här? Så här funkar Premium
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

I den här genomgången tittar vi på hur man kan beskriva ett komplext tal med en vektor I det komplexa talplanet.Idén är alltså att kunna beskriva riktning och längd för det komplexa med en vektor. Längden på denna vektor beräknas med hjälp av absolutbeloppet. Så om vi har det komplexa talet $z = a + bi$ så ges längden på vektorn genom nedanstående beräkning.

Längden på vektorn till $z$

$ | z | = | a + bi | = \sqrt{a^2 + b^2} $

Avståndet mellan komplexa tal

Man kan även beräkna avståndet mellan två komplexa tal.

Avståndet mellan $z$ och $q$

Avståndet mellan vektorerna $z$ och $q$ ges genom absolutbeloppet $|z-q|$

Exempel 1

Ange avståndet mellan de komplexa talen $ z = 3 + 2i $ och $ q = 2 + i $

Lösning

Avståndet mellan de två komplexa talen $ z = 3 + 2i $ och $ q = 2 + i $ ges av absolutbeloppet

$ | z – q | = | (3+2i)-(2+i) | = | 1+i | = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $

Beskrivning av områden i det komplexa talplanet

Vi kan också använda absolutbelopp till komplexa tal för att beskriva områden i det komplexa talplanet. Eftersom absolutbeloppet $|z|$ beskriver längden på vektorn $ \vec{z} $ så kan detta användas för att beskriva ett området. Exempelvis beskriver $ |z | ≤ 5 $ alla komplexa tal som finns på ett avstånd mindre eller lika med 5 från origo. Om detta område ritas ut så ser det ut enligt följande:

komplext-talplan-vektorer

Nedan följer några exempel till på där vi beskriver områden i det komplexa talplanet

Exempel 2

Åskådliggör $ | z | < 3 $ i det komplexa talplanet.

Lösning

Här söker vi alla komplexa tal som befinner sig på ett avstånd som är mindre än 3 från origo.

komplext-talplan-vektorer_2

Notera här ovan att vi har dragit en streckad linje för den yttre cirkeln då absolutbeloppet skall vara mindre än och inte lika med 3.

Exempel 3

Åskådliggör $ -1 ≤ Re z ≤ 3 $ i det komplexa talplanet.

Lösning

Här söker vi alla z då den reella delen finns i intervallet större eller lika med -1 och mindre eller lika med 3. Detta område visas i bilden nedan.

omrade-komplexa-talplanet

Exempel 4

Åskådliggör $ | z + 2i | = 3 $ i det komplexa talplanet.

Lösning

Vi kan skriva om $ | z + 2i | = | z – (-2i) | $. Då gäller att vi söker alla $z$ som ligger på avståndet 3 från $ (-2i) $. Detta område, en cirkel med radien 3 och origo i (0,-2i) visas i bilden nedan.

vektorer-avstand.komplexa-talplanet

Exempel i videon

  • Visualisering av $z = 3 + 2i$ och $q = 2 + 4i$ som vektorer i det komplexa talplanet.
  • Beräkning av längden (absolutbeloppet) av vektorerna till $z=3+2i$ och $q=2+4i$.
  • Beräkning av avståndet mellan $z=1+5i$ och $q=3+i$.
  • Markera området i det komplexa talplanet som beskrivs av $ |z| = 2$  där $z$ är ett komplext tal.
  • Markera området i det komplexa talplanet som beskrivs av $ 1< |z| ≤ 3 $.

Kommentarer

Shagi

Åskådliggör |z+2i|=3
i det komplexa talplanet.
Vi kan skriva om |z+2i|=|z–(−2i)|z
2Iz 2i . Då gäller att vi söker alla z som ligger på avståndet 3 från (−2i) 2i. Detta område, en cirkel med radien 3 och origo i (0,-2i) visas i bilden nedan.

Hej det jag inte förstår är varför man skriver om (z+2i) till z-(-2i) och sen lägger punkten på -2i och inte från början på 2i . Varför blir det fel om man lägger det på 2i och har avstånd 3 från origo. Det är exempel 4.
Mvh shagufa.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    När man skall beskriva ett avstånd så görs det med $|z-a|$, dvs det är avståndet mellan punkten a och z. Så här får vi skriva om absolutbeloppet så att att vi har minus där först så att det blir enklare att se vilket avstånd som menas. Dvs att
    $|z+2i|=|z-(-2i)|$

Leila

Tack!

NISSE-MA

Hej!
Förstår inte riktigt sista exemplet. Är inte -3, -4 osv också mindre än 2? :s

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, här är det viktigt att förstå att ett absolutbelopp alltid ger ett ett positivt svar då det är en längd som vi jobbar med. I det här fallet så handlar det också om längden på alla vektorer som är mindre, eller lika med, 2 vilket gör att vi måste beskriva just detta område. Så visst är -3 och -4 mindre än talet 2 men vektorn från origo till dessa tal är större än 2.

Gina

Videon fungerar inte på slutet, den bara laddar.
Och jag svarade inget, men det stod bra jobbat ändå!
Är rätt svar 5,1?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, när vi testar videon här så fungerar den, kontakta oss gärna så hjälper vi gärna dig vidare för att hitta vart felet kan ligga.

    Ja det stämmer att absolutbeloppet är
    $ \sqrt{26} ≈ 5,1 $. Vi håller på att uppdatera dessa testuppgifter så att det blir mer och bättre förklaringar på dessa.

ebbit

Runt 6.20 – 144+196 är inte 244! Annars är videon (och alla andra jag kollat på) sjukt bra och lättförstådd! Man lär sig verkligen av att kolla på dem.

    Simon Rybrand (Moderator)

    (uppdatering: videon är åtgärdad)
    Hej och tack för din kommentar, bra att du reagerade på felet och kommenterade. Detta skall vi åtgärda så snart som möjligt.
    /Simon

joawes

Videon fungerar inte:(

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Joawes, vi testade videon och den fungerar från vår sida för vanliga webbläsare. Dock var det problem med uppspelning via mobil vilket är ordnat nu.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (6)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm absolutbeloppet för det komplexa talet $z = 4+3i$.

    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna längden på vektorn $ \vec{u} = \vec{z}+\vec{q} $ om $z=2+2i$ och $ q=2+i $

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilket alternativ beskriver det markerade området i figuren nedan

    ovning-1

    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Premium
    • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
    • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilket alternativ beskriver det markerade området i figuren nedan?

    intervall

    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilket är avståndet mellan de två komplexa talen $z = 3 + 2i$ och $q = -2 + i$?

    (Avrunda svaret till en decimal)

    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilket av de komplexa talet $ z = 7 + 8i $ och $ q = -9 + 5i $ ligger närmast det komplexa talet $ w = 2i $?

    Rättar...

c-uppgifter (2)

  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R1
    K

    Anna och Vera skall åskådliggöra $ | z + i | = 1 $ i det komplexa talplanet. Anna ritar ut detta område med en grön cirkel och Vera med en blå. Vem av dem har gjort rätt och vad har i så fall den andra gjort fel?

    resonamang-vektorer

    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilket av nedanstående alternativ beskriver det rödmarkerade området i det komplexa talplanet?

    komplexa_talplanet

    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Premium
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.