...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Induktionsbevis

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Vad är ett induktionsbevis?

Ett induktionsbevis kan liknas vid dominobrickor som faller. Du vill i denna typ av bevis göra det tydligt att om en bricka faller så kommer även nästa bricka att falla. Sedan skall detta medföra att alla brickor faller. Vanligt är att man har ett påstående som man vill visa stämmer.

Tex en likhet eller en olikhet som skall gälla. Man visar då att det stämmer för ett första fall och sedan att om det stämmer för ett generellt fall så skall också nästföljande fall stämma.

Om det stämmer för det första fallet och sedan det generella så har man visat att påståendet stämmer med hjälp av induktion.

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Strategi för ett induktionsbevis

Den strategi som används när ett induktionsbevis genomförs är följande.

  1. Induktionsbas: Visa att påståendet gäller för $n = a$.
  2. Antagande: Antag att det gäller för $n = p$.
    Induktionssteg: Visa att det då gäller då $n = p + 1$.
  3. Slutsats: Eftersom det gäller för $n = a$ (steg 1) och två på varandra följande fall (steg 2) så stämmer påståendet.

När du har genomfört och visat de tre stegen i strategin så kan induktionsbeviset sägas vara klart och du har då visat att ett påstående stämmer.

Exempel 1

Visa att  $\sum_{i=1}^n2^{k-1}$i=1n2k1  kan skrivas som  $1+2+4+…+2^{n-1}$1+2+4++2n1 

Lösning

Vi ska med ett induktionsbevis visa att påstående gäller.

Induktionsbas, n = 1

 $VL:2^{1-1}=2^0=1$VL:211=20=1 

 $HL:2^1-1=2-1=1$HL:211=21=1 

$VL=HL$VL=HL  och det stämmer för basfallet.

Induktionsantagande

 Vi antar att det stämmer för  $n=p$n=p , dvs att  $1+2+4+…+2^{p-1}=2^p-1$1+2+4++2p1=2p1 

Påstående

Vi vill nu visa att det stämmer för  $n=p+1$n=p+1 , dvs att  $1+2+3+…+p+p+1=$1+2+3++p+p+1= $\frac{(p+1)(p+1+1)}{2}$(p+1)(p+1+1)2   .

Med hjälp av antagandet kan vi skriva om $VL$VL enligt

$VL= 1+2+3+…+p+p+1 =$ $\frac{p(p+1)}{2}+p+1=\frac{p(p+1)}{2}+\frac{2(p+1)}{2}=$p(p+1)2 +p+1=p(p+1)2 +2(p+1)2 =  $\frac{p(p+1)+2(p+1)}{2}=\frac{(p+1)(p+2)}{2}$p(p+1)+2(p+1)2 =(p+1)(p+2)2  $= HL $

Alltså gäller att $VL = HL$.

Slutsats

Enligt principen för induktionsbevis ger induktionbas och induktionssteg att påståendet stämmer.

Exempel i videon

  1. Visa att $ \sum_{k=1}^{n} 2k = n(n+1) $ för alla k ≥ 1.

Kommentarer

Lukas Mattsson

På fråga 6. hur blir 7^(p+1)−2=7⋅5⋅m+12=5(11⋅m+2)−2.
borde det inte bli 5(7m+2)+2 ?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Vi skall se om vi kan ordna en bättre förklaring på det, vi återkommer inom kort.

mikaelhagfeldt@gmail.com

Äsh då, blev fel:

Hänger inte med i lösningen efter
”Med hjälp av antagandet kan vi skriva om VL enligt:” …

Uträkningarna stämmer inte för mig, hur kan 2^(p-1)+2^(p) utvecklas till 2*2^(p)-1?

Bäst av hälsningar,

Pedro Veenekamp

Videon fungerar inte …

Chrome
Version 40.0.2214.115 m
Windows 8

    Pedro Veenekamp

    Det måste vara något fel på min dator. Har försökt titta på videon på mobilen och det gick.

    Tack!! Jag behövde faktiskt den här videon!

    Fråga:
    Varför byter man ’a’ till ’p’ i steg 2? Bokstav ’a’ brukas använda till en term av talföljden. Jag vet (eller tror) att vilket bokstav man använder spelar egentligen inte en stor roll men varför byter man från ’a’ till ’p’? Skulle man inte kunna hoppa över n = p och gå direkt till n = a + 1?

    Det kanske är en ”dum” fråga men jag fastade just på det och kommer inte vidare. Skulle bli jättetacksam om du kan upplysa mig på nåt sätt!

    Tack!!

      Simon Rybrand (Moderator)

      Här syftar jag på att du visar det första fallet, här kallar jag det för a. Det behöver ju inte alltid vara så att det skall vara n=1 utan att det första fallet kan vara n=2.
      Möjligtvis borde jag förtydliga detta i videon så att inte fler missförstår detta.

        mikaelhagfeldt@gmail.com

        Hänger inte med i lösningen efter
        ”Med hjälp av antagandet kan vi skriva om VL enligt:” …

        Uträkningarna stämmer inte för mig, hur kan 2^(p-1)+2^(p) utvecklas till 2*2^(p)-1?

        Bäst av hälsningar,

mikael

svaret på frågan ovan ges redan i själva frågan. Ett misslyckat försök att bevisa med induktion betyder inte att utsagan är falsk. kvar står endast svarsalternativ ja.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, håller med om detta. Det kan vara en poäng att säga att det kan vara svårt att avgöra att svaret ”nej” är det korrekta. Det skulle i så fall vara att basfallet är uppenbart fel. Tanken med uppgiften är framförallt att man skall få träna på att göra ett induktionsbevis själv men det skulle kanske mer vara en träningsuppgift istället för en multiple choice uppgift.

itgmatte

Väldigt bra genomgång, hjälpte en hel del!


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (4)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vad kallas det första steget i ett induktionsbevis?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Är påståendet sant eller falskt?

    Ett induktionsbevis är detsamma som ett indirekt bevis.

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Stämmer det att $ \sum_{k=1}^{n} 2^{k-1} = 2^n-1 $ för alla heltal $n ≥ 1$?

    Antag att om påståendet ovan stämmer så går det att visa med induktion, testa därför att bevisa påståendet enligt induktionsprincipen.

    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Nedan ser du ett påbörjat induktionsbevis för att

    $1+2+3+4+…+n = \frac {n(n+1)}{2}$ för alla heltal $n$.

    När inträffar det första felet?

    Ange en bokstav a-g.

    a) Induktionsbas, n = 1: $VL: 1 $ $HL: \frac {1(1+1)}{2}=\frac {2}{2}=1$

    b) $VL = HL$ och det stämmer för basfallet.

    c) Induktionsantagande: Vi antar att det stämmer för $n = p$, dvs att $ 1+2+3+…+p = \frac {p(p+1)}{2}$

    d) Påstående: Vi vill nu visa att det stämmer för $n = p + 1$,

    e) dvs att $ 1+2+3+…+p+p+1 = \frac {(p+1)(p+1)}{2}$.

    f) Med hjälp av antagandet kan vi skriva om VL enligt: $ 1+2+3+…+p+p+1 = $

    g) $=\frac {p(p+1)}{2}+p+1 = \frac {p(p+1)+(p+1)}{2} = $

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...

c-uppgifter (3)

  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Stämmer det att ett tal som kan skrivas på formen: $11^n-6$, där $n$ är ett positivt heltal, alltid är delbart med $5$?

    Antag att om påståendet ovan stämmer så går det att visa med induktion, testa därför att bevisa påståendet enligt induktionsprincipen.

    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Stämmer det att ett heltal som kan skrivas på formen $7^n -2$ (där $n$ är ett positivt heltal) alltid är delbart med $5$?

    Antag att om påståendet ovan stämmer så går det att visa med induktion, testa därför att bevisa påståendet enligt induktionsprincipen.

    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Stämmer det att för ett heltal $n$ så gäller följande formel

    $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$?

    Antag att om påståendet ovan stämmer så går det att visa med induktion, testa därför att bevisa påståendet enligt induktionsprincipen.

     

    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/2)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Stämmer det att alla positiva heltalspotenser av $6$ har slutsiffran $6$?

    Antag att om påståendet ovan stämmer så går det att visa med induktion, testa därför att bevisa påståendet enligt induktionsprincipen.

    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar